Từ đó ta có thể biến đổi phân thức R/Q thành các phân thức đơn giản hơn, có mẫu là nhị thức, tam thức nói trên; và bài toán như thế cũng qui về tính tích phân có dạng I.1-4.. Một số tr[r]
(1)Chuyên đề tích phân
1 Tích phân hàm phân thức dạng
Các trường hợp đơn giản có:
I.1 =
I.2 = với n tự nhiên khác
I.3 =
I.4 = với a >
Nguyên hàm I.1, I.2 tính dễ dàng cách áp dụng cơng thức có bảng Ngun hàm hàm số hợp (SGK trg 116) Nguyên hàm I.3 tập 3d (SGK trg 118) –
nguyên hàm dạng (với
I.4 tập 4a (SGK trg 142) Để tính tích phân ta đổi biến: đặt x = atgt Trường hợp tổng quát
Nếu P có bậc lớn bậc Q phân thức viết thành P/Q = T + R/Q (T, R thương dư phép chia P : Q), tính tích phân hàm P/Q qui tính tích phân đa thức T tích phân hàm hửu tỉ R/Q Việc tính tích phân đa thức T khơng có khó khăn Sau ta xét cách tính tích phân phân thức R/Q R đa thức có bậc nhỏ bậc đa thức Q
Trừong hợp Q tam thức bậc hai: Q = Có ba khả năng:
(i) Q có hai nghiệm phân biệt
Khi có Q = Biến đổi: , m, n hai số Bài tốn qui tính tích phân dạng I.1
(ii) Q có nghiệm kép
Khi có Q = Biến đổi:
Bài tốn qui tính tích phân dạng I.1 I.2 (iii) Q vơ nghiệm
Khi Q = (k số) Biến đổi:
trong Q’ đạo hàm Q Bài tốn qui tính tích phân dạng I.3 I.4 Trường hợp Q đa thức có bậc lớn
Việc tính tích phân phân thức R/Q với Q đa thức có bậc lớn trường hợp tổng quát vượt kiến thức PT Thường ta xét trường hợp đặc biệt, chẵng hạn Q phân tích thành nhân tử nhị thức bậc hay tam thức bậc hai vơ nghiệm Từ ta biến đổi phân thức R/Q thành phân thức đơn giản hơn, có mẫu nhị thức, tam thức nói trên; tốn qui tính tích phân có dạng I.1-4 Một số trường hợp khác đổi biến thích hợp giúp ta đưa tích phân dạng quen thuộc dđơn giản
(2)Các bạn thử làm tập sau để nắm rõ phần lí thuyết nghe cịn trừu tượng Bài tập: Tính tích phân:
A = B = với a > C =
D = E = F = G = HD
A dạng I.3 ĐS:
B Biến đổi: f(x) =
Ta đưa tích phân dạng I.1
Chú ý nguyên hàm (a khác 0) dạng nguyên hàm thường gặp, nên ý
C tương tự ĐS
D f(x) = + ĐS: + E f(x) =
ĐS: ln2+ F f(x) = + G đặt t =
Thêm trích từ đề thi TS ĐH & CĐ năm gần để bạn làm quen
H = I = J = K = 2.Tích phân hàm lượng giác
Các dạng thường gặp
J.1 = J.2 = J.3 =
J.4 =
Trên nguyên hàm lượng giác học (có Bảng nguyên hàm SGK)
Từ nguyên hàm ta dễ dàng tính , … Các nguyên hàm sau thường gặp, cách tính chúng điển hình cho cách tính tích phân hàm lượng giác, nên cần nắm vững:
J.5 = J.6 = J.7 = J.8 =
J.9 = J.10 = J.11 =
Tính J.5: tgx = sinx/cosx Đặt u = cosx, đưa tính nguyên hàm hửu tỉ dạng u’/u
Trình bày gọn: = -ln|cosx| + C
(3)J.6: biến đổi , đưa tính nguyên hàm dạng J.1
Tương tự với
( Nói chung, ta phát biểu toán với sin, tang Bài toán với cos, cotg tương tự, từ không nhắc lại
J.7: biến đổi , đưa hai nguyên hàm J.8: , đặt u = cosx, đưa nguyên hàm hàm hửu tỉ
Cũng đặt t = tg(x/2), dẫn đến = ln|t| + C = ln|tg(x/2)| + C
J.9: , đưa tính hai nguyên hàm
cơ
Cũng biến đổi: , đưa hai nguyên hàm J.10:
, đựoc nguyên hàm I.5
