Đang tải... (xem toàn văn)
Cách 3: Nhận xét: Vì hàm dưới dấu tích phân là hàm chẵn đối với sin va cos nên ta có thể đặt t tan x nhưng cách đó khá dài và phức tạp nên không nêu ra, bạn đọc tự khám phá nhé!. 2..[r]
(1)GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN BẰNG NHIỀU CÁCH I TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ Bài tập giải mẫu: Bài 1: Tính tích phân sau: I x3 dx x2 Giải: Cách 1: Phương pháp biến đối số Đặt x tan t dx 1 tan t dt x t Đổi cận x t Khi đó 0 0 I tan tdt tan t tan t 1 dt tan t tan t 1dt tan tdt tan td tan t 0 d cos t cos t tan t ln cos t ln 0 Nhận xét: Đối với tích phân dạng I R u, u a du, u u x thì ta có thể đặt u a tan t Cách 2: Phương pháp tích phân phần du xdx u x Đặt ln x 1 xdx dv v x2 Khi đó I x ln x 1 x ln x 1 dx 3ln 2 ln x 1 d x 1 J Tính J ln x 1 d x 1 d x 1 u ln x 1 du Đặt x2 dv d x v x (2) 1 Khi đó I 3ln x 1 ln x 1 d x ln 0 Chú ý: Sở dĩ ta sử dụng phương pháp này là vì Khi tính tích phân hàm phân thức mà ta phân tích dạng I P x Qn x dx f x Q' x Qn x dx thì u f x du Đặt Q' x dx v dv n Q x Cách 3: Kĩ thuật tách thành tích kết hợp phương pháp đổi biến số ' Nhận xét: Ta có x x x và x 1 x từ đó ta định hướng giải sau Phân tích I x3 dx x2 x2 x dx x2 x t Đặt t x dt xdx x t Đổi cận t x 4 t 1 1 dt 1 dt t ln t ln 21 t 21 t Cách 4: Phân tích và đưa vào vi phân 3 x2 1 x 1 1 2 I d x 1 d x 1 d x 1 x 1 x 1 x 1 0 Khi đó I 3 d x 1 x2 3 0 d x 1 0 x2 ln x 1 ln Cách 5: Chia đa thức để tách thành tổng hai tích phân đơn giản 3 x3 x x d x 1 3 I dx x ln x 1 ln dx 2 2 2 1 x x x 0 0 2 Nhận xét: Đây là tích phân hàm phân thức mà có bậc tử lớn bậc mẫu chính vì ta chia đa thức để tách thành tổng các tích phân là phương pháp tối ưu Cách 6: Phân tích tử thức chứa mẫu thức (thực chất là chia đa thức) Ta có x x x 1 x Khi đó I x3 dx x2 x x2 x dx 0 x 2 d x 1 x 1 3 ln x 1 ln 2 2 (3) Bài 2: Tính tích phân bất định: I x3 x3 dx x 1 x dx x2 3x Giải: Cách 1: Phân tích tử thức chứa nghiệm mẫu thức Phân tích x x x x x 3x x 1 Khi đó x x 3x x x x 1 3x I dx dx x 3x x 3x x2 1 dx dx x x ln x x x x x x 2 2 x x2 x ln x ln x ln x C 3x 8ln x ln x C 2 Cách 2: Kết hợp phân tích tử thức chứa nghiệm mẫu thức và kĩ thuật “nhảy tầng lầu” Phân tích x x x x x 1 x 1 x 3 x x x x 1 x 3 x 3 x 2 x x x 1 x x 1 x Khi đó x x 3x x 1 x 3 x 3 3x I dx dx x 3x x 3x 2x x2 x 3 x ln x ln x x C dx dx x x x 2 Cách 3: Kết hợp phân tích tử thức chứa nghiệm mẫu thức và đồng thức Phân tích x x x x x x x x x 3x 2 x2 3x x x3 dx dx Khi đó I x 3x x 3x 7x x2 x 3 dx dx x I1 x 3x Tính I1 phương pháp đồng thức… Cách 4: Chia đa thức để tách thành tổng hai tích phân đơn giản x3 9x 9x I dx x dx dx x 3 dx x 3x x 3x x 3 x 2 I1 Tính I1 phương pháp đồng thức… x3 x3 Bài 3: Tìm nguyên hàm sau: I dx dx x 2x 1 x 1 Giải: Cách 1: Phương pháp đổi biến số (4) du dx Đặt u x x u 1 Khi đó I u 1 u2 du u 3u 3u u2 du u du 3u 3ln u C 2 u u u u với u x Cách 2: Phân tích tử thức chứa nghiệm mẫu thức Phân tích x x x x 1 x x 1 x 1 x x x 1 x x 1 x 1 x3 dx dx Khi đó I x 2x 1 x2 2x 1 x2 x x 3ln x C dx x x 1 x 1 Cách 3: Kết hợp phân tích tử thức chứa nghiệm mẫu thức và kĩ thuật nhảy tầng lầu Phân tích x x x x 1 x x 1 x 2 x x x x x 1 x 2 x dx dx Khi đó I x 2x 1 x2 x 1 2x x2 dx dx x 2 x ln x ln x x C x 1 x 2x 1 2 Cách 4: Kết hợp phân tích tử thức chứa nghiệm mẫu thức và đồng thức Phân tích x x x x 1 x x 1 3x x x x 1 x x 1 3x x3 dx dx x2 2x 1 x2 2x 1 x2 3x x dx dx x I1 x 2x 1 Tính I1 phương pháp đồng thức Cách 5: Chia đa thức để tách thành tổng các tích phân đơn giản x3 x3 I dx dx x dx x 2x x x 1 x 1 x x 3ln x C x 1 Cách 6: Sử dụng phương pháp tích phân phần u x du 3x dx dx Đặt dv v x 1 x 1 Khi đó Khi đó I (5) x3 x2 x3 x2 dx dx 3 3 x 1 x 1 x 1 x 1 x2 x3 x3 3 x dx x ln x C x 1 x 1 x 1 I Bài 4: Tìm nguyên hàm: I x dx 39 1 x Giải: Cách 1: Sử dụng phương pháp đưa vào vi phân 2 Phân tích x 1 x 1 1 x 1 x 1 x 2(1 x) 39 39 37 38 39 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x x2 I 1 x 37 dx 2 1 x 38 dx 1 x 39 dx 1 1 C 36 37 36 1 x 37 1 x 38 1 x 38 Cách 2: Đặt t x x t dx dt 1 t dt 1 1 1 I 39 dt 38 dt 37 dt C 39 38 37 38 t 37 t 36 t 36 t t t t Nhận xét: Cách 3: Sử dụng phương pháp tích phân phần u x du xdx dx Đặt v dv 38 39 38 x 1 1 x x 1 Khi đó I x dx … đến đây các bạn có thể tự làm 38 19 x 138 38 x 1 Bài 5: Tìm nguyên hàm: I x dx ( x 1)10 Giải: Cách 1: Sử dụng phương pháp đưa vào vi phân 3 Sử dụng đồng thức: x x 1 1 x 1 x 1 x 1 x3 3 10 ( x 1) ( x 1) ( x 1) ( x 1) ( x 1)10 Khi đó dx dx dx dx I 3 3 ( x 1) ( x 1) ( x 1) ( x 1)10 1 3 1 C ( x 1) ( x 1) ( x 1) ( x 1)9 (6) Cách 2: Sử dụng phương pháp biến đổi số Đặt t x ta có: x t nên dx dt t 1 (t 3t 3t 1)dt t 7 dt 3 t 8dt 3 t 9 dt t 10 dt t10 t10 1 3 1 C ( x 1) ( x 1) ( x 1) ( x 1)9 Cách 3: Sử dụng phương pháp tích phân phần u x du 3x dx dx Đặt dv v 10 x 1 x 1 Khi đó 1 x2 I x3 dx x 19 x 1 A dt I1 đến đây rùi ta có thể tính I1 phương pháp tích phân phần phân tích x x 1 x 1 x 1 Nhận xét : - Đối với bài 3, bài và mà ta sử dụng phương pháp đồng thức thì giải hệ thật là nan giải phải không, chính vì thể mà lựa chọn phương pháp nào mà hiệu và nhanh đích Qua bài 3, bài và bài ta chú ý P x - Đối với tích phân hàm phân thức có dạng I dx thì đặt t x a là phương pháp hiệu n x a - Khi tính tích phân hàm phân thức mà ta phân tích dạng I P x Qn x dx f x Q' x Qn x dx thì ta sử dụng phương pháp tích phân phần nên làm bậc x a là n 1, u f x du Đặt: Q' x dv Q n x dx v Bài 11: (ĐHDB – B 2004) Tính tích phân sau: I dx x x3 dx x 1 x HD: Cách 1: Biến đổi số Nhân tử và mẫu cho x I dx x x3 3 dx xdx x 1 x x 1 x 2 (7) x2 t Đặt t x dt xdx Cách 3: Biến đổi số Đặt x tan u … Bạn đọc tự giải Cách 4: Đưa vào vi phân Phân tích tử 1 x – x Khi đó I dx x x 0 x dx Bài 12: Tính tích phân sau: I dx x d 1 x 1 x ln x ln ln x 2 0 dx x x3 Giải: Cách 1: Sử dụng phương pháp phân tích Cách 1.1: