CÁCH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO

1 Cách giải phương trình bậc cao Phương trình fx = 0 có bậc là n 1Nhẩm nghiệm,phân tích đa thức vế trái thành nhân tứ .Sau đó giải phương trình tích - Nếu x0 là một nghiệm thì vế trái

1

Cách giải phương trình bậc cao

Phương trình f(x) = 0 có bậc là n

1)Nhẩm nghiệm,phân tích đa thức vế trái thành nhân tứ Sau đó giải phương trình tích

- Nếu x0 là một nghiệm thì vế trái phương trình chia hế cho (x – x0) Lúc đó phương rình f(x) = 0 tương đương với phương trình : (x – x0).f1(x) = 0 (Phương trình f1(x) = 0 có bậc là n-1)

(x = x0 và các nghiệm của phương trình f1(x) = 0 đều là nghiệm của phương trình đã cho)

2) Dùng phương pháp hệ số bất định để phân tích vế trái thành tích

Dựa vào định nghĩa đa thức bằng nhau : Hai đa thức bằng nhau khi tất cả các hệ số tương ứng bằng nhau

(Hệ số của xk của đa thức này bằng hệ số của xk của đa thức kia với mọi k = 0,1,2,…,n )

Ví dụ1: Giải phương trình x4

– x3 – 4x2 + 7x - 3 = 0 Cách giải 1 :

Nhẩm,thấy x = 1 là một nghiệm của phương trình (Vì thay x = 1 vào phương trình thấy thỏa mãn) Ta tìm cách phân tích vế trái của phương trình thành một tích trong đó có một thừa số là (x – 1) :

+ Chia đa thức bậc 4 ở vế trái cho (x – 1) (Xem lại Đại số lớp 8 phần chia đa thức cho đa thức)

+ Hoặc chia nhẩm (Thầy thường nhẩm như sau) :

- Viết phương trình thành : x3(x – 1) – 4x(x – 1) + 3(x – 1) = 0 (x – 1)(x3 - 4x + 3) = 0

- Giải phương trình x3

– 4x + 3 = 0 Lại nhẩm thấy x = 1là một nghiệm Lại Chia đuổi như lần trước

- Viết phương trình thành x2(x – 1) + x(x – 1) – 3(x – 1) = 0 (x – 1)(x2 + x – 3) = 0 Bây giờ,tiếp tục giải phương trình x2 + x – 3 = 0 nữa là xong.(Đơn giản vậy thôi)

Như vậy ,ta có: x4

– x3 – 4x2 + 7x - 3 = 0 (x – 1)2(x2 + x – 3) = 0 phương trình có một nghiệm kép x0 = 1

và hai nghiệm đơn : x1,2 = 1 13

2

Cách giải 2 : Giả sử x4 – x3 – 4x2 + 7x - 3 = 0 (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = 0 Ta phải tìm a , b , c , d

Ta có : x4 – x3 – 4x2 + 7x - 3 = 0 (1)

(x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = 0 (*)

x4 + (a + c)x3 + (b + d + ac)x2 + (ad + bc)x + bd = 0 (2)

của phương trình (1) và vế trái của phương trình (2) phải là hai đa thức bằng nhau Do đó : tất cả các

hệ số tương ứng của hai đa thức phải bằng nhau :

Giải hệ 4 phương trình 4 ẩn a , b , c , d Tìm được a , b , c , d thay vào phương trình (*)

Sau đó giải phương trình tích Thế là xong (Đơn giản vậy thôi)

Ví dụ 2 : Giải phương trình x5 + x4 – 12x3 – 13x2 + 17x + 6 = 0

Cách giải 1 :

x5 + x4 – 12x3 – 13x2 + 17x + 6 = 0 x4(x – 1) + 2x3(x – 1) – 10x2(x -1) – 23x(x -1) – 6(x – 1) = 0

2

(x – 1)(x4 + 2x3 – 10x2 – 23x – 6) = 0 (x – 1) x x3(  2) 10 (x x 2) 3(x2)0

(x – 1)(x + 2)(x3 – 10x – 3) = 0 (x -1)(x + 2) x x2(  3) 3 (x x  3) (x 3)0

(x – 1)(x + 2)(x + 3)(x2 – 3x – 1) = 0 Phương trình có 5 nghiệm

:

- Ta tìm các số thực a , b , c , d , e sao cho :

x5 + x4 – 12x3 – 13x2 + 17x + 6 = 0 (1)

(x2 + ax + b)(x3 + cx2 + dx + e) = 0 (Nhân đa thức ở VT) (*)

x5 + (a + c)x4 + (d + ac + b)x3 + (bc + ad + e)x2 + (ae + bd)x + be = 0 (2)

đa thức vế trái của phương trình (1) và phương trình (2) bằng nhau nên ta có :

1

12 13 17 6

ae bd

be

 



    









(Dùng phương pháp thế để giải hệ phương trình này.Phải kiên trì Phải học nhiều vấn đề)

Giải hệ 5 phương trình 5 ẩn : a , b , c , d , e Tìm được a , b , c , d , e thay vào phương trình (*) sau đó giải

phương trình tích

Kết quả : a = 2 b = - 3 c = -1 d = -7 và e = - 2 Do đó phương trình (*) trở thành :

(x2 + 2x -3)(x3 – x2 – 7x – 2) = 0

Lại giả sử x3

– x2 – 7x – 2 = 0 (x – m)(x2 + nx + p) = 0 lại nhân đa thức … tìm các số m , n , p

Tìm được m = -2 n = - 3 và p = -1.Vậy : x3 – x2 – 7x – 2 = 0 (x + 2)(x2 – 3x – 1) = 0

Tóm lai : x5 + x4 – 12x3 – 13x2 + 17x + 6 = 0 )(x + 2)(x2 – 3x – 1) = 0 Pt có 5 nghiệm Một số chú ý khi nhẩm nghiệm :

1/Nếu tổng tất cả các hệ số bằng không thì x = 1 là nghiệm

2/Nếu tổng các hệ số của lũy thừa bậc lẻ của x bằng tổng các hệ số của lũy thừa bậc chẵn của x thì x = - 1 là

nghiệm của phương trình

3/phương trình với hệ số nguyên : a0xn

+ a1xn-1 + a2xn-2 + … + an-1x + an = 0 nếu có nghiệm hữu tỷ x = thì p là ước số nguyên của số hạng tự do an và q là ước số nguyên của a0 (hệ số của lũy thừa bậc cao nhất

của x)

Một số bài tập : Giải phương trình

1/ x3 – 2x2 - 5x + 6 = 0 2/ 3x5 + 4x4 – 3x3 + x2 – 7x – 10 = 0

3/ 2x4 – 3x3 - 6x2 + 6x – 20 = 0 4/ x5 – 3x3 + x2 – 9x + 6 = 0

5/ x3 + 2x – 33 = 0 6/ 2x6 – 3x5 + 4x3 – 5x2 - 7x - 3 = 0

7/ 2x4 + x3 – 8x2 – 25x + 42 = 0 8/ 2x4 + x3 – 6x2 + x + 2 = 0

9/ 3x5 – 2x4 + 2x3- 3x2 – 9x + 1 = 0 10/ 5x3 – 3x2 – 4x + 2 = 0

THỊ TRẤN TÂN KỲ, 01/05/2011

TRẦN ĐỨC NGỌC