Vậy m-n;5m+5n+1 là các số tự nhiên nguyên tố cùng nhau, thỏa mãn * nên chúng đều là các số chính phương... cạnh đáy tương ứng.[r]
(1)UBND HUYỆN THỦY NGUYÊN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG THCS HÒA BÌNH -Ký hiệu mã đề:…… ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2012-2013 MÔN: TOÁN Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu 1: (2,5 điểm) a) Phân tích đa thức thành nhân tử: x +2011 x 2+ 2010 x +2011 b) Tìm các số nguyên x ; y cho: x3 + xy=3 c) Tìm các số a và b cho x 3+ ax+b chia cho x+ dư 7; chia cho x − dư Câu 2: (1,5 điểm) a) Tính giá trị biểu thức: x + y −1 ¿2 − ¿+2 xy A= với 2 |x + y +5+ x −4 y|− ¿ x=2 2011 503 ; y =16 b) Tìm x để B có giá trị nhỏ nhất: x x 2011 B x2 với x>0 Câu 3: (2 điểm) Chứng minh rằng: a) 20113 +113 2011+11 = 3 2011 +2000 2011+2000 2 b) Nếu m; n là các số tự nhiên thỏa mãn : m +m=5 n + n thì : m-n và 5m 5n là số chính phương Câu 4: (4 điểm) Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD hình thang ABCD (AB//CD) Đường thẳng qua O song song với AB cắt AD và BC M và N a) Chứng minh OM=ON b) Chứng minh 1 + = AB CD MN c) Biết S AOB =a2 ; S COD =b2 Tính S ABCD ? ^ 900 Chứng minh BD > AC d) Nếu ^ D< C< -HẾT - (2) Người đề (ký, ghi rõ họ tên) Vũ Ngọc Anh Người thẩm định (ký, ghi rõ họ tên) BGH nhà trường (ký tên, đóng dấu) (3) UBND HUYỆN THỦY NGUYÊN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG THCS HÒA BÌNH -Ký hiệu mã HDC:…… Câu HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG MÔN: TOÁN NĂM HỌC 2012-2013 Đáp án Điểm a/ x +2011 x 2+2010 x +2011 = x + x 3+ x2 +2010( x + x +1)−(x −1) = ( x 2+ x +1 ) ( x − x+ 2011 ) b/ x3 + xy=3 ⇔ x ( x + y ) =3 Do x ; y là các số nguyên nên ta có: ¿ x=1 x 3 x 3 x2 + y =3 y 26 ⇔ TH1: (thỏa mãn) 3x y 1 (thỏa mãn) ¿ x=1 y=0 ¿{ ¿ ¿ x=−1 x x 3 x2 + y =−3 y 28 ⇔ TH2: (thỏa mãn) 3x y (thỏa mãn) ¿ x=− y=− ¿{ ¿ c/ Vì x 3+ ax+b chia cho x+ dư nên ta có: x 3+ ax+b = ( x+ ) Q(x)+7 0,5 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 đó với x=−1 thì -1-a+b=7, tức là a-b = -8 (1) Vì x 3+ ax+b chia cho x − dư nên ta có: x 3+ ax+b = ( x − ) P(x)+ 0,25 đó với x=2 thì 8+2a+b=4, tức là 2a+b=-4 (2) Từ (1) và (2) suy a=-4;b=4 a/ Ta có: x 2+ y +5+2 x − y =( x+ )2+ ( y −2 )2 ≥ với x ; y nên ta có: A= x 2+ y +5+2 x − y − ( x + y −1 )2 +2 xy 0,25 0,25 0,25 = x 2+ y +5+2 x − y − x − y − 1− xy+ x +2 y+ xy=4 x −2 y + 4=2(2 x − y )+ 503 Thay x=22011 ; y =16503 =( 24 ) =22012 vào A ta có: A= ( 22011 −22012 )+ 4=4 2 x −2 x+2011 2011 x −2 x 2011+2011 = x 2011 x x −2011 (¿) ¿ ¿2 = ¿ ¿ 2010 x2 + ( x − 2011 )2 2010 = +¿ 2011 2011 x b/ B= 0,25 0,25 0,25 (4) Dấu “=” xảy x=2011 Vậy GTNN B là 2010 2011 0,25 đạt x=2011 a/ Đặt a=2011; b=11; c=2000 Khi đó ta có a=b+c 2 3 3 2011 +11 a +b ( a+b ) ( a − ab+b ) = = Xét vế phải đẳng thức ta có: 20113 +20003 a3 +c ( a+c ) ( a2 −ac +c ) Thay a=b+c vào a2 −ab+ b2=( b +c )2 − ( b+c ) b+b 2=b2 + bc+ c2 2 2 2 a −ac +c =( b+ c ) − ( b+c ) c+ c =b + bc+ c Nên a2 −ab+ b2=a2 − ac+ c2 2 20113 +113 a3 +b3 ( a+b ) ( a − ab+b ) a+b 2011+ 11 = = = = Vậy: 20113 +20003 a3 +c ( a+c ) ( a2 −ac +c ) a+c 2011+ 2000 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 b/Ta có m2 +m=5 n 2+ n ⇔ ( m − n2 ) +m −n=m2 ⇔ ( m− n )( m+5 n+1 )=m2 (*) Gọi d là ƯCLN(m-n;5m+5n+1) ⇒ (5m+5n+1)+5m-5n ⋮ d ⇒ 10m+1 ⋮ d 0,25 ⋮ Mặt khác từ (*) ta có: m d2 ⇒ m ⋮ d Mà 10m+1 ⋮ d nên ⋮ d ⇒ d=1 Vậy m-n;5m+5n+1 là các số tự nhiên nguyên tố cùng nhau, thỏa mãn (*) nên chúng là các số chính phương B hình vẽ A 0,25 A 0,25 B N M O D OA OB = a/ Ta có AC BD ⇒ OM ON = DC DC C D H E Do MN//DC ⇒ OM=ON b/ Do MN//AB và CD ⇒ OM AM = CD AD OM OM AM MD 1 DC AB AD (1) ON ON + =1 (2) Tương tự: DC AB MN MN + =2 Từ (1);(2) ⇒ DC AB 1 + = ⇒ DC AB MN K C 0,5 0,5 và OM DM = Do đó: AB AD 0,25 0,25 0,25 0,25 c/ Hai tam giác có cùng đường cao thì tỉ số diện tích tam giác tỉ số 0,25 (5) cạnh đáy tương ứng Do : Nhưng OB OA = OD OC ⇒ S AOB OB = S AOD OD S AOB S AOD = S AOD S COD S AOD OA = S COD OC và ⇒ S =S AOB S COD =a2 b nên AOD 0,5 S AOD =ab Tương tự S BOC=ab Vậy S ABCD= ( a+b ) d/ Hạ AH, BK vuông góc với CD H và K 0,25 0,25 ^ 900 nên H, K nằm đoạn CD Do ^ D< C< ^ >^ Ta có A ^E D=B C^ D=C D ⇒ AD> AE Tứ giác BCEA là hình bình hành nên BC=AE Vậy AD>BC ⇒ DH>KC ⇒ DK > CH 0,25 Theo định lý pitago cho tam giác vuông BKD ta có : 0,25 2 DB BK DK AH CH AC (Do AH BK ) BD AC HS làm các cách khác đúng chấm điểm tối đa (6) Người đề (ký, ghi rõ họ tên) Vũ Ngọc Anh Người thẩm định (ký, ghi rõ họ tên) BGH nhà trường (ký tên, đóng dấu) (7)