Phân tích: x x 1 1 x2 x2 1 x2 x2 x 3 2 x x 1 x ( x 1) x x( x 1) x x( x 1) x x x 1 Khi đó 2 1 x 1 1 2 I dx dx dx ln x ln x ln ln x 2 2x 1 x 1 x 1 Cách 1.2: Phân tích: x x x 1 x 1 x 2 x4 x x x x x x2 x x 3 x x ( x 1) x ( x 1) x 1 x x 1 x x 1 tự làm nhé Cách 2: Kết hợp kĩ thuật tách thành tích và phương pháp biến đổi số 2 1 dx 2 dx Phân tích I x x x 1 x 1 x x t Đặt t x dx dt t2 x t Đổi cận x t (8) 1 t3 t2 dt dx đến đây lại trở thành bài 1, các bạn mà làm nhé Khi đó I t 1 t 1 1 t2 t2 Cách 3: Sử dụng kĩ thuật nhân trên tử và phương pháp đổi biển số 2 x I dx dx x 1 x 1 x x dt xdx x t Đổi cận x t Đặt t x t 5 1 1 1 1 Khi đó I ln dt ln ln 2 2 t 1 t 1 t t 1 t 1 2 t t 1 Hoặc các bạn có thể đặt u t phân tích t t 1 đồng thức dt Cách 4: Sử dụng kĩ thuật nhân trên tử và phương pháp đưa vào vi phân 2 1 x I dx d x2 2 x x 1 x 1 x 1 x x 2 2 x 1 x 1 1 2 d x 1 d x 1 2 d x2 2 x x 1 21x x x 1 1 dx dx ôi đến đây lại thành cách rùi, lòng vòng quá, bỏ qua thui… x x x 1 Cách 5: Sử dụng phương pháp đồng thức A B C Dx E đến đây thì đồng thức hai vế để giải hệ tìm I A, B, C , D, E nhiên x x x 1 x x 1 x việc giải hệ là phức tạp chính vì thể trường hợp này ta nên làm theo cách 1, cách và cách là hiệu Cách 6: Đặt x tan u dx tan 1 dt … bạn đọc tự làm Bài 14: Tính tích phân sau: I dx x 1 Giải: Nhận xét: x x 1 x x 1 Cách 1: Dựa vào nhận xét trên ta sử dụng đồng thức: x x 1 x x 1 x 1 Khi đó I x2 x 1 dx dx I1 I x 1 x x 1 (9) 1 d x 1 Tính I1 cách đặt t x I1 x3 1 x 1 (kĩ thuật nhảy tầng lầu) 2 1 x 1 dx 2x 1 Ta có I dx dx 2 x x 1 20 1 x x 1 x 2 Cách 2: Đồng thức A Bx C Xét A x x 1 Bx C x 1 x 1 x 1 x x 1 Đến đây ta có thể đồng hệ số giải hệ tìm A, B, C cho số giá trị riêng là x 1 A ; x C ; x B …Bạn tự giải tiếp nhé 3 Kết ta I ln 3 Cách 3: Đổi biến số kết hợp kĩ thuật “nhảy tầng lầu” 1 dx dx d x 1 I 0 x 1 x 12 x 1 3 x 1 x 1 x x 1 Tính I phân tích x Đặt x t dx dt x t Đổi cận x t 2 2 t 3t 3 t 3t dt t 3 dt dt 2 31 t t 3t t t 3t 3 t t 3t 2 dt d t 3t 3 dt 3 t t 3t 21 t 4 dt t2 11 2t ln arctan ln t 3t 3 1 3 3x x x Bài 15: Tính tích phân bất định: I dx x 50 Giải : Cách 1: Biến đổi số x t Đặt x t dx dt 3 t t 2 t 3x x x Khi đó I dx dt 50 t 50 x 2 Cách 2: Đồng tử thức chứa nghiệm mẫu thức 10 (10) Phân tích x x x a x b x c x d x e … đồng để tìm a, b, c, d, e … Cách 3: Khai triển Taylor (tham khảo) Đặt P4 x x x3 x Áp dụng khai triển taylor ta có P4 2 P4 2 P4 2 P4 2 x 2 x 2 x 2 x 4 P4 x P4 2 1! 2! 3! 4! P4 x 66 149 x 48 x 29 x x 66 149 x 48 x 29 x x I dx x 50 66 x 66 49 x 49 50 149 x 149 48 x 48 49 48 x 48 47 x 47 48 29 x 29 46 x 1 Bài 16: (ĐHTN – 2001) Tính tích phân sau: I 46 47 x 2 45 x 45 46 dx C x2 dx x4 x Giải: 1 Ta có x 1 dx x x2 1 1 x2 x 1 x 1 dx 1 1 x dx 1 x x 1 1 dt 1 dx x x x t Đổi cận t x dt Đặt t tan u dt 1 tan u du Khi đó I 1 t Đặt t x u t Đổi cận t u dt tan u du du u Khi đó I 2 1 t tan u 0 Cách khác: 11 (11) Ta có thể gộp hai lần đặt là x 1 tan u 1 dx 1 tan u du … bạn đọc tự giải x x x2 1 Bài 17: Tính tích phân: I dx x 1 Giải: Cách 1: Chia tử và mẫu cho x ta 1 1 2 x dx x Biến đổi I dx x x 2 x2 x Đặt u x 1 du 1 dx x x Khi đó I 1 u du u 5/ 1 (5 2)(2 2) ln ln 2 2 u 2 2 6 2 Cách 2: Phân tích x x 1 x x x x x và sử dụng đồng thức x2 Ax B Cx D … đồng hệ số tìm A, B, C và D cách này dài và phức tạp x x 2x x 2x nên không đưa Nhận xét: - Qua các ví dụ trên ta thấy kĩ thuật chia thực hiệu việc chuyển tích phân ban đầu thành tích phân đơn giản - Thông thường để sử dụng kĩ thuật chia thì trên tử là đa thức bậc hai P x x còn mẫu là đa thức bậc 4: Q x ax bx cx dx e cho hệ số a e 1 - Tích phân trên đưa dạng I f x dx đặt t x dt dx x x x x Tương tự ta có thể giải bài toán này Tính tích phân sau I x2 1 dx x4 1 1 1 2 1 x dx x I dx Đặt u x du dx x x 1 x2 x 2 x x 1 (ĐHQGHN – A 2001) Tính tích phân bất định sau: 12 (12) I x2 1 x2 5x C dx ln x 3x x 5x 1 x 3x 1 Bài 18: Tính tích phân sau: I x3 x 1 dx Giải: Cách 1: Sử dụng phương pháp biến đổi số dt Đặt t x 1 dt x dx x3 dx x t Đổi cận x t 1 31 t dt t 41 20 20 Cách 2: Sử dụng phương pháp biến đổi số dt x3 dx Đặt t x x t Đổi cận x t Khi đó I x3 x 1 dx 1 1 1 t 31 4 Khi đó I 1 t dt 1 4t 6t 4t t dt t 2t 2t t 40 40 4 20 Cách 3: Sử dụng phương pháp biến đổi vi phân 4 1 x 1 31 4 I x x 1 dx x 1 d x 1 40 20 Cách 4: Sử dụng phương pháp phân tích 4 Phân tích x x 1 x x16 x12 x8 x 1 x19 x15 x11 x x 1 x 20 x16 x12 x x 31 Khi đó I x x 1 dx x19 x15 x11 x x dx 2 20 20 0 Nhận xét: Mỗi cách giải có đặc thù riêng nên lựa chọn cách nào là phù hợp hơn, tùy vào người, theo tôi cách và cách là hiệu Bài 19: (ĐH KTQD – 1997) Tính tích phân sau: I x5 1 x3 dx 168 4 Giải: 6 Ta có I x5 1 x3 dx x 1 x x dx 0 Cách 1: Đổi biến số 13 (13) dt x dx Đặt t x x3 t x t Đổi cận x t 1 6 t t8 t t dt t t dt t t dt 1 3 1 0 0 Cách 2: Đưa vào biểu thức vi phân I 1 168 6 I x5 1 x3 dx x 1 1 x 1 x3 dx x 1 x dx x 1 x dx 0 0 1 1 1 x 1 x3 d 1 x 1 x3 d 1 x3 30 7 1 x 1 168 Cách 3: Khai triển 1 x thành tổng các đa thức x 1 x cách này không khó khai triển phức tạp… tham khảo thôi Chú ý: Nếu ta đặt t x3 dài và phức tạp, bạn đọc có thể tham khảo 2 Bài 20: Tính tích phân sau I x x 1 dx Giải: Cách 1: Sử dụng phương pháp phân tích Ta có x x 1 x x x 1 x x x x x x 34 Khi đó I x3 x x dx 0 Cách 2: Sử dụng phương pháp đưa vào vi phân 2 Ta có x x 1 x 1 1 x 1 x 1 x 1 2 2 Khi đó I x 1 dx x 1 dx x 1 d x 1 x 1 d x 1 0 0 x 1 4 x 1 3 34 Cách 3: Đổi biến số x t Đặt t x dx dt x t Đổi cận x t 3 t t 34 Khi đó I t 1 t dt t t dt 1 1 Cách 3: Sử dụng phương pháp tích phân phần 14 (14) du x 1 dx u x 1 Đặt x2 v dv xdx 2 x x 34 x 2 Khi đó I x 1 x x 1 dx x x dx 0 0 0 Bài 21: Tính tích phân sau: I x x 1 dx 1 Giải: Cách 1: Biến đổi số Đặt t x dt dx x 1 t Đổi cận x t Khi đó I 1 2 9 11 10 x x 1 dx t 1 t dt t 2t 1 t dt t 2t t dt 1 12 11 0 10 t t t 1 2 11 10 12 11 10 660 12 Cách 2: Phương pháp phân tích Phân tích x x 1 x 1 Khi đó I 0 9 