Lêi kÕt Mét sè c¸ch gi¶i ph¬ng tr×nh bËc cao ®a vÒ ph¬ng tr×nh bËc nhÊt vµ bËc hai trong chơng trình lớp 8, 9 hiện nay mà bản thân tôi đã đúc rút trong quá trình giảng dạy, trong một chừ[r]
(1)PhÇn më ®Çu Đặt vấn đề I Më ®Çu Toán học là môn khoa học bản, đợc ứng dụng các ngành khoa học khác HiÖn nay, chóng ta ®ang thùc hiÖn ch¬ng tr×nh c¶i c¸ch gi¸o dôc víi néi dung vµ kiến thức ngày càng cao Việc đòi hỏi học sinh phải nắm đợc kiến thức theo yêu cÇu míi lµ häc sinh ph¶i biÕt vËn dông lý thuyÕt vµo gi¶i quyÕt c¸c bµi tËp thùc tÕ Trong ch¬ng tr×nh to¸n häc THCS, ë mçi ph©n m«n nh: Sè häc, §¹i sè, H×nh häc … có dạng toán riêng Mỗi dạng toán đòi hỏi phải có phơng pháp riêng, phơng pháp nghiên cứu nó cách hợp lý thì có thể học và đào tạo sâu đ ợc kiến thøc còng nh viÖc h×nh thµnh kü n¨ng, kü x¶o cho häc sinh Khi gi¶i c¸c bµi tËp to¸n học không đòi hỏi học sinh phải linh hoạt việc áp dụng các công thức mà còn phải biết đào sâu khai thác, phát triển bài toán để tổng quát hóa, khái quát hoá kiến thøc Trong quá trình giảng dạy phơng trình chơng trình đại số 8, 9, thân tôi thấy giải phơng trình bậc cao là vấn đề khó và nan giải các em học sinh Việc giải phơng trình bậc cao học sinh THCS đòi hỏi mức độ đơn giản, chủ yếu là từ phơng trình đặc biệt đa phơng trình bậc và phơng trình bậc hai nhằm rèn luyện kỹ giải phơng trình bậc và phơng trình bậc hai Qua đó hớng cho học sinh t khái quát phơng trình để các em làm quen dần với cách gi¶i ph¬ng tr×nh ch¬ng tr×nh THPT Với suy nghĩ đó tôi mạnh dạn đa đây các phơng pháp giải số phơng trình bậc cao đặc biệt để giúp các em học sinh nâng cao kỹ và kiến thức giải phơng tr×nh II NhiÖm vô nghiªn cøu Phơng trình bậc ẩn, phơng trình bậc hai ẩn, phơng trình tích, phơng trình đối xứng bậc chẵn, phơng trình đối xứng bậc lẻ, phơng trình phản thơng, phơng trình hồi quy, phơng trình trùng phơng, phơng trình tam thức và số phơng trình có dạng đặc biệt khác Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh bËc cao trªn vµ c¸c bµi tËp minh ho¹ III §èi tîng nghiªn cøu Häc sinh líp 8, cña trêng THCS (2) Gióp häc sinh gi¶i mét sè ph¬ng tr×nh bËc cao ch¬ng tr×nh to¸n líp 8, IV Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu Tham khảo tài liệu, thu thập tài liệu, đúc rút tổng kết kinh nghiệm, kiểm tra kết qu¶ (dù giê, kiÓm tra chÊt lîng häc sinh, nghiªn cøu hå s¬ gi¶ng d¹y, kiÓm tra trùc tiÕp thông qua các học thể trên nhiều đối tợng học sinh khác nhau: Học sinh khá giái, häc sinh trung b×nh, yÕu vÒ m«n to¸n) V Ph¹m vi nghiªn cøu Giới hạn vấn đề giảng dạy phần giải các phơng trình bậc cao chơng trình to¸n THCS (3) PhÇn thø hai giải vấn đề Nh÷ng kiÕn thøc c¬ së §Þnh nghÜa ph¬ng tr×nh bËc cao Ta gọi phơng trình đại số bậc n (n 3) ẩn x trên tập số thực là các phơng trình đợc đa dạng: anxn + an-1xn-1+ + a1x + ao = 0, đó n ; a1 ;a ; a n ; an Định lý: Trên tập số thực, phơng trình bậc n luôn phân tích đợc thành tÝch cña c¸c nhÞ thøc bËc nhÊt vµ c¸c tam thøc bËc hai Ph¬ng tr×nh bËc nhÊt mét Èn Dạng tổng quát ax + b = đó a, b ; a x b a Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm: * Chú ý: Giải phơng trình mx + n = 0, phơng trình đã cho cha đã là phơng tr×nh bËc nhÊt nªn gi¶i cÇn ph¶i xem xÐt hÕt c¸c trêng hîp : n x m + NÕu m th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm nhÊt + NÕu m = th× ph¬ng tr×nh cã d¹ng 0x = n - NÕu n = th× ph¬ng tr×nh v« sè nghiÖm - NÕu n th× ph¬ng tr×nh v« nghiÖm Ph¬ng tr×nh bËc hai mét Èn D¹ng tæng qu¸t: ax bx c 0 víi a 0 XÐt = b2 – 4ac + < th× ph¬ng tr×nh v« nghiÖm + = th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp: x1 x b 2a x1,2 b 2a + > th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm ph©n biÖt: §Þnh lý: + Ph¬ng tr×nh anxn + an-1xn-1+ + a1x + ao = nÕu cã nghiÖm a0 hữu tỷ thì nghiệm đó là ớc a n + P(x) = cã nghiÖm lµ a th× P(x) ( x - a) Một số phơng pháp thờng dùng để giảI phơng trình bậc cao (4) ë phæ th«ng kh«ng häc phÐp gi¶i tæng qu¸t cho ph¬ng tr×nh bËc 3, bËc cßn phơng trình bậc không có phép giải tổng quát Tuy nhiên số trờng hợp đặc biệt có thể đa phơng trình cần giải phơng trình bậc một, bậc hai Ta phải dựa vào đặc thù phơng trình cần giải để có phơng pháp thích hợp Gi¶i vµ gi¶ng d¹y c¸c bµi to¸n vÒ gi¶i ph¬ng tr×nh bËc cao quy vÒ bËc nhÊt mét Èn sè hoÆc bËc hai n»m qu¸ tr×nh gi¶i ph¬ng tr×nh bËc nhÊt, bËc hai Nãi chung lµ bao gồm nhiều dạng và phong phú đợc các nhà toán học và s phạm quan tâm và đề cập tới nhều tài liệu, tập san toán học Căn vào mục đích ý nghĩa kết điều tra và thực tế giảng dạy chơng phơng trình Trong quá trình giảng dạy thân tôi đã nghiên cứu áp dụng lý luận quá trình dạy học, các phơng pháp đặc trng môn, áp dụng các kiến thức đã học để đa các phơng trình bậc cao phơng trình bậc nhất, bËc hai b»ng nhiÒu c¸ch I Ph¬ng ph¸p 1: §a vÒ ph¬ng tr×nh tÝch Ph¬ng tr×nh tÝch lµ ph¬ng tr×nh cã d¹ng: F(x).G(x)… H(x) = (1) F(x) 0 G(x) 0 H(x) 0 (2) Để đa phơng trình đã cho dạng (2) ta có thể dùng các cách sau: - Ph©n thÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: - §Æt nh©n tö chung - Dùng đẳng thức - Nhãm nhiÒu h¹ng tö - Thªm (bít) c¸c h¹ng tö - Phèi hîp nhiÒu ph¬ng ph¸p nªu trªn 3 3 * VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh: ( x 1) x ( x 1) ( x 2) (1) * Lêi gi¶i (x 1)3 x (x 1)3 (x 2)3 x3 - 3x2 + 3x - + x3 + x3 + 3x2 + 3x + = x3 + 6x2 + 12x + x3 - 3x2 - 3x - = x3 - - 3x2 - 3x - = (x-1)(x2 + x + 1) - 3(x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x - 4) = Víi häc sinh líp lµm nh sau: (5) 1 x 0 2 Do x2 + x + = nªn ph¬ng tr×nh cã mét nghiÖm x = Víi häc sinh líp 9: x + x + 1=0 (∗) ¿ (**) (*) x-4 =0 ¿ ¿ ¿ ¿ Gi¶i ph¬ng tr×nh (*) Δ=1− 4=− 3<0 nªn (*) v« nghiÖm Giải (**) ta đợc x =4 Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là x = ViÖc nhÈm nghiÖm c¸c ph¬ng tr×nh dùa trªn c¸c c¬ së sau: - NÕu ®a thøc cã tæng c¸c hÖ sè b»ng th× lµ nghiÖm cña ®a thøc, ®a thøc chøa thõa sè x - - NÕu ®a thøc cã tæng c¸c hÖ sè cña mét sè h¹ng bËc ch½n b»ng tæng c¸c hÖ sè cña sè h¹ng bËc lÎ th× -1 lµ nghiÖm cña ®a thøc, ®a thøc chøa thõa sè (x + 1) - Mọi nghiệm nguyên đa thức là ớc hệ số tự là a0 * VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh: x3 – 7x2 + 12x – = (2) * Lêi gi¶i (1) x3 – x2 – 6x2 + 6x + 6x – = x2(x – 1) – 6x(x – 1) + 6(x – 1) = (x –1)(x2 – 6x + 6) = x 1 x 1 x 6x 0 x 3 * VÝ dô 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh: (x – 1)3 +(2x + 3)3 = 27x3 + (3) * Lêi gi¶i (2) x3 – 3x2 + 3x – +8x3 + 36x2 + 54x + 27 = 27x3 + 18x3 – 33x2 –57x – 18 = 3(6x3 –11x2 – 19x – 6) = 6x3 – 18x2 + 7x2 –21x +2x – = 6x2(x – 3) + 7x(x – 3) + 2(x – 3) = (x – 3)(6x2 + 7x + 2) = x 3 x 3 x 97 6x 7x 0 12 (6) x4 5x * VÝ dô 4: Gi¶i ph¬ng tr×nh: x (§Ò thi v¶o trêng Lª Hång Phong, TPHCM , n¨m 2003 - 2004) * Lêi gi¶i x4 5x x 5x 10x 0 x 2 x 2 (x 2)(x 1)(x 4x 2) 0 x x 4x 6 x 2 x x 2 ViÖc nhÈm nghiÖm nh ë trªn sÏ gÆp rÊt nhiÒu khã kh¨n nÕu sè h¹ng tù lµ a lớn và có nhiều ớc số Trong trờng hợp này ta áp dụng nhận xét sau để loại trừ bít c¸c íc kh«ng lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh mét c¸ch nhanh chãng * VÝ dô 5: 4x3 - 13x2 + 9x - 18 = (5) * Lêi gi¶i U(18) ( ±1 ; ± 2; ± ; ± ; ±9 ; ± 18 ) HiÓn nhiªn -1, kh«ng lµ nghiÖm cña (4) f(1) 0, f(-1) f (1) 18 Ta thÊy f ( 1) 44 11 1 Ph¬ng tr×nh (4) cã kh¼ n¨ng cã nghiÖm lµ x1 = áp dụng lợc đồ Hoócne ta đa phơng trình (5) dạng sau: (x - 3)(4x2 - x + 6) = x-3=0 (*) 4x2 - x + = (**) (*) x = (**) 4x2 - x + = = (-1)2 - 4.4.6 < (**) v« nghiÖm Nªn ph¬ng tr×nh (4) cã mét nghiÖm lµ: x = Chó ý: - ViÖc nhÈm nghiÖm ph¬ng tr×nh cã thÓ nhÈm miÖng råi dïng thuËt chia ®a thøc cho đa thức để hạ bậc đa phơng trình dạng tích - Có thể dùng lợc đồ Hoócne để xác định ớc số nào a0 là nghiệm, ớc số nào kh«ng lµ nghiÖm vµ ®a d¹ng ph©n tÝch - Bài tập dạng này tơng đối khó với học sinh nên dạy giáo viên cần lu ý khai thác hết các giả thiết, nhận xét có thể sử dụng phơng pháp nào, đẳng thức nào phân tích cho thích hợp Mỗi bài tập giải xong giáo viên nên chốt lại vấn đề và các (7) kiến thức cần sử dụng quá trình giải bài tổng quát, bài tơng tự, đặc biệt dùng để båi dìng häc sinh giái nh»m ph¸t triÓn t II Ph¬ng ph¸p 2: §Æt Èn phô Phơng pháp này thờng đợc dùng với các dạng phơng trình sau: 2.1 Ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng * Lµ ph¬ng tr×nh cã d¹ng ax4 + bx2 + c = (a 0) (1) * C¸ch gi¶i §Æt x2 = y (víi y 0) th× (1) ay2 + by + c = 2.2 Phơng trình đối xứng bậc chẵn Lµ ph¬ng tr×nh cã d¹ng: a0x2n + a1x2n-1 + + an-1xn+1 +anxn + an+1xn-1 + + a1x + a0 = (2) víi a 0 * C¸ch gi¶i - NÕu x = kh«ng lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (2) th× ta chia c¶ hai vÕ cña ph¬ng tr×nh (2) cho xn a x n a1x n a n 1x1 a n x (1) a0 xn n x y x x §Æt a n a 0n x x =0 n a1a x n a n 0 x =0 ta ®a ph¬ng tr×nh (2) vÒ ph¬ng tr×nh bËc n víi Èn y 2.3 Phơng trình đối xứng bậc lẻ * Lµ ph¬ng tr×nh cã d¹ng a0x2n+1 + a1x2n + + an+1xn+1 +anxn + an-1xn-1 + + a1x + a0 = (3) víi a 0 * C¸ch gi¶i Ph¬ng tr×nh nµy lu«n cã nghiÖm x = -1 ta chia c¶ hai vÕ cña ph¬ng tr×nh (3) cho x + ta đợc phơng trình đối xứng bậc chẵn 2.4 Ph¬ng tr×nh ph¶n th¬ng * Lµ ph¬ng tr×nh cã d¹ng: ax4 + bx3 + cx2- bx + a = (4) víi a 0 hoÆc ax4- bx3 + cx2 + bx + a = (5) víi a 0 * C¸ch gi¶i Ta nhËn thÊy x = kh«ng lµ nghiÖm cña (4) suy ta chia c¶ hai vÕ cña ph¬ng tr×nh cho x2 ta cã: ax bx c b (4) 1 a 0 x x (8) 1 a x b x c 0 x x 1 y x x y x x §Æt ta cã ph¬ng tr×nh ay2 + by + c + 2a = y x Tơng tự cho phơng trình (5) ta đặt x 2.5 Ph¬ng tr×nh håi quy * Là phơng trình có dạng : ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = (6) đó e d t a b víi a 0 * C¸ch gi¶i: Khi x = kh«ng lµ nghiÖm cña (6) th× ta chia c¶ hai vÕ cña (6) cho 1 ax bx c d e 0 x x x2 ta cã: (6) 1 ax e bx d c 0 x x t2 t a x d x c 0 x x y x §Æt t x lúc đó (6) ay2 + by + c + 2at = 2.6 Ph¬ng tr×nh cã d¹ng: (x+a)4+(x+b)4= c (7) * C¸ch gi¶i: y x §Æt a b a b x y 2 2y 3(a b) y (7) (a b) c 0 2.7 Phơng trình có dạng: (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = mx2 