DE THI HSG TOAN 9

Tính các cạnh của hình thang ABCD.. ---.[r]

Phòng GD-ĐT Qui Nhơn THI CHỌN HỌC SINH GIỎI – VÒNG 2

Trường THCS Lê Lợi MƠN : TỐN LỚP Năm học: 2011 – 2012

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề )

ĐỀ: Bài 1: (4 điểm)

Chứng minh

5

x x x

y

60 12 15

  

số nguyên, với x số nguyên bất kỳ. Bài : (4 điểm)

Tìm số tự nhiên nhỏ chia hết cho chia cho 2, 3, 4, 5, ln có số dư 1

Bài : (5 điểm)

a) Tìm giá trị lớn biểu thức : y x  x , với x R : x 3    b) Rút gọn biểu thức:

3 2

3 3

a a b b

B

a ab b

 



  (với ab0) Bài : (7 điểm)

Cho hình thang cân ABCD ( AB // CD, AB > CD) có AD  DB, AB = 2 (cm), chu vi (cm) Tính cạnh hình thang ABCD.

-ĐÁP ÁN: Bài 1: (4 điểm) Biến đổi

5

x 5x 4x x(x 5x 4)

y

60 60

   

 

(1đ)

2

x(x 1)(x 4) x(x 1)(x 1)(x 2)(x 2)

60 60

     

 

(1đ) Vì x(x – 1)(x + 1)(x – 2)(x + 2) tích số nguyên

liên tiếp nên tích chia hết cho 3; 4; (1đ) Suy tích chia hết cho 60

(vì 3; 4; số nguyên tố đôi một)

Vậy y Z, x Z   (1đ)

Bài 2: (4 điểm)

Gọi n số tự nhiên cần tìm n = 7x n – = [2, 3, 4, 5, 6]y BCNN[2, 3, 4, 5, 6] = 60 Khi đó:

n 7x

7x 60 n 60y

 

  

  

 (1) (1đ)

Thuật chia Euclid cho 60 60 = 7.8 +

7 = 4.1 +

4 = 3.1 + (1đ)

Thương m = +

1 17

1 2

1

 

Thử trực tiếp ta thấy x = -17, y = -2 nghiệm riêng (1) nên (1) có nghiệm tổng quát là:

x 17 60t

t Z

y 7t

  

 

  

Khi n = 7x = -119 + 420t, t  Z (1đ)

Với t = n = 301 số tự nhiên nhỏ chia hết cho

chia hết cho 2, 3, 4, 5, có dư (1đ) Bài 3: (5 điểm)

a) (3đ)

Tìm giá trị lớn y x  x , với x R : x 3    Áp dụng bất đẳng thức Bunhicốpxki, ta có:

 2

2

y  x  x 2(3 x x) 16   

(1đ)

y 4(y 0)

Dấu “=” xảy – x = + x x = -1 (1đ) Vậy y x  5 4  , với x R : x 3   

Do ymax = x = -1 (1đ) b) (2đ) Rút gọn biểu thức:

3 2

3 3

a a b b

B

a ab b

 



  (với ab0)

Đặt x3a; y3 b (0,5đ)

Ta có

 2   2 

4 2

2

2 2

x y xy x y xy

x x y y

B x y xy

x xy y x xy y

   

 

    

    (1đ)

Vậy B3a2 3 b2  ab ab 0   (0,5đ) Bài 4: (7 điểm)

+) Hình vẽ đúng: (1đ)

+) Gọi O trung điểm AB

Tam giác ADB vng D có DO trung tuyến nên: DO = OA = OB =

AB

2 = (cm) (0,5đ)

Vì ABCD hình thang cân nên O  trung trực CD,

do OC = OD = 1(cm) (0,5đ) +) Đặt AD = x (cm) BC = x, CD = – (2 + 2x) = – 2x (cm) (0,5đ) +) Kẻ DH  AB, CK  AB (H, K  AB)

Ta có DCKH hình chữ nhật,

nên HK = CD = – 2x  OH = OK =

HK = 2x  (0,5đ) Khi AH = OA – OH =

3 2x 2x

1

2

 

 

(0,5đ) +) Áp dụng định lý Pi – ta – go tam giác vng ta có:

2

2 2 2x 4x

ADH : DH AH x

2

 

 

      

  (1) (1đ)

2 2

2 2 2x 12x 4x

ODH : DH OD OH

2

   

 

       

  (2) (1đ) D

H O K B

C

Từ (1), (2) suy ra:

2

4x 12x 4x

4

   



(0,5đ)  4x2 8x 0   4(x 1)  0 x 1(cm) (0,5đ) Vậy độ dài cạnh hình thang là: