Nhưng đôi khi phím CALC có lợi hơn bởi vì ở bước n thì ta có thể thay đổi giá trị của A nhập từ bàn phím, còn cách dùng lập trình nhập từ bàn phím thì không thay đổi giá trị của A được m[r]
(1)DÙNG MÁY TÍNH CASIO FX570MS ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỒNG DƯ Ở cấp II học sinh đã làm quen “Đồng Dư”, lên đại học sinh viên ngành Toán gặp lại “Đồng Dư” môn “Số Học” Nhưng việc tìm nghiệm phương trình hệ phương trình “Đồng Dư” đôi lúc gặp khó khăn Ở đây tôi giới thiệu phương pháp dùng máy tính để giải phương trình và hệ phương trình đồng dư nhờ máy tính bỏ túi Casio 570MS Phương trình đồng dư bậc nhất: Dạng: ax ≡ b(mod m) Ví dụ: Giải phương trình đồng dư: 9x ≡ 6(mod 15) Giải: Ta biến đổi 9x ≡ 6(mod 15) ⇔ 3x ≡ 2(mod 5) , tìm x nhờ máy tính bỏ túi sau Cách 1: Dùng phím CALC Ta dùng ô nhớ A để giải Ta nhập vào máy biểu thức: (A→ →0) A = A + : (3 A − ) ÷ Nhấp phím Calc màn hình A? ta nhập A ban đầu là nhấn dấu = liên tiếp đến A+1 có giá trị thì (3A-2) ÷5 có giá trị là số nguyên Do đó ta x ≡ 4(mod 5) x ≡ 4(mod 15) Nên phương trình có nghiệm: x ≡ 9(mod 15) là xong x ≡ 14(mod 15) Cách 2: Dùng lập trình nhập từ bàn phím máy tính Ta nhập vào máy biểu thức: (A→0) A = A + : (3 A − 2) ÷ nhấn dấu = liên tục nào (3A-2) ÷5 có giá trị là số nguyên thì ta chọn giá trị A+1 đó Do đó ta x ≡ 4(mod 5) x ≡ 4(mod 15) Nên phương trình có nghiệm: x ≡ 9(mod 15) x ≡ 14(mod 15) Chú ý: Thông qua việc giải phương trình đồng dư thì ta có thể áp dụng giải bài toán sau “Tìm số nguyên dương nhỏ x để nx chia cho m thì dư là r, đó n, m, r đề bài đã cho) Hệ phương trình đồng dư bậc ẩn x ≡ a (mod m ) x ≡ a (mod m ) Dạng: (m1, m2, ,mn) nguyên tố sánh đôi x ≡ a n (mod m n ) Ví dụ 1: Bài toán điểm binh “Hàn Tín”: x ≡ 2(mod 3) x ≡ 3(mod 5) x ≡ 4(mod 7) Giải: Cách 1: Dùng phím CALC (2) Cho ô nhớ A chứa số Ta nhập biểu thức sau: A = A + : ( A − ) ÷ : ( A − 3) ÷ : ( A − 4) ÷ Nhấn CALC thì màn hình A? ta nhập nhấn các lần thì ta có kết (A – 2)÷3 là 0; (A – 3)÷5 là − 0,2 ; (A – 4)÷7 là − 0.285714285 ( − ) Nhấn = liên tiếp các giá trị (A – 2)÷3, (A – 3)÷5 và (A – 4)÷7 là số nguyên thì ta chọn A+1 đó Ta có: A+1=53 thì các giá trị (A – 2)÷3, (A – 3)÷5 và (A – 4)÷7 là số nguyên Do đó x ≡ 53(mod 105) đó 105 = 3x 5x7 Cách 2: Dùng lập trình nhập từ bàn phím máy tính Cho ô nhớ A chứa số Ta nhập biểu thức sau: A = A + : ( A − 2) ÷ : (A − 3) ÷ : (A − 4) ÷ nhấn dấu liên tục đến các giá trị (A – 2)÷3, (A – 3)÷5 và (A – 4)÷7 là số nguyên thì ta chọn A+1 đó Do đó x ≡ 53(mod 105) đó 105 = 3x 5x7 Ví dụ 2: Tìm số tự nhiên nhỏ x thoả đồng thời các điều kiện x ≡ 1(mod ) x 2(mod 3) ≡ x ≡ 3(mod 4) x ≡ 4(mod 5) x ≡ 5(mod ) x ≡ 6(mod 7) x ≡ 7(mod ) Giải: Ta có hai cách giải giống trên tôi nêu cách giải sau: Ta cho ô nhớ A ban đầu là 15 (có thể lớn đừng sai số tự nhiên nhỏ thoả điều kiện) Nhập biểu thức: A = A + : ( A − 1) ÷ : ( A − ) ÷ : ( A − 3) ÷ : ( A − 4) ÷ : ( A − ) ÷ : ( A − ) ÷ : ( A − 7) ÷ Rồi nhấn dấu liên tục đến (A – 1)÷2; (A – 2)÷3; (A – 3)÷4; (A – 4)÷5; (A – 5)÷6; (A – 6)÷7; (A – 7)÷8 có giá trị nguyên thì ta nhận A+1 đó Ta có số nguyên cần tìm là 839 Máy tính bỏ túi không dừng hai loại phương trình trên, nó còn có thể giải phương trình đồng dư bậc cao gọn và nhanh Phương trình đồng dư bậc cao Dạng: f (x) = a x n + a x n − + + a n ≡ 0(mod m) đó a0 ≡0(modm) , n>1, m>1 Ví dụ: Giải phương trình f (x) = x + x − 9x + ≡ 0(mod ) Giải: Cánh 1: Dùng phím CALC Ta cho ô nhớ A chứa số (3) Nhập vào máy biểu thức: A = A + : ( A + A − A + 1) ÷ Nhấn phím CALC trên màn hình xuất A? nhập ta có A = A + = : ( A + A − A + 1) ÷ = 0.12 nhấn dấu giá trị ( A + A − A + 1) ÷ là số nguyên thì ta chọn A+1 đó Ta có x ≡ 57(mod ) Cách 2: Dùng lập trình nhập từ bàn phím Ta cho ô nhớ A chứa số Nhập vào máy biểu thức: A = A + : ( A + A − A + 1) ÷ Rồi ta dùng liên tiếp dấu giá trị ( A + A − A + 1) ÷ là số nguyên thì ta chọn A+1 đó Ta có x ≡ 57(mod ) Tóm lại: Dù dùng phím CALC hay lập trình từ bàn phím đưa vào thì kết Nhưng đôi phím CALC có lợi vì bước n thì ta có thể thay đổi giá trị A nhập từ bàn phím, còn cách dùng lập trình nhập từ bàn phím thì không thay đổi giá trị A mà nó tuân thủ theo lập trình đã lập Bài tập áp dụng: Bài 1: Giải các phương trình đồng dư sau a x ≡ 27(mod 33) b 9x ≡ 42(mod 52) c 91x ≡ 84(mod 143) Bài 2: Giải các hệ phương trình sau x ≡ 5(mod 7) x ≡ 1(mod 3) x ≡ 5(mod ) a x ≡ 3(mod 5) b x ≡ 4(mod 6) c 7 x ≡ 5(mod 12 ) x ≡ 1(mod 9) x ≡ −5(mod 15) 17 x ≡ 19(mod 30) Bài 3: Giải các phương trình sau: a x + 3x + ≡ 0(mod 27) b x + x + x − ≡ 0(mod 27) c 3x + x + x − ≡ 0(mod 125) d x + x + 3x + ≡ 0(mod 27) (4)