Dựa trên giả thiết tính giới hạn của hàm số tại vô cực để tìm tiệm cận ngang.. Bước 2.[r]
(1)50
D
ẠNG
TO
ÁN
PHÁ
T
TRIỂN
ĐỀ
MINH
HỌ
A
LẦN
1
DẠNG 27. TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
1 KIẾN THỨC CẦN NHỚ Đường tiệm cận đứng
Định nghĩa Đường thẳngx = x0 gọi đường tiệm cận đứng đồ thị hàm sốy = f (x)
nếu điều kiện sau thỏa mãn
lim
x→x+0
f (x) = +∞; lim
x→x+0
f (x) = −∞; lim
x→x−0
f (x) = +∞; lim
x→x−0
f (x) = −∞
2 Đường tiệm cận ngang
Định nghĩa Đường thẳng y = y0 gọi đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số y = f (x)
nếu điều kiện sau thỏa mãn
lim
x→+∞f (x) = y0; limx→−∞f (x) = y0
!
Xét hàm số y = f (x) = P (x)
Q(x) hàm số phân thức hữu tỷ
- Nếu Q(x) = có nghiệm x0, x0 khơng nghiệm P (x) = đồ thị có tiệm cận
đứng x = x0
- Nếu bậc P (x) ≤ bậc Q(x) đồ thị có tiệm cận ngang
2 BÀI TẬP MẪU
Ví dụ Tổng số tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số y = 5x
2− 4x − 1
x2−
là
A B C D
Lời giải
Phân tích hướng dẫn giải
1 DẠNG TỐN: Đây dạng tìm tiệm cận đồ thị hàm số HƯỚNG GIẢI:
Bước Dựa giả thiết tính giới hạn hàm số vơ cực để tìm tiệm cận ngang
Bước Tính giới hạn dần vơ cực hàm số để tìm tiệm cận đứng
(2)Nhóm:
PHÁ
T
TRIỂN
ĐỀ
MINH
HỌ
A
TXĐ: D =R\ {−1; 1}
Ta có: lim
x→+∞
5x2− 4x −
x2− 1 = ; x→−∞lim
5x2− 4x −
x2− 1 = ⇒ đường thẳng y = đường tiệm cận
ngang đồ thị hàm số
Và lim
x→−1+
5x2− 4x −
x2− 1 = x→−1lim+
(x − 1)(5x + 1)
(x − 1)(x + 1) = x→−1lim+
(5x + 1)
(x + 1) = −∞ ⇒ đường thẳng x = −1
đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số
Vậy đồ thị hàm số cho có đường tiệm cận
Chọn phương án C
3 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN
Câu Đồ thị hàm số y = x
2+ x + 1
−5x2− 2x + 3 có đường tiệm cận?
A B C D
Lời giải
TXĐ: D =R\n−1;3
5
o
Ta có lim
x→+∞
x2+ x +
−5x2− 2x + 3 = −
1
5; x→−∞lim
x2+ x +
−5x2− 2x + 3 = −
1
5 ⇒ đường thẳng y = −
1
5 đường tiệm
cận ngang đồ thị hàm số
Và lim
x→−1+
x2+ x +
−5x2− 2x + 3 = +∞ ⇒ đường thẳng x = −1 đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số
Và lim
x→35+
x2+ x +
−5x2− 2x + 3 = −∞ ⇒ đường thẳng x =
3
5 đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số
Vậy đồ thị hàm số cho có đường tiệm cận
Chọn phương án B
Câu Đồ thị hàm số y = x
2− 3x + 2
x2− 1 có tất đường tiệm cận đứng?
A B C D
Lời giải
TXĐ: D =R\ {−1; 1} Ta có
Vì lim
x→(−1)+y = −∞ nên đường thẳng x = −1 tiệm cận đứng đồ thị hàm số
Vì lim
x→1+y = −1
2 x→1lim−y = −1
2 nên đường thẳngx = không tiệm cận đứng đồ thị hàm số
Vậy đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng
Chọn phương án B
Câu Tìm số đường tiệm cận đồ thị hàm số y = 2x − x2+ 1
A B C D
Lời giải
Tập xác định D =R.
