Một số bài toán tổ hợp ôn thi HSG môn Toán - Giáo sư Lê Anh Vinh

Hỏi sau một số hữu hạn lần, có thể làm cho tất cả các ô vuông của bảng đã cho đều chia hết cho 2016 được không?... Tìm số các dãy số tự nhiên tăng ngặt thỏa mãn đồng thời các điều kiện:[r]

(1)

TỔNG HỢP MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỌN LỌC

CỦA PGS.TS LÊ ANH VINH

Bài Người ta tô màu ô vuông bảng ô vuông kích thước 8 màu xanh xanh da trời cho có a vng xanh bảng 3 có b ô vuông xanh bảng 4. Tìm tất giá trị có ( , ).a b

Bài Hỏi có dãy số tự nhiên thỏa mãn

1 11

1 a a   a 2015 thỏa mãn ai i2(mod12) với 1 i 11?

Bài Một ổ khóa có 16 chìa xếp thành bảng 4 mà chìa có hướng ngang dọc Để mở ổ khóa này, tất chìa phải nằm dọc Biết 16 chìa khóa xoay, tất chìa hàng cột xoay theo (ngang thành dọc, dọc thành ngang) Chứng minh cho dù vị trí ban đầu nào, ta ln mở ổ khóa

Các số tự nhiên 0,1, 2,3, điền vào bảng vng kích thước 2015 2015 (mỗi ô số), số bảng, đến số điền theo hình xoắn ốc ngược chiều kim đồng hồ hình vẽ bên dưới:

1) Biết cột bảng đánh số từ đến 2015 từ trái sang phải dòng bảng đánh số từ đến 2015 theo thứ tự từ xuống Hỏi theo cách điền số 2015 nằm dòng nào, cột nào?

(2)

Bài Cho tập hợp X có n phần tử m tập khác rỗng T T1, 2, ,Tm thỏa mãn: i/ Ti 4,i1,m

ii/ Với ,i jX tồn k cho ( , )i j Tk iii/ Với 1  i j m TiTj 1

Tính giá trị có m n,

Bài Tìm số dãy số tự nhiên tăng ngặt thỏa mãn đồng thời điều kiện: i Số hạng số hạng cuối 15

ii Trong số hạng liên tiếp, có số chẵn

Bài Cho 2015 tập tùy ý A A1, 2, ,A2015 tập hợp





i

A  với i1, 2015 Ai Aj 1 với 1  i j 2015 Chứng minh k3 số lượng nhỏ màu dùng để tô phần tử tập hợp





Ai

Bài Tìm số phần tử ( ,a a a a a a1 2, 3, 4, 5, 6) gồm số nguyên dương phân biệt thỏa mãn đồng thời điều kiện sau:

i a1    a2 a3 a4 a5 a6 30;

ii Có thể viết số a a a a a a1, 2, 3, 4, 5, 6 lên cạnh lục giác cho sau số hữu hạn bước chọn đỉnh lục giác thêm vào số viết cạnh xuất phát từ đỉnh ta thu trạng thái tất số cạnh lục giác Bài Chứng minh tồn vô hạn hợp số n cho 7n13n1 chia hết cho n Bài Hamza Majid chơi trò chơi bảng hình chữ nhật ngang có kích thước 2015 Họ chơi luân phiên Hamza trước Biết rằng:

(3)

Hỏi Hamza Majid, ln có chiến lược để thắng cho dù đối phương chơi nữa? Chiến lược gì?

Bài 10 Gọi S số nguyên dương chia hết cho tất số từ đến 2015 1, 2, , k

a a a số tập hợp





1

2S   a a ak

Chứng minh chọn từ số a a1, 2, ,ak vài số cho tổng chúng

đúng S

Bài 11 Tìm số xâu nhị phân S độ dài 2015 cho với xâu I I1, 2 có độ dài S (không thiết rời nhau), ta có:

- Tổng số I1 chênh lệch so với tổng số I2 không đơn vị - Nếu I1 bìa trái S tổng số I1 khơng lớn tổng số I2 - Nếu I2 bìa phải S tổng số I2 không nhỏ tổng số I1 Bài 12 Người ta tô màu đa giác A A1 2 A20 mà có 10 đỉnh tơ màu đen, 10 đỉnh tô màu xanh Xét tập hợp gồm đường chéo A A1 đường chéo có độ dài với A A1

1 Chứng minh S , số đường chéo có đỉnh tơ đen với số đường chéo có đỉnh tơ xanh

2 Tìm tất số lượng có đường chéo có đỉnh tơ đen S

Bài 13 Cho số thực , , ,x y z t đặt ( , , , )a b c d hốn vị ( , , , )x y z t Ta xây dựng dãy ( ),(xn yn),( ),( )zn tn sau:

1 , , ,

x  a b y  b c z  c d t  d a

Các số x y z t2, 2, 2, 2 xây dựng tương tự (xét hoán vị số hạng lấy chênh lệch cho số hạng tiếp theo)

(4)

Hướng dẫn giải Bài

(5)

Bài 1) Ta có nhận xét sau:

i Trong bảng vng có kích thước lẻ (2n 1) (2n 1)và có tâm chứa số 0, tất (2n 1)2 số từ đến (2n 1)2 điền cột tính từ trái sang bảng chứa 2n số lớn (số lớn (2n 1)2 nằm cuối cột đó) ii Số nằm hàng 1008, cột 1008 bảng

Từ đó, ta thấy rằng:

Vì 2015 452 2025 nên số nằm bảng ô vuông 45 45 số lớn bảng 2024

(6)

Vậy số 2015 nằm dòng thứ 1021 cột thứ 986 bảng 2) Sau bước thay 14, ta thấy tổng số bảng là:

2

2 2015 2015

14 2015 14

2

Dễ thấy số chia dư

Trong thao tác cộng số 12 ô (bất kể nằm hàng nào, cột nào) bảng tổng số tăng lên 12 đơn vị Suy số dư tổng số bảng chia cho bất biến suốt trình

Để bảng có tất số chia hết cho 2016 dễ thấy tổng chúng phải chia hết cho 4, điều xảy

Vậy câu trả lời phủ định

Bài Ta tính số ( , , )i j T mà ( , )i j T Xét cặp ( , )i j X mà i j có tất Cn2 cặp

Ta có Ti 4 nên với tập Ti có lặp lại 6

C lần, suy ( 1)

12 

 n n

m

Đặt T1



a a a a



ak

X

ak

a a a a

Với (a ak, )i ta có tập Tj mà tập tính lần, suy số tập

4  n

Suy 4( 4)



  n

m Từ ta

( 1) 4( 4)

1 ( 4)( 13)

12

       

n n n

n n

Với n4 m1 Với n13 m13

(7)

Bài

(8)

(9)

Bài

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)