Hệ phương trình,giải bài toán bằng cách lập phương trình

Ôn tập chơng 3 A.Lý thuyết Phần 1: Yêu cầu kiến thức cần nắm đối với học sinh yếu ,kém. - Nhận biết đợc và cho ví dụ cụ thể đợc về phơng trình bậc nhất hai ẩn. - Biết cách viết tập nghiệm của phơng trình bậc nhất hai ẩn và vẽ minh hoạ đợc bằng hình học. - Nhận biết đợc và cho ví dụ cụ thể đợc về hệ phơng trình bậc nhất hai ẩn. - Hiểu và giải đợc thành thạo hệ phơng trình bằng hai phơng pháp cộng và thế đối với các hệ phơng trình có hệ số bằng số đơn giản. - Bớc đầu tiếp cận với các hệ phơng trình có tham số đơn giản, biết thay và giãi hệ với tham số cụ thể. - Bớc đầu làm quen với các bài toán giải bằng cách ứng dụng giải hệ phuơng trình đơn giản nh xác định a và b để đồ thị hàm số y = ax + b đi qua hai điểm A và B. - Làm quen và giải các bài toán giải bằng các lập hệ phơng trình đơn giản theo trình tự các bớc. Phần 2: Yêu cầu kiến thức cần nắm đối với học sinh TB và khá. - Nẵm vững và cho ví dụ cụ thể đợc về phơng trình bậc nhất hai ẩn. - Biết cách viết tập nghiệm của phơng trình bậc nhất hai ẩn và vẽ minh hoạ đợc bằng hình học. - Nhận biết đợc và cho ví dụ cụ thể đợc về hệ phơng trình bậc nhất hai ẩn. - Hiểu và giãi đợc thành thạo hệ phơng trình bằng hai phơng pháp cộng và thế đối với các hệ phơng trình có hệ số bằng số. - Giải hệ bằng phơng pháp minh hoạ bằng đồ thị : Cho hệ pt: =+ =+ ''.' cybxa cbyax += += )'( ' ' ' ' )( d b c x b a y d b c x b a y * Vẽ d và d' trên cùng một mặt phẳng toạ độ * Xác định giao điểm chung : +Nếu d cắt d' tại điểm A (x 0 ; y 0 ) Hệ có một nghiệm duy nhất (x 0 ; y 0 ) + d// d' Hệ vô nghiệm + d trùng với d' Hệ vô số nghiệm và nghiệm tổng quát là ( x R; y= b c x b a + ) - Bớc đầu tiếp cận với các hệ phơng trình có tham số đơn giản, biết thay và giãi hệ với tham số cụ thể ,giải biện luận hệ có tham số. - Giải thành thạo các bài toán giải bằng cách ứng dụng giải hệ phuơng trình đơn giản nh xác định a và b để đồ thị hàm số y = ax + b đi qua hai điểm A và B và một số bài toán khác. - Nắm vửng các bớc giãi các bài toán giải bằng các lập hệ phơng trình và giải nhiều bài cụ thể. B. Bài tập: Phần 1: B i t p c bn Bài 1: Giải hệ pt bằng phơng pháp thế: a ) =+ =+ 732 3 yx yx b ) 3 5 5 2 28 x y x y = + = c ) 3 5 1 2 8 x y x y + = = Giãi 1 a )PP thế : Hớng dẫn HS chọn PT(1) y= 3 -x (1') Thế vào PT (2) ta đợc : 2x + 3( 3 -x ) = 7 2x +9 - 3x = 7 -x = 7-9 =-2 x= 2 Thay x = 2 vào (1') y= 3 -2 = 1 Vậy hệ PT có nghiệm duy nhất ( x= 2 ; y =1) b) 3 5 3 5 3 5 3 5 3 5 2 28 5 2(3 5) 23 5 6 10 23 11 33 4 x y y x y x y x x x y x x x x x y = = = = = + = + = + = = = c) = = = += =++ += = =+ 2 3 3913 82 1)82(53 82 82 153 y x x xy xx xy yx yx Bài 2: Giải hệ pt bằng phơng pháp cộng đại số: a) =+ =+ 732 3 yx yx b ) 2 1 2 x y x y + = = c ) 4 5 2 1 x y x y = + = Giãi a)PP cộng : Nhân 2 vế của PT(1) với 2 ta đợc hệ mới tơng đơng với hệ đã cho : =+ =+ 732 622 yx yx =+ = 3 1 yx y = = 2 1 x y b) 2 1 2 1 1 2 2 2 4 4 0 x y x y y x y x y x + = + = = = = = c) 4 5 8 2 10 1 1 2 1 2 1 2 1 1 x y x y x x x y x y y x y = = = = + = + = = = Bài 3: Xác định các giá trị của a và b để hệ pt 3 6 5 x by ax by + = + = a) có nghiệm (-1;3) b) Có nghiệm ( 3;3) HD giải: a) Hệ pt có nghiệm (-1;3) ta thay x = -1; y = 3 vào hệ pt ta có 3.( 1) .3 6 3 3 .( 1) .3 5 3.3 5 4 b b b a b a a + = = = + = + = = b) Hệ pt có nghiệm ( 3;3) ta thay x = -3, y = 3 vào hệ pt ta đợc 5 3.( 3) .3 6 3 6 9 10 .( 3) .3 5 ( 3) 3 5 3 b b b a b a b a = + = = + + = + = = Bài 4: Cho hệ pt =+ =+ 1 12 mmymx ymx Giải hệ pt khi: a) m = 3 b) m = 2 2 c) m = 0 HD giải: a) Khi m = 3 ta có hệ pt =+ =+ 233 123 yx yx gải hệ pt đợc nghiệm là (x;y) = (- 3 1 ; 1) c) Khi m = 2 ta có hệ pt =+ =+ 122 122 yx yx hệ có vô số nghiệm. Ta có công thức nghiệm tổng quát là = 2 21 x y Rx hoặc = 2 21 y x Ry Bài 5: Cho hệ pt =+ =+ 2. 1 yxa ayx (I) a) Giải hệ pt khi a = 2 b) Với giá trị nào của a thì hệ pt có nghiệm duy nhất HD giải: a) Khi a = 2 hệ pt có nghiệm (x;y) = (1;0) b) = = =+ = (*)2)1( 1 2)1( 1 )( 2 aya ayx yaya ayx I Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi pt (*) có nghiệm duy nhất 1 a 2 0 a 1 Bài 6: Cho hệ PT : =+ =+ 1 12 mmymx ymx a; Tìm m biết nghiệm của hệ là x= -1/3 ; y =1 ? b; Giải hệ với m =0 ? HD Giải : a; Vì nghiệm của hệ là x= -1/3 ; y =1 Nên Ta thay vào hệ ta có : 3 3 3 11.)3/1( 11.2).3/1( = = = =+ =+ m m m mmm m Vậy với m= 3 thì hệ trên có nghiệm là x= -1/3 ; y =1 b; Thay m = 0 vào hệ PT ta đợc : = = =+ =+ 10 12 1000 120 y yx yx Hệ PT vô nghiệm Bài 7: tìm a và b biết : a; Để đờng thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(1 ; 5 ), B ( -1 ; -1 ) b; Để đờng thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(- 5 ; 3 ), B ( )1; 2 3 Giải : a; Vì đờng thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(1 ; 5 ), B ( -1 ; -1 ), nên thay vào phơng trình đờng thẳng ta có hệ: += += ba ba 1 5 3 Giải ra ta đợc : a=3; b = 2 b. Vì đờng thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(- 5 ; 3 ), B ( )1; 2 3 nên thay vào phơng trình đờng thẳng ta có hệ: += += ba ba 2 3 1 53 Giải ra ta đợc : a=- 13 8 ; b = - 13 1 Bài 8: Bảy năm trớc tuổi mẹ bằng năm lần tuổi con cộng thêm 4. Năm nay tuổi mẹ vừa đúng gắp 3 lần tuổi con. Hỏi năm nay mỗi nguời bao nhiêu tuổi ? Giải: Gọi số tuổi năm nay của mẹ là x Gọi số tuổi năm nay của con là y ( x,y N*)Vì bảy năm truớc tuổi mẹ bằng 5 lần tuổi con cộng thêm 4 nên ta có: (x-7) = 5 (y-7) + 4 (1) Năm nay mẹ gấp 3 lần tuổi con nên: x = 3y (2) Ta có hệ PT = += )2.