đó ad = bc * C¸ch gi¶i: Ta nhãm [(x+a)(x+d)][(x+b)(x+c)] = mx2 [x2 + (a+d)x + ad][x2 + (b + c)x + bc] = mx2 (8) Ta thÊy x = kh«ng lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (8) ta chia c¶ hai vÕ cña ph¬ng tr×nh (8) cho x2 ad bc x (a d) x x (c b) x m th× (8) ad y x x §Æt (8) (y a d)(y c d) m (9) 2.8 Phơng trình có dạng (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = m đó a+d = b+c * C¸ch gi¶i Ta nhãm [(x+a)(x+d)][(x+b)(x+c)] = m (1) Đặt y = (x+a)(x+d) thay vào phơng trình (1) ta tìm đực y0 Gi¶i ph¬ng tr×nh (x+a)(x+d) = y0 ta cã x0 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) 2.9 Ph¬ng tr×nh tam thøc Là phơng trình có dạng: ax2n + bxn + c = (10) với a ≠ đó a, b, c , n lµ nguyªn d¬ng, n > NÕu a, b, c * vµ n = th× ph¬ng tr×nh (10) lµ ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng * C¸ch gi¶i : x n y ay dy c 0 n §Æt x = y th× (10) 2.10 Phơng trình có dạng: d(x + a)(x + b)(x + c) = mx đó d a b c , m = (d - a)(d - b)(d - c) * C¸ch gi¶i : * Chú ý: Trên thực tế, nhiều phơng trình bậc cao phải biến đổi đa các d¹ng c¬ b¶n nãi trªn * VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh x4 – 5x2 + = (1) * Lêi gi¶i: §Æt x2 = y (y 0) (1) y2 – y + = y 2 (y – 2)(y – 3) = y 3 + NÕu y = x2 = x + NÕu y = x2 = x * VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh: x4 – 5x3 + 6x2 – 5x + = (2) (§Ò thi tèt nghiÖp THCS tØnh Hng Yªn , n¨m 1996 - 1997) * Lêi gi¶i: Ta thấy x = không là nghiệm (2), chia hai vế (2) cho x2 ta đợc x 5x 0 x x 1 x x 0 x x (*) 1 y x x y x x §Æt (10) (*) y2 – 5y + = Xét = 25 – 40 < phơng trình đã cho vô nghiệm * VÝ dô 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh x5 + 4x4 + x3 + x2 + 4x +1 = (3) * Lêi gi¶i: (2) (x + 1)(x4 + 3x3 – 2x2 + 3x + 1) = x x 3x 2x 3x 0 (*) Gi¶i (*) : x4 +3x3 – 2x2 + 3x + = Ta thấy x = không là nghiệm (*), chia vế (*) cho x2 ta đợc: x 3x 0 x x 1 x x 0 x x 1 y x x y x x §Æt ta đợc y2 + 3y - = y1 = 1, y2 = -4 x 1 x - NÕu y1 = x2 - x + = PT v« nghiÖm x x x - NÕu y2 = -4 x2 + 4x + = 1,2 * VÝ dô 4: Gi¶i ph¬ng tr×nh (3x + 4)(x + 1)(6x + 7)2 = (4) (§Ò thi vµo THPT Chuyªn §HSP Hµ Néi, n¨m 2006 - 2007) * Lêi gi¶i: (3x 4)(x 1)(6x 7) 6 (6x 8)(6x 6)(6x 7) 72 (*) §Æt 6x + = t, ta cã: (*) (t 1)(t 1)t 72 t t 72 0 t 3 2 - Víi t = 3, ta cã 5 6x x - Víi t = -3, ta cã 6x 3 x * Bµi to¸n trªn ta còng cã thÓ gi¶i theo c¸ch sau: (3x 4)(x 1)(6x 7) 6 2 (3x 7x 4)(6x 7) 6 (**) 2 Đặt t 3x 7x 36x 84x 49 12t , đó (**) trở thành: (11) 3 t1 12t t 0 t 2 3 3 t 3x 7x 12x 28x 19 0 4 - Víi PT v« nghiÖm 5 x1 2 t 3x 7x 9x 21x 10 0 3 x - Víi 2 * VÝ dô 5: Gi¶i ph¬ng tr×nh ( x x 2)( x x 12) 24 (5) (§Ò thi vµo THPT Chuyªn SPNN Hµ Néi, n¨m 2004 - 2005) * Lêi gi¶i: (x 3x 2)(x 7x 12) 24 (x 1)(x 2)(x 3)(x 4) 24 0 (x 5x 4)(x 5x 6) 24 0 Đặt t x 5x ta đợc: t t 2t 24 0 t 4 - NÕu t x 5x 10 0 PT v« nghiÖm - NÕu t 4 x 5x 0 x1 0 ; x Vậy phơng trình đã cho có hai nghiệm x = ; x = -5 * VÝ dô : Gi¶i ph¬ng tr×nh: x4 - 3x3 - 2x2 + 6x + = (6) * Lêi gi¶i: Ta thÊy x = kh«ng lµ ph¬ng tr×nh cña (6) ta chia c¶ hai vÕ cña (1) cho x 0 , ta đợc: 0 x x2 2 x x 0 x x y x x y x x §Æt x 3x Ta đợc phơng trình y2 - 3y + = Nhẩm nghiệm ta đợc y1 = 1, y2 = x x 1 x x 0 x x 2 - NÕu y1 = (12) x - NÕu y2 = 2 x 2x 0 x1,2 1 x * VÝ dô : Gi¶i ph¬ng tr×nh (x – 5)4 + (x – 7)4 = 16 (7) (§Ò thi chän HSG To¸n 8, tØnh