J.11: đặt u = 1/sinx, dv = , qui tính
I = = J.11 + J.8
Từ toán trên, ta thấy để tính tích phân hàm lượng giác cách thường dùng Biến đổi đưa tích phân
Ví dụ I.6, I.7, I.9 Ta xét thêm vài thí dụ:
J.12 J.13 J.14
J.15 Giải phương trinh f(t) = = Đổi biến đưa tích phân
Ví dụ J.5, J.8, J.10 Sau số ví dụ khác:
J.16 = J.17 = J.18 =
J.19 =
3 Phương pháp tích phân phần ví dụ với J.11 Một số ví dụ khác:
(4)Hướng dẫn giải ví dụ
J.12: Mẫu = 1+cosx =
Chú ý dạng tổng quát thường gặp:
J.13: f(x) =
J.14: f(x) =
J.15: biến đổi hàm dấu tích phân g(x) = – 2cos2x
Suy f(t) = sin2t =
J.16: đặt t = tg(x/2)
Tổng quát: nguyên hàm dạng hửu tỉ hóa cách đặt t = tg(x/2) Tuy nhiên tính tích phân f(x) đoạn [a;b] phải ý t = tg(x/2) có xác định đoạn ấy? khơng, phải tìm cách đổi biến khác
J.17: Gọi M = mẫu thức, M’ = đạo hàm M Biến đổi: f(x) =
Tổng quát: : tính tương tự
J.18: f(x) =
Tổng quát: với
ta làm tương tự để biến đổi, đưa tính hai tích phân bản:
f(x) = =
Tương tự với f(x) = 1/cos(x+a)cos(x+b), 1/sin(x+a)cos(x+b)
(5)J.19: mẫu = sin(x+pi/6), dạng tích phân
Tổng quát:
Cách khác: đặt t = tg(x/2) đưa tích phân hữu tỉ
J.20: đặt u = x, dv = dx/cos^2x
J21:
-Một số đề thi TS ĐH&CĐ năm gần để bạn thực tập
D1 = D2 = D3 = D4 =
D5 = D6 = D7 =
D8 = D9 = D10 = 3.Tích phân hàm vơ tỉ đổi biến
Trong nhiều trường hợp để tính tích phân ta cần đơn giản đặt t = Nhớ đổi biến phải đổi cận lấy tích phân
Ví dụ 1: I = (Khối A-2003)
Đặt t = , ta đưa tính tích phân hửu tỉ đơn giản
Ví dụ 2: I = (Khối A-2004)
Đặt t = đưa tính tíchphân hửu tỉ
(6)Đặt t = ,
Một số dạng tích phân vơ tỉ có cách đổi biến đặc biệt, nên nhớ:
K1 =
Đặt x = |a|sint, đưa tích phân lượng giác quen thuộc
K2 =
Tương tự K1, đặt x = |a|sint
K3 =
Đặt x= |a|tgt, đưa tích phân lượng giác quen thuộc
K4 =
Đặt t = x +
Cũng số dạng khác nữa, dạng thường gặp Ta làm vài ví dụ để luyện tập
Ví dụ 4: Ví dụ 5: Ví dụ 6: Ví dụ 7:
Ví dụ 8:
Để tính tích phân hàm vơ tỉ ta cịn dùng Phương pháp tích phân phần
Trở lại ví dụ đây:
Ta cịn giải: đặt u = , dv = dx; tốn qui tính tích phân dạng K4 Ngồi ra, thường ta phải biến đổi chút đưa dạng quen thuộc
Ví dụ 9:
Ví dụ 10:
Hướng dẫn giải ví dụ
(7)vd5: Dạng K2, đặt x = 2sint (bài tập 3.26-e SBT)
vd6: Dạng K4, đặt t = x + (bài tập 3.26-d SBT)
vd7: Dạng K3, đặt x = tgt, đưa
Đây tích phân lượng giác quen thuộc (xem phần tích phân luọng giác) Cách khác: đặt t = x +
Vd8: Với tích phân dạng có cách giải đặc trưng đặt x = |a|/sint Tuy nhiên làm cách khác, với ví dụ này: đặt t = 1/x đưa tích phân dạng K2,
hoặc đơn giản hơn, đặt t = đưa tích phân hửu tỉ quen thuộc Vd9: Nhân lượng liên hiệp để khử mẫu,ta có hai tích phân Vd10: Tương tự, nhân lương liên hiệp để khử mẫu,
Với tích phân thứ hai đặt t =
Sau số tập tính tích phân hàm vơ tỉ trích từ số đề thi TS ĐH&CĐ năm gần
BT1 BT2 BT3
BT4 BT5 BT6 BT7
Hướng dẫn:
BT1: đặt Cũng đổi biến x = tant BT2: đặt t =
BT3: Nhân lượng liên hiệp khử mẫu BT4: đặt x = 2sint