(3 )1(4)7(57 yx yx Thay (2) vào (1) ta có: 3y-7=5y-35+4 2y = 24 y=12. TMBT x =3.12=36 x=36. TMBT vậy tuổi mẹ năm nay là 36 ; còn tuổi con là 12 Bài 9 Tìm một số có hai chữ số biết rằng chữ số hàng chục bằng hai lần chữ số hàng đơn vị cộng thêm 2 và tổng của hai chữ số là số nguyên tố nhỏ nhất có hai chữ số Hớng dẫn giải : Gọi số phải tìm là ab ( a;b N ; 1 a 9 ; 0 b 9 ) Theo bài ra ta có hệ phơng trình : =+ += 11 2.2 ba ba Giải hệ này ta tìm đợc : a = 8 ; b = 3 Vậy số phải tìm là : 83 Bài 10 Một khu vờn hình chữ nhật có tổng nữa chu vi và chiều dài bằng 66m ; có nửa tổng chu vi và 2 lần chiều rộng là 48 m . Tính diện tích khu vờn ? Giải:Gọi x ( m ) là chiều rộng hình chữ nhật ; Gọi y (m) là chiều dài hình chữ nhật ( ĐK: 0<x< y ) Chú ý : nữa chu vi là : x +y Ta có hệ PT: =+ =+ 483 662 yx yx Giải hệ ra ta có : x = 6 ; y = 30 Vậy chiều rộng là 6 m ; chiều dài là 30 m 4 Diện tích Hình chữ nhật đó là : 6 . 30 = 180 m 2 Phần 2: B i t p nõng cao Bài 1: Giải hệ pt bằng phơng pháp thế: a) = = = = =+ = =+ = =+ = 11 59 11 38 3811 53 281065 53 28)53(25 53 2825 53 y x x xy xx xy xx xy yx yx b) = = = += =++ += = =+ 2 3 3913 82 1)82(53 82 82 153 y x x xy xx xy yx yx c) = = = = = = +=+ = = + + = 19 12 19 8 19 12 3 2 49 3 2 4 3 2 369324 3 2 4 9 4 8 32 y x y y x y y y x yx y x y x yx TMĐKy-4) Bài 2: Giải hệ pt bằng phơng pháp cộng đại số: a) 7 7 5 2 1 5 2 1 9 7 9 9 2 3 4 2 6 2 3 13 3 2 9 x x y x y x x x y x y x y y x y = = = = = + = + = + = = = b) 3 5 1 6 10 2 13 26 2 2 8 6 3 24 2 8 3 x y x y y y x y x y x y x + = + = = = = = = = c) 2 0 3 6 0 2 2 1 3 4 2 6 4 2 0 2 x y x y y y x y x y x y x = = = = + = + = = = Bài 3: Xác định các giá trị của a và b để hệ pt =+ =+ 5 73 byax byx d) có nghiệm (-1;3) e) Có nghiệm ( )3;2 HD giải: a) Hệ pt có nghiệm (-1;3) ta thay x = -1; y = 3 vào hệ pt ta có = = =+ = =+ =+ 5 3 1 3 5 3 10 .3 3 10 53.)1.( 73.)1.