(3)50 D ẠNG TO ÁN PHÁ T TRIỂN ĐỀ MINH HỌ A LẦN Vì lim
x→±∞y = ⇒ Tiệm cận ngang đồ thị hàm số đường thẳng y =
Vậy đồ thị hàm số có đường tiệm cận
Chọn phương án C
Câu Đồ thị hàm số y = √
5x2+ x + 1
√
2x − − x có đường tiệm cận đứng đường tiệm cận
ngang?
A B C D
Lời giải Điều kiện
5x2+ x + ≥ 2x − ≥ √
2x − − x 6= ⇔
x ≥ 2x − 6= x2
⇔
x ≥ x 6=
Do lim
x→+∞
√
5x2+ x + 1
√
2x − − x = x→+∞lim
…
5 + x+ x2 … x − x2 −
= −√5 nên đồ thị hàm số có đường tiệm cận
ngang y = −√5
Do lim
x→1+ √
5x2+ x + 1
√
2x − − x = −∞ x→1lim− √
5x2+ x + 1
√
2x − − x = −∞ nên đồ thị hàm số có đường tiệm
cận đứng x =
Chọn phương án D
Câu Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên hình Hỏi đồ thị hàm số y = f (x) có đường tiệm cận?
x y
y0
−∞ −1 +∞
+ − +
−∞ −∞ +∞ −2 −2 +∞ −∞ 3
A B C D
Lời giải
Từ bảng biến thiên, ta
lim
x→+∞y = suy đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y =
lim
x→(−1)+y = +∞; x→1lim−= +∞ suy đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận đứng x = 1; x = −1
Vậy đồ thị hàm số y = f (x) có đường tiệm cận
Chọn phương án A
Câu Đồ thị hàm số y = √x +
9 − x2 có đường tiệm cận?
A B C D
(4)Nhóm:
PHÁ
T
TRIỂN
ĐỀ
MINH
HỌ
A
Tập xác định: D = (−3; 3)
Đồ thị hàm số khơng có đường tiệm cận ngang
Ta có lim
x→−3+y = −∞; x→3lim−y = +∞ nên đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng x = −3; x =
Chọn phương án A
Câu Số đường tiệm cận đồ thị hàm số y = √
−x2+ 2x
x −
A B C D
Lời giải
Hàm số có tập xác định D = [0; 2] \ {1} nên đồ thị hàm số khơng có tiệm cận ngang
Có lim
x→1−y = −∞ nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x =
Chọn phương án A
Câu Số đường tiệm cận đồ thị hàm số y = √ x x2+ 1
A B C D
Lời giải
Tập xác định D =R nên đồ thị hàm số khơng có tiệm cận đứng.
Ta có lim
x→+∞
x √
x2+ 1 = limx→+∞
1
…
1 + x2
= lim
x→−∞
x √
x2+ 1 = limx→+∞
1 −
…
1 + x2
= −1
Do đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang
Chọn phương án B
Câu Tổng số đường tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số y = x + √
x √
x2− 1
bằng
A B C D
Lời giải
Tập xác định D = (0; +∞) \ {1}
Ta có lim
x→1+
x +√x √
x2− 1 = limx→1+
x +√x
p
(x − 1)(x + 1) = +∞
Do x = tiệm cận đứng đồ thị hàm số
Mặt khác lim
x→+∞y = limx→+∞
x +√x √
x2− 1 =
Do y = tiệm cận ngang đồ thị hàm số
Vậy đồ thị hàm số cho hai đường tiệm cận
Chọn phương án A
Câu 10 Số đường tiệm cận đồ thị hàm số y = √
x + − x2−
A B C D
Lời giải
Tập xác định D = (−3; +∞) \ {±1}
Ta có lim
(5)50 D ẠNG TO ÁN PHÁ T TRIỂN ĐỀ MINH HỌ A LẦN Và lim
x→1y = limx→1
x −
(x − 1) (x + 1) √x + + 2 = limx→1
1
(x + 1) √x + 3 = ⇒ x = không tiệm cận đứng đồ thị hàm số
Và lim
x→−1−y = −∞; x→−1lim+y = +∞ ⇒ x = −1 tiệm cận đứng
Vậy đồ thị hàm số có đường tiệm cận
Chọn phương án D
Câu 11 Đồ thị hàm số y = √
x2+ x + 1
x có đường tiệm cận?
