Kỹ thuật giải bài toán nhanh bằng máy tính casio chọn lọc 2017

GROUP : CASIO Luyện Thi THPT Quốc GiaChuyên đề hình học không gian PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TAM TUYẾN Tác giả : BÙI THẾ VIỆT A – GIỚI THIỆU Như chúng ta đã biết, kỳ thi THPT Quốc Gia môn Toá

Trang 1

GROUP : CASIO Luyện Thi THPT Quốc Gia

Chuyên đề hình học không gian

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TAM TUYẾN

Tác giả : BÙI THẾ VIỆT

A – GIỚI THIỆU

Như chúng ta đã biết, kỳ thi THPT Quốc Gia môn Toán được thi dưới hình thức trắc nghiệm nên chúng ta cần phải trang bị kiến thức đầy đủ, tư duy nhanh nhạy, một

số mẹo tính nhanh và cả máy tính cầm tay CASIO hoặc VINACAL nữa

Trong chuyên đề này, tôi sẽ giới thiệu cho bạn đọc “phương pháp tọa độ tam tuyến” và ứng dụng trong việc tìm nhanh tọa độ trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp, … trong tam giác khi biết tọa độ các đỉnh

Không những vậy, phương pháp này còn có thể giúp chúng ta tìm tọa độ chân đường cao, chân đường phân giác, tâm đường tròn chín điểm, điểm đối trung, …

B – Ý TƯỞNG

Trước hết, chúng ta thử tìm hiểu bài toán cơ bản sau :

Bài toán Cho tam giác ABC và P là một điểm nằm trong tam giác Gọi s1 SPBC,

Trang 2

kp kp kp p p p không phụ thuộc vào k Tóm lại : Nếu ta biết được tỷ lệ p : p : p1 2 3 của điểm P thì ta sẽ có  

C – ỨNG DỤNG

Lưu ý : Quy ước a BC,b CA,c AB   

1 Tìm trọng tâm tam giác :

Khi P là trọng tâm ABC thì 2    

1 2 3 3

Trang 3

  

VctA 1, 2, 5 , VctB3, 1, 2  , VctC 2, 2, 3 Khi đó tọa độ trọng tâm ABC là :

VctA VctB VctC  3

Ta được đáp án :

Mẹo 2 : Để nhập nhanh tọa độ các Vector, sau khi nhập xong tọa độ VctA thì bạn đọc chỉ cần ấn Shift + STO + B là có thể chuyển qua VctB hoặc Shift + STO + C để vào VctC

2 Tìm trực tâm tam giác :

Khi P là trực tâm ABC thì :

2

1 2 3 3

b c a , 

 

1h

c a b , 

 

1h

Trang 4

Mẹo 1 : Để giải nhanh bằng CASIO, ta lần lượt làm như sau :

- Vào Mode VECTOR và nhập VctA , VctB , VctC

giác Tuy nhiên, để cho tỷ lệ s : s : s1 2 3 thật chính xác thì ta lấy :

 2 2  2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2  2

1 2 3

s : s : s a b c a c a : b c a b a c : c a b c b a

3 Tìm tâm đường tròn nội tiếp tam giác :

Khi P là tâm đường tròn nội tiếp ABC thì :

2

1 2 3 3

s rb / 2 b

s : s : s a : b : c

s rc / 2 cVậy :

 



 

aA bB cCP

a b c

Áp dụng :

Trang 5

Ví dụ 3 Trong hệ tọa độ Oxyz, cho ABC với A 1, 2, 5 , B 3, 1, 2    và C 2, 2, 3  Tìm tọa độ tâm đường tròn nội tiếp ABC

4 Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác :

Khi P là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC thì :

Trang 6

1 Tâm đường tròn bàng tiếp :

Khi P là tâm đường tròn bàng tiếp góc A của ABC thì :

s PA s PB s PC 01  2  3 Vậy tương tự như tâm đường tròn nội tiếp, bạn đọc có thể tìm tỷ lệ của tâm đường tròn bàng tiếp góc A là a : b : c

Nếu P là tâm đường tròn bàng tiếp góc B của ABC thì tỷ lệ là a : b : c 

Nếu P là tâm đường tròn bàng tiếp góc C của ABC thì tỷ lệ là a : b : c 

2 Tâm đường tròn Euler

Đường tròn Euler đi qua 9 điểm, bao gồm chân đường cao, trung điểm các cạnh, trung điểm đoạn thẳng nối từ trực tâm tới các đỉnh

