Đang tải... (xem toàn văn)
Bài 29: Chứng minh rằng các cặp cạnh đối diện của tứ diện ABCD vuông góc với nhau từng đôi một thì trong bốn mặt của tứ diện có ít nhất một mặt là tam giác nhọn cả ba góc của nó đều nhọn[r]
(1)BÀI TẬP CHƯƠNG III VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN Bài 1: Cho tứ diện ABCD, M và N là các điểm thuộc AB và CD cho MA 2MB, ND 2NC ; Các điểm I, J, K thuộc AD, MN, BC cho IA kID, JM kJN, KB kKC Chứng minh các điểm I, J, K thẳng hàng Bài 2: Cho hình Các điểm M, N thuộc các đường thẳng CA, hộp ABCD.A’B’C’D’; DC’ cho MC mMA, ND mNC' Xác định m để các đường thẳng MN, BD’ song song với Khi ấy, tính MN biết ABC ABB ' CBB ' 60 vµ BA a, BB ' b, BC c Bài 3: Cho hình lăng trụ Gọi I, J là trung điểm BB’, A’C’ Điểm ABC.A’B’C’ K thuộc B’C’ cho KC ' 2KB '.Chøng minh bèn ®iÓm A, I, J, K cïng thuéc mét mÆt ph¼ng Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành Một mặt phẳng (P) bất kì không qua S, cắt các cạnh SA, SB, SC, SD các điểm A1 , B1 , C1 , D1 CMR: SA SC SB SD SA1 SC1 SB1 SD1 Bài 5: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh m, các góc A 60 ' AB A ' AD 60 ) (BAD A Gọi P và Q là các điểm xác định AP D'A, C 'Q DC ' Chứng minh đường thẳng PQ qua trung điểm cạnh BB’ Tính độ dài đoạn thẳng PQ Bài 6: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Gọi D1, D2, D3 là điểm đối xứng với điểm D’ qua A, B’, C Chứng tỏ B là trọng tâm tứ diện D1D2D3D’ Bài 7: Cho hình ABCD.A’B’C’D’ Gọi M, N là các điểm thuộc AD’ và lập phương MA kMD ', ND kNB k 0, k 1 DB cho a) Chứng minh MN luôn song song với mp(A’BC) b) Khi đường thẳng MN song song với đường thẳng A’C’, chứng tỏ MN vuông góc với AD’ và DB Bài 8: Cho hình tứ diện ABCD có tất các cạnh m Các điểm M, N là trung điểm AB và CD a) Tính độ dài MN b) Tính góc đường thẳng MN với các đường thẳng BC, AB và CD Bài9: Cho hình tứ diện ABCD; I và J là trung điểm AB và CD; M là điểm thuộc AC cho MA k1 MC; N là điểm thuộc BD cho NB k ND Chứng minh các điểm I, J, M, N cùng thuộc mặt phẳng và k1 k Bài 10: Cho ba tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng xOy , yOz , zOx Chøng minh r»ng cos+cos+cos a) Đặt b) Gäi Ox1 , Oy1 , Oz1 lÇn l ît lµ c¸c tia ph©n gi¸c cña c¸c góc xOy, yOz, zOx Chứng minh Ox1 và Oy1 vuông góc với thì Oz1 vuông góc với Ox1 và Oy1 , , A, Bài 11: Cho hai đường thẳng , 1 cắt ba mặt phẳng song song B, C và A1, B1, C1 Với điểm O bất kì không gian, đặt Chứng minh ba điểm I, J, K thẳng hàng OI AA1 , OJ BB1 , OK CC1 (2) Bài12: Cho tứ diện ABCD Gọi I, J, H, K, E, F là trung điểm các cạnh AB, CD, BC, AB2 CD2 AC2 BD BC2 AD2 4 IJ HK EF2 AD, AC, BD Chứng minh Bài 13: Cho tứ diện ABCD Lấy các điểm M, N, P, Q thuộc AB, BC, CD, DA 1 2 AM AB, BN BC, AQ AD, DP kDC 3 cho Hãy xác định k để bốn điểm P, Q, M, N cùng nằm trên mặt phẳng Bài14: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' Một đường thẳng d cắt các đương thẳng AA', BC, MA C'D' M, N, P cho NM 2NP Tính MA ' Bài15: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, cạnh bên SA=SB và SA vuông góc với BC a) Tính góc hai đường thẳng SD và BC b) Gọi I, J là các điểm thuộc SB và SD cho IJ//BD Chứng minh góc góc AC và IJ không phụ thuộc vào vị trí I, J Bài 16: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có cạnh a, BAD 60 , BAA' DAA' 120 a) Tính góc các cặp đường thẳng AB với A'D và AC' với B'D b) Tính diện tích các hình A'B'CD và ACC'A' c) Tính góc đường thẳng AC' và các đương thẳng AB, AD, AA' Bài17: Cho tứ diện ABCD đó góc hai đường thẳng AB và CD Gọi M là điểm bất kì thuộc cạnh AC, đặt AM=x (0<x<AC) Xét mặt phẳng (P) qua điểm M và song song với AB, CD a) Xác định vị trí điểm M để diện tích thiết diện hình tứ diện ABCD cắt mặt phẳng (P) đạt giá trị lớn b) Chứng minh chu vi thiết diện nêu trên không phụ thuộc vào x và AB=CD Bài18: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, mặt