Mô hình hóa toán học trong dạy học giải quyết vấn đề

Bài viết tiến hành chia sẻ sơ lược về mô hình hóa toán học trong dạy học giải quyết vấn đề và cách tiếp cận mô hình hóa đối với một bài toán có ý nghĩa thực tiễn.

MƠ HÌNH HĨA TỐN HỌC TRONG DẠY HỌC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Tác giả: Nguyễn Cao Luận I ĐẶT VẤN ĐỀ Trong thực tế dạy học mơn tốn trường THCS việc trang bị kĩ tư duy, giải vấn đề, hiểu chất khái niệm, tính chất tốn học dường chưa quan tâm thỏa đáng Hơn phương pháp dạy học thay đổi để làm bật mối quan hệ ý nghĩa tốn học với tình giới thực Điều dẫn đến nguyên nhân khiến cho HS ngày xa rời toán học, hổng kiến thức tảng Giải vấn đề biết đến nhiều hình thức dạy ­ học dạy học dựa vấn đề (Problem­ Based Learning), học tập dự án (Project­Based Learning) Mơ hình hóa (MHH) tốn học dạy học giải vấn đề tiếp cận theo hai hướng: ­ MHH phương tiện tiếp cận: Ở MHH sử dụng theo cấu trúc làm mơi trường học tốn lớp học ­ MHH nội dung tiếp cận: Tất vấn đề giới thực, bao gồm tốn học ngồi cách tiếp cận truyền thống tiếp cận MHH tốn học, từ tạo mơ hình tốn học từ vấn đề cho Như MHH toán học vừa phương tiện nghiên cứu nội dung toán học chuyên biệt, vừa “nhúng” vào việc khảo sát vấn đề giới thực môn học khác vật lí, sinh học, địa lí Ở viết này, xin chia sẻ sơ lược MHH toán học dạy học giải vấn đề cách tiếp cận MHH tốn có ý nghĩa thực tiễn II MƠ HÌNH HĨA TỐN HỌC VÀ ỨNG DỤNG Qui trình MHH Một mơ hình tốn học cấu trúc tốn học mơ tả gần đặc trưng tình thực tế Nó bao gồm đối tượng toán học mối quan hệ đối tượng MHH tốn học ứng dụng nhiều dạy học nghiên cứu thuộc nhiều lĩnh vực khác đời sống, số mục đích định Chẳng hạn để hiểu tượng giới thực, giải vấn đề toán học thực tiễn sống, lựa chọn phản ánh quan điểm cá nhân trước vấn đề tự nhiên ­ xã hội, định tốt hơn,… Hơn ứng dụng tốn học nào, mơ hình tốn học ln có liên quan cách rõ ràng tiềm ẩn [5] Quy trình bước MHH tốn học: Một mơ hình tốn học bao gồm lĩnh ngồi tốn học quan tâm N, Thế giới số lĩnh vực toán học T, “phép Tốn ngồi chuyển” thơng dịch từ lĩnh vực học tốn ngồi tốn học vào lĩnh vực toán học học Các đối tượng, quan hệ, tượng, giả định, câu hỏi,… N Hình 2.1.Cấu trúc mơ hình tốn học xác định lựa chọn phù hợp với mục đích tình sau thơng dịch thành đối tượng, quan hệ, tượng, giả định, câu hỏi, … liên quan đến T Trong T, thảo luận toán học, thao tác suy luận thực hiện, kết dịch ngược trở lại N hiểu kết luận liên quan đến lĩnh vực Chu kỳ mơ hình hố lặp lại nhiều lần, sở xác nhận đánh giá mơ hình liên quan đến lĩnh vực N, kết luận kết liên quan đến N thỏa đáng so với mục đích việc xây dựng mơ hình Tóm lại, thuật ngữ MHH đề cập đến tồn q trình, tất thứ liên quan đến – xuất phát từ cấu trúc N, để định lĩnh vực T thích hợp dịch chuyển thích hợp từ N sang T, để làm việc toán học T, để giải thích đánh giá kết luận liên quan đến N lặp lại chu kỳ nhiều lần cần thiết mong muốn.