H¶i D¬ng, n¨m 2001 - 2002) * Lêi gi¶i: y x §Æt 5 x x y (7) (y + 1)4 + (y - 1)4 = 16 2y4 + 12y2 + = 16 y4 + 6y2 – = y 1 y 1 y (y2 – 1)(y2 + 7) = + NÕu y = ta cã x = + NÕu y = -1 ta cã x = VËy ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm lµ x1 = 7; x2 = * VÝ dô 8: Gi¶i ph¬ng tr×nh (x +3)(x + 5)(x + 6)(x + 10) = 2x2 (8) * Lêi gi¶i: (8) (x2 + 13x + 30)(x2 + 11x + 30) = 2x2 (*) V× x = kh«ng lµ nghiÖm cña (*) nªn ta chia c¶ hai vÕ cña (2) cho x2 ta cã: 30 30 x 13 x 11 2 x x 30 y x 11 x §Æt y(y+2) = y2 + 2y –2 = (**) x Gi¶i ph¬ng tr×nh (**) ta cã y0; gi¶i ph¬ng tr×nh 30 11 y x cã x0 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (8) * VÝ dô 9: Gi¶i ph¬ng tr×nh (x + 7)(x + 8)(x + 9) = 5x (9) * Lêi gi¶i: Phơng trình (9) có dạng 12(x + 7)(x + 8)(x + 9) = 60x (*) đó 12 8 9 ; 60 (12 7)(12 8)(12 9) §Æt y = x + 12 Ta cã (9) (y – 5)(y – 4)(y – 3) = 5( y –12) y3 – 12y2 + 47y – 60 =5y – 60 y3 – 12y2 + 42y = (13) y(y2 – 12y + 42) = y 0 y 0 y 12y 42 * VÝ dô 10: Gi¶i ph¬ng tr×nh 5(x-1)(x-5)(x-3)(x-15) = 7x2 (10) * Lêi gi¶i: (10) 5(x2 - 16x + 15)(x2 - 8x + 15) = 7x2 (*) V× x = kh«ng lµ nghiÖm cña (*) nªn ta chia c¶ hai vÕ cña (*) cho x ta 15 15 x 16 x 7 x x cã: 15 y x x §Æt ta cã: 5y(y - 8) = 5y2 - 40y – = (**) 15 y x x Gi¶i ph¬ng tr×nh (**) ta cã y0; gi¶i ph¬ng tr×nh ta cã x0 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (10) III Ph¬ng ph¸p 3: §a vÒ luü thõa cïng bËc Ta thêm bớt hạng tử để xuất đẳng thức thích hợp từ đó đa hai vế cña ph¬ng tr×nh vÒ luü thõa cïng bËc Bằng cách biến đổi hai vế phơng trình ta đa phơng trình đẵ cho phơng tr×nh cã d¹ng: An = Bn + NÕu n lµ sè ch½n th× A = ± B + NÕu n lµ sè lÎ th× A = B * VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh x4 = 2x2 + 8x +3 (1) (§Ò thi vµo THPT t×nh Hng Yªn, n¨m häc 2006 - 2007) * Lêi gi¶i: x 2x 8x x 2x 4x 8x (x 1) (2x 2) * NÕu x 2x x 2x 0 x1,2 1 2 * NÕu x 2x x 2x 0 PT v« nghiÖm x 1 Vậy phơng trình đã cho có hai nghiệm: 1,2 x3 x x (2) * VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh (§Ò thi vµo THPT Chuyªn §HSP Hµ Néi, n¨m 2002 - 2003) * Lêi gi¶i: (14) x x x 3x 3x 3x 1 3 4x (x 1) 4x x x 1 x 3 41 x3 3x x 0 (x 1) x * VÝ dô 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh (3) (§Ò thi vµo THPT Chuyªn §HSP Hµ Néi, n¨m 2000 – 2001) * Lêi gi¶i: §K: x x x x2 x2 t x t x ; xt x x x1 x §Æt Do đó x + t = xt Phơng trình đã cho trở thành: x t 3(x t) 0 (x t)3 3xt(x t) 3(x t) 0 (x t 1) 1 x t 1 x t 2 x2 2 x 2x 0 Khi đó ta có: x , ph¬ng tr×nh v« nghiÖm * VÝ dô 4: Gi¶i ph¬ng tr×nh 5x3 + 6x2 + 12x + = (4) (§Ò thi vµo THPT Chuyªn SPNN Hµ Néi, n¨m 2005 - 2006) * Lêi gi¶i: 5x 6x 12x 0 3 4x (x 6x 12x 8) 0 3 (x 2) 4x x x x 1 2 2 3 1 IV Phơng pháp 4: Dùng bất đẳng thức 2003 2004 x x 10 1 * VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh (1) (§Ò thi chän HSG To¸n 9, tØnh H¶i D¬ng, n¨m häc 2006 - 2007) * Lêi gi¶i: DÔ thÊy x = vµ x = 10 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) XÐt c¸c gi¸ trÞ cßn l¹i cña x + NÕu x < th× x - 9 > x - 92003 > vµ x - 102004 > (15) x - 92003 + x - 102004 > ph¬ng tr×nh (1) v« nghiÖm + NÕu x > 10 th× x - 10 > x - 102004 > vµ x - 92003 > x - 92003 + x - 102004 > ph¬ng tr×nh (1) v« nghiÖm + NÕu < x < 10 th× < x – < x - 92003 < x – 9; < 10 – x < x - 102004 < x - 10 < 10 – x x - 92003 + x - 102004 < x – + 10 – x = ph¬ng tr×nh v« nghiÖm Vậy phơng trình đã ch có nghiệm là x = 9; x = 10 ( x 1)3 ( x 5)3 8 216( x 1)3 (5 x)3 * VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh (2) * Lêi gi¶i: 3 3 §Æt x – = y ; – x = z Ta cã (y z 8) 216y z 3 3 Theo B§T C«si : (y z 8) 216y z Vậy y = z = 2, đó x = V Phơng pháp 5: Dùng hệ số bất định Gi¶ sö ph¬ng tr×nh tr×nh bËc 4: x4 + ax3 + bx2 + cx + d = vµ cã ph©n tÝch thµnh (x2 + a1x + b1)(x2 + a2x + b2) = lúc đó ta có: a1 a a a a b b b 2 a1b a b1 c b1b d TiÕp theo tiÕn hµnh nhÈm t×m c¸c hÖ sè a1; b1; a2; b2 B¾t ®Çu tõ b1b2 = d vµ chØ thö víi c¸c gi¸ trÞ nguyªn * VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh x4 - 4x3 - 10x2 + 37x - 14 = (1) * Lêi gi¶i: Giả sử phơng trình trên phân tích đợc thành dạng: (x2 + a1x + b1)(x2 + a2x + b2) = a1 a a a b b 10 2 a1b a b1 37 b b 14 Ta cã: b1 = -2; b2 = -7; a1 = -5; a2 = Ph¬ng tr×nh (1) cã d¹ng (x - 5x + 2)(x2 + x - 7) = TiÕp tôc gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh bËc hai: x2 - 5x + = vµ x2 + x - = ta cã nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) lµ: 17 17 29 29 ; x2 = ;x3 = 2 x1 = ; x4 = (16) * Chú ý: Với phơng pháp này có thể giải đợc với phơng trình không có nghiệm h÷u tû VI Ph¬ng ph¸p 6: Dïng tÝnh chÊt vÒ sè nghiÖm cña ph¬ng tr×nh Ngời ta chứng minh đợc phơng trình đại số bậc n có không quá n nghiệm thực Do đó ta đợc n nghiệm phơng trình đại số bậc n thì đó là tất các nghiệm phơng trình đó * VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh (m2 – m)2(x2 – x + 1)3 = (x2 – x)2(m2 – m +1)3 víi m lµ tham sè (1) * Lêi gi¶i: NhËn xÐt + x = m lµ mét nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) + Víi m = hoÆc m = th× cã hai nghiÖm lµ x = vµ x = - XÐt m ; m x ( v× nÕu x = th× m = hoÆc m =1) Gäi k lµ nghiÖm cña (1) k Chia vÕ cña (1) cho k6 ta cã: 2 1 1 m m k k k k (m m 1)3 m m k12 1k 1 k12 k1 (m2 m 1)3 k còng lµ nghiÖm cña (1) V× k lµ nghiÖm cña (1) nªn ta cã: 2 m 2 m k k 1 k k (m m 1)3 (m2 – m)2[(1 - k)2 – (1 - k) + 1]3 = [(1 - k)2 – (1 - k)]2(m2 – m + 1)3 (1 - k) còng lµ nghiÖm cña (1) Ta cã m lµ nghiÖm cña (1) m còng lµ nghiÖm cña (1) m lµ nghiÖm cña (1) - m còng lµ nghiÖm cña (1) 1 - m lµ nghiÖm cña (1) m còng lµ nghiÖm cña (1) 1 1 Điều kiện để giá trị : m; (1-m); m ; 1- m ; m ; 1- m đôi khác lµ: m 0; m 1; m -1; m 2; m + NÕu m = 0, m = 1, th× x = 0; x = + NÕu m = -1, m = vµ m = thì phơng trình (1) có dạng: 4(x2 – x + 1)3 = 27(x2 – x)2 (x+1)2(x-2)2(2x-1)2 = (17) Ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm : x1 = -1; x2 = 2; x3 = + NÕu m 0, m 1, m -1, m 2, m th× ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm: 1 1 m; (1-m); m ; 1- m ; m ; 1- m VII mét sè ph¬ng ph¸p kh¸c * VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh 2x4 – 10x2 + 17 = (1) * Lêi gi¶i: (1) x4 – 2x2 + + x4 – 8x2 + 16 = (x2 – 1)2 + (x2 – 4)2 = Không xẩy đồng thời x2 = và x2 = VËy ph¬ng tr×nh v« nghiÖm * VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh x4 – x3 + 2x2 – x + = (2) * Lêi gi¶i: (2) (x2 + 1)2 – x(x2 + 1) = (x2 + 1)(x2 – x + 1) = Ta thÊy x2 x x2 + > 0; x2 – x + > x VËy ph¬ng tr×nh v« nghiÖm * Ví dụ 3: Tìm k để phơng trình sau có nghiệm: ( x 2) x x(2 k 1) 5k 6k 3 2 x (3) (§Ò thi vµo THPT Hµ Néi- Amstesdam, n¨m 2000 - 2001) * Lêi gi¶i: (x 2) x 2x(2k 1) 5k 6k 3 2x (x 2) (x (2k 1)) (k 1) 1 