DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tìm các yếu tố của cấp số cộng và cấp số nhân.. HƯỚNG GIẢI:[r]
(1)50
D
ẠNG
T
O
ÁN
PHÁ
T
TRIỂN
ĐỀ
MINH
HỌ
A
LẦ
N
1
DẠNG 2. CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
1 KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1 CẤP SỐ CỘNG
Định nghĩa: Nếu (un) cấp số cộng với cơng sai d, ta có: un+1 =un +d với n ∈N∗ Số hạng tổng quát:
Định lý 1: Nếu cấp số cộng (un) có số hạng đầu u1 cơng sai d số hạng tổng quát un xác định công thức: un =u1+ (n−1)d với n≥2
Tính chất:
Định lý 2: Trong cấp số cộng, số hạng (trừ số hạng đầu cuối) trung bình cộng hai số đứng kề với nó, nghĩa uk =
uk−1+uk+1
2 với k ≥2
Tổng n số hạng cấp số cộng:
Định lý 3: Cho cấp số cộng (un) Đặt Sn =u1+u2+· · ·+un Khi đó:
Sn =
n(u1+un)
Sn =
n(2u1+ (n−1)d)
2 CẤP SỐ NHÂN
Định nghĩa: Nếu (un) cấp số nhân với công bội q, ta có: un+1 =un·q với n∈N∗ Số hạng tổng quát:
Định lý 1: Nếu cấp số nhân (un) có số hạng đầu u1 cơng bội q số hạng tổng quát un xác định công thức: un =u1·qn−1 với n ≥2
Tính chất:
Định lý 2: Trong cấp số nhân, bình phương số hạng (trừ số hạng đầu cuối) tích hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa u2k =uk−1·uk+1 với k≥2
Tổng n số hạng cấp số nhân:
Định lý 3: Cho cấp số nhân (un) với công bội q6= Đặt Sn =u1+u2+· · ·+un Khi đó:
Sn =
u1(1−qn)
1−q
CẤP SỐ NHÂN LÙI VƠ HẠN
Cấp số nhân lùi vơ hạn cấp số nhân vơ hạn có cơng bội q cho |q|<1 Cơng thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn:
Cho (un) cấp số nhân lùi vơ hạn có cơng bội q Khi tổng cấp số nhân lùi vơ hạn tính theo công thức
S =u1+u2+· · ·+un+· · ·=
u1
(2)Nhóm:
PHÁ
T
TRIỂN
ĐỀ
MINH
HỌ
A
2 BÀI TẬP MẪU
Ví dụ (ĐỀ MINH HỌA BDG 2019-2020)
Cho cấp số nhân (un) với u1 = u2 = Công bội cấp số nhân cho
A B −4 C D
3
Lời giải
Phân tích hướng dẫn giải
1 DẠNG TỐN: Đây dạng tốn tìm yếu tố cấp số cộng cấp số nhân HƯỚNG GIẢI:
B1: Dựa vào định nghĩa cấp số nhân để tìm cơng bội LỜI GIẢI CHI TIẾT
Từ đó, ta giải tốn cụ thể sau: Ta có u2 =u1·q⇒q =
u2
u1
=
2 =
Chọn phương án A
3 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN
Câu Cho cấp số cộng (un) với u3= u4 = Công sai cấp số cộng cho
A −4 B C −2 D
Lời giải
Ta có u4 =u3+d⇒d=u4−u3 = 6−2 = Chọn phương án B
Câu Dãy số sau cấp số cộng?