[5] Sơ đồ sơ đồ biểu diễn chu kỳ MHH tốn học nói chung, Kaiser [2], Blum cộng sự, 2002 [4], Ok Ki Kang [3] nhiều tác giả khác đưa Nó bao gồm bốn bước: tốn học hóa, giải vấn đề tốn học, diễn giải, phân tích kiểm định Quy trình mơ tả hoạt động xây dựng mơ hình Q trình xây dựng mơ hình bắt đầu với vấn đề giới thực vấn đề phát sinh từ tình thực tế, sử dụng liệu thực tế Thuật ngữ giới thực sử dụng để mơ tả giới bên ngồi tốn học, phần rộng lớn quan tâm vấn đề kết cụ thể Vấn đề thực tế Mơ hình tốn học Kết toán học Kết thực tế Cách giải Tốn học hóa  Hiểu vấn đề  Thiết lập giả thiết, đơn giản hóa, lí tưởng hóa vấn đề  Miêu tả vấn đề môi trường toán học Giải vấn đề toán học  Sử dụng phương pháp tốn học cơng cụ ứng dụng công nghệ thông tin để dẫn tới kết toán học Diễn giải  Phiên dịch kết toán học theo ngữ cảnh ban đầu vấn đề thực tế Phân tích kiểm định  Kiểm định lại giả thiết phân tích hạn chế mơ hình tốn học kết tốn học; phương pháp tốn học cơng cụ dùng  Phát triển cải tiến mơ hình tốn học; đưa cách giải báo cáo Hình 2.2 Sơ đồ quy trình bước mơ hình hóa tốn học Lưu ý q trình MHHTH tiến hành theo trình tự có tính tuần hồn vấn đề thực tiễn giải Tức sau THH vấn đề thực tiễn, giải vấn đề tốn học đưa kết phù hợp không phù hợp với kết thực tế, chí khơng có kết tốn học q trình THH khơng đắn Nếu kết thực tế khơng phù hợp hay khơng giải ta lặp lại trình 1, 2, (theo sơ đồ) cách: 1) Xét lại yếu tố có xác, phù hợp với tình thực tế hay không 2) Đưa cách tiếp cận từ trình THH 2 Dạy học giải vấn đề sử dụng MHH toán học Trong dạy học giải vấn đề, cá nhân cần thiết phải sử dụng kiến thức tốn học chương trình để áp dụng vào tình thực tế tình mơ thực tế Lesh Zawojewski (2007) đưa định nghĩa giải vấn đề sau: Một nhiệm vụ hoạt động hướng tới mục tiêu trở thành vấn đề (hoặc có vấn đề) "người giải vấn đề" (có thể nhóm tham gia hợp tác) cần phát triển theo cách tư hiệu tình cho Suy nghĩ theo cách hiệu địi hỏi người giải vấn đề giải thích tình tốn học, thường bao gồm chu kỳ lặp lại để diễn đạt, kiểm tra sửa đổi giải thích tốn học khái niệm toán học rút từ nguồn khác nhau, Lesh Zawojewski (2007) cho mơ hình toán học cách tiếp cận xử lý việc giải vấn đề, đóng vai trị khơng thể thiếu cho phát triển hiểu biết khái niệm hay q trình tốn học Quan điểm dạy học dựa vào vấn đề PBL (Problem­Based Learning) nhà nghiên cứu ủng hộ định hướng cải cách dạy học toán Tại Singapor, Bộ giáo dục giới thiệu PBL phương pháp dạy học hỗ trợ thường xuyên Thiết lập PBL coi tảng thích hợp để thực hoạt động MHH toán học (Hjalmarson & Diefes-Dux, 2007) Thiết lập PBL gồm ba thành tố chính: nhiệm vụ MHH, giáo viên học sinh Sự tương tác ba thành tố làm cho việc giải vấn đề có ý nghĩa học tập ln thúc đẩy Các cơng việc mơ hình hóa tạo kích thích có tính thách thức học sinh tạo nhiều quan điểm từ Nhiệm vụ mơ hình vấn đề phức tạp, địi hỏi học sinh làm việc cộng tác để hiểu nhiệm vụ, phát triển, kiểm tra sửa đổi giải pháp họ Giáo viên hoạt động huấn luyện viên nhận thức Giáo viên đóng vai trị phần nhóm học tập không cung cấp giải pháp Điều cho phép giáo viên hiểu học sinh biết làm Giáo viên đưa nhận xét, cung cấp phản hồi hỗ trợ, mở rộng tư học sinh cách thách thức giải pháp họ Theo đó, PBL giúp phát triển tính tự định hướng học sinh việc học giáo viên khơng đưa nguyên tắc thực hành vắng mặt nhóm hầu hết thời gian Nhưng điều khiến cho học sinh nhiều thời gian để đạt mục tiêu học tập Trong dạy học giải vấn đề G Blum Borromeo Ferri đưa phương pháp giải vấn đề đơn giản gồm giai đoạn sau: Hình 2.3 Phương pháp giải vấn đề mô tả Blum Borromeo Ferri Tuy nhiên, phương pháp giải vấn đề thuộc loại chứa đựng nhược điểm Ví dụ, Meyer Voigt (2010) phương pháp giải vấn đề nhằm vào việc hiểu cách giải cuối cách nhanh chóng nhằm vào hiểu trình giải vấn đề thực tế, có mơn học bổ sung áp dụng cho HS trình học Franke Ruwisch (2010) sức để u cầu học sinh có kinh nghiệm giải vấn đề để tìm kiếm giải pháp trì sử dụng phương pháp theo quy trình tổng qt Ứng dụng MHH tốn học Bài toán: Cỏ đồng mọc với tốc độ đặn ngày Có nhiều bị ăn cỏ, số bị cỏ lâu hết 200 bò ăn hết đồng cỏ 100 ngày 150 bò ăn hết đồng cỏ 150 ngày Hỏi 100 bò ăn hết đồng cỏ ngày? Đây toán dựa toán cổ Newton, dành cho học sinh lớp Ta giải sau: Giả sử bò ăn hết đơn vị cỏ ngày Số cỏ 200 bò ăn hết 100 ngày 200  100 = 20000 (đơn vị) Số cỏ 150 bò ăn hết 150 ngày 150  150 = 22500 (đơn vị) Từ suy ra, số cỏ mọc thêm ngày bằng: (22500  20000) : (150  100) = 50 (đơn vị) Số cỏ mọc sẵn cánh đồng 20000  100  50 = 15000 (đơn vị) Theo giả thiết đặt ban đầu ta thấy ngày 100 bò ăn hết 100 đơn vị cỏ, mà cỏ mọc thêm 50 đơn vị ngày nên suy số cỏ cánh đồng thực chất ngày giảm 50 đơn vị Vậy, để ăn hết cánh đồng cỏ 15000 đơn vị, 100 bò cần ăn số ngày 15000 : 50 = 300 (ngày) Ta thấy lời giải tốn gây khó hiểu cho học sinh lớp học sinh lứa tuổi khác, đưa đề lên trang báo mạng, có thống kê hàng triệu người giải sai Thực chất việc tính tốn để tìm kết tốn dễ dàng với học sinh Khó khăn lớn lại nằm việc đọc hiểu toán, cách suy luận để tiếp cận toán Ta dùng công cụ MHH để giải vấn đề Đây toán liên quan đến giới thực, chưa vấn đề giới thực, số giả định phù hợp với việc giải dựa vào kiến thức toán học học sinh lớp đưa ra: Cỏ mọc đặn ngày; 200 bò ăn hết đồng cỏ 100 