Các vấn đề: Giải và biện luận hệ phương trình bậc nhất hai ẩn Bước 1: Tính
(1)ĐẠI SỐ 10 – HK1 TRƯỜNG THPT LÊ QUÝ ĐÔN TP.HCM BÀI – HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Hệ phương trình bậc hai ẩn: là hệ phương trình có dạng 𝒂𝟏 𝒙 + 𝒃𝟏 𝒚 = 𝒄𝟏 𝒂𝟐𝟏 + 𝒃𝟐𝟏 > 𝒂𝟐 𝒙 + 𝒃𝟐 𝒚 = 𝒄𝟐 𝒂𝟐𝟐 + 𝒃𝟐𝟐 > Cặp số 𝑥𝑜 ; 𝑦𝑜 thỏa mãn hai phương trình gọi là nghiệm hệ Phương pháp giải: Phương pháp (ít sử dụng): Từ phương trình, tính ẩn này theo ẩn Thế vào phương trình còn lại ⇢ phương trình bậc Phương pháp định thức (thường sử dụng): Ta tính các định thức 𝑫= 𝒂𝟏 𝒂𝟐 𝒃𝟏 𝒄 = 𝒂𝟏 𝒃𝟐 − 𝒂𝟐 𝒃𝟏 ; 𝑫𝒙 = 𝟏 𝒃𝟐 𝒄𝟐 𝐷 ≠ 0: hệ có nghiệm 𝑥 = 𝐷 = 0: 𝐷𝑥 𝐷 𝒂𝟏 𝒃𝟏 = 𝒄𝟏 𝒃𝟐 − 𝒄𝟐 𝒃𝟏 ; 𝑫𝒚 = 𝒂 𝒃𝟐 𝟐 ;𝑦 = 𝒄𝟏 𝒄𝟐 = 𝒂𝟏 𝒄𝟐 − 𝒂𝟐 𝒄𝟏 𝐷𝑦 𝐷 Nếu 𝐷𝑥 = 𝐷𝑦 = thì hệ có vô số nghiệm Nếu 𝐷𝑥 ≠ 𝐷𝑦 ≠ thì hệ vô nghiệm Chú ý: Trong số trường hợp, ta có thể đặt ẩn phụ để đưa hệ phương trình bậc hai ẩn Các vấn đề: Giải và biện luận hệ phương trình bậc hai ẩn Bước 1: Tính 𝐷; 𝐷𝑥 ; 𝐷𝑦 Bước 2: Xét hai trường hợp 𝐷 = ⇢ giải tìm tham số m có ⇢ thay vào 𝐷𝑥 ; 𝐷𝑦 kiểm tra trực tiếp ⇢ kết luận 𝐷 ≠ ⇢ hệ có nghiệm 𝑥 = 𝐷𝑥 𝐷 ;𝑦 = 𝐷𝑦 𝐷 Áp dụng 1: Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số 𝑚: 𝑚𝑥 + 𝑦 = 𝑚 + 𝑥 + 𝑚𝑦 = GV LÊ HẢI HẠNH – 093.7777.898 (2) ĐẠI SỐ 10 – HK1 TRƯỜNG THPT LÊ QUÝ ĐÔN TP.HCM Áp dụng 2: Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số 𝑚: 𝑚𝑥 + 𝑦 = 𝑚 𝑥 + 𝑚𝑦 = 𝑚2 Áp dụng 3: Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số 𝑚: 𝑚2 𝑥 + (𝑚 − 1)𝑦 = 𝑚 𝑚𝑥 + 𝑦 = 𝑚 Áp dụng 4: Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số 𝑚: 𝑚𝑥 + (𝑚 − 1)𝑦 = 2𝑚 𝑥 + 𝑚𝑦 = 𝑚 + Áp dụng 5: Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số 𝑚: 𝑚𝑥 + 2𝑚 − 𝑦 = − 𝑚 2𝑥 + 𝑚 + 𝑦 = Định tham số 𝒎 thỏa điều kiện cho trước Áp dụng 6: Định 𝑚 để hệ vô nghiệm: 𝑚𝑥 − 𝑦 = 2𝑚 + 2𝑚 + 𝑥 − 4𝑦 = 4𝑚 + Áp dụng 7: Định 𝑚 để hệ có nghiệm: 𝑚𝑥 + 2𝑦 = 𝑚 𝑚 − 𝑥 + (𝑚 − 1)𝑦 = Áp dụng 8: Định 𝑚 để hệ có vô số nghiệm: 4𝑥 − 𝑚 − 𝑦 = −𝑚 𝑚 + 𝑥 + 2𝑦 = + 𝑚 Áp dụng 9: Định 𝑚 để hệ có nghiệm (𝑥; 𝑦) thỏa mãn 𝑥 𝑦 < 0: Áp dụng 10: Cho hệ phương trình: 𝑚𝑥 + 𝑚𝑦 = 𝑚 − 𝑚𝑥 + 2𝑦 = 3𝑥 + 𝑚𝑦 = 𝑚𝑥 + 3𝑦 = 2𝑚 − ① Giải và biện luận hệ phương trình trên ② Khi hệ có nghiệm nhất, hãy tìm tất các giá trị