A 1; 2; 3; 4; B 1; 2; 4; 8; 16 C 1; 3; 9; 27; 81 D 1;−2; 4;−8; 16
Lời giải
Dãy 1; 2; 3; 4; cấp số cộng với công sai d=
Dãy 1; 2; 4; 8; 16 khơng cấp số cộng u3−u26=u2−u1
Dãy 1; 3; 9; 27; 81 khơng cấp số cộng u3−u2 6=u2−u1
Dãy 1;−2; 4;−8; 16 không cấp số cộng u3−u26=u2−u1
Chọn phương án A
Câu Cho cấp số cộng (un) với u1= cơng sai d= Khi u3
A B C D
Lời giải
Ta có u3 =u1+ 2d = + 2·1 = Chọn phương án C
Câu Cho cấp số cộng (un) với u10= 25 công sai d= Khi u1
(3)50
D
ẠNG
TO
ÁN
PHÁ
T
TRIỂN
ĐỀ
MINH
HỌ
A
LẦN
1
Lời giải
Ta có u10 =u1+ 9d⇒u1 =u10−9d= 25−9·3 =−2 Chọn phương án D
Câu Cho cấp số cộng (un) với u2= công sai d= Khi u81
A 242 B 239 C 245 D 248
Lời giải
Ta có: u2 =u1+d⇒u1 =u2−d= Lại có: u81 =u1+ 80d = + 80·3 = 242 Chọn phương án A
Câu Cho cấp số cộng (un) với số hạng đầu u1 = công sai d = Hỏi số 34 số hạng thứ mấy?
A 12 B C 11 D 10
Lời giải
Ta có un =u1+ (n−1)d⇔34 = + (n−1)·3⇔(n−1)·3 = 33⇔n−1 = 11⇔n= 12 Chọn phương án A
Câu Cho cấp số cộng (un) với u1 =−21 công sai d= Tổng 16 số hạng cấp số cộng
A S16 = 24 B S16 =−24 C S16 = 26 D S16=−25 Lời giải
Áp dụng cơng thức tính tổng n số hạng ta có:
S16=
n(2u1+ (n−1)d)
2 =
16 [2·(−21) + (16−1)·3]
2 = 24
Chọn phương án A
Câu Cho cấp số cộng (un) : 2, a,6, b Khi tích a.b
A 22 B 40 C 12 D 32
Lời giải
Theo tính chất cấp số cộng: ®
2 + = 2a
a+b= 12 ⇒ ®
a=
b= ⇒a·b = 32 Chọn phương án D
Câu Cho cấp số cộng (un) với u9 = 5u2 u13 = 2u6+ Khi số hạng đầu u1 công sai d
A u1 = 3, d= B u1 = 4, d= C u1= 3, d= D u1 = 4, d= Lời giải
Ta có ®
u9= 5u2
u13= 2u6+
⇔ ®
u1+ 8d= 5(u1+d)
u1+ 12d= 2(u1+ 5d) +
⇔ ®
4u1−3d=
u1−2d=−5
⇔ ®
u1 =
d = Chọn phương án C
Câu 10 Cho cấp số cộng (un) với S7 = 77 S12 = 192 Với Sn tổng n số Khi
(4)Nhóm: PHÁ T TRIỂN ĐỀ MINH HỌ A
A un = + 4n B un = + 3n C un = + 5n D un = + 2n
Lời giải Ta có
®
S7= 77
S12= 192
⇔
7(2u1+ 6d)
2 = 77
12(2u1+ 11d)
2 = 192
⇔ ®
2u1+ 6d= 22
2u1+ 11d= 32
⇔ ®
u1 =
d=
Nên un =u1+ (n−1)d= + (n−1)2 = 2n+
Chọn phương án D
Câu 11 Cho cấp số nhân (un) với u1 =−2 cơng bội q= Khi u2
A u2 = B u2 =−6 C u2= D u2 =−18 Lời giải
Số hạng u2 u2=u1·q=−6 Chọn phương án B
Câu 12 Cho cấp số nhân (un) với số hạng đầu u1 =−3 công bội q=