Gọi điểm như hình vẽ Ta có P là tâm đường tròn ngoại tiếp DEF nên ta được :

Trang 7

sin 2B sin 2C A sin 2C sin 2A B sin 2A sin 2B C

sin 2B sin 2C sin 2C sin 2A sin 2A sin 2BTóm lại tỷ lệ ở đây là :

sin 2B sin 2C : sin 2C sin 2A : sin 2A sin 2B

sin A cos B C : sin B cos C A : sin C cos A B

a cos B C : b cos C A : c cos A B

1 cos B cos C : 1 cos C cos A : 1 cos A cos B

Bài toán được giải quyết

3 Điểm đối trung

Điểm đối trung là giao của 3 đường thẳng đối xứng của trung tuyến qua phân giác của mỗi đỉnh

Gọi điểm như hình vẽ Theo tính chất của đường đối trung, ta có :

4 Điểm Gergonne

Trang 8

Đường tròn nội tiếp tam giác ABC cắt BC, CA, AB tại H, K, T thì AH, BK, CT đồng quy tại một điểm được gọi là điểm Gergonne

3 B/AH

1 / c a bd

3 B/AH

Ctan r / a b cd

B

tan2

Vậy :

      

1 2 3

s : s : s b c a : c a b : a b c

Trang 9

Điểm Fermat là điểm thỏa mãn tổng khoảng cách từ nó đến các đỉnh ABC là bé nhất

Có một điểm Fermat F1 nằm trong và một điểm Fermat F2 nằm ngoài ABC

Trang 10

Còn rất rất nhiều điểm đặc biệt của tam giác Theo thống kê tới thời điểm hiện tại, đã có

ít nhất 12109 điểm đặc biệt đã được đặt tên và tất nhiên chúng đều có tỷ lệ s : s : s1 2 3

Ví dụ như trong hai ngày trước, tức ngày 04/03/2017, Đào Thanh Oai cùng với Peter Moses đã đặt tên cho điểm đặc biệt thứ 12109 (ký hiệu X12109) :

Cho tam giác ABC Gọi A’, B’, C’ lần lượt là hình chiếu của A, B, C lên BC, CA, CA Gọi

Trang 11

Bạn đọc có thể tìm hiểu thêm tại “Bách khoa toàn thư về các tâm của tam giác”

Và tất nhiên, ứng dụng của phương pháp tọa độ tam tuyến trong kỳ thi THPT Quốc Gia môn Toán không dừng lại ở đó

E – MỞ RỘNG 2

Chúng ta cũng có thể tìm tọa độ chân đường cao, chân đường phân giác, … trực tiếp bằng Vector rất nhanh bằng máy tính CASIO Ý tưởng như sau :

Nếu điểm P có tỷ lệ s : s : s1 2 3 thì giao điểm của AP và BC có tỷ lệ 0 : s : s2 3

Tương tự vậy, giao điểm của BQ và AC có tỷ lệ s : 0 : s1 3; giao điểm của CQ và AB có tỷ

lệ s : s : 01 2

Ví dụ 5 Trong hệ tọa độ Oxyz, cho ABC với A 1, 2, 5 , B 3, 1, 2    và C 2, 2, 3  Gọi H, I, O lần lượt là trực tâm, tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn ngoại tiếp của ABC Tìm tọa độ giao điểm của :

Trang 12

Người biên soạn: Nguyễn Việt Anh – ChemHUS

Đại Học Khoa Học Tự Nhiên – Đại Học Quốc Gia Hà Nội

SĐT: 01655911717 - Email: Nguyenvietanh1@hus.edu.vn

PHƯƠNG PHÁP GIẢI NHANH BẰNG CASIO

A Các phép tính thông thường, Tính Moldun, Argument, Conjg của 1 số phức

hay 1 biểu thức số phức Và tính số phức có mũ cao…

Bài toán tổng quát: Cho Z = z1.z2 - z3+z4

z5 Tìm Z và tính Moldun, Argument và số phức liên hợp của số phức Z ???

