Bài tập tiệm cận của đồ thị hàm số ôn thi THPT môn Toán - THI247.com

Dựa trên giả thiết tính giới hạn của hàm số tại vô cực để tìm tiệm cận ngang.. Bước 2.[r]

(1)

50

D

ẠNG

TO

ÁN

PHÁ

T

TRIỂN

ĐỀ

MINH

HỌ

A

LẦN

1

DẠNG

27.

TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

1

KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Định nghĩa Đường thẳngx = x0 gọi đường tiệm cận đứng đồ thị hàm sốy = f (x)

nếu điều kiện sau thỏa mãn

lim

x→x+0

f (x) = +∞; lim

x→x+0

f (x) = −∞; lim

x→x−0

f (x) = +∞; lim

x→x−0

f (x) = −∞

2 Đường tiệm cận ngang

Định nghĩa Đường thẳng y = y0 gọi đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số y = f (x)

nếu điều kiện sau thỏa mãn

lim

x→+∞f (x) = y0; limx→−∞f (x) = y0

!

Xét hàm số y = f (x) = P (x)

Q(x) hàm số phân thức hữu tỷ

- Nếu Q(x) = có nghiệm x0, x0 khơng nghiệm P (x) = đồ thị có tiệm cận

đứng x = x0

- Nếu bậc P (x) ≤ bậc Q(x) đồ thị có tiệm cận ngang

2

BÀI TẬP MẪU

Ví dụ Tổng số tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số y = 5x

2− 4x − 1

x2−

là

A B C D

Lời giải

Phân tích hướng dẫn giải

1 DẠNG TỐN: Đây dạng tìm tiệm cận đồ thị hàm số HƯỚNG GIẢI:

Bước Dựa giả thiết tính giới hạn hàm số vơ cực để tìm tiệm cận ngang

Bước Tính giới hạn dần vơ cực hàm số để tìm tiệm cận đứng

(2)

Nhóm:

PHÁ

T

TRIỂN

ĐỀ

MINH

HỌ

A

TXĐ: D =R\ {−1; 1}

Ta có: lim

x→+∞

5x2− 4x −

x2− 1 = ; x→−∞lim

5x2− 4x −

x2− 1 = ⇒ đường thẳng y = đường tiệm cận

ngang đồ thị hàm số

Và lim

x→−1+

5x2− 4x −

x2− 1 = x→−1lim+

(x − 1)(5x + 1)

(x − 1)(x + 1) = x→−1lim+

(5x + 1)

(x + 1) = −∞ ⇒ đường thẳng x = −1

đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số

Vậy đồ thị hàm số cho có đường tiệm cận

Chọn phương án C

3

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN

Câu Đồ thị hàm số y = x

2+ x + 1

−5x2− 2x + 3 có đường tiệm cận?

A B C D

Lời giải

TXĐ: D =R\n−1;3

5

o

Ta có lim

x→+∞

x2+ x +

−5x2− 2x + 3 = −

1

5; x→−∞lim

x2+ x +

−5x2− 2x + 3 = −

1

5 ⇒ đường thẳng y = −

1

5 đường tiệm

cận ngang đồ thị hàm số

Và lim

x→−1+

x2+ x +

−5x2− 2x + 3 = +∞ ⇒ đường thẳng x = −1 đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số

Và lim

x→35+

x2+ x +

−5x2− 2x + 3 = −∞ ⇒ đường thẳng x =

3

5 đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số

Chọn phương án B

Câu Đồ thị hàm số y = x

2− 3x + 2

x2− 1 có tất đường tiệm cận đứng?

A B C D

Lời giải

TXĐ: D =R\ {−1; 1} Ta có

Vì lim

x→(−1)+y = −∞ nên đường thẳng x = −1 tiệm cận đứng đồ thị hàm số

Vì lim

x→1+y = −1

2 x→1lim−y = −1

2 nên đường thẳngx = không tiệm cận đứng đồ thị hàm số

Vậy đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng

Câu Tìm số đường tiệm cận đồ thị hàm số y = 2x − x2+ 1

A B C D

Lời giải

Tập xác định D =R.