bên SAB là tam giác vuông A Với điểm M bất kì thuộc cạnh AD (M khác A và D), xét mặt phẳng (P) qua M và song song với SA và CD a) Thiết diện hình chóp S.ABCD cắt (P) là hình gì? b) Tính diện tích thiết diện theo a và b; biết AB=a, SB=b, M là trung điểm AD Bài 19: Cho tứ diện ABCD Lấy điểm M và N thuộc các đường thẳng BC và AD MB kMC vµ NA kND với k là số thực khác cho trước Đặt là góc hai vectơ cho MA và BA; đặt là góc hai vectơ MN và CD Tìm mối liên hệ AD và CD để ==45 Bài 20: Cho tứ diện ABCD Gọi I, J, H, Klần lượt là trung điểm BC, CA, AD, DB Tính góc hai đường thẳng AB và CD các trường hợp sau: a) Tứ giác IJHK là hình thoi có đường chéo IH 3IJ b) Tứ giác IJHK là hình chữ nhật CD AB Bài 21: Cho tứ diện ABCD có Gọi I, J, Klần lượt là trung điểm BC, CA, JK AB AD, DB Cho biết , tính góc đường thẳng CD với các đường thẳng IJ và AB Bài 22: Cho tứ diện ABCD có BC=AD=a, AC=BD=b, AB=CD=c Đặt là góc BD và AD; đặt là góc hai đường thẳng AB và BD; đặt là góc hai đường thẳng AB và 2 CD Chứng minh số hạng a cos , b cos , c cos có số hạng tổng hai số hạng còn lại (3) Bài 23: Cho tứ diện ABCD có tất các cạnh Gọi M, N là trung điểm AB và CD Lấy các điểm I, J, K thuộc các đường thẳng BC, CA, AD cho IB kIC, JA kIC, KA kKD đó k là số khác cho trước Chứng minh rằng: a)MN IJ vµ MN JK b)AB CD Bài 24: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành và SA=SC, SB=SD Gọi O là giao điểm AC và BD a) Chứng minh SO mp(ABCD) b) Gọi d là giao tuyến mp(SAB) và mp(SCD); d1 là giao tuyến mp(SBC) và mp(SAD) Chứng minh SO mp(d, d1) Bài 25: Cho hai hình chữ nhật ABCD, ABEF nằm trên hai mặt phẳng khác cho hai đường chéo AC và BF vuông góc Gọi CH và FK là hai đường cao hai tam giác BCE và ADF Chứng minh rằng: a)ACH và BFK là các tam giác vuông b)BF AH và AC BK Bài26: a)Cho tứ diện DABC có cạnh Gọi H là hình chiếu D trên mp(ABC) và I là trung điểm DH Chứng minh tứ diện IABC có IA, IB, IC đôi vuông góc b)Cho tứ diện IABC có IA=IB=IC và IA, IB, IC đôi vuông góc H là hình chiếu I trên mp(ABC) Gọi D là điểm đối xứng H qua I Chứng minh tứ diện DABC có các cạnh Bài 27: Cho hình chóp S.ABC có SB vuông góc với mp(ABC), ABC là tam giác vuông A a) Chứng minh ASC là tam giác vuông b) Tính SA, SB, SC biết ACB , ACS vµ BC=a Bài 28: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với 60 mp(ABCD), SA=a, và ABC a)Tính độ dài các cạnh SB, SC, SD b)Gọi I là trung điểm SC Chứng minh IB=ID Bài 29: Chứng minh các cặp cạnh đối diện tứ diện ABCD vuông góc với đôi thì bốn mặt tứ diện có ít mặt là tam giác nhọn (cả ba góc nó nhọn) a Bài 30: Cho tứ diện ABCD, đáy là tam giác cân và DA mp(ABC), AB=AC=a, BC= Gọi M là trung điểm BC Vẽ AH vuôngg góc với MD (H thuộc đường thẳng MD) a) Chứng minh AH mp(BCD) a b) Cho AD= Tính góc hai đường thẳng AC và DM c) Gọi G1, G2 là các trọng tâm các tam giác ABC và DBC CMR: G1G2 mp(ABC) Bài 31: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' Gọi M, N là trung điểm DC và BB' Chứng minh MN A 'C Bài 32: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh a Trên DC và BB' ta lấy các điểm M và N cho DM=BN=x với x a Chứng minh hai đường thẳng AC' và MN vuông góc với (4) Bài 33: Cho hình thang ABCD vuông A và D, AB=AD=a, DC=2a Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) D lấy điểm S cho SD=a Các mặt bên tam giác là tam giác nào? Bài 34: Hình chóp S.ADCD có đáy là hình vuông ABCD tâm O và có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi H, I và K là hình chiếu vuông góc điểm A trên các cạnh SB, SC và SD Chứng minh: a)BC (SAB), CD (SAD) vµ BD (SAC) b)SC (AHK) vµ I (AHK) c)HK (SAC), từ đó suy HK AI Bài 35: Cho tam giác ABC vuông C Trên nửa đường thẳng At vuông góc với (ABC) lấy điểm S Gọi H, K là hình chiếu vuông góc A lên SB và SC Chứng minh AK vuông góc với (SBC) và KH vuông góc với SB CHÚC CÁC EM ĐẠT KẾT QUẢ CAO TRONG HỌC TẬP o0o - (5)