11 10 x x 1 dx x 1 x 1 1 x 1 dx x 1 x 1 x 1 dx 1 1 12 1 11 10 x 1 x 1 x 1 2 11 10 1 660 12 Hoặc phân tích x theo x 1 sau 9 x x 1 x 1 1 x 1 Nhận xét: x 1 x 1 2 1 x 1 11 10 x 1 x 1 x 1 9 - Với bài toán này ta sử dụng phương pháp phân tích tức là khai triển x 1 hay phương pháp tích phân phần bài 20 thì dài và phức tạp vì bậc x 1 là lớn Bài 22: Tính tích phân: I (1 3x )(1 x 3x )10 dx Giải: Cách 1: Đổi biến số Đặt t x x dt (2 x)dx dt 2(1 x)dx dt (1 x)dx 15 (15) x t Đổi cận: x t 10 6t dt t 11 611 111 611 I t10 dt 1 1 2 22 22 22 22 Cách 2: Đưa vào vi phân 1 10 ' 10 I 1 3x 1 x x dx 1 x x 1 x x dx 20 11 1 x x 611 10 1 x x d 1 x x 1 22 20 22 Bài tập tự giải có hướng dẫn: Bài 1: (ĐHV – D 2000) Tính tích phân sau: I 3x dx x2 x Đs: I ln Bài 2: Tính tích phân sau: I x2 x 3x 1 x x 1 dx HD: Chia tử và mẫu cho x ta 1 2 x I dx 1 x x 1 x x 1 Cách 1: Biến đổi số đặt t x dt dx x x Cách 2: Biến đổi vi phân 1 dx 1 2 1 x x I dx dx ln x 1 ln x 1 1 x x 2 1 x x x x 1 x x x x ln 10 Cách 3: Đồng thức x5 Bài 3: Tính tích phân sau: I dx x 1 HD: 2 Đồng thức: x x ( x 1) x ( x 1) x 16 (16) 1 1 x 1 I x3 x dx x x ln( x 1)] ln 2 4 x 1 0 Hoặc chia tử cho mẫu để tách thành tổng các tính phân đơn giản Hoặc đặt x tan t x dx Bài 4: (ĐHKT – 1994) Tính tích phân sau: I x HD: x 1 1 1 ta I Phân tích x 1 x 1 3 18 1 x 1 x 1 x Hoặc đặt t x Hoặc tích phân phần x2 21 13 dx ln ln Bài 10: Tính tích phân: I 4 x x 3x HD: Cách 1: Nhân tử và mẫu cho x đặt t x Cách 2: Phân tích mẫu x x x x x 1 x và sử dụng đồng thức Bài 5: Tính tích phân: I 2x x 3x x x 12 dx ln HD: Phân tích x x x x 12 x 1 x x 3 x x x x x Cách 1: Sử dụng đồng thức mẫu số là nghiệm đơn Cách 2: Sử dụng đổi biến số đặt t x x Cách 3: Sử dụng phương pháp phân tích x x x x x x x2 dx Bài 6: Tính tích phân: I 44 x x 5x x HD: Phân tích x x x x x x Cách 1: Đồng thức Cách 2: Chia tử và mẫu cho x và đặt t x Bài 7: Tính tích phân sau: I 1 Hoặc đưa vào vi phân x x dx x 1 HD: Cách 1: Đặt x tan t Cách 2: Sử dụng phương pháp tích phân phần 17 (17) u x Đặt dv xdx x Cách 3: Sử dụng phương pháp phân tích thành hai tích phân đơn gián Phân tích x x 1 Khi đó I 1 x dx x 1 1 dx x 1 1 dx x 1 II TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ Bài tập giải mẫu: Bài 1: (ĐHGTVT – 1998) Tính tích phân: I x 1 3x dx Giải: Cách 1: Biến đối số u3 x Đặt u 3x dx u du u x Đổi cận 3 u x u3 1 2 46 1 u5 Khi đó I u du u udu u 2u du u 31 3 u 15 Cách 2: Biến đối số u 1 x Đặt u 3x dx du u x Đổi cận 3 u x 18 (18) u 1 53 1 2 46 18 8u2 18 3u 3 3u Khi đó I du du u 2u du 31 91 91 9 15 u3 u Cách 3: Đưa vào vi phân Phân tích x x 1 3 Khi đó 7 7 3x 1 3 3 dx 23 dx 3x dx 3 d x 1 I 3 x d x x 3 3 3 9 x x x 3 0 0 7 1 46 3 3x 1 x 1 15 15 0 Cách 4: Tính phân phần u x du dx Đặt 1 dv dx v x 3x Khi đó I x 1 x 1 2 7 x 13 dx x 1 3x 1 3x 1 d 3x 1 bạn đọc tự giải 3x 60 Bài 2: Tính tích phân: I 1 x3 x2 dx HD: C1: Đặt x tan t C2: Phân tích x x x 1 x u x C3: Đặt x dx dv x 1 C4: Đặt x t C5: Phân tích x dx x xdx x 1 1 d x 1 Bài 3: (ĐHBKHN – 1995) Tính tích phân sau: I x dx x2 Giải: Cách 1: Phương pháp biến đổi số 19 (19) sin tdt dx với t 0; x cos t sin t cos t 2 t x Đổi cận x t sin t 3 sin t dt dt t Khi đó I cos t dt (vì t ; sin t ) 12 4 3 cos t sin t 4 4 cos t Cách 2: Phương pháp biến đổi số Nhân tử và mẫu cho x ta 2 dx xdx I 2 x2 x x 1 x Đặt x x2 t Đặt x t xdx tdt x t Đổi cận x t Khi đó I tdt t t 1 dt du tan u 1 du Đặt t tan u dt cos u t 1 u t Đổi cận t u tan u Khi đó I du du u 12 tan u 3 Cách 3: Phương pháp biến đổi số x2 t Đặt x t … tương tự cách xdx dt Cách 4: Phương pháp biến đổi số 1 dx Đặt x t dt t x x 20 (20) t x Đổi cận x t 2 Khi đó I dt t2 dt t2 Đặt t sin x dt cos xdx dx du u Khi đó I 12 sin u 6 2 Cách 5: Phân tích x 1 x Khi đó I cos u 2 x2 x dx dx … bạn đọc tự giải 2 x x x 1 x 2 dx I1 I2 Bài 3: (ĐH – A 2003) Tính tích phân: I dx x x2 Giải: Cách 1: Phương pháp biến đổi số x2 t Đặt t x xdx tdt t x Đổi cận t x 4 dt dt t dt Khi đó I ln ln 43 t 2 t 2 t 2 3 t 4 Cách 2: Phương pháp biến đổi số 1 Đặt x dx dt t t 1/ 1/ 1/ d (2t ) 1 Khi đó I ln 2t 4t ln 1/ (2t )2 1/ 4t 1/ Cách 3: Phương pháp biến đổi số Đặt x tan t dx 1 tan t dt với t và x cost dt 21 (21) t x 3 Đổi cận: x tan t dt Khi đó: I ln tan ln sin t (trong đó tan cos ) cos Bài 4: (ĐHDB – A 2003) Tính tích phân sau: I x x dx Giải: 1 Phân tích I x x dx x x xdx 0 Cách 1: Phương pháp biến đổi số x2 t Đặt t x xdx tdt x t Đổi cận x t 1 Khi đó I t t dt t 1 t dt t 1 2 t 1 dt t t 15 3 Cách 2: Phương pháp biến đổi số x2 t Đặt t x dt xdx x t Đổi cận x t 1 1 1 3 1 12 Khi đó I t 1 t dt t 1 t dt t t dt t t 21 20 0 23 15 dt Cách 3: Đặt t x xdx … tự giải Cách 4: Lượng giác hóa Đặt x cos t dx sin tdt 0 Khi đó I sin t cos tdt sin t 1 sin t cos tdt Cách 4.1 Đặt sin t u cos tdt du Khi đó 22 (22) u u5 I u (1 u )du u u du Cách 4.2 2 I sin t sin t d sin t 0 sin t sin t sin t sin t d sin t 2 15 Cách 4.3 1 cos 4t 1 sin 2t costdt cos tdt cos tdt cos 4t cos tdt … 40 40 80 80 Cách 5: Phương pháp đưa vào biểu thức vi phân 1 1 I x2 x d x x2 1 x d x 20 20 ….bạn đọc tự giải 1 1 x 2 d x2 x2 d x2 20 20 Cách 6: Phương pháp tích phân phần du xdx u x Đặt 2 v x dv x x 2 21 2 2 3 Khi đó I x x 1 x x 1 dx x 1 d x 1 bạn đọc giải tiếp 30 30 I Bài 5: (ĐH – A 2004) Tính tích phân: I x 1 x 1 dx Giải: Cách 1: Đặt t x t x x t dx 2tdt x t Đổi cận x t Khi đó t 1 t t 2tdt 2 I dt 2 t t dt 1 t t 1 t 1 0 0 t3 t 1 11 2t ln t ln ln 3 3 0 dx t 1 dt Cách 2: t x x t 1 23 (23) x t Đổi cận x t 2 t 1 t 1 1 t 3t 4t 1 Khi đó I 2 dt dt 2 t 3t dt t t t 1 1 t3 2 t2 4t ln | t | ln 2 3 1 b p ( x) dx với p x là đa thức chứa x, m, n, c là các số ta đặt t ax b c Tổng quát: ax b c a t ax b Bài 6: Tính tích phân sau: I 3x 2 4 x dx Giải: Cách 1: Dựa vào đạo hàm 3x Ta biến đổi f x dạng Đặt f x 4 x 3x 1 ' f x 4 x x x 4 x 4 x Xét hàm số F x x x vì F ' x x ' 4 x ' 4 x x ' x x f x Vậy F x x x C là họ nguyên hàm hàm số đã cho 3 x 4 x 3 2 2 4 x Cách 2: Sử dụng phương pháp đổi biến số x t Đặt t x dx 2tdt Khi đó I 3x dx F x x t Đổi cận x t 34 t Khi đó I tdt t 2 3t dt t 4t 3 Cách 3: Sử dụng phương pháp đổi biến số Đặt t x …bạn đọc tự giải Cách 4: Sử dụng phương pháp tích phân phần u 3x du 3dx Đặt dx v 2 x dv x 24 (24) Khi đó I 2 3x x 3 6 xdx 2 Bài 7: Tính tích phân sau: I x dx (4 x x ) 2x x x dx [3 ( x 1) ] ( x 1) Giải: Cách 1: dx sin tdt Đặt x cos t 2 x 3cos t cos t cos t sin t (3cos2 t cos t 1)dt Khi đó I = )dt (1 2 3cos t cos2 t (3 3cos t ) sin t Cách 2: dx (2x 4)dx I= I1 I 2x x [3 ( x 1) ] ( x 1) (2x 4)dx 2tdt dt J1 J Tính I [3 ( x 1) ] ( x 1) (3 t ) t (3 t ) t Tính J1 cách đặt t2 u t u , tính J cách đặt t Bài tập tự giải có hướng dẫn: Bài 1: (ĐHĐN- 1997) Tính tích phân: I x 1 dx ln ln HD: Sử dụng phương pháp biến đổi số Đặt t x Hoặc t x Bài 2: (ĐHSP QN – 1999) Tính tích phân: I x 1 3x Bài 13: (DBĐH – A 2005) Tính tích phân: I x2 x 1 Bài 14: (DBĐH – A 2008) Tính tích phân: I Bài 15: (DBĐH – A 2007) Tính tích phân: I 28 3 10 231 10 x 2x dx 2x 2x 1 Bài 16: (CĐXD – 2005) Tính tích phân: I 3 1 x3 x 1 x 12 dx ln dx 25 (25) III TÍCH PHÂN HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARIT Bài tập giải mẫu: e ln x ln x dx x Bài 1: (PVBCTT – 1999) Tính tích phân sau: I Giải: Cách 1: Phương pháp biến đổi số Đặt ln x u Cách 2: Phương pháp biến đổi số Đặt ln x t t ln x ln x t dt dx x x e t 3 Đổi cận x t 3 3 3 3 t4 Khi đó I t.t dt t dt 232 32 3 3 3 23 Cách 3: Phương pháp biến đổi số dt ln x Đặt ln x t dx x x e t Đổi cận x t 3 3 t dt t 3 23 22 Cách 4: Phương pháp đưa vào biểu thức vi phân e e 1 ' 1 I ln x ln x dx ln x d ln x 21 21 Khi đó I ln x e 3 3 23 e Bài 2: (ĐH – B 2004 ) Tính tích phân sau: I 1 3ln x ln x dx x Giải: Cách 1: Phương pháp biến đổi số t2 1 ln x Đặt t 3ln x dx tdt x 26 (26) x e t Đổi cận x t 2 t2 1 2 t t 116 Khi đó I t dt (t t )dt 31 91 135 Cách 2: Phương pháp biến đổi số t 1 ln x Đặt t 3ln x dx dt x x e t tương tự cách Đổi cận x t Cách 3: Phương pháp đưa vào biểu thức vi phân e 3ln x ln x 1e 1e I dx 3ln x ln xd 1 3ln x 3ln x 1 3ln x 1d 1 3ln x 31 91 x e e 1 1 3ln x d 1 3ln x 1 3ln x d 1 3ln x 91 91 2 e 116 3ln 3ln x x 135 5 dx Cách 4: t ln x dt x Khi đó I 3t tdt đến đây rùi ta có thể làm nhiều cách biến đổi số đặt u 3t u 3t đưa vào vi phân cách phân tích t e Bài 3: Tính tích phân sau: I 1 1 3t 3 ln x dx x Giải: Cách 1: Phương pháp biến đổi số Đặt t ln x t ln x 2tdt dx x x t Đổi cận x e t t3 2 2 1 31 1 Cách 2: Phương pháp đưa vào biểu thức vi phân e Khi đó I ln x dx x 2 t.2tdt 2 t dt 2 27 (27) e 2 1 ln x e Biến đổi I dx ln xd 1 ln x 1 ln x x 3 1 Cách 3: Phương pháp biến đổi số Đặt t ln x t ln x e ln x dx Bài 4: (ĐH – B 2010) Tính tích phân sau: I x ln x e Giải: Cách 1: Phương pháp biến đổi số dx Đặt t ln x dt x x e t Đổi cận x t Khi đó I u u 2 2 u 0 Cách 2: Phương pháp biến đổi số ln x t Đặt t ln x dx x dt udu 1 d 2 u d 2 u 1 du 2 ln ln u 2u 2u 0 2 u t 2 3 2 1 ln dt dt t ln 2 t t t2 2t Cách 3: Phương pháp đưa vào biểu thức vi phân e e e e d ln x d ln x ln xd ln x e ln x ln x I dx d x ln 2 2 ln x ln x x ln x 1 ln x ln x Khi đó I e ln ln x ln ln x Cách 4: Phương pháp tích phân phần u ln x du x Đặt dv dx x x ln x ln x e d ln x e e 1 1 Khi đó I ln x ln ln x ln dx ln x 1 x ln x ln x 3 e Bài 4: Tính tích phân sau: I 1 dx x 1 ln x Giải: Cách 1: Phương pháp biến đổi số 28 (28) dx x x t Đổi cận x e t Đặt t ln x dt e 2 dt Khi đó I dx ln t ln x 1 ln x t 1 Cách 2: Phương pháp đưa vào biểu thức vi phân e e d 1 ln x e Biến đổi I dx ln ln x ln x 1 ln x ln x 1 Cách 3: Phương pháp biến đổi số Đặt: t ln x e sin ln x Bài 5: Tính tích phân sau: I dx x Giải: Cách 1: dx x x t 0 Đổi cận x e t Đặt t ln x dt Khi đó I sin tdt cos t cos1 cos cos1 Cách 2: Phương pháp đưa vào biểu thức vi phân e e sin ln x e Biến đổi I dx sin ln x d ln x cos ln x cos1 x 1 e2 Bài 6: Tính tích phân sau: I dx x ln e x Giải: Cách 1: Phương pháp biến đổi số dx Đặt t ln x dt x x e t Đổi cận t x e e2 dx dt 15 Khi đó I 4t 64 e x ln x t Cách 2: Phương pháp đưa vào biểu thức vi phân e2 e2 e 15 dx 5 Biến đổi I ln ln xd x e 64 4ln x e e x ln x 29 (29) ln x ln dx x 2 Bài 7: Tính tích phân sau: I Giải: Cách 1: Đổi biến và sử dụng tích phân phần dx Đặt t ln x et x dt x x t ln Đổi cận x t ln Khi đó I t dt et ln e t tdt u t du dt Đặt t t dv e dt v e ln ln t ln t ln ln e dt e Khi đó I te t 2 Cách 2: Tích phân phần 1 du x u x Đặt: dv ln x dx v ln x x 2 ln x ln x Khi đó I dx x x x Cách 3: Tích phân phần dx du u ln x x Đặt dx dv x v x 2 dx 1 ln Khi đó I ln x ln x 2 dx 1 x 2 x x ex dx x x e e Bài 8: Tính tích phân sau I Giải: Cách 1: Sử dụng tích phân liên kết e x Liên kết I là J x dx x e e Ta có 1 ex e x IJ x dx dx x 0 e x e x 0 dx e e 30 (30) d e x e x ln e x e x ln e e1 ln ln e2 e x e x IJ x dx 0 e x e x x 2e e e e2 e2 1 e2 1 Cộng lại ta I ln I 1 ln ln 2e 2 2e 2 Cách 2: Sử dụng phương pháp biến đổi số Đặt t e x dt e x x t e Đổi cận x t e e e2 t d t 1 Khi đó I ln t 1 ln dt 1 t 1 t 1 2 t t Cách 3: Phương pháp biến đổi số e e ex e x e x I dx x dx 1 ex e ex dt tan 1 dt Đặt e x tan t e x dx cos t e tan x Khi đó I tan 1 dt tan xdx ln cos x ln ln cos (với arctan e ) 2 tan 4 e dt e ln Bài 9: (ĐH DB – B 2003) Tính tích phân sau: I ln e2 x ex dx Giải: Cách 1: Tách thành tích để sử dụng phương pháp biến đổi số x e t x Đặt e t x e dx 2tdt x ln t Đổi cận x ln t t tdt 2 20 2 Khi đó I t dt t 2t 3 t 1 Cách 2: Tách thành tích để sử dụng phương pháp biến đổi số e x t Đặt e x t x e dx tdt x ln t Đổi cận x ln t 31 (31) Khi đó I t 1 tdt 1 32 2 2 20 t 1 t dt t t dt t t 3 1 4 t2 Cách 3: Sử dụng phương pháp tích phân phần ln ln e2 x e x e x Phân tích I dx dx ex ex ln ln u e x x du e dx x Đặt e dx v e x dv x e 1 Khi đó ln ln ln ln x 20 x x x x x x x I e e e 1.e dx 16 e 1d e 1 16 e 1 e ln ln 3 ln ln Hoặc