A B C D
Lời giải
Tập xác định D =R\ {0}
Xét lim
x→0− √
x2+ x + 1
x
Có lim
x→0− √
x2+ x + = > 0 ; lim
x→0−x = x < ⇒ limx→0− √
x2+ x + 1
x = −∞
Vậy x = tiệm cận đứng đồ thị hàm số
lim
x→+∞
√
x2+ x + 1
x = limx→+∞
|x|
…
1 + x +
1 x2
x = limx→+∞
x
…
1 + x +
1 x2
x =
Vậy y = tiệm cận ngang đồ thị hàm số
Tương tự có lim
x→−∞
√
x2+ x + 1
x = −1 ⇒ y = −1 tiệm cận ngang đồ thị hàm số
Vậy đồ thị hàm số có ba tiệm cận
Chọn phương án B
Câu 12 Đồ thị hàm số y = √
x − +
x2− 4x − 5 có tổng số đường tiệm cận ngang đứng?
A B C D
Lời giải
Hàm số xác định ®
x − ≥
x2− 4x − 6= ⇔
x ≥ x 6= −1
x 6= ⇔
®
x ≥ x 6=
Vậy tập xác định hàm số D = [1; 5) ∪ (5; +∞)
Ta có lim
x→+∞y = limx→+∞
√
x − +
x2− 4x − = ⇒ đường thẳng y = 0là tiệm cận ngang đồ thị hàm số
Ta có lim
x→5−y = limx→5− √
x − +
(x − 5) (x + 1) = −∞; x→5lim+y = limx→5+ √
x − +
(x − 5) (x + 1) = +∞ ⇒ đường thẳngx =
là tiệm cận đứng đồ thị hàm số
Ta có lim
x→1+y = −∞ nên x = tiệm cận đứng đồ thị hàm số
Vậy đồ thị hàm số cho có đường tiệm cận
Chọn phương án D
(6)Nhóm:
PHÁ
T
TRIỂN
ĐỀ
MINH
HỌ
A
Cho đồ thị hàm số có hình vẽ hình bên Hỏi đồ thị có đường tiệm cận?
A B Khơng có tiệm cận
C D
x y
O
Lời giải
Nhìn đồ thị ta thấy nhánh bên phải có tiệm cận đứng, tiệm cận ngang nhánh bên trái
cũng Tổng cộng có tiệm cận
Chọn phương án A
Câu 14 Cho đồ thị có hình vẽ hình
x y
O 1
Biết đồ thị đồ thị hàm số phương án A, B, C, D Chọn
phương án trả lời
A y = 2x +
x − B y =
x −
x − C y =
x −
x + D y =
x + x − Lời giải
Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = tiệm cận đứng x = 1, nên loại đáp án y = 2x +
x −
Hàm số y = x −
x − có y
0 =
(x − 1)2 > 0, hàm số đồng biến khoảng xác định, mà nhìn đồ
thị ta thấy hàm số nghịch biến nên loại đáp án
Hàm số y = x +
x − có y = −2
(x − 1)2 < 0, hàm số nghịch biến khoảng xác định, thỏa mãn đồ
thị cho
Chọn phương án D
(7)50
D
ẠNG
TO
ÁN
PHÁ
T
TRIỂN
ĐỀ
MINH
HỌ
A
LẦN
1
x y
O
−2
Hỏi đồ thị hàm số y = |f (x)| có tiệm cận ngang
A y = y = −2 B y = −1 y = −2 C y = y = D y = Lời giải
Ta có đồ thị hàm y = |f (x)| có dạng sau
x y
O
Suy đồ thị có hai tiệm cận ngang y = y =
Chọn phương án C
Câu 16 Cho hàm số y = f (x)xác định R\ {0}, liên tục khoảng xác định có bảng biến thiên sau
x y
y0
−∞ +∞
− + −
+∞ +∞
−1 −∞
2
−∞ −∞
Hỏi đồ thị hàm số có đường tiệm cận?