nguyên 𝑚 để hệ có nghiệm nguyên Áp dụng 11: Định 𝑚 ∈ ℤ để hệ có nghiệm nguyên nhất: Áp dụng 12: Định 𝑚 ∈ ℤ để hệ có nghiệm nguyên: Á𝐩 𝐝ụ𝐧𝐠 𝟏𝟑: Cho hệ phương trình: 𝑚+1 𝑥− 𝑚+5 𝑦+1−𝑚 =0 3𝑚 + 𝑥 − 5𝑚 + 𝑦 + + 7𝑚 = 𝑚𝑥 + 2𝑦 = 𝑚 𝑚−1 𝑥+ 𝑚−1 𝑦 =1 𝑚 − 4𝑦 = 𝑚 − 𝑥 𝑚 − − 2𝑦 = 𝑚2 − 𝑥 ① Giải hệ 𝑚 = GV LÊ HẢI HẠNH – 093.7777.898 ② Định 𝑚 để hệ phương trình trên vô nghiệm (3) ĐẠI SỐ 10 – HK1 TRƯỜNG THPT LÊ QUÝ ĐÔN TP.HCM Áp dụng 14: Định 𝑚 để hệ có nghiệm và tính nghiệm đó: ① 𝑚𝑥 + 2𝑦 = 𝑚 𝑚−1 𝑥+ 𝑚−1 𝑦 =1 𝑚𝑥 − 2𝑦 = 𝑚 𝑥2 + 𝑚 − 𝑦 = 𝑚 − ② Luyện tập: Bài 1: Giải các hệ phương trình sau: ① 2𝑥 − 𝑦 = 3𝑥 − 𝑦 = 2 5𝑥 + 𝑦 = 𝑥 − 5𝑦 = −6 ② Bài 2: Giải các hệ phương trình sau: 6𝑥 − 2𝑦 − =5 ② 𝑦−1 𝑥+1 ① 4𝑥 − 4𝑦 − =2 𝑦−1 𝑥+1 ③ 𝑥− 𝑦= 2 𝑥+ 𝑦= ③ 1 − =6 𝑥 𝑦 1 3(𝑥 − 𝑦) + + =4 𝑥 𝑦 𝑥 + 𝑚𝑦 = 𝑚𝑥 − 3𝑚𝑦 = 2𝑚 + 2𝑥 + 2𝑥 − 𝑦 − = 3 𝑥+𝑦 +2 𝑥2 + 𝑥 + 𝑦 − = Bài 3: Giải và biện luận các hệ phương trình sau: ① 𝑥 + 𝑚𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑦 = 𝑚2 ② 𝑚𝑥 + 𝑦 = 𝑥 + 𝑚𝑦 = 3𝑚 ③ ④ 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑎 + 𝑏 𝑏𝑥 + 𝑎𝑦 = 𝑎 − 𝑏 ⑤ 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑎2 + 𝑏 𝑏𝑥 + 𝑎𝑦 = 2𝑎𝑏 ⑥ 𝑎+𝑏 𝑥+ 𝑎−𝑏 𝑦 =𝑎 2𝑎 − 𝑏 𝑥 + (2𝑎 + 𝑏)𝑦 = 𝑏 ③ 𝑚2 𝑥 + − 𝑚 𝑦 = + 𝑚3 𝑚𝑥 + 2𝑚 − 𝑦 = 𝑚5 − Bài 5: Định 𝑚 để các hệ phương trình sau vô nghiệm: ① 𝑚𝑥 + 2𝑚𝑦 = 𝑚2 𝑥 + (2𝑚2 − 𝑚)𝑦 = 2𝑚2 𝑥 + 3(𝑚 − 1)𝑦 = 𝑚 𝑥 + 𝑦 − 2𝑦 = ② Bài 6: Định 𝑚 để các hệ phương trình sau có nghiệm nhất: ① 𝑚 + 𝑥 + 8𝑦 = 4𝑚 𝑚𝑥 + 𝑚 + 𝑦 = 3𝑚 − ② 𝑚𝑥 + 8𝑦 = 4𝑚 − 𝑚 − 𝑥 + 𝑚 + 𝑦 = 3𝑚 − Bài 7: Định 𝑚 để các hệ phương trình sau vô số nghiệm: ① 2𝑥 − 𝑚 + 𝑦 + = 𝑚𝑥 + 3𝑦 + 𝑚 − = ② 𝑚 + 𝑥 + 2𝑦 = 𝑚 + −4𝑥 + 𝑚𝑦 = + 𝑚 ③ 2𝑚2 𝑥 + 3(𝑚 − 1)𝑦 = 𝑚 𝑥 + 𝑦 − 2𝑦 = ③ 𝑚 + 𝑥 − 2𝑦 = 𝑚 − 𝑚2 𝑥 − 𝑦 = 𝑚2 + 2𝑚 Bài 8: Định 𝑚 để các hệ phương trình sau có nghiệm nguyên: ① 𝑚𝑥 + 2𝑦 = 𝑚 (𝑚 − 1)𝑥 + 𝑚 − 𝑦 = ② 𝑚𝑥 − 2𝑦 = 𝑚 − 𝑚 − 𝑥 − 𝑦 = 𝑚2 − Bài 9: Khi các hệ có nghiệm 𝑥; 𝑦 , hãy tìm hệ thức liên hệ 𝑥 và 𝑦 độc lập với 𝑚: ① 𝑥 + 𝑚𝑦 = 3𝑚 𝑚𝑥 + 𝑦 = 2𝑚 + ② 2𝑚 + 𝑥 − 5𝑚 + 𝑦 = 2𝑚 − 𝑚 + 𝑥 − 3𝑚𝑦 = 𝑚 − Bài 10: Định 𝑚, 𝑛 để các hệ phương trình sau vô nghiệm: 𝑚 + 𝑥 + 𝑚𝑦 = 𝑛 ① 3𝑥 + − 𝑚 𝑦 = 2𝑛 − GV LÊ HẢI HẠNH – 093.7777.898 ② ③ 𝑚𝑥 + 2𝑦 = 𝑚 + 2𝑥 + 𝑚𝑦 = 2𝑚 + 𝑚 + 𝑥 + 2𝑛 + 𝑦 = 𝑚 + 𝑚−1 𝑥+𝑦 =2 (4)