Phương pháp giải:

Ví dụ 1: Đề thi minh họa của bộ GD và ĐT lần 2 năm 2017

Tìm số phức liên hợp của số phức z = i(3i + 1)

A: 3 – i B: -3 + i C: 3 + i D: -3 – i

Giải:

Chuyên Đề: SỐ PHỨC và CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN SỐ PHỨC

( Nâng cao các dạng trong đề thi )

Tất cả các bài toán số phức đều thực hiện trong chức năng MODE 2 (CMPLX) ngoại trừ 1 số

bài toán đặc biệt Chú ý 2 phần D và E

 Để máy tính ở chế độ Deg không để dưới dạng Rad và vào chế độ số phức Mode 2

 Khi đó chữ “i” trong phần ảo sẽ là nút “ENG” và ta thực hiện bấm máy như 1 phép tính

bình thường

 Tính Moldun, Argument và số phức liên hợp của số phức Z :

 Moldun: Ấn shift + hyp Xuất hiện dấu trị tuyệt đối thì ta nhập biểu thức đó vàotrong rồi lấy kết quả

 Tính Arg ấn Shift 2 chọn 1 Tính liên hợp ấn shift 2 chọn 2

Trang 13

 Mode 2 và ấn shift 2 chọn 2

 Nhập như sau: Conjg(i(3i + 1)) và ấn bằng

 Kết quả ra -3 – i vậy D đúng

Ví dụ 2: Đề thi minh họa của bộ GD và ĐT lần 2 năm 2017

Tìm moldun của số phức z thỏa mãn z(2 –i) + 13i = 1

A: |z| = B: |z| = 34 C: |z| = D: |z| =

Giải:

 Chuyển vế để z ở 1 phía

 Mode 2 và ấn shift hyp

 Nhập vào như sau: |1-13i

2-i | sau đó lấy kết quả và thấy A đúng

****: Với số phức có mũ cao thì chỉ máy tính Casio fx 570 vn plus và Vinacal ES plus II có thể bấm được như bình thường Còn Casio fx 570 es plus thì sẽ Math Error

Bài tập tự luyện:

Trang 14

B Tìm căn bậc 2, chuyển số phức về dạng lượng giác và ngược lại

B.1 Tìm căn bậc 2 của số phức và tính tổng hệ số của căn đó

Bài toán tổng quát: Cho số phức z thỏa mãn z = f(a,bi) Tìm 1 căn bậc 2 của số phức và tính

tổng, tích hoặc 1 biểu thức của hệ số

Trang 15

 Cách 1: Đối với việc tìm căn bậc 2 của số phức cách nhanh nhất là ta bình phương các

đáp án xem đáp án nào trùng số phức đề cho

 Cách 2: Không vào chế độ Mode 2 Ta để máy ở chế độ Mode 1

 Ấn shift + sẽ xuất hiện và ta nhập Pol(phần thực , phần ảo) …Lưu ý dấu “,” làshift ) sau đó ấn =

 Ấn tiếp Shift – sẽ xuất hiện và ta nhập Rec( , Y:2 ) sau đó ấn bằng ta sẽ ra lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức

Ví dụ: Tìm 1 căn bậc 2 của số phức: z = (-2 – 6i) + ( 2i –1)

A: -1 + 2i B: 1 – 2i C: 1 + 2i D: -1 – 2i

Giải:

 Vào mode 2 Rút gọn z về dạng tối giản: z = -3 -4i

 Lần lượt bình phương các đáp án ta thấy đáp án B khi bình phương sẽ ra đúng đề bài.Nên B đúng

B.2: Đưa số phức về dạng lượng giác và ngược lại:

Chuyển từ lượng giác về số phức: chuyển về radian

 Nhập dạng lượng giác của số phức dưới dạng: bán kính<góc ( với < là shift (-))

 ấn shift 2 chọn 4 ( a=bi ) và lấy kết quả

Ví dụ: Chuyển số phức z = 1 + i về dạng lượng giác vào tìm góc (độ) của nó

 ấn shift chọn 4 ( r< ) sau khi nhập số phức

 ấn = sẽ ra kế quả a<b trong đó r = a, góc = b

Trang 16

 Mode 2 và nhập số phức vào máy

 ấn shift 2 chọn 3 Ấn bằng ta được kết quả 2<60

 Mode 2 và lần lượt thay các hệ số ở đáp án vào đề

C Phương trình số phức và các bài toán liên quan:

C.1: Phương trình không chứa ẩn:

Bài toán tổng quát: Cho phương trình az2+bz+c = 0 Phương trình có nghiệm ( số nghiệm ) là:

Trang 17

 Dùng Mode 5 để giải phương trình nếu phương trình nào ra nghiệm như đề cho thì đó làđáp án đúng.

Ví dụ: Phương trình z2 + bz + c = 0 nhận z = 1 + i là nghiệm Giá trị của b và c là :

A: b = 3;c = 5 B: B = 1; c = 3 C: b = 4;c = 3 D: b = -2;c = 2

Giải:

 Mode 2 và nhập vào máy tính X2 + BX + C

 Calc lần lượt cho các đáp án Khi ta calc cho B = -2, C = 2, X = 1+i ra kết quả bằng 0 vậy

D là đáp án đúng

Bài tập tự luyện:

Trang 18

D Tìm số phức thỏa mãn điều kiện phức tạp và tính tổng, tích… Hệ số của

mãn điều kiện đề bài

Bài toán tổng quát: Cho số phức z = a + bi thỏa mã điều kiện ( phức tạp kèm cả liên hợp… )

Trang 19

 Lưu ý: Khi phân tích ưu tiên cho hệ số a nhiều nhất có thể ( chú ý ví dụ )

 Sau khi tìm được a, b ta làm nốt yêu cầu của đề

Ví dụ: Tìm phần ảo của số phức z = a + bi biết (1 + i)2.(2 – i)z = 8 + i + (2 + 2i)z

 Ta được kết quả 2897 + 898i sẽ phân tích

 2897  3A – B – 3 và 898  A – B – 2 Giải hệ phương trình ta được 2 nghiệm A và B,

A + B = -1 và chọn C

Trang 20

E Tìm tập hợp biểu diễn của số phức thỏa mãn điều kiện và hình học số phức:

Bài toán tổng quát: Trên mặt phẳng hệ trục tọa độ Oxy tìm tập hợp biểu diễn của số phức z thỏa

mã điều kiện … :

…… 4 đáp án

Trang 21

Phương pháp giải: Ưu tiên việc sử dụng 2 máy tính để giải

 Máy thứ 1 ta nhập điều kiện của đề cho với z và liên hợp z dạng tổng quát

 Máy thứ 2 lần lượt các đáp án Ta lấy 2 điểm thuộc các đáp án

 Calc 2 điểm vừa tìm vào điều kiện Cái nào kết quả ra 0 thì đấy là đáp án đúng ( chú ýxem ví dụ )

 Mode 2 và nhập điều kiện vào casio |(A+Bi)i – (2+i)|-2

 Thử đáp án A: Cho y =0 ta được x = 1 ta calc A = 1 và B =0 kết quả khác 0 Loại luônđáp án A

 Thử đáp án B: Cho x = -1 ta được y = 5 Calc ra kết quả khác 0 Loại đáp án B

 Thử đáp án C: cho x = 1 ta được y =0 và y = -4 Calc lần lượt đều được kết quả bằng 0.Vậy đáp án đúng là C

Trang 22

 Mode 2 và nhập điều kiện đề cho vào casio, chuyển hết về 1 vế

 Calc các đáp án Đáp án nào ra kết quả là 0 thì đó là đáp án đúng

Ví dụ: Cặp số (x;y) nào thỏa mãn điều kiện phức sau: (2x+3y+1)+(-x+2y)i = (3x-2y+2)+(4x-3y-3)i

 Mode 2 và nhập điều kiện (2x+3y+1)+(-x+2y)i - (3x-2y+2)-(4x-3y-3)i

 Calc lần lượt các đáp án ta thấy đáp án B có kết quả bằng 0 Vậy D đúng

B ài tập tự luyện

F Cặp số (x,y) thỏa mã điều kiện phức, số số phức phù hợp với điều kiện:

Trang 32

TRƯỜNG ĐHQG HÀ NỘI – GV: MAI VĂN ĐỨC FACEBOOK: Duc Mai Van SĐT: 0988 202 654

1

PHẦN 1: KHỞI ĐỘNG

Câu 1 Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm A(2;-1;-1) đến

mặt phẳng 16x 12y 15z 4 0 Độ dài đoạn AH là :

Câu 4 Mặt phẳng nào sau đây cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt

tại A, B, C sao cho tam giác ABC nhận điểm G(1;2;1) làm trọng tâm

Câu 5 Cho tứ diện ABCD với A(5;3;-1) , B(2;3;-4), C(1;2;0),

D(3;-1;-2) Thể tích khối tứ diện đã cho là :

19 2

Trang 33

2

Câu 6 Cho đường thẳng

x 1 t (d) : y 2 2t(t R)

2 Tổng a+b là:

A P = 28 B P = 61 C P = 60 D P=27

Trang 34

A S 4 B S 19 C S 10 D S 15 ( Trích Đề Sở Thanh Hóa )

Trang 35

A M(0;0;3) B M(2;3;2) C M(2;3;8) D M(0;0;-3)

( Trích Câu 50 Đề Sở Quảng Nam)

Câu 15 Cho ba số thực a,b,c 1 ;1

4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P log (ba 1 ) log (cb 1 ) log (ac 1 )

A Pmin 3 B Pmin 6 C Pmin 3 3 D Pmin 1

Câu 16 Trong không gian Oxyz, Cho điểm A(2;-2;-1) và đường

thẳng d : x 2 y 2 z

2 2 1 Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d, sao cho khoảng cách từ A đến (P) lớn nhất

A (P): x y 0 B (P): x y 4 0

C (P): x y 0 D (P):3x y 8 0

Câu 17 Biết

4 2 3

Trang 36

Câu 19: Trong Công viên Toán học có những mảnh đất mang

hình dáng khác nhau Mỗi mảnh được trồng một loài hoa và nó được tạo thành bởi một trong những đường cong đẹp trong toán học Ở đó có một mảnh đất mang tên Bernoulli, nó được tạo thành

từ đường Lemniscate có phương trình trong hệ tọa độ Oxy là

16y x (25x ) như hình vẽ bên Tính diện tích S của mảnh đất Bernoulli biết rằng mỗi đơn vị trong hệ trục tọa độ Oxy tương ứng với chiều dài 1 mét

Trang 37

LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2017

Vì làm trắc nghiệm nên ta dùng tư duy Quy nạp « lấy cái riêng suy ra cái chung « chúng ta

sẽ kiểm tra 1 vài trường hợp thôi

Trang 38

Kết quả khác 0 suy ra loại

Câu 2: Một nguyên hàm của f x ( )  3 x x2  1 ?

x x



 1

1

Trang 39

Trang 40

KẾT: Dù có phương pháp CASIO nào đi chăng nữa thì các em vẫn nên học thật chắc kiến thức nền

tảng và tư duy thật tốt, một người giỏi là người kết hợp hài hòa giữa « TƯ DUY » và công cụ

«CASIO»

Trang 41

ĐÁP ÁN

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

C C B C D A C C B A

Trang 42

Kỹ thuật ‘chọn’

trong trắc nghiệm tích phân và số phức

Gv Trần Lê Quyền0

Một nguyên tắc cơ bản khi xây dựng nên các bài toán đại số chính là: thiết lập

sự cân bằng giữa số ẩn số và số phương trình lập nên từ các dữ kiện

Lấy ý tưởng đó, bài viết này tổng hợp và giới thiệu vài cách xử lí nhanh một sốbài toán số phức và tích phân bằng một kiểu chọn đặc biệt Tôi cố tình không phânchia ra các đề mục để tách biệt giữa số phức và tích phân vì xét dưới góc nhìn này,chúng hoàn toàn giống nhau!

Ví dụ 1 Cho hai số phức z1 = a1+ b1i và z2 = a2+ b2i (a1, b1.a2, b2 ∈ R) thỏa mãn





x = 12

y =

√32

Vậy chọn z1 = 1

2 +

√3

2 i Bây giờ thay vào P,

P =

1

√ 3

Trang 43

Sau khi cố định z2, chúng ta vẫn còn lại 2 dữ kiện (cho phép lập được 2 phươngtrình) Số phương trình này cân bằng với số ẩn số (phần thực, phần ảo) cần để xácđịnh z1 Ngoài ra, có thể chọn z2 khác đi, miễn sao đảm bảo |z2| = 1.

Dưới đây là một ví dụ hoàn toàn tương tự 1 nhưng được phát biểu khác đi

Ví dụ 3 Cho z1, z2 là hai số phức thoả mãn phương trình |2z − i| = |2 + iz|, biết

|z1− z2| = 1 Tính giá trị của biểu thức P = |z1+ z2|

2 i, z2 = 1 để thu được

P =√

3

Ví dụ 4 Cho ba số phức z1, z2, z3 thỏa mãn z1+ z2+ z3 = 0 và |z1| = |z2| = |z3| = 1.Mệnh đề nào dưới đây đúng?

y =

√32

Vậy chọn z1 = 1, z2 = −1

2 +

√3

2 i, z3= −

1

2−

√3

z3+ 1

z3

≤ 2 Tìm tập hợp điểm biểu diễn của số

2

Định dạng
Số trang	53
Dung lượng	6,56 MB