(3)

50 D ẠNG TO ÁN PHÁ T TRIỂN ĐỀ MINH HỌ A LẦN Vì lim

x→±∞y = ⇒ Tiệm cận ngang đồ thị hàm số đường thẳng y =

Vậy đồ thị hàm số có đường tiệm cận

Câu Đồ thị hàm số y = √

5x2+ x + 1

√

2x − − x có đường tiệm cận đứng đường tiệm cận

ngang?

A B C D

Lời giải Điều kiện     

5x2+ x + ≥ 2x − ≥ √

2x − − x 6= ⇔

 



x ≥ 2x − 6= x2

⇔

 



x ≥ x 6=

Do lim

x→+∞

√

5x2+ x + 1

√

2x − − x = x→+∞lim

…

5 + x+ x2 … x − x2 −

= −√5 nên đồ thị hàm số có đường tiệm cận

ngang y = −√5

Do lim

x→1+ √

5x2+ x + 1

√

2x − − x = −∞ x→1lim− √

5x2+ x + 1

√

2x − − x = −∞ nên đồ thị hàm số có đường tiệm

cận đứng x =

Chọn phương án D

Câu Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên hình Hỏi đồ thị hàm số y = f (x) có đường tiệm cận?

x y

y0

−∞ −1 +∞

+ − +

−∞ −∞ +∞ −2 −2 +∞ −∞ 3

A B C D

Lời giải

Từ bảng biến thiên, ta

lim

x→+∞y = suy đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y =

lim

x→(−1)+y = +∞; x→1lim−= +∞ suy đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận đứng x = 1; x = −1

Vậy đồ thị hàm số y = f (x) có đường tiệm cận

Chọn phương án A

Câu Đồ thị hàm số y = √x +

9 − x2 có đường tiệm cận?

A B C D

(4)

Nhóm:

PHÁ

T

TRIỂN

ĐỀ

MINH

HỌ

A

Tập xác định: D = (−3; 3)

Đồ thị hàm số khơng có đường tiệm cận ngang

Ta có lim

x→−3+y = −∞; x→3lim−y = +∞ nên đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng x = −3; x =

Câu Số đường tiệm cận đồ thị hàm số y = √

−x2+ 2x

x −

A B C D

Lời giải

Hàm số có tập xác định D = [0; 2] \ {1} nên đồ thị hàm số khơng có tiệm cận ngang

Có lim

x→1−y = −∞ nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x =

Câu Số đường tiệm cận đồ thị hàm số y = √ x x2+ 1

A B C D

Lời giải

Tập xác định D =R nên đồ thị hàm số khơng có tiệm cận đứng.

Ta có lim

x→+∞

x √

x2+ 1 = limx→+∞

1

…

1 + x2

= lim

x→−∞

x √

x2+ 1 = limx→+∞

1 −

…

1 + x2

= −1

Do đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang

Câu Tổng số đường tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số y = x + √

x √

x2− 1

bằng

A B C D

Lời giải

Tập xác định D = (0; +∞) \ {1}

Ta có lim

x→1+

x +√x √

x2− 1 = limx→1+

x +√x

p

(x − 1)(x + 1) = +∞

Do x = tiệm cận đứng đồ thị hàm số

Mặt khác lim

x→+∞y = limx→+∞

x +√x √

x2− 1 =

Do y = tiệm cận ngang đồ thị hàm số

Vậy đồ thị hàm số cho hai đường tiệm cận

Câu 10 Số đường tiệm cận đồ thị hàm số y = √

x + − x2−

A B C D

Lời giải

Tập xác định D = (−3; +∞) \ {±1}

Ta có lim

(5)

50 D ẠNG TO ÁN PHÁ T TRIỂN ĐỀ MINH HỌ A LẦN Và lim

x→1y = limx→1

x −

(x − 1) (x + 1) √x + + 2 = limx→1

1

(x + 1) √x + 3 = ⇒ x = không tiệm cận đứng đồ thị hàm số

Và lim

x→−1−y = −∞; x→−1lim+y = +∞ ⇒ x = −1 tiệm cận đứng

Vậy đồ thị hàm số có đường tiệm cận

Câu 11 Đồ thị hàm số y = √

x2+ x + 1

x có đường tiệm cận?