A B C D
Lời giải
Nhìn bảng biến thiên ta thấy có tiệm cận đứng x =
Chọn phương án B
(8)Nhóm:
PHÁ
T
TRIỂN
ĐỀ
MINH
HỌ
A
x y0
y
−∞ −1 +∞
− − − −
−2 −2
−∞ +∞
−∞ +∞
2 −1
Hỏi khẳng định khẳng định đúng?
A Hàm số có tiệm cận đứng x = x = −1
B Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x =
C Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = −2 tiệm cận ngang y =
D Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang đường thẳng y = −2 y =
Lời giải
Phương án “Hàm số có tiệm cận đứng x = x = −1” loại hàm số khơng có tiệm cận
Phương án “Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = 0” loại đường thẳng x = khơng
là tiệm cận đứng
Phương án “Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = −2 tiệm cận ngang y = 1”
loại tiệm cận đứng x = ±1; tiệm cận ngang y = ±2
Phương án “Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang đường thẳng y = −2 y = 2” chọn
vì nhìn bảng biến thiên thấy đồ thị có tiệm cận ngang y = −2 y =
Chọn phương án D
Câu 18 Cho hàm số y = f (x)xác định R\ {1}, liên tục khoảng xác định có bảng biến thiên sau
x y
y0
−∞ +∞
− + +∞
+∞
2 −3
10 10
Số tiệm cận đồ thị hàm số cho
A B C D
Lời giải
Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = 10
Chọn phương án A
Câu 19 Giả sử đường thẳng (d) : x = a, (a > 0) cắt đồ thị hàm số y = 2x +
x − điểm
nhất, biết khoảng cách từ điểm đến tiệm cận đứng đồ thị hàm số 1; kí hiệu(x0; y0)
(9)50
D
ẠNG
TO
ÁN
PHÁ
T
TRIỂN
ĐỀ
MINH
HỌ
A
LẦN
1
A y0 = −1 B y0 = C y0 = D y0 =
Lời giải
Tiệm cận đứng đồ thị ∆ : x =
Giao điểm đường thẳng (d) : x = a đồ thị hàm số y = 2x +
x − I
a;2a + a −
với a >
Ta có d(I, ∆) = |a − 1| = ⇔
ñ
a = (thỏa mãn)
a = (loại) ⇒ y0=
Vậy y0 =
Chọn phương án B
Câu 20 Cho hàm số y = 2x −
x − (C) Gọi M điểm trên(C), d tổng khoảng cách từ M
đến hai đường tiệm cận đồ thị (C) Giá trị nhỏ d
A B 10 C D
Lời giải
Cách 1: Giải theo tự luận
Gọi M
x0;
2x0−
x0−
thuộc đồ thị (C), với x0 6= −2
Đồ thị (C) có tiệm cận đứng ∆1: x = ; tiệm cận ngang ∆2: y =
Ta có d(M, ∆1) = |x0− 2| d(M, ∆2) = |y0− 2| =
1 |x0− 2|
Áp dụng AM-GM ta d(M, ∆1) + d (M, ∆2) = |x0− 2| +
1 |x0− 2|
≥
Vậy giá trị nhỏ d
Cách 2: Giải theo phương pháp trắc nghiệm
Áp dụng công thức giải nhanh Giá trị nhỏ d
min d =
…
|ad − bc| c2 =
…
|2 · (−2) − (−3) · 1|
12 =
(10)Nhóm:
PHÁ
T
TRIỂN
ĐỀ
MINH
HỌ
A
BẢNG ĐÁP ÁN
1 B B C D A A A B A 10 D
h Geogebra Pro