a * Hạn chế : - Hiệu quả học tập phụ thuộc hoạt động của các thành viên - Khả năng bao quát của giáo viên gặp khó khăn vì số học sinh hiện nay trong mỗi lớp đang còn đông - Xác định nhiệ[r]
(1)§Ò thi chän gi¸o viªn d¹y giái huyÖn cÊp thcs N¨m häc 2012- 2013 PHÒNG GD&ĐT NGHĨA ĐÀN Môn thi: TOÁN HỌC Thời gian 120 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC Bài ( 2,0 điểm ) : a) Đồng chí hãy cho biết hạn chế dạy học hợp tác theo nhóm và hướng khắc phục b) Trong việc hướng dẫn bài tập nhà cho học sinh ta cần lưu ý điều gì ? Bài : (1,0 điểm) x x 1 a) Giải phương trình: 2 b) Tìm x, y để biểu thức P đạt giá trị nhỏ nhất: P 5 x y xy x y 2013 Bài (2,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông A Đường tròn tâm O đường kính AB cắt BC D Tiếp tuyến D cắt AC M Chứng minh MD = MC a) Đồng chí hãy giải bài toán trên cách b) Phát biểu và chứng minh bài toán đảo Bài ( 2,0 điểm ) Cho x , y , z là các số thực khác và thỏa mãn xyz = Chứng minh : x2 x 1 y2 y 1 z2 z 1 1 Hãy giải và tổng quát hóa bài toán Bài ( 2,5 điểm ) Cho tam giác ABC , M tam giác Các đường thẳng AM , BM , CM cắt các cạnh BC , AC , AB A1 , B1 , C1 AM BM CM A1M B1M C1M đạt giá trị nhỏ Xác định vị trí điểm M để tổng a) Anh ( chị ) hãy giải bài toán trên b) Từ định hướng lời giải trên hãy khai thác thêm hai bài toán cho học sinh giỏi _Hết Cán coi thi không giải thích gì thêm Hướng dẫn chấm và biểu điểm (2) BÀI NỘI DUNG ĐIÊM a) * Hạn chế : - Hiệu học tập phụ thuộc hoạt động các thành viên - Khả bao quát giáo viên gặp khó khăn vì số học sinh lớp còn đông - Xác định nhiệm vụ nhóm và cá nhân nhóm tùy thuộc vào nhiều 0,5 đ yếu tố , đó có yêu cầu chung chương trình và đặc điểm cụ thể học sinh * Hướng khắc phục : - GV cần chuẩn bị kỹ nhà : Mục đích , kế hoạch , thời gian … - GV tích cực bao quát các nhóm làm việc 0,5 đ - Gọi học sinh nhóm trình bày kết nhằm bắt buộc tất học sinh phải làm việc b ) cần lưu ý : - Cần hạn chế số lượng bài tập mức hợp lý , tránh gây nên tình trạng hs không có thời gian để học các môn khác và tham gia các hoạt động khác - Cần lựa chọn thời điểm thích hợp để hướng dẫn bài tập nhà ( Không thiết phải đợi đến cuối tiết ) 1,0 đ - Nội dung bài tập nhà cần phải phù hợp với mục tiêu bài học và hoàn cảnh lớp học - Cần lựa chọn , xếp bài tập phù hợp với trình độ học sinh a) Ta thấy x là nghiệm phương trình thì Vt > = Vp Nếu x thì Vt < = Vp Nếu x 0,5 đ Do đó phương trình không có nghiệm hai trường hợp này Vậy phương trình có nghiệm là x 2 2 2 b) P ( x y xy) (4 x y 1 xy x y) 2012 2 = ( x y ) (2 x y 1) 012 Pmin Với x, y thì P 2012 Nên x x y 0 2012 x y 0 y 0,5 đ (3) sđ AB sđ AD sđ BD C 2 Cách 1: Xét tam giác MDC có: MDC BDx sđ BD Suy ra: MCD MDC hay tam giác MDC cân D Cách 2: Xét tam giác ABC có: OA = OB (AB là đường kính (O) ) OM // BC ( vì cùng AD ) Suy ra: MA = MC Tam giác ADC vuông D nên MD là đường trung tuyến ứng với cạnh 0,5 đ 0,5 đ huyền và MD = AC hay MD = MC (đpcm) Bài toán đảo: Cho tam giác ABC vuông A Đường tròn tâm O đường kính AB cắt BC D Trên cạnh AC lấy điểm M cho MD = MC Chứng minh MD là tiếp tuyến đường tròn tâm O đường kính AB Chứng minh : Ta có: MC = MD MCD cân M nên MDC C Lại có: C OAD (cùng phụ với góc B) Mà OAD ODA ( AOD cân O) nên MDC ODA 0 Vì MDC MDA 90 nên ODA MDA 90 hay MD OD Vậy, MD là tiếp tuyến (O) Đặt a y x b y x ; ; c ( Vì xyz = ) Suy : ( a + b + c ) – ( ab + bc + ca ) – = ( ab + bc + ca ) = ( a + b + c ) – Do đó : x 1 y2 y 1 0,75 đ z z z x y 1 1 1 Ta có ( a – ) ( b – ) ( c – ) = x y z = xyz abc x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 1 x2 0,75 đ z2 z 1 = a2 + b2 + c2 = ( a + b + c )2 – ( ab + bc + ca ) = ( a + b + c ) – ( a + b + c ) + 0,5 đ 0,5 đ (4) = ( a + b + c – )2 + ( đpcm ) Tổng quát : Cho x , y , z là các số thực khác và thỏa mãn xyz = Chứng minh với số thực m ta có : 0,5 đ xm y m z m 1 x y z (*) xm b y m z m am bm cm a c x y z y ; x ; z Suy : a ; b ; c C/m : Đặt am bm cm Do đó : a b c = ( m + ) 0,5 đ ab bc ca (m 1)(a b c) m m 1 0 Nếu m = - thì ( * ) đúng Nếu m -1 thì ab bc ca (1 m)(a b c) (m m 1) Suy : a2 + b2 + c2 = ( a + b + c + m - )2 + m2 + ( đpcm ) a) Gọi S , S1 , S2 , S3 là diện tích các tam giác ABC , MBC ,MAC, MAB Vẽ AH BC ; MK BC ( H , K BC ) AH // MK A AA1 AH S A1M = MK S1 A1 A A1M S S1 S2 S3 AM A1M = A1M S1 S1 S S3 S S AM S1 S1 A1M = S1 S1 S3 S1 S3 BM B M S S2 S2 Tương tự : = C1 B1 0,5đ M B H K A1 0,5đ CM S1 S S1 S2 C1M = S3 S S3 AM BM CM S S1 S S3 S1 S3 Ta có : A1M B1M C1M = ( S1 S2 ) + ( S3 S2 ) + ( S3 S1 ) + + = AM BM CM A M B M C1M ( không đổi ) 1 Do đó S S1 S S3 S1 S3 S S S S S S1 3 Dấu “ = ” xảy ; ( ; M là trọng tâm tam giác ABC C 0,5đ S1 = S = S b ) Có thể khai thác bài toán thêm các ý sau : - AM BM CM A M B M C1M đạt GTNN Tích A1M B1M C1M Tổng AM BM CM Đạt GTNN A1M B1M C1M Tích AM BM CM Đạt GTLN 1,0đ (5) - Tổng AM BM CM A1M B1M C1M Đạt GTNN Ghi chú: Nếu thí sinh làm theo cách khác đúng cho điểm tối đa (6)