A B C D

Lời giải

Tập xác định D =R\ {0}

Xét lim

x→0− √

x2+ x + 1

x

Có lim

x→0− √

x2+ x + = > 0 ; lim

x→0−x = x < ⇒ limx→0− √

x2+ x + 1

x = −∞

Vậy x = tiệm cận đứng đồ thị hàm số

lim

x→+∞

√

x2+ x + 1

x = limx→+∞

|x|

…

1 + x +

1 x2

x = limx→+∞

x

…

1 + x +

1 x2

x =

Vậy y = tiệm cận ngang đồ thị hàm số

Tương tự có lim

x→−∞

√

x2+ x + 1

x = −1 ⇒ y = −1 tiệm cận ngang đồ thị hàm số

Vậy đồ thị hàm số có ba tiệm cận

Câu 12 Đồ thị hàm số y = √

x − +

x2− 4x − 5 có tổng số đường tiệm cận ngang đứng?

A B C D

Lời giải

Hàm số xác định ®

x − ≥

x2− 4x − 6= ⇔

  

 

x ≥ x 6= −1

x 6= ⇔

®

x ≥ x 6=

Vậy tập xác định hàm số D = [1; 5) ∪ (5; +∞)

Ta có lim

x→+∞y = limx→+∞

√

x − +

x2− 4x − = ⇒ đường thẳng y = 0là tiệm cận ngang đồ thị hàm số

Ta có lim

x→5−y = limx→5− √

x − +

(x − 5) (x + 1) = −∞; x→5lim+y = limx→5+ √

x − +

(x − 5) (x + 1) = +∞ ⇒ đường thẳngx =

là tiệm cận đứng đồ thị hàm số

Ta có lim

x→1+y = −∞ nên x = tiệm cận đứng đồ thị hàm số

(6)

Nhóm:

PHÁ

T

TRIỂN

ĐỀ

MINH

HỌ

A

Cho đồ thị hàm số có hình vẽ hình bên Hỏi đồ thị có đường tiệm cận?

A B Khơng có tiệm cận

C D

x y

O

Lời giải

Nhìn đồ thị ta thấy nhánh bên phải có tiệm cận đứng, tiệm cận ngang nhánh bên trái

cũng Tổng cộng có tiệm cận

Câu 14 Cho đồ thị có hình vẽ hình

x y

O 1

Biết đồ thị đồ thị hàm số phương án A, B, C, D Chọn

phương án trả lời

A y = 2x +

x − B y =

x −

x − C y =

x −

x + D y =

x + x − Lời giải

Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = tiệm cận đứng x = 1, nên loại đáp án y = 2x +

x −

Hàm số y = x −

x − có y

0 =

(x − 1)2 > 0, hàm số đồng biến khoảng xác định, mà nhìn đồ

thị ta thấy hàm số nghịch biến nên loại đáp án

Hàm số y = x +

x − có y = −2

(x − 1)2 < 0, hàm số nghịch biến khoảng xác định, thỏa mãn đồ

thị cho

(7)

50

D

ẠNG

TO

ÁN

PHÁ

T

TRIỂN

ĐỀ

MINH

HỌ

A

LẦN

1

x y

O

−2

Hỏi đồ thị hàm số y = |f (x)| có tiệm cận ngang

A y = y = −2 B y = −1 y = −2 C y = y = D y = Lời giải

Ta có đồ thị hàm y = |f (x)| có dạng sau

x y

O

Suy đồ thị có hai tiệm cận ngang y = y =

Câu 16 Cho hàm số y = f (x)xác định R\ {0}, liên tục khoảng xác định có bảng biến thiên sau

x y

y0

−∞ +∞

− + −

+∞ +∞

−1 −∞

2

−∞ −∞

Hỏi đồ thị hàm số có đường tiệm cận?