có tính nhanh sau ln x I 2 e d ln x e 1 e x ln x e 1 ln ln e x e x 1dx ln ln ln =16 e 1d e 16 e x ln Cách 4: Đưa vào biểu thức vi phân x ln I ln e2 x ex x ln dx ln d e 1 x ex e 1 ln ln ex x ln e x 20 ln 1 x dx e x d e 1 x x e 1 e 1 ln ln 2 20 e x 1 e x 1 3 ln dx e 1 Bài 10: (ĐH – D 2009) Tính tích phân sau: I x Giải: Cách 1: Sử dụng phương pháp đồng thức e x 1 e x Khi đó 3 d ex x ln e x ex I x dx 1 x dx dx x 1 e 1 e 1 e 1 1 1 e3 2 ln e e 1 e 1 Cách 2: Sử dụng phương pháp biến đổi số dt Đặt t e x dt e x dx t 1 dx dx t 1 2 ln 32 (32) x t e Đổi cận x t e e3 1 Khi đó I dt t 1 t …Bạn đọc tự giải tiếp e 1 Chú ý: Có thể đặt t e x Cách 3: Dựa vào đạo hàm Đặt f x x ta có e 1 ' e x 1 e x 1 e x ' ' ex ' ' 1 x x x x ln e x 1 x ln e x 1 x x e 1 e 1 e 1 e 1 F x x ln e x 1 3 dx F x x ln e x 1 2 ln e e 1 1 e 1 Khi đó I x x e x x e x Bài 11: (ĐH – A 2010) Tính tích phân sau: I dx 2.e x Giải: x x x e x x e x x 1 2e e ex x 2.e x 2.e x 2.e x Khi đó 1 x e x x e x ex ex I dx x dx dx x dx x 2e x 2e x 0 0 2e I1 x x Tính I1 các cách sau đặt t 2e t e d 1 2e I1 2e x Vậy I x ln 2e ln 2e x 1 2e ln Bài 12: (ĐHK D-2004) Tính tích phân sau: I ln x x dx Giải: 2x u ln( x x) du dx Đặt: x x dv dx v x 33 (33) 3 2x dx ln ln (2 x ln( x 1)) 32 = ln216 – ln4 – – ln2 = ln27 – x 1 I = xln(x -x) 3 3 Hoặc I ln x x dx ln x x 1 dx ln xdx ln x 1 dx I1 I 2 2 Áp dụng TPTP là xong ln Bài 10: (ĐHDB – 2002) Tính tích phân sau: I e x dx e x 1 Giải: Cách 1: Phương pháp đưa vào biểu thức vi phân ln d e x ln e x 32 d e x 2 e x 12 Ta có I 0 x e 1 ln 1 Cách 2: Phương pháp biến đổi số Đặt t e x t e x 2tdt e x dx dx I 2 2tdt ex tdt 12 2 1 t t 2 Hoặc đặt t e x Bài tập tự giải có hướng dẫn: e Bài 1: (ĐHDB – D 2005) Tính tích phân sau I ln x x ln x dx 76 15 HD: e Đặt t ln x t ln x biến đổi vi phân I ln x x ln x e dx ln x ln x d ln x tích phân phần ln Bài 2: (ĐHBK – 2000) Tính tích phân sau: I Đs: I e2 x ex dx 2 e Bài 3: (ĐHHH – 98) Tính tích phân: I = x ln x ln x dx HD: Đặt t = ln x Đs: I 42 34 (34) Bài 4: I x x 1 e dx e e x 1 HD: Đặt t x dt x x2 dx Tổng quát: I e f x g x dx mà f ' x kg x ; k R đặt t f x IV TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC Bài tập giải mẫu: Bài 1: Tính tích phân sau: I cos x.cos xdx Giải: Cách 1: Tích phân phần du 2 cos x sin xdx sin xdx u cos x Đặt dv cos xdx v sin x Khi đó 14 1 cos x 14 14 I cos x.sin x sin 2 xdx dx dx cos xdx 20 20 40 40 1 1 x sin x 16 4 16 Cách 2: Sử dụng tích phân liên kết Liên kết với I là J sin x.cos xdx sin x Ta có I J cos x sin x cos xdx cos xdx 4 2 0 2 1 cos x x sin x I J cos x sin x cos xdx cos xdx dx 4 2 0 0 Cộng (1) và (2) theo vế ta I 16 2 2 35 (35) Cách 3: Sử dụng phương pháp phân tích cos x 1 cos xdx cos x cos 2 x dx cos xdx 1 cos x dx 20 20 40 I 1 1 sin x x sin x 16 4 16 Bài 2: (ĐHTM – 2000) Tính tích phân sau: I sin x sin x cos x dx Giải: Cách 1: Sử dụng đồng thức sin x cos x cos x sin x cos x sin x 4sin x 3 sin x cos x sin x cos x sin x cos x sin x cos x I 4sin x sin x cos x dx 2 dx sin x cos x 0 cos x sin x sin x cos x dx I1 Tính I1 cách biến đổi sin x cos x cos x cách đặt t tan x 4 Cách 2: Sử dụng tích phân liên kết Xét J cos x sin x cos x dx Khi đó I J và J I nên I Cách 3: Đổi biến số theo cận Phân tích I sin x dx 3 cos x 4 t dx dt t x Đổi cận t x Đặt x Khi đó 36 (36) I 2 sin x 4 dt cos t d cos t dt tan t 2 2 cos t cos t cos t 4 sin t cos t dt cos t Cách 4: Đổi biến số theo cận Đặt x t dx dt x t Đổi cận x t sin t 2 Khi đó I sin t cos t I I 2I sin x sin x cos x dx dt cos t cos t sin t cos x sin x cos x dx dt cos x cos x sin x sin x cos x dx dx dx cos x 4 tan x I 4 Cách 5: Ta có sin x sin x cos x Khi đó I sin x 3 sin x 1 cot x sin x sin x cos x dx sin x 1 cot x sin x 1 cot x dx Đặt t cot x … bạn đọc tự giải Cách 6: Ta có sin x sin x tan x 3 3 sin x cos x cos x tan x 1 cos x tan x 1 Khi đó I sin x sin x cos x dx tan x cos x tan x 1 Đặt t tan x … bạn đọc tự giải Cách 7: t tan x … bạn đọc tự giải 37 (37) Bài 3: Tính tích phân sau: I tan xdx Giải: Cách 1: Sử dụng phương pháp phân tích kết hợp với phương pháp đưa vào vi phân Phân tích tan x tan x.tan x tan x tan x tan x cos2 x cos x Khi đó 4 4 1 I tan xdx tan x d cos x tan x dx tan xd tan x cos x cos x tan x ln cos x ln 2 Cách 2: Sử dụng phương pháp phân tích kết hợp với phương pháp đưa vào vi phân tan x … trở lại cách Phân tích tan x tan x tan x tan x tan x cos x Cách 3: Phương pháp đổi biến số dt t tan x dt 1 tan x dx 1 t dt dx t 1 x t Đổi cận t x Khi đó 3 I tan xdx 3 t3 t dt t dt tdt 2 t 1 t 1 2t t2 dt 2 t2 1 d t 1 t2 1 1 1 ln t 1 ln 1 ln 2 2 Cách 4: Phương pháp đổi biến số Ta có I tan xdx 1 cos x sin xdx cos3 x Đặt t cos x dt sin xdx 38 (38) t x Đổi cận x t Khi đó 1 1 2 ln I dt dt ln t t t 2t t 2 2 Cách 5: Phương pháp đưa vào biểu thức vi phân 2 1 t I tan xdx 2 4 (1 cos x) sin xdx (cos x 1)d (cos3x ) d (cos x ) cos xd cos x 3 cos x cos cos x x 3 ln | cosx | 1 ln cos x 4 Bài 4: Tính tích phân sau: I sin xdx Giải: Cách 1: Sử dụng phương pháp phân tích Cách 1.1: Sử dụng công thức hạ bậc và công thức biến đổi tổng thành tích cos x sin x cos x.sin x … bạn đọc tự giải tiếp Ta có sin x sin x.sin x sin x 2 Cách 1.2: Sử dụng công thức nhân 3sin x sin x sin 3x 3sin x sin x sin x Khi đó 1 I sin xdx 3sin x sin 3x dx sin xdx sin 3xd x cos x cos x 40 40 12 12 0 Cách 2: Sử dụng phương pháp tích phân phần u sin x du 2sin x cos xdx Đặt v cos x dv sin xdx Khi đó 39 (39) 2 2 I sin x cos x 2sin x cos xdx 2 cos xd cos x cos x 3 0 0 Chú ý: Có thể đặt t sin x Cách 3: Dùng phương pháp đưa vào vi phân 2 cos3 x 2 I 1 cos x sin xdx sin xdx cos xd cos x cos x 2 0 0 Chú ý: Có thể đặt t sin x Cách 4: dt dx 1 x x 1 t2 … Bạn đọc tự giải Đặt t tan dt tan 1 dx t 2 sin x t2 Bài 5: Tính tích phân sau: I dx sin x Giải: Cách 1: Sử dụng kĩ thuật nhân trên tử 3 dx sin xdx sin x I dx 2 sin x sin x 1 cos x