2x (2) (x (2k 1)) (k 1) 1 1 Ta cã: nªn VT(2) ≥ x 2 L¹i cã x (2x 1) (x 1) 0 nªn 2x + ≤ x2 + VP(2) ≤ x2 + §Ó (2) cã nghiÖm th× VT = VP = x2 + x (2k 1) 0 k 1 k 1 x 1 k 1 k 0 x (x 1) 0 2x x Bµi tËp luyÖn Gi¶i ph¬ng tr×nh (18) Bµi 1: a) x4 + x2 + 6x - = b) ( x2 + 1)2 = 4(2x - 1) Bµi 2: a) (x2 - 5x)2 +10(x2 - 5x) + 24=0 b) (x2 + x - 2)(x2 + x - 3) =12 Bµi 3: a) x(x + 1)(x - 1)(x + 2) = 24 b) (x - 4)(x - 5)(x - 6)(x - 7) =1680 Bµi 4: a) (x2 - 6x + 9)2 - 15(x2 - 6x + 10) = b) (x2 + 1)2 + 3x(x2 + 1) + 2x2 = Bµi 5: (x + 1)4 + (x - 3)4 = 82 Bµi 6: x 4x 2x 4x 0 (§Ò thi vµo THPT Chuyªn SPNN Hµ Néi, n¨m 2006 - 2007) Bµi 7: Chøng minh r»ng c¸c ph¬ng tr×nh sau v« nghiÖm: a) x4 - 3x3 + 6x + 13 = b) x4 - 2x3 + 4x2 - 3x + = x6 x2 (2a 1) 2a 0 x Bµi 8: Cho ph¬ng tr×nh: x (8) a) Gi¶i (8) a = b) Tìm a để (8) có nhiều hai nghiệm dơng phân biệt (§Ò thi vµo THPT Hµ Néi- Amstesdam, n¨m 2006 - 2007) 2 1 m x x Bµi 9: Cho ph¬ng tr×nh: (9) a) Gi¶i (9) m = 15 b) Tìm a để (9) có bốn nghiệm phân biệt (§Ò thi vµo THPT Hµ Néi- Amstesdam, n¨m 2003 - 2004) PhÇn thø ba (19) kÕt luËn KÕt qu¶ Khi cha giảng dạy theo hệ thống đã trình bày trên, học sinh lúng túng gặp dạng toán này Từ việc cha định hớng đợc cách làm nên các em thờng làm vòng vo, lóng tóng Sau gi¶ng d¹y hÖ thèng c¸c ph¬ng ph¸p nh trªn, kÕt qu¶ kh¶o s¸t líp 9A3 cho thÊy : Tríc luyÖn Sau luyÖn Giái 35% 60% Kh¸ 25% 35% TB 35% 5% Díi TB 5% Qua quá trình áp dụng chuyên đề tôi thấy học sinh tự tin hơn, tích cực học tập không còn tình trạng thụ động, biết tìm tòi khám phá, biết tạo liên kết cái đã cho và kiến thức đã học với yêu cầu đòi hỏi bài toán Và có em học sinh giỏi còn nghĩ nhiều cách giải khác cho bài toán từ đó chọn cho mình cách giải đẹp, sáng tạo cụ thể là: - Học sinh trung bình đợc rèn kỹ Vận dụng các định lý các tính chất đã học vào giải bài tập, có phơng pháp để giải bài đại số Các em đã bớc đầu biết khám phá điều mẻ bài tập thông qua các tình có vấn đề - Häc sinh kh¸ giái rÊt s«i næi vµ híng thó häc tËp, c¸c em biÕt t×m tßi khám phá các bài tập tơng tự, các em đã biết chủ động đề xuất các vấn đề liên quan, cã em biÕt s¸ng t¹o gi¶i bµi tËp, cã nh÷ng c¸ch lµm kh¸c t×m híng gi¶i theo nhiÒu c¸ch kh¸c nhau, giê häc quan hÖ gi÷a thµy vµ trß, gi÷a trß vµ trß chñ động tích cực việc khám phá kiến thức nh việc vận dụng kiến thức đã học vµo gi¶i to¸n Bµi häc kinh nghiÖm: Qua gi¶ng d¹y nhÊt lµ ¸p dông s¸ng kiÕn t«i nhËn thÊy r»ng : Muốn học sinh học tốt trớc hết phải hiểu rõ đợc kiến thức Kết hợp với hớng dẫn giáo viên từ đó học sinh tìm tòi khám phá, phát kiến thức có hiệu qu¶ muèn vËy: (20) §èi víi thÇy: - Chủ động nghiên cứu sách sách giáo khoa, tài liệu tham khảo - D¹y häc sinh tõng d¹ng bµi tËp, ph©n d¹ng bµi tËp theo cÊu tróc kiÕn thøc - Híng cho c¸c em biÕt chia nhá bµi to¸n thµnh nh÷ng bµi to¸n c¬ b¶n §èi víi trß : - Cần thấy đợc phơng pháp học tốt nhất, có hiệu là phải tăng cờng học hỏi tích luỹ kiến thức tìm đợc liên hệ với kiến thức đã học và thực hành vận dụng vào giải toán từ bài đơn giản đến bài toán khó, cái em luôn phải đặt câu hỏi sao? Các yếu tố bài có quan hệ gì ? Ta phải làm nào? Tạo điều đó cách nào? Có đợc điều đó ta có gì ? - Đứng trớc bài toán phải biết phân tích đề biết vận dụng kiến thức đã học vào để tìm cách giải - Ngoµi c¸c em cÇn cã niÒm say mª häc tËp, biÕt tù