Các phương pháp tính tích phân

Nguyên tắc chọn u, v các bạn tương tự như khi sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần, chỉ lưu ý thêm có khi các bạn phải kết hợp với phương pháp đổi biến : 2... Theo công thức tích ph[r]

CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN Các bạn cần nắm các phương pháp trình bày đây Sử dụng định nghĩa (định lý Newton - Leibnitz)  Định lý : Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên [a ; b] và F(x) là nguyên hàm f(x) thì b  f (x)dx F(x) a b F(b) F(a) a  Chú ý : Giả thiết y = f(x) liên tục trên [a ; b] là điều kiện bắt buộc phải có để sử dụng định lý Nhiều bạn tưởng có F(x) là tính tích phân Chẳng hạn, có bạn viết : 3 I dx  cos2 x  tgx 3  1 (?) Lưu ý : f (x)   không xác định x  cos x Thí dụ : Tính I  (x  1)dx  3x   0;   nên I không tồn (Đề ĐH Ngoại ngữ HN - 1999) Giải : [(3x 1) 2]dx I  3x    3 (3x 1)  5 Thí dụ : Tính I  3 ]d(3x 1) 46 15 dx  (x 3x 2(3x 1)  3(3x 1) [(3x 1) 2)2 (Đề ĐH Ngoại thương HN - 1999) Giải : Lop12.net 1 1 I  dx  x  x   1 dx (x 1) dx (x 2)  x 1   (x 2) ln  (x 1) x2  2 x x dx ln Chú ý : Khi gặp các hàm số có chứa dấu trị tuyệt đối thì cần tách cận tích phân để khử dấu trị tuyệt đối Thí dụ : Tính I  xx  2x dx 1 Giải : I  xx  2x dx  1   x x  xx 2         2x dx  x  x  2x dx  x x  2x dx 1   2x dx  x x  2x dx  x x  2x dx 1 2  x4  x 2x   x 2x  2x              4   1  0  2 3       Phương pháp biến đổi số : b Nếu t = u(x) đơn điệu trên [a ; b] thì f[u(x)].u'(x)dx  a Thí dụ : Tính I  x Giải : Đặt t  dx x 9 f (t)dt u(a) (Đề Học viện KTQS - 1999) dt 1  x   dx  x t t2 Đổi cận : x   t  u(b) 1 ;x=4 t Do đó : Lop12.net 1 I dt 9t   7 d(3t) 1 7  ln  (3t)2   3t   ln  ln 3 (3t)  1 x 4dx   2x Thí dụ : Tính I  (Đề Học viện BCVT - 1999) 1 Giải : Đặt t = x  x = t  dx = dt Đổi cận : x = 1  t = ; x =  t = 1 ta có : 1 ( t)4 ( dt) I   24  t.t 4dt 2t  1 1 t dt 1 t 4dt 2t 51 t I 1 I  I 5 b Chú ý : - Để tính  f (x)dx không thiết phải tìm nguyên hàm F(x) a f(x)  - Cách tích phân dạng   g(x)dx ax 1 với a > và g(x) là hàm số chẵn, làm trên Thí dụ : Tính  ln 1 2x dx 2x Giải : Đặt t = - x thì dx = - dt Với x = -1 thì t = 1, với x = thì t = -1.Do đó : I  1   1 2x ln dx  2x 1 1  2t ln (dt)  2t 2t  ln  t dt 1  2t   2t  ln   dt   ln  dt  I  2t   2t   1 Suy : I = Chú ý : + Tích phân trên miền đối xứng hàm số lẻ luôn + Tích phân không phụ thuộc ký hiệu đối số : Lop12.net b b b f (x)dx  f (u)du a f (t)dt = a a  Thí dụ : Tính x   s inx dx Giải : Đổi biến số u =   x  x    u Ta có : x   u  ; x    u  Mặt khác : dx = -du  x I dx   s inx       u   sin    u  (du)    u  du  du  s inu  s inu   0   2   u d   I u u 2   sin  cos  2   u   cos2  u    d    I  2  4 u   Do đó : I =  tg     2 2 4 b Chú ý : Nếu gặp tích phân  f (x)dx mà tính mãi không được, các bạn nên a nghĩ đến phép đổi biến số u = a + b - x Các thí dụ trên chứng tỏ phép đổi biến này khá có tác dụng Thí dụ : Chứng minh : Nếu f(x) là hàm số liên tục, tuần hoàn với chu kỳ T thì với a ta có : a T f (x)dx  a T f (x)dx Lop12.net a T Giải : Ta có T f (x)dx  f (x)dx a a a T f (x)dx (*) T a T  f (x)dx , đặt u = x - T  x = u + T  dx = du Xét J  T Đổi cận : x = T  u = ; x = a + T  u = a, đó : a a  J  f (u T).du a f (x)dx f (u)du 0 Thay vào (*) ta có đpcm Chú ý : Có thể áp dụng kết trên để tính các tích phân hàm số tuần hoàn 2007   Thí dụ : Tính s inx dx Giải : Chứng minh dễ dàng hàm số y = s inx là hàm số tuần hoàn với chu kỳ là  Do đó : 2007    s inx dx  2 2007   s inx dx   s inx dx      2006      2007 s inx dx 2007 s inx.dx   2007cosx s inx dx   5014 Sử dụng công thức tích phân phần : b Ta có : b  b udv u.v a vdu a a Nguyên tắc chọn u, v các bạn tương tự sử dụng phương pháp nguyên hàm phần, lưu ý thêm có các bạn phải kết hợp với phương pháp đổi biến : 2 Thí dụ 10 : Tính I   sin xdx (Đề ĐH Đà Lạt - 1999) Lop12.net Giải : Đặt t  x  x  t  dx = 2tdt Đổi cận x =  t = ; x   t =  nên :   I  t sin tdt   t cos t    t.d(cos t) 0  cos tdt =   sin t   Thí dụ 11 : Tính I = x e x dx  Giải : Xét In  x n e x dx Đặt u  x n  du  nu n 1;dv  e x dx  v  e x Theo công thức tích phân phần ta có : 1 1 In  x n e x dx  udv  uv  vdu    0  x n e x  n x n 1e x dx  e  nIn 1  với n nguyên và n >1  x Ta có : I1  x.e dx  xe x1   e x dx  e e x  I2  e  2I1  e  2; I3  e  3I2  e  3(e  2)   2e; I4  e  4I3  e  4(6  2e)  9e  24; I  I5  e  5I4  e  5(9e  24)  120  44e Chú ý : Bài trên thay vì làm nhiều lần tích phân phần tương tự nhau, ta làm lần tổng quát áp dụng cho n = 2;3;4;5 Bài tập : (1  x )dx  x  4x  1 Lop12.net    ex  sin x sin 2x cos 5x dx  (2x  1)1999 e x  x dx (x  1)dx  x x   ; (cos x  sin x)dx ;  sin 2x dx  x (x  1) ; 2008  7* sin 2007 x.dx  ln 3 1   x   x  dx   x  ex  dx 1 Lop12.net