3 Số hạng thứ năm cấp số nhân
A 27
16 B −
16
27 C −
27
16 D
16
27
Lời giải
Ta có un =u1·qn−1 ⇒u5 =−3·
2
3
4
=−16
27
Chọn phương án B
Câu 13 Cho cấp số nhân (un) với u4 = 1; q= Tìm u1? A u1 =
1
9 B u1 = C u1= 27 D u1 =
1
27
Lời giải
Ta có: u4 =u1·q3⇒u1 =
u4
q3 =
33 =
1
27
Chọn phương án D
Câu 14 Cho cấp số nhân (un)với u1=−
2;u7 =−32 Công bội cấp số nhân cho A q =±2 B q =±1
2 C q=±4 D q=±1
Lời giải
Áp dụng công thức số hạng tổng quát cấp số nhân ta có un =u1qn−1 ⇒u7 =u1·q6 ⇒ q6 = 64 ⇒ ñ
q=
q=−2
Chọn phương án A
Câu 15 Một cấp số nhân có số hạng đầu u1 = 3, công bội q= Tổng8 số hạng cấp số nhân
A S8 = 381 B S8 = 189 C S8 = 765 D S8= 1533
Lời giải
Áp dụng công thức tổng cấp số nhân ta có: S8=
u1 1−q8
1−q =
3· 1−28
(5)50 D ẠNG TO ÁN PHÁ T TRIỂN ĐỀ MINH HỌ A LẦN
Chọn phương án C
Câu 16 Dãy số sau cấp số nhân?
A 1; 2; 3; 4; B 1; 2; 4; 8; 16 C 1; 3; 9; 27; 81 D 1;−2; 4;−8; 16
Lời giải
Dãy 1; 2; 4; 8; 16 cấp số nhân với công bội q =
Dãy 1; 3; 9; 27; 81 cấp số nhân với công bội q=
Dãy 1;−2; 4;−8; 16 cấp số nhân với công bội q =−2
Dãy 1; 2; 3; 4; cấp số cộng với công sai d= 1, khơng phải cấp số nhân u4
u3
6
= u2
u1 Chọn phương án A
Câu 17 Cho cấp số nhân (un) với số hạng đầu u1 = công bội q = Hỏi số 1024 số hạng thứ mấy?
A 11 B C D 10
Lời giải
Ta có un =u1·qn−1 ⇔1·2n−1 = 1024⇔2n−1 = 210 ⇔n−1 = 10⇔n= 11 Chọn phương án A
Câu 18 Tổng vô hạn S = +1
2 +
1
22 +· · ·+
1
2n +· · ·
A B 2n−1 C D
Lời giải
Đây tổng cấp số nhân lùi vô hạn, với u1= 1; q =
2
Khi đó: S = u1
1−q =
1
1−
2
=
Chọn phương án A
Câu 19 Viết thêm số vào hai số 20 để cấp số nhân Số
A ±9 B ±10 C ±13 D ±14
Lời giải
u3=u1q2 ⇒q2 =
u3
u1
= 4⇒
ñ
q=
q=−2
Với q= 2⇒u2 = 10 (thỏa mãn) Với q=−2⇒u2 =−10 (thỏa mãn) Chọn phương án B
Câu 20 Dãy số (un) có cơng thức số hạng tổng qt cấp số nhân A un = 3n
2
B un = 3n+ C un = 3n D un =
n
Lời giải Với un = 3n
2
thì un+1
un
=
(n+1)2
3n2 =
2n+1 không phải số. Với un = 3n+
un+1
un
= 3(n+ 1) +
3n+ =
3n+
(6)Nhóm:
PHÁ
T
TRIỂN
ĐỀ
MINH
HỌ
A
Với un =
n un+1
un
= n
n+ số Với un = 3n
un+1
un
=
n+1
3n = số Vậy un =
(7)50
D
ẠNG
TO
ÁN
PHÁ
T
TRIỂN
ĐỀ
MINH
HỌ
A
LẦN
1
BẢNG ĐÁP ÁN
1 B A C D A A A D C 10 D
hGeogebra Pro