A B C D

Lời giải

Nhìn bảng biến thiên ta thấy có tiệm cận đứng x =

(8)

Nhóm:

PHÁ

T

TRIỂN

ĐỀ

MINH

HỌ

A

x y0

y

−∞ −1 +∞

− − − −

−2 −2

−∞ +∞

2 −1

Hỏi khẳng định khẳng định đúng?

A Hàm số có tiệm cận đứng x = x = −1

B Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x =

C Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = −2 tiệm cận ngang y =

D Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang đường thẳng y = −2 y =

Lời giải

Phương án “Hàm số có tiệm cận đứng x = x = −1” loại hàm số khơng có tiệm cận

Phương án “Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = 0” loại đường thẳng x = khơng

là tiệm cận đứng

Phương án “Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = −2 tiệm cận ngang y = 1”

loại tiệm cận đứng x = ±1; tiệm cận ngang y = ±2

Phương án “Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang đường thẳng y = −2 y = 2” chọn

vì nhìn bảng biến thiên thấy đồ thị có tiệm cận ngang y = −2 y =

Câu 18 Cho hàm số y = f (x)xác định R\ {1}, liên tục khoảng xác định có bảng biến thiên sau

x y

y0

−∞ +∞

− + +∞

+∞

2 −3

10 10

Số tiệm cận đồ thị hàm số cho

A B C D

Lời giải

Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = 10

Câu 19 Giả sử đường thẳng (d) : x = a, (a > 0) cắt đồ thị hàm số y = 2x +

x − điểm

nhất, biết khoảng cách từ điểm đến tiệm cận đứng đồ thị hàm số 1; kí hiệu(x0; y0)

(9)

50

D

ẠNG

TO

ÁN

PHÁ

T

TRIỂN

ĐỀ

MINH

HỌ

A

LẦN

1

A y0 = −1 B y0 = C y0 = D y0 =

Lời giải

Tiệm cận đứng đồ thị ∆ : x =

Giao điểm đường thẳng (d) : x = a đồ thị hàm số y = 2x +

x − I

a;2a + a −

với a >

Ta có d(I, ∆) = |a − 1| = ⇔

ñ

a = (thỏa mãn)

a = (loại) ⇒ y0=

Vậy y0 =

Câu 20 Cho hàm số y = 2x −

x − (C) Gọi M điểm trên(C), d tổng khoảng cách từ M

đến hai đường tiệm cận đồ thị (C) Giá trị nhỏ d

A B 10 C D

Lời giải

Cách 1: Giải theo tự luận

Gọi M

x0;

2x0−

x0−

thuộc đồ thị (C), với x0 6= −2

Đồ thị (C) có tiệm cận đứng ∆1: x = ; tiệm cận ngang ∆2: y =

Ta có d(M, ∆1) = |x0− 2| d(M, ∆2) = |y0− 2| =

1 |x0− 2|

Áp dụng AM-GM ta d(M, ∆1) + d (M, ∆2) = |x0− 2| +

1 |x0− 2|

≥

Vậy giá trị nhỏ d

Cách 2: Giải theo phương pháp trắc nghiệm

Áp dụng công thức giải nhanh Giá trị nhỏ d

min d =

…

|ad − bc| c2 =

…

|2 · (−2) − (−3) · 1|

12 =

(10)

Nhóm:

PHÁ

T

TRIỂN

ĐỀ

MINH

HỌ

A

BẢNG ĐÁP ÁN

1 B B C D A A A B A 10 D