ngày 150 bò ăn hết đồng cỏ 150 ngày Trên thực tế lượng cỏ bò ăn ngày khác nhau, số lượng đàn bò tăng lên (hay giảm đi) lượng cỏ mà đàn bị ăn khơng quan hệ tuyến tính với số lượng bị đàn Hơn lượng cỏ mọc thêm ngày khác diện tích, chưa kể đến yếu tố khác tác động đến tốc độ cỏ mọc như: thời tiết, tác động đàn bò, yếu tố sinh trưởng loại cỏ,… Hiểu vấn đề: Bài toán xoay quanh mối quan hệ số lượng đàn bò lượng cỏ đồng Vấn đề lượng cỏ đồng số cố định mà tăng theo thời gian Nếu đàn bị đơng cỏ mọc thêm chậm, chí chưa kịp mọc bị bò ăn hết Như với số lượng đàn bò nêu giả thiết vượt mức giới hạn số lượng đàn bò cần thiết để ngày ăn đủ lượng cỏ mọc thêm cánh đồng Từ kiện tốn cho ta biết tổng lượng cỏ có sẵn lượng cỏ mọc thêm 100 ngày 150 ngày Những câu hỏi cần đặt giai đoạn là: Vấn đề gì? có yếu tố đó? Mối quan hệ yếu tố đó? Dữ kiện nêu cho ta biết điều gì? Thiết lập mơ hình: Các kiện cần thiết là: Cỏ mọc đặn ngày; lượng cỏ (tính theo đơn vị, chẳng hạn kg, bó đấu) có sẵn mọc thêm 100 ngày 150 ngày; số lượng bò ăn hết cỏ khoảng thời gian tương ứng Ta giả định: Trung bình bị ngày ăn hết 1đơn vị cỏ Sử dụng phép toán cộng nhân liệu: Lượng cỏ mà đàn bò 200 ăn hết 100 ngày là: 200  100 = 20000 (đơn vị) = lượng cỏ có sẵn ban đầu + lượng cỏ mọc thêm sau 100 ngày Lượng cỏ mà đàn bò 150 ăn hết 150 ngày là: 150  150 = 22500 (đơn vị) = lượng cỏ có sẵn ban đầu + lượng cỏ mọc thêm sau 150 ngày Muốn biết đàn bò 100 ăn hết đồng cỏ ngày ta phải biết tổng lượng cỏ đàn bị ăn Do phải biết lượng cỏ mọc thêm ngày Từ biết số lượng bò vượt mức ăn đủ lượng cỏ mọc thêm ngày số 100 bò Do tìm thời gian mà số bị vượt mức ăn hết lượng cỏ ban đầu có sẵn cánh đồng Sử dụng tốn học: Rõ ràng: (lượng cỏ có sẵn ban đầu + lượng cỏ mọc thêm sau 150 ngày)  (lượng cỏ có sẵn ban đầu + lượng cỏ mọc thêm sau 100 ngày) = lượng cỏ mọc thêm sau 150 ngày  lượng cỏ mọc thêm sau 100 ngày = lượng cỏ mọc thêm sau 50 ngày = 22500  20000 = 2500 (đơn vị) Nên lượng cỏ mọc thêm ngày 2500 : 50 = 50 (đơn vị) Đủ cho 50 bò ăn ngày Số cịn lại phải ăn lượng cỏ có sẵn ban đầu Lượng cỏ ban đầu có sẵn là: 20000  100  50 = 15000 (đơn vị) Vậy 100 bò ăn hết cỏ cánh đồng 15000 : (100  50) = 300 ngày Đánh giá/Giải thích kết mơ hình: Mơ hình dựa vào giả định quan trọng có liên quan mật thiết đến việc hiểu vấn đề toán nêu, với suy luận hợp hợp logic Việc tính tốn cơng việc đơn giản Có thể thấy kết tốn kết luận vấn đề nêu Đối với học sinh lớp 8, ta sử dụng MHH giải tốn với mục đích khắc sâu chủ đề Giải tốn cách lập phương trình sau: Thiết lập mơ hình: Ta giả định: Trung bình bò ngày ăn hết 30 kg cỏ Gọi X (kg) lượng cỏ mọc thêm ngày Cần thiết lập mối quan hệ liệu biết theo X Ở cần lưu ý lượng cỏ có sẵn ban đầu khơng đổi Chỉ có lượng cỏ mọc thêm khoảng thời gian khác khác nhau, biểu diễn tuyến tính theo X Câu hỏi đặt giai đoạn như: Các đại lượng biểu diễn theo X? Có thể thiết lập phương trình biểu diễn mối quan hệ liệu theo X khơng? Nếu làm nào? Lượng cỏ mọc thêm sau 100 ngày 100X; Lượng cỏ mọc thêm sau 150 ngày 150X; Lượng cỏ có sẵn ban đầu = Lượng cỏ 150 bò ăn 150 ngày  lượng cỏ mọc thêm 150 ngày = Lượng cỏ 200 bò ăn 100 ngày  lượng cỏ mọc thêm 100 ngày Sử dụng tốn học: Ta có phương trình: 150.30.150  150X = 200.30.100  100X  50X = (150.150  200.100).30  X = 50.30 = 1500 Lượng cỏ có sẵn ban đầu 150.150.30  150.50.30 = 15000.30 = 450000 (kg) Vậy để 100 bò ăn liên tục đến hết cỏ đồng cần 450000 = 300 (ngày) (100  50).30 Đánh giá/giải thích kết mơ hình: Việc giả định bò ngày ăn hết 30kg cỏ phù hợp với thực tế, nhiên lại gây khó khăn phải tính tốn số lớn Vì đơn vị sử dụng trường hợp không ảnh hưởng tới kết toán tới giải pháp cho vấn đề nên thay đơn vị phù hợp hơn, có tính tổng qt cao hơn, chẳng hạn Mỗi bò ngày ăn hết 1đơn vị cỏ đấu cỏ Do ta cải tiến mơ hình cách đánh giá việc thiết lập mơ hình liên hệ với tính đắn giai đoạn sử dụng toán học thỏa đáng kết cuối Đối với học sinh lớp học hệ phương trình bậc hai ẩn, ta sử dụng MHH nhằm rèn luyện kĩ giải tốn cách lập hệ phương trình Thiết lập mơ hình: Ta giả định: Trung bình bò ngày ăn hết đấu cỏ Gọi X (đấu) lượng cỏ mọc thêm ngày Tức cho X bò ăn cỏ chúng ăn vừa đủ số cỏ mọc thêm ngày Gọi Y (đấu) lượng cỏ có sẵn thời điểm ban đầu Câu hỏi đặt ra: Đại lượng biểu diễn theo X? Đại lượng biểu diễn theo Y? Mối quan hệ X Y? Có thể biểu diễn mối quan hệ nào? Lượng cỏ mà đàn bò 200 ăn 100 ngày = lượng cỏ có sẵn ban đầu + lượng cỏ mọc thêm 100 ngày; Lượng cỏ mà đàn bò 150 ăn 150 ngày = lượng cỏ có sẵn ban đầu + lượng cỏ mọc thêm 150 ngày; Nếu biết X biết Y ngược lại Sử dụng toán học: Lượng cỏ mà 200 bò ăn hết 100 ngày là: 200.100 = Y + 100X (1) Lượng cỏ mà 150 bò ăn hết 150 ngày là: 150.150 = Y + 150X (2) 200.100 = Y + 100X Khi X, Y nghiệm hệ phương trình  150.150 = Y + 150X Giải hệ ta có nghiệm X = 50; Y = 15000 Đồ thị để biểu diễn nghiệm hệ phương trình: Thời gian để đàn bị 100 ăn hết cỏ cánh đồng 15000 : (100  50) = 300 ngày Đánh giá/Giải thích kết mơ hình : Kết toán kết luận cuối việc giải vấn đề nêu Đến học sinh hiểu vấn đề “Với đàn bị 100 vịng 300 ngày có 50 bị ăn hết lượng cỏ có sẵn 50 cịn lại ăn hết lượng cỏ hàng ngày mọc thêm cánh đồng” Câu hỏi củng cố: Nếu sau cỏ cánh đồng bị bò ăn hết, sau khơng cho bị ăn đồng cỏ sau cỏ mọc lại ban đầu ? Bài toán mơ hình đơn giản vấn đề cân sinh thái Nếu nguồn tài nguyên không tái sinh tái sinh chậm so với tốc độ khai thác đối tượng sử dụng nguy cạn kiệt tài nguyên thời gian ngắn chắn xảy