Cách 1.1: Đổi biến số đưa tích phân hàm phân thức Đặt t cos x dt sin xdx x t Đổi cận t x 2 2 1 t 1 t dt dt 2 1 I dx dt dt 2 t t t t 1 1 t t 1 1 t 1 1 2 1 1 dt dt 2 2 1 t 1 t 1 t 1 t t t t 1 1 1 1 t 1 ln ln 1 t 1 t 1 t Cách 1.2: Đưa trực tiếp vào biểu thức vi phân 40 (40) d cos x sin xdx sin x dx dx sin x cos2 x 1 cos x 1 cos x sin x 3 3 I 2 1 cos x 1 cos x 2 1 d cos x d cos x cos x cos x 1 cos x 1 cos x 3 1 2 1 cos x 1 cos x cos cos x 1 cos x ln d cos x 2sin x cos x x 1 ln Cách 2: Đổi biến số dt dx 1 x x 1 t2 Đặt t tan dt tan 1 dx 2 sin x 2t t2 t x Đổi cận x t Khi đó I t 1 1 1 t2 1 t dt ln t ln 2t 2 t t 3 2dt 41 8t 1 t Cách 3: Sử dụng phương pháp phân tích và phương pháp tích phân phần 2 dx dx sin x cos x cos x I dx dx sin x sin x sin x sin x 3 3 1 J cos x Tính J dx sin x u cos x du sin xdx Đặt cos x dv sin x dx v 2sin x 41 (41) 1 dx cos x dx Khi đó J sin x sin x sin x 3 Thay vào (1) ta I 1 dx sin x K Chú ý: - Để tính J 2 2 cos x cos x 1 dx dx dx ta có thể làm sau J 1dx dx 3 x sin x sin x sin x sin x sin x 3 3 sin I - Để tính K K dx ta có thể làm sau sin x Nhân tử và mẫu cho sin x ta K 3 dx sin xdx sin xdx sin x sin x cos x Đặt t cos x dt sin xdx t x Đổi cận x t Khi đó 2 2 dt dt 1 dt dt 1 ln t ln t ln K dt 2 1 t 1 t t 1 t 1 2 1t 1 t x d tan dx dx dx x 2 Hoặc K ln tan ln x x x x 2 2 x sin x 2sin cos tan cos tan 3 2 2 dt dx t x Hoặc đặt tan t 2t sin x 1 t2 42 (42) Cách 4: Tách thành tích mẫu và Sử dụng phương pháp tích phân phần cos x u du dx sin x Đặt sin x dv v cot x dx sin x Khi đó cot x 2 cos x cos x I dx J Đến đây ta tích phân dx áp dụng (cách 3) sin x sin x sin x 3 J Hoặc có thể tính nhanh sau I 3 cot x dx cot xd d cot x sin x sin x sin x sin x cot x cos x cot x 2 cos x dx cot x dx sin x sin x sin x sin x 3 J Cách 5: Đưa vào biểu thức vi phân x tan dx dx dx x 2 I d tan 3 4 2 x x x x x sin x cos cos 3 2sin tan tan 2 2 x x tan tan 2 x 1 x 1 x 1 2 d tan 2ln tan tan ln 3 2 2 2 4 2 4 x x tan tan 2 2 sin x dx sin x cos x Bài 6: Tính tích phân sau: I Giải: Cách 1: sin x tan x tan x 1 1 sin x cos x tan x tan x tan x sin x 1 dx dx dx dx sin x cos x tan x tan x 0 0 Khi đó I J 43 (43) từ đó đặt t tan x Cách 2: 2dt dx t 2t x Đặt t tan sin x … bạn đọc tự giải 2 t t2 cos x 1 t2 Cách 3: Đặt x t dx dt t x Đổi cận x t 2 sin x cos t cos x dx dt dx Khi đó I sin x cos x sin t cos t sin x cos x 0 sin x cos x dx dx dx I sin x cos x sin x cos x 0 2I b Chú ý: b f x dx f t dt a a Cách 4: Sử dụng tích phân liên kết cos x sin x dx là tích phân liên kết I dx sin x cos x sin x cos x 0 Khi đó ta có hệ 2 2 cos x sin x sin x cos x I J sin x cos x dx sin x cos x dx sin x cos x dx dx x 0 0 2 2 d sin x cos x cos x sin x cos x sin x I J 0 sin x cos x dx 0 sin x cos x dx 0 sin x cos x dx 0 sin x cos x ln sin x cos x cộng theo vế ta I I Cách 5: Sử dụng phương pháp đồng thức Phân tích sin x sin x cos x sin x cos x Chọn J 44 (44) sin x 1 cos x sin x dx dx sin x cos x 2 sin x cos x 0 Chú ý: Có thể dựa vào đồng thức sau sin x sin x cos x cos x sin x A B sin x cos x sin x cos x sin x cos x A sin x A B sin x A B sin x B … quay trở lại cách Khi đó I Cách 6: Sử dụng kĩ thuật nhân cos x sin x sin x (cos x sin x ) 2 tan x 1 Ta có 2 cos x sin x cos x 2 cos x Cách 7: Sử dụng phương pháp phân tích sin x sin x 4 1 1 cot x 2 sin x cos x sin x 4 Cách 8: Biến đổi số theo cận sin x I dx sin x cos x 0 Đặt t x sin x dx cos x 4 dx dt …bạn đọc tự giải Bài 7: Tìm nguyên hàm: I sin x dx ln C sin x.sin x cos x 4 4 Giải: Cách 1: Ta có 45 (45) cos x x cos x x cos x cos x sin x sin x 1 4 4 4 cos cos sin x cos x 4 2 sin x sin x cos x cos x 4 4 d cos x d sin x sin x I 2 2 ln sin x ln cos x ln C sin x 4 cos x cos x 4 4 Cách 2: Dựa vào đặt thù hàm số đã cho ta có : dx dx d (cot x 1) 2 2 ln cot x C I 2 sin x (cos x sin x ) sin x (cot x 1) cot x dx sin x.sin x 6 Tương tự : (ĐHMĐC – 2000) Tính tích phân: I HD: 2sin x x dx cos x 6 cos x dx 2 dx sin x sin x.sin x sin x.sin x sin x 6 6 6 Bài 8: Tìm nguyên hàm: I tan x tan x dx 4 Giải: Cách 1: Ta có: sin x sin x cos x cos x sin x sin x cos x 4 4 4 4 tan x tan x 1 1 4 cos x cos x cos x cos x cos x cos x 4 4 4 2 1 cos x cos x 4 46 (46) Khi đó xét: J dx ) sin sin x x sin x cos x cos x sin x Sử dụng đồng thức: 4 4 sin tan x tan x 4 cos x cos x 4 J tan x dx tan xdx ln cos x ln cos x C 4 4 I ln cos x cos( x cos x xC cos x 4 Cách 2: dx dx dx 2 2 cos x (cos x sin x ) cos x (1 tan x) cos x cos x 4 d (1 tan x ) 2 ln tan x C I ln tan x x C tan x J Bài 9: (ĐH – B 2003) Tính tích phân sau: I 2sin x 0 sin x dx Giải: Cách 1: Phương pháp biến đổi số Ta có I 2sin x cos x sin x dx sin x dx 0 Đặt sin x t cos xdx dt sin 2x t t x Đổi cận t x 2 1 dt ln t ln 21 t Cách 2: Phương pháp đưa vào biểu thức vi phân Khi đó I 47 (47) ' cos 2x 1 sin x d (1 sin x ) 1 I dx dx ln 1 sin2 x ln sin x 1 sin x sin x 2 0 Cách 3: Phương pháp đưa vào biểu thức vi phân Biến đối – sin x cos x sin x cos x – sin x và sin x cos x sin x 2sin x cos x sin x I dx dx ln cos x sin x ln sin x cos x sin x 0 Hoặc đặt t sin x cos x Bài 10: (ĐH – A 2005) Tính tích phân sau: I sin x sin x 3cos x dx Giải: Cách 1: Phương pháp biến đổi số Ta có: sin x sin x sin x cos x 1 Đặt t 3cos x ta dt 3sin x dx sin x dx 3cos x 3cos x 2t t 1 cos x cos x 3 x t Đổi cận t x 2 4t 2 34 Khi đó I dt t t 9 27 27 1 Cách 2: Phương pháp biến đổi số Đặt t 3cos x …bạn đọc tự giải Cách 3: Phương pháp tích phân phần u cos x du 2 sin x Đặt d 1 3cos x sin x dv dx v 3cos x 3cos x 3cos x Khi đó 2dt ; 42 42 I cos x 1 3cos x sin x 3cos xdx 3cos xd 1 3cos x 30 90 34 1 3cos x 27 Cách 4: Phương pháp đưa vào biểu thức vi phân 27 48 (48) Phân tích 1 3cos x sin x sin x cos x 1 d 1 3cos x dx d 1 3cos x 3 3cos x 3cos x 3cos x d 1 3cos x 3cos xd 1 3cos x 9 3cos x a sin x b sin x a.sin x bcosx Tổng quát: dx ta đặt c d cos x t dx c d inx c d cos x s Bài 