De thi HSG Toan 8 2012

Chứng minh được tứ giác ANCM là hình bình hành Từ đó suy ra các đường thẳng AC, BD, MN cùng cắt nhau tại trong điểm O của mỗi đường Chứng minh được P là trọng tâm của tam giác ADC nên.. [r]

MA TRẬN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI KHỐI Năm học 2011 – 2012 Chủ đề Nhân và chia đa thức Phân thức đại số Phương trình bậc ẩn Tứ giác Đa giác – diện tích đa giác Tam giác đồng dạng Tổng số câu Tổng số điểm Mức độ nhận thức Thông Vận dụng Vận dụng hiểu thấp cao 1 1,5 1,5 1 2 1 2 2 5,5 5,5 Tổng Số câu Số điểm 4 2 10 20 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN – NĂM HỌC 2011 -2012 Thời gian: 120 phút(không kể thời gian giao đề) Câu 1(3 điểm): Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x2 – 6x - b) x(x + 1)(x + 2)(x + 3) - 2n  3n  Câu 2(2 điểm): Cho phân thức A = 2n  Tìm tập hợp các số nguyên n cho A nhận giá trị nguyên Câu 3(4 điểm): Với giá trị nào x thì biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất?  3x  5x  1 x      x  x 1  x  x 1  x 1 Câu 4(3 điểm): Biết năm mẹ 33 tuổi và tuổi Hỏi sau bao nhiêu năm thì tuổi mẹ gấp lần tuổi con? Câu 5(4 điểm): Cho hình bình hành ABCD có M, N là trung điểm AB, CD a) Chứng minh các đường thẳng AC, BD, MN cùng cắt điểm b) Gọi giao điểm BD với AN, CM theo thứ tự là P và Q Chứng minh tứ giác NPMQ là hình bình hành   Câu 6(4 điểm):Cho tam giác ABC có hai góc B và C thoả mãn điều kiện C B  1v , kẻ đường cao AH a) Chứng minh AH = BH.CH AC n b) Gọi diện tích tam giác ABC = m(đvdt) và đặt AB Tính diện tích tam giác AHB theo m và n Hết Câu ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN – NĂM HỌC 2011 -2012 ý Đáp án Điểm 1,5 x – 6x – = (x – 1)(x – 7) a B x(x + 1)(x + 2)(x + 3) - =  x  x+3    x+1  x     b 0,5  x  3x x  3x      Đặt x2 + 3x = y Khi đó Hay B y  y     y    y   B  x  3x  x  3x     Tổng điểm 2 2n  3n  n   2n  A = 2n  Dễ thấy A Z 2n +  Ư(2) = {1; 2} Từ đó tìm n = và n = -1 Tổng 0,5 0,5 2điểm  3x  5x  1 x      x  x 1  x  x 1  x 1 x 1 1   x  x 1 x 1 x  x 1 1  2 x  x 1  1 x   2  Ta có Do thấy tử và mẫu phân thức dương và tử là số nên phân thức đạt giá trị lớn x2 + x + nhỏ 1 3  x  x   x     2 4  mà 1 nên min(x2 + x + 1) =  x = 1 Vậy với x = thì phân thức đạt giá trị lớn Tổng 0,5 0,25 0,5 0,5 0,25 điểm Gọi số tuổi vào thời điểm tuổi mẹ gấp lần tuổi là 0,5 x ( x  Z, x > 7) Tuổi mẹ đó là 3x 0,25 Theo đề ta có phương trình: 3x – 33 = x – Giải phương trình ta x = 13 Trả lời: Sau năm thì tuổi mẹ gấp lần tuổi con) 0,25 Tổng điểm Vẽ đúng hình M A O B Q P 0,5 D a b N C Chứng minh tứ giác ANCM là hình bình hành Từ đó suy các đường thẳng AC, BD, MN cùng cắt điểm O đường Chứng minh P là trọng tâm tam giác ADC nên 0,75 OP  OD 0,75 0,5 OQ  OB Tương tự, suy OP = OQ 0,5 Kết luận tứ giác NPMQ là hình bình hành Tổng điểm Vẽ đúng hình A 0,5 H C B 0,5   Chứng minh B CAH a Từ đó suy 0,5 AHC BHA  g  g  0,5 Dẫn đến AH = BH.CH SAHC  AC    n S AB  Theo câu a, AHC BHA nên BHA  b Lại có SABC SBHA  SAHC m m SBHA  1 n2 Từ đó tính Tổng 0,5 0,5 điểm Tổng 20 điểm