Ở X vừa tốc độ cỏ tái sinh (mọc thêm), vừa số lượng bò ăn cỏ (đối tượng sử dụng tài nguyên), cỏ không mọc mọc chậm (tốc dộ tái sinh) số lượng bị ăn cỏ tỉ lệ nghịch với thời gian cỏ bị cạn kiệt III Kết luận Mơ hình tốn học xem hoạt động giải vấn đề với đặc trưng sử dụng cơng việc mơ hình để thúc đẩy việc học tập học sinh Qua học sinh rèn luyện kĩ toán học, kĩ giải vấn đề, hoạt động nhóm, tăng cường hiểu biết vấn đề tự nhiên – xã hội thơng qua q trình học tập Ứng dụng MHH góc độ dạy học giải vấn đề nơi có tương tác học sinh giáo viên nhằm cung cấp mơi trường học tập có khả nhận thức tự điều chỉnh thân Từ quan điểm mơ hình hóa, trọng tâm q trình phát triển khái niệm biểu diễn mơ tả tốn học tình cụ thể Để học sinh xây dựng mơ hình hiệu vận hành chúng, cơng việc mơ hình hố phải thiết kế phù hợp để đạt mục tiêu học tập, cho phép học sinh có kỹ thói quen giải vấn đề ứng dụng thực tế TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] CHAN Chun Ming Eric “Mathematical Modelling in a PBL Setting for Pupils: Features and Task Design” Mathematical Applications and Modelling_ Yearbook 2010, Association of Mathematics Educators - World Scientific Publishing Company (2010), 112­115 [2] Gabriele Kaiser (2004), Mathematical Modelling in School – Example and Experiences [3] Ok Ki Kang (2012), Teaching mathematical Modeling in school mathematics, Sung Kyun Kwan University, Korea [4] Blum, W., Galbraith, P L., Henn, H.-W., & Niss, M (2002) ICME Study 14: Applications and modelling in mathematics education - discussion document Educational Studies in Mathematics, 51(12), 149-171 [5] Mogens Niss, Werner Blum and Peter Galbraith (2007) ICME Study 14: Modelling and Applications in Mathematics Education Springer (2007), 3­7 [6] Lesh, R., & Zawojewski, J (2007) Problem solving and modeling In F K Lester (Ed.), Second handbook of research on mathematics teaching and learning: A project of the National Council of Teachers of Mathematics, pp 763-803 Charlotte, NC: Image Age Publishing [7] http://vnexpress.net/tin-tuc/giao-duc/bai-toan-dan-bo-an-co-co-the-khien-ban-biroi-3532743.html  ... đơn giản hóa, lí tưởng hóa vấn đề  Miêu tả vấn đề mơi trường tốn học Giải vấn đề toán học  Sử dụng phương pháp toán học công cụ ứng dụng công nghệ thông tin để dẫn tới kết toán học Diễn giải ... thực sử dụng để mô tả giới bên ngồi tốn học, phần rộng lớn quan tâm vấn đề kết cụ thể Vấn đề thực tế Mơ hình tốn học Kết toán học Kết thực tế Cách giải Tốn học hóa  Hiểu vấn đề  Thiết lập giả... không 2) Đưa cách tiếp cận từ trình THH 2 Dạy học giải vấn đề sử dụng MHH toán học Trong dạy học giải vấn đề, cá nhân cần thiết phải sử dụng kiến thức toán học chương trình để áp dụng vào tình thực