11: (ĐH – A 2009) Tính tích phân sau: I cos x 1 cos xdx 15 HD: Cách 1: I cos5 xdx cos xdx 0 I1 I2 Đặt t sin x dt cos xdx t x Đổi cận t x Khi đó 1 2 1 I1 cos5 xdx 1 sin x cos xdx 1 t dt 1 2t t dt t t t 15 0 0 cos x 1 1 I cos xdx dx dx cos xdx x sin x 20 20 2 0 0 Vậy I I1 I 15 Chú ý: Có thể tính I1 sau 0 2 I1 cos5 xdx 1 sin x cos xdx 1 sin x d sin x 1 sin x sin x d sin x sin x sin x sin 5 x 15 49 (49) cos x 3cos x cos x Cách 2: I 1 dx … 0 Bài 12: (ĐH – A 2006) Tính tích phân sau: I sin x dx cos x 4sin x HD: Cách 1: Phương pháp phân tích kết hợp biến đổi số I sin x dx Khi đó I sin x sin x 4sin x 3sin x dt Đặt t 3sin x sin xdx t x Đổi cận t x 0 dx 4 dt 2 t dt t 1 t 1 3 Hoặc đặt t 3sin x Cách 2: Phương pháp đưa vào biểu thức vi phân I sin x dx 12 dx 3sin x 30 3sin x sin x sin x sin x 2 3sin x 3 Cách 3: Phương pháp phân tích kết hợp biến đổi số I d 3sin x sin x dx sin x dx cos x cos x 3cos x 0 4 2 3cos x 3cos x t đưa vào vi phân Và đặt t 2 Tổng quát: Để tính I = Ta đặt: u = sin x cos xdx a cos2 x b sin x với a, b a cos x b sin x 50 (50) 4sin x dx cos x Bài 13: (Đề 68 IVa) Tính tích phân sau: I Giải: Cách 1: Phân tích sin x 1 cos x sin x 1 cos x 4sin x sin x sin x cos x sin x sin x cos x 1 cos x 1 cos x sin x Khi đó 4sin x 2 I dx sin x sin x dx cos x cos x cos x 0 Cách 2: I 4sin x dx cos x sin x sin x cos x dx sin xdx cos xd cos x 0 4 cos x cos x 0 Cách 3: 1 cos x sin x 4sin x I dx dx cos x cos x 0 dt sin xdx Đặt t cos x cos x t t x Đổi cận t x 2 1 t 1 Khi đó I dt 4t dt 2t 8t t Chú ý: Có thể đặt t cos x Cách 4: x x 32sin cos3 4sin x 2 16 sin x cos x …Quá hay phải không, bạn tự giải tiếp nhé x cos x 2 cos 2 Cách 5: 51 (51) 2dt dx t 2t x … Chắc chắn yên tâm làm tiếp Đặt t tan sin x 1 t2 t2 cos x 1 t2 Chú ý: 4sin x 4sin x (1 cos x )(1 cos x ) 4sin x 2sin x Phân tích đến đây rùi thì có cách nào, bạn đọc cos x cos x tự khám phá nhé! cos3 x Tương tự I dx sin x Bài 14: (KTQS – 1997) Tính tích phân sau: I sin x sin x cot xdx sin x Giải: Cách 1: Phương pháp đưa vào biểu thức vi phân I 3 sin x sin x sin x sin x cot x cot xdx dx sin x sin x sin x cot xd cot x cot x cot xd cot x cot xd cot x cot x sin x 3 3 Cách 2: Phương pháp biến đổi số I 3 sin x sin x cot x cot xdx dx sin x sin x sin x Đặt t cot x dt dx sin x t x Đổi cận x t Khi đó 52 (52) I 3 t tdt t dt t 8 3 3 Cách 3: Phương pháp biến đổi số Ta có I sin x sin x cos x sin x sin x cot xdx dx sin x sin x Nhận xét: Hàm dấu tích phân là hàm lẻ cos Đặt t sin x dt cos xdx t x Đổi cận x t 3 1 3 t t t dt dt Khi đó I t3 t4 3 2 1 dt u u du 2 t t t t u Đổi cận u t 3 0 3 u4 Khi đó I u du 2 3 3 3 Đặt u 3 Bài 15: ( Đề 104 IVa) Tính tích phân sau: I sin dx x cos x Giải: Cách 1: Sử dụng phương pháp phân tích nhờ đồng thức sin x cos2 x Khi đó 3 3 3 3 2 8 dx sin x cos x 4 I dx dx tan x cot x 2 2 sin x sin x cos x sin x cos x cos x 8 8 Cách 2: Sử dụng công thức nhân đôi 53 (53) 3 d 2x dx dx 4 2 2 cot 2 x 4 I 2 2 sin x cos x sin x sin x 8 8 Cách 3: Phương pháp biến đổi số 1 tan x t dx Đặt t tan x dt và … sin x tan x cos x t 3 3 3 Bài 16: Tính tích phân sau: I cos xdx sin x cos x Giải: Cách 1: Đồng thức Ta phân tích: cos2 x A sin x B cos x (sin x cos x) C sin x cos x A 3B C ( 3B C ) cos x ( B A) sin x cos x A C sin x B A B A C C cos x cos x sin x 4 sin x cos x 4(sin x cos x) 1 dx 13 sin x Khi đó I cos x sin x cos x 4 I1 Tính: J dx sin x I1 20 cos x x ln tan 2 6 sin x 3 dx 1 3ln x I cos x sin x ln tan 8 2 60 4 Cách 2: Tích phân liên kết 54 (54) Sử dụng tích phân liên kết J cos xdx sin x cos x I J 1 3ln Giải hệ ln I I J cos xdx sin xdx tích phân liên kết thường là J Tổng quát: I A sin x B cos x A sin x B cos x cos x dx Bài 17: Tính tích phân sau: I sin x Giải: Cách 1: Đưa vào vi phân cos x cos x.cos4 x 4 Phân tích 1 tan x tan x tan x 4 sin x sin x tan x Khi đó cos x dx tan x tan x dx tan xdx tan xdx sin x 4 4 I I1 I2 Tính I1 tan xdx tan x tan x tan x 1 1 dx tan tan 1 dx tan x 1 dx 2 tan xd tan x tan x x 4 Tính I tan x 1 1 dx tan x 1 dx dx tan x x … tự giải nhé 4 4 Cách 2: 2 cos x cos x 1 sin x cos x cos x sin x cos x sin x Phân tích cot x 2cot x cos x 4 sin x sin x sin x sin x Khi đó 55 (55) 2 I cot x dx cot xdx cos xdx sin x 4 4 12 cot xd cot x 1 dx 1 cos x dx 2 sin x cot x 1 sin x 5 23 cot x 1 x 2 12 Cách 3: Nhận xét: Vì hàm dấu tích phân là hàm chẵn sin va cos nên ta có thể đặt t tan x cách đó khá dài và phức tạp nên không nêu ra, bạn đọc tự khám phá nhé! Bài 18: Tính tích phân sau: I cos3 x sin x.cos5 xdx Giải: I cos x cos3 x.sin x.cos xdx cos x t Đặt cos x t cos x t sin x.cos xdx 2t dt t x Đổi cận t x 3 t t13 12 Khi đó I t 1 t t dt t t12 dt 13 91 0 Hoặc : Đặt cos3 x t Cách 2: Sử dụng phương pháp đưa vào vi phân 0 I cos3 x cos x.sin x.cos xdx cos x cos3 xd 1 cos3 x cos x 1 cos x 1d 1 cos x 0 cos x 1 cos x d 1 cos x cos xd 1 cos x 56 (56) sin x.cos x dx cos x Bài 19: (ĐH – B 2005) Tính tích phân sau I Giải: Cách 1: Đổi biến số Phân tích sin x.cos x sin x.cos x dx dx cos cos x x 0 I dt sin xdx Đặt t cos x cos x t t x Đổi cận t x Khi đó I 2 t 1 t 2 t2 1 dt t dt 2t ln t t 2 1 2 ln 1 Cách 2: 1 cos x 1 sin x.cos x sin x.cos x d cos x I dx dx x x x cos cos cos 0 cos x 1 cos x ln cos x 2ln d cos x sin x cos x 0 0 Chú ý: d cos x d 1 cos x và ta có thể đặt t cos x Tổng quát: I a sin x.cos x dx ta đặt t b c.cos x t cos x b c.cos x Bài tập tự giải có hướng dẫn: tan x 10 Bài 1: (ĐH – A 2008) Tính tích phân sau: I dx ln cos x HD: Cách 1: Biến đổi cos x cos x sin x 1 tan x cos x Đặt t tan x Hoặc sử dụng công thức cos x tan x tan x Tổng quát: 57 (57) a tan x dx với a, b b cos x I Biến đối b cos x b cos2 x sin x b 1 tan x cos x đặt t tan x Mở rộng a tan x dx với a, b, c, d 2 b sin x c sin x cos x d cos x I Biến đổi b sin x c sin x cos x d cos x b tan x c tan x d cos2 x đặt t tan x dx cos x Bài 2: (ĐH AN– 1998): Tính tích phân sau: I Cách 1: 4 dx dx I 1 tan x d tan x tan x tan x cos x cos x cos x 0 Cách 2: Biến đổi số dx dx dx 1 tan x 2 cos x cos x cos x cos x Đặt t tan x Cách 3: Sử dụng phương pháp tích phân phần u cos x dv dx cos x I Bài 3: (Đề 84.IVa) Tính tích phân sau: I I dx sin x dx sin x cot x 1 cot x d cot x (cot x ) sin x 4 d cot x Bài 4: Tính tích phân sau: I cos x.cos 2 xdx HD: C1: Hạ bậc biến đổi tích thành tổng C2: Tích phân liên kết 58 (58) Bài 5: Tính tích phân sau: I sin x sin x cos x dx HD: sin x cos x cos x sin x cos x sin x và sin x cos x 1 sin x 4cos x 4 Từ đây ta có các cách sau Cách 1: Biến đổi I sin x sin x cos x dx cos x 1 sin x dx đặt t sin x t sin x biến đổi vi phân trực tiếp I sin x sin x cos x dx cos x 1 sin x dx d 1 sin x 1 sin x đặt t tan x Cách 2: Biến đổi I sin x sin x cos x dx cos x sin x cos x sin x sin x cos x cos x sin x dx sin x cos x dx Đặt t sin x cos x biến đổi vi phan trực tiếp Cách 3: Biến đổi I Đặt t x sin x sin x cos x dx cos x dx cos x 4 Bài 6: (ĐHGT TPHCM – 2000) Tính tích phân: I sin x dx cos x HD: sin x 1 dx tan x dx tan x 1 tan x d tan x 2 cos x cos x cos x 42 Đs: 15 Ta có Bài 7: (ĐHĐN – 2000) Tính tích phân: I sin x cos x dx sin x cos x HD: 59 (59) I d cos x sin x 4 dx dx ln cos x cos x cos x 4 4 ln Bài 8: Tính tích phân sau: I tan xdx HD: Đặt t tan x dt (tan x 1)dx x t Đổi cận: x t 1 4 t t t dt 13 dt t4 t2 1 Vậy I tan xdx t du 15 t 1 5 0 0 t 1 0 Bài 9: Tính tích phân sau: I cos5 xdx 15 sin x cos x dx cos x Bài 10: Tính tích phân sau: I HD: 2 cos x t 1 1 ln I d 1 cos x dt t ln t 2 cos x 21 t 2 Bài 11: Tính tích phân sau: I tan xdx HD: I tan xdx tan x sin xd tan x tan x 1 cos x d tan x tan x 1 d tan x tg x tan x 1 d tan x tan x tan x x C tan xd tan x tan x 3sin x cos x dx 2 3sin x cos x Bài 12: (ĐHTL – 2000) Tính tích phân sau: I Đs: I ln 60 (60) V BÀI TẬP HỖN HỢP CỦA NHIỀU HÀM SỐ Bài tập giải mẫu: Bài 1: (ĐH TL2001) Tính tích phân sau: I ln 1 tan x dx Giải: Cách 1: dx dt Đặt x t tan t 1 tan x tan t tan t tan t x t Đổi cận x t dt ln 2dt ln 1 tan t dt (ln 2) I I ln Khi đó I ln tan t 0 Cách 2: Ta có sin x cos x I ln 1 tan x dx ln dx ln sin x cos x dx ln cos x dx cos x 0 0 ln cos x dx ln cos x dx 4 0 J 1 Tính J ln cos x dx ln dx ln cos x dx ln x ln cos x dx ln K 2 4 4 0 0 K Đặt t x dt dx Khi đó K ln cos t dt ln cos x dx 0 Khi đó I ln Cách 3: Tích phân phần 61 (61) u ln 1 tan x Đặt …Bạn đọc tự giải dv dx Bài 2: Tính tích phân: I ln 1 x x2 dx HD: Đặt x tan t ta I ln 1 tan t dt ; đặt t x ta I 4 0 ln tan u du ln 0 du I Bài 3: Tính tích phân sau: I ln( x 1) x 1 x 1 dx Giải: Cách 1: dt x dx t 1 dt dx Đặt t x 1 x t 12 x t Đổi cận x t Khi đó 3 (t 1) ln t ln t I 2 dt dt td t t ln ln 2 2 ln ln ln 2 (t 1) t t Cách 2: Đặt t x bạn đọc tự giải xdx sin x Bài 4: Tính tích phân sau: I Giải: Cách 1: Đặt t x Cách 2: Biến đổi sin x cos x 2cos x , tích phân phần 2 4 1 3 I x.sin x.cos xdx xd cos x x cos x cos xdx 30 3 0 62 (62) sin x 1 1 sin x d sin x sin x 30 3 0 Bài 5: (ĐH DHN – A 2000) Tính tích phân sau: I 1 sin x e x cos x dx o ex cos x e x sin x dx e cos x dx Giải: Cách 1: x x e dx sin x x sin x e dx sin x e dx e x dx e x dx x x x x x cos cos cos cos 0 0 cos I2 Ta có: I I1 e x dx x 0 cos 2 u e x du e x dx Đặt: dv dx x v tan x cos Áp dụng công thức tính tích phân phần 2 e x dx x x x e x tan tan e x dx e tan e x dx I1 x 20 2 cos 0 x x cos 2 sin sin x 2 e x dx tan x e x dx Tính: I e x dx 0 x cos x cos 2 Tính: I1 Vậy I e Cách 2: Ta có: I e 2cos x x x e sin x x x dx e x d (tan ) e x tan dx cos x 2 0 .dx x x x x2 e x tan e x tan dx e x tan dx e x tan e2 20 2 0 63 (63) Sử dụng định nghĩa: Ta có 1 sin x e x cos x x x ' ' e x sin cos e ex x x x x x x ' x x 2 tan e tan e tan e e tan x x x 2 2 cos 2 cos 2 cos 2 2 x Hoặc ta biến đổi: x x sin cos 1 sin x x x 2 1 1 tan tan x cos x 2 2 cos Vậy I x x x tan dx tan e dx 0 2 20 I1 x Tính I1 tan e x dx e2 Bài 6: (ĐH GTVT – 1998) Tính tích phân sau: I dx ln x ln x e Cách 1: 1 Đặt f x ln x ln x ' ' x 1 ln x x ln x x ln x Ta có f x F x 2 ln x ln x ln x ln x ln x Khi đó e2 x e2 e2 I dx e ln x ln x ln x e e Cách 2: e2 e2 e2 e2 e2 dx x e2 dx dx I dx xd ln x ln x e ln x e ln x ln x e ln x e ln x e e Bài 7: Tính tích phân sau I x.sin x cos xdx Giải: 1 I x.sin x cos xdx x sin x sin x dx 20 40 du dx u x Đặt: dv sin x sin x dx v cos x cos x 64 (64) Khi đó I 1 1 x cos x cos x cos 3x cos x dx 3 03 1 1 x 1 cos x cos x sin x sin x 2 18 Cách 2: Đặt x t … bạn đọc tự giải Chú ý: Qua bài toán trên ta có nhận xét Dựa vào đạo hàm ta có thể tính Nguyên hàm các dạng đặc biệt Dạng 1: Nguyên hàm các hàm số dạng tích thương Dạng Tổng Cấu trúc hàm số ' f x u ' v' u v Nguyên hàm F x u v Hiệu f x u ' v' u v ' F x u v Tích f x u ' v v ' u uv ' F x uv Thương u ' v v'u u f x v2 v ' F x u v Dạng 2: Các dạng nguyên hàm đơn giản chứa ex Đặc trưng ex Nguyên hàm F x u x ex Hàm số (đạo hàm) F x u ' x u x e x f x e x F x u x e x F ' x u ' x u x e x f x e ax b F x u x e ax b F ' x u ' x au x e ax b f x e F x u x ev v v x F ' x u ' x v ' x u x e f x v v Ví dụ: Tính tích phân sau: I x2ex x 2 ' dx Giải: Cách 1: Tích phân phần u x e x du xe x x dx dx Đặt du v x 2 x2 65 (65) Khi đó I x2 e x xe x dx x 0 I1 u x du dx Tính I1 xe x dx Đặt x x dv e dx v e Khi đó I1 xe x 1 e x dx xe x e x x Vậy I xe xe x e x x2 Cách 2: Phân tích x x x x x x Khi đó I x2 x 2 x e dx x 2 x 2 x 2 1 ex e x dx e x dx dx 4 dx x x 0 J Tính J làm xuất tích phân mà làm triệt tiêu tích phân Bài tập tự giải có hướng dẫn: Bài 1: Tính tích phân sau: I x e2 x x 1 dx HD: Sứ dụng tích phân phần 1 x e2 x I dx x e2 x d x 1 x 1 1 1 x2 e2 x e2 e2 e2 d x e x xe2 x dx xd e x xe2 x e x dx x 1 0 x 1 2 e2 e2 x 2 e2 e 2 x x Bài 2: Tính tích phân sau: I x tan x tan tan 2 8 Bài 3: (ĐHLN – 2001) Tính tích phân sau: I x 1 e x x 1 dx Bài 4: Tính tích phân sau: I esin x 1 x cos x dx e 66 (66)