nghiªn cøu thªm, làm bài tập đầy đủ dới hớng dẫn các thầy cô có thể trao đổi, thảo luận theo nhóm để giúp hiểu bài Nh÷ng h¹n chÕ: §Ò tµi ¸p dông cho häc sinh líp 8, ()còng cã thÓ BDHSG líp 8,9) Bªn c¹nh đó đề tài áp dụng đợc sau học sinh học xong phần kiến thức phơng trình bậc (ở lớp 8) và phơng trình bậc (ở lớp 9) và từ thời gian đó đến các kỳ thi không còn nhiều thời gian Chính vì ngời thầy phải chủ động phần kiến thức và trọng tâm kiến thức đại số THCS, ôn luyện cho học sinh cách có có hệ thống th«ng qua c¸c d¹ng bµi tËp Khã kh¨n ¸p dông cña s¸ng kiÕn: KiÕn thøc cã liªn quan tõ líp 6, 7, 8, rÊt nhiÒu häc sinh l¾m hêi hît cha ch¾n ch¾n, nhiÒu häc sinh cßn ng¹i häc,vµ tÝnh tæng hîp kiÕn thøc cña häc sinh cha cao Những đề xuất và kiến nghị Để giảng dạy đạt kết tốt hơn, mong tổ chuyên môn, các phận phụ trách chuyên môn các cấp mở các chuyên đề hội thảo để giáo viên có hội trao đổi học hỏi chuyên môn nghiệp vụ, nhằm nâng cao tay nghề, tháo gỡ khó khăn giúp cho giáo viên tích luỹ đợc nhiều t liệu phục vụ giảng dạy Lêi kÕt Mét sè c¸ch gi¶i ph¬ng tr×nh bËc cao ®a vÒ ph¬ng tr×nh bËc nhÊt vµ bËc hai chơng trình lớp 8, mà thân tôi đã đúc rút quá trình giảng dạy, chừng mực nào đó vấn đề dạy và học các phơng pháp và tìm lời giải cho (21) các bài tập thực có tác dụng cho học sinh để học sinh làm quen với phơng pháp suy nghĩ, tìm tòi Giáo viên cần có yêu cầu cụ thể tùng đối tợng học sinh, tăng cờng c«ng t¸c kiÓm tra bµi cò, cã biÖn ph¸p khÝch lÖ nh÷ng c¸c gi¶i hay, h¹n chÕ tèi ®a cho häc sinh t©m lý ch¸n m«n häc, û n¹i vµ chê gi¸o viªn ch÷a bµi tËp Trên đây tôi đã trình bày số kinh nghiệm dạy học sinh phơng trình bËc cao Víi chñ quan cña b¶n th©n ch¾c ch¾n cßn nhiÒu h¹n chÕ vµ thiÕu xãt Mong nhận đợc góp ý T«i xin ch©n thµnh c¸m ¬n ! V¨ng Giang, ngµy 14 th¸ng n¨m 2010 Ngêi viÕt Hoµng H¶i D¬ng Tµi liÖu tham kh¶o 1: Chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi THCS – Đại số (22) T¸c gi¶ NguyÔn vò Thanh 2: LuyÖn thi vµo líp 10 m«n To¸n T¸c gi¶ L¬ng Xu©n TiÕn 3: ¤n kiÕn thøc luyÖn kü n¨ng §¹i sè 8, T¸c gi¶ vò H÷u B×nh 4: 45 đề thi toán chọn lọc cấp THCS T¸c gi¶ Phan Do·n Tho¹i 5: Nh÷ng bµi to¸n ®iÓn h×nh - §¹i sè T¸c gi¶ :NguyÔn C«ng Quú 6: To¸n n©ng cao vµ ph¸t triÓn líp - TËp hai T¸c gi¶ Vò H÷u B×nh 7: Thùc hµnh gi¶i to¸n Nhµ xuÊt b¶n gi¸o dôc 8: Tuyển chọn theo chuyên đề tạp chi Toán học & Tuổi trẻ 9: T¹p chÝ To¸n Tuæi th¬ môc lôc Đặt vấn đề I Më ®Çu II NhiÖm vô nghiªn cøu (23) III §èi tîng nghiªn cøu IV Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu V Ph¹m vi nghiªn cøu Giải vấn đề A Nh÷ng kiÕn thøc c¬ së B Một số phơng pháp thờng dùng để giải phơng trình bậc cao Ph¬ng ph¸p 1: §a vÒ ph¬ng tr×nh tÝch Ph¬ng ph¸p 2: §Æt Èn phô Ph¬ng ph¸p 3: §a vÒ luü thõa cïng bËc 13 Phơng pháp 4: Dùng bất đẳng thức 14 Phơng pháp 5: Dùng hệ số bất định 15 Ph¬ng ph¸p 6: Dïng tÝnh chÊt vÒ sè nghiÖm cña ph¬ng tr×nh 16 Mét sè ph¬ng ph¸p kh¸c 17 D Bµi tËp luyÖn 18 KÕt luËn 19 KÕt qu¶ 19 Bµi häc kinh nghiÖm 20 Nh÷ng h¹n chÕ 20 §Ò xuÊt vµ kiÕn nghÞ 20 Lêi kÕt 21 ý kiến nhận xét đánh giá tổ KHTN (24) V¨n Giang, ngµy th¸ng n¨m 2010 T.M tæ KHTN Tæ trëng ý kiến nhận xét đánh giá trờng (25) V¨n Giang, ngµy th¸ng n¨m 2010 T.M H§KH trêng ý kiến nhận xét đánh giá phòng giáo dục & Đào tạo (26) V¨n Giang, ngµy th¸ng n¨m 2010 T.M H§KH (27)