(3 a b a b ba b b) Hệ pt có nghiệm ( )3;2 ta thay x = 2 , y = 3 vào hệ pt ta đợc = = = = =+ = =+ =+ 23 3 6337 2 223 3 237 52372 2373 532 7323 a b a b a b ba b Bài 4: Giải các pt sau 5 a) =+ =+ =+ =+ 3 133 10 11 5 3 12 1 4 3 4 3 10 11 5 3 yx yx yx yx (ĐK: x 0, y 0) Đặt b y a x == 1 ; 1 hệ có dạng =+ = =+ =+ 3 1 ) 5 3 10 1 (33 5 3 10 1 3 1 33 10 1 5 3 aa ab ba ba = = = = 12 1 36 1 5 3 10 1 30 1 5 6 b a ab a )( 12 36 12 11 36 11 TM y x y x = = = = vậy hệ pt có nghiệm (x;y)=(36;12) b) = + + = + + 12 1 2 1 1 1 1 2 15 1 8 yx yx (ĐK: x 1, y -2) Đặt u x = 1 1 ; v y = + 2 1 hệ có dạng =+ = =+ =+ 1) 12 1 (8 12 1 12 1 1158 vv vu vu vu = = = = 28 1 21 1 3 1 7 12 1 u v v vu = = =+ = = + = 19 29 212 281 21 1 2 1 28 1 1 1 y x y x y x (TMĐK) Bài 5: Cho hệ pt =+ =+ 2. 1 yxa ayx (I) c) Giải hệ pt khi a = 2 d) Với giá trị nào của a thì hệ pt có nghiệm duy nhất HD giải: c) Khi a = 2 hệ pt có nghiệm (x;y) = (1;0) d) = = =+ = (*)2)1( 1 2)1( 1 )( 2 aya ayx yaya ayx I Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi pt (*) có nghiệm duy nhất 1 a 2 0 a 1 Bài 6: giải hệ pt a) = = = =+ =+ =+ = =+ 2 5 3 7 21))(( 7 21 7 22 y x yx yx yxyx yx yx yx b)Cho hệ pt = = 334 32 1 yx ymx tìm giá trị của m để hệ pt vô nghiệm 6 Giải: = = = = = = 2002)23( 1 2004)1(23 1 200423 1 xm mxy mxx mxy yx mxy (*) Hệ pt vô nghiệm khi pt (*) vô nghiệm 3-2m = 0 m = 2 3 c)Cho hệ pt =+ =+ 1yx mynx Tìm m để hệ pt có nghiệm với mọi giá trị của n Từ pt (2) ta có y = 1-x thế vào pt (1) ta đợc nx + 1 x = m (n 1)x = m 1(*) + Nếu n 1 x = 1 1 n m y = 1- 11 1 = n mn n m hệ có nghiệm duy nhất (x;y) = + Nếu n = 1 thì pt (*) chỉ có nghiệm khi và chỉ khi m 1 = 0 m = 1 Vậy hệ pt có nghiệm với mọi giá trị của n khi và chỉ khi m = 1 Bài 7 tìm a và b biết : a; Để đờng thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(- 5 ; 3 ), B ( )1; 2 3 ; b; Để đờng thẳng : ax- 8y = b, đi qua hai điểm M(9 ;-6) và giao điểm của hai đờng thẳng(d 1 ) : 2x +5y = 17 và (d 2 ) : 4x - 10y = 14. Giải : a; Vì đờng thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(- 5 ; 3 ), B ( )1; 2 3 nên thay là phơng trình đờng thẳng ta có hệ: += += ba ba 2 3 1 53 Giải ra ta đợc : a=- 13 8 ; b = - 13 1 b; Hớng dẫn : Trớc hết ta giải hệ = =+ 14104 1752 yx yx tìm đợc giao điiểm của(d 1 ) và (d 2 ) là A(6;1). Muốn cho đờng thẳng ax-8y=b đi qua hai điểm M và A thì a,b phải là nghiệm của hệ phơng trình = =+ ba ba 86 489 Đáp số: a=- 120, 3 56 =b Bài 8 Nếu hai đội công nhân cùng làm chung sẽ hoàn hành công việc trong 8 h ; nếu đội thứ nhất chỉ làm trong 3 h rồi đội thứ hai cùng làm tiếp trong 4 h nữa thì chỉ xong đợc 0,8 công việc. Hỏi nếu mỗi đội làm riêng thì sau bao lâu hoàn thành công việc ? Giải: GV hớng dẫn HS làm nh sau : Gọi thời gian đội 1 làm 1 mình xong việc là x giờ Thời gian đội 2 làm một mình xong việc là y giờ ( x;y > 8 ) Mỗi giờ đội 1 làm đợc x 1 ( công việc ) 7 Mỗi giờ đội 2 làm đợc y 1 ( công việc ) Mổi giờ cả hai đội làm đợc 8 1 (công vịêc) Ta có PT: 8,0 8 1 4 1 3 =+ x Mặt khác nếu đội 1 làm trong 3 h ; đội 2cùng làm tiếp 4 h thì chỉ xong 0,8 công việc nên ta có PT: 8,0 8 1 4 1 3 =+ x Ta có hệ PT: =+ =+ 8,0 2 11 .3 8 111 x yx Ta đặt: b y a x == 1 ; 1 Ta có hệ mới : =+ =+ 8,0 2 1 3 8 1 a ba Giải ra ta có : a = 10 1 ; b = 40 1 Suy ra : x = 10 ; y = 40 ( thoã mãn bài toán) Vậy nếu đội 1 làm 1 mình thì sau 10 h mới xong công việc Vậy nếu đội 2 làm 1 mình thì sau 40 h mới xong công việc Bài 9 Hai phân xởng của 1 nhà máy theo kế hoạch phải là 540 dụng cụ.Nhng do cải tiến kĩ thuật phân xởng 1 vợt mức 15% kế hoạch, phân xởng 2 vợt mức 12% kế hoạch của mình, do đó cả 2 tổ đã làm đợc 612 dụng cụ.Tính số dụng cụ mà mỗi phân xởng đã làm HD giải: Gọi số dụng cụ phân xởng 1 phải sx theo kế hoạch là x (dụng cụ);Gọi số dụng cụ phân xởng 2 sx theo kế hoạch là y (dụng cụ);ĐK: x,y nguyên dơng, x, y <540 Theo kế hoạch cả 2 phân xởng sx 540 dụng cụ nên ta có pt x + y = 540(1) Dựa vào số dụng cụ cả 2 phân xởng đã sx ta có pt 612 100 112 100 115 =+ yx Giải hệ pt ta đợc x = 240, y = 300 phân xởng 1 đã sx 276 dụng cụ Phân xởng 2 đã sx 336 dụng cụ Bài 10 Một ngời đi xe máy từ Chu Lai đến phố cổ Hội An . Nếu đi với V= 45 km /h thì đên nơi sớm hơn dự định 13phút 20 giây . Nêú đi với V= 35km/h thì đến nơi chậm hơn so với dự định là 2/7 h . Tính quảng đờng Chu Lai - Hội An và vận tốc dự định ? Giải: GV: Thông thờng các bài toán giải bằng cách lập hệ PT có hai điều kiện ; mổi đkiện giúp ta lập đợc một PT. Trong các bài toán về chuyển động cần nhớ công thức liên hệ giữa quảng đờng ; vận tốc và thời gian : S = vt ; chú ý đến đơn vị của mỗi đại lợng . Các em có thể dựa vào bảng tóm tắt sau để lập hệ phơng trình Điều kiện Quảng đờng Vận tốc Thời gian Quan hệ Dự định y y/x x x- y/45=2/9 y/35- x =2/7 Điều kiện 1 y 45 y/45 Điều kiện 2 y 35 y/35 Ta có hệ PT : 8 = = 7 2 35 9 2 45 x y y x Giải hệ ra ta đợc : x = 2 ; y = 80 (thoã mãn bài toán) Vậy quảng đờng ChuLai - Hội An là 80 km ; và thời gian dự định là 2 giờ 9 . và B và một số bài toán khác. - Nắm vửng các bớc giãi các bài toán giải bằng các lập hệ phơng trình và giải nhiều bài cụ thể. B. Bài tập: Phần 1: B i t p c bn Bài 1: Giải hệ pt bằng phơng pháp. các bài toán giải bằng cách ứng dụng giải hệ phuơng trình đơn giản nh xác định a và b để đồ thị hàm số y = ax + b đi qua hai điểm A và B. - Làm quen và giải các bài toán giải bằng các lập hệ. thạo hệ phơng trình bằng hai phơng pháp cộng và thế đối với các hệ phơng trình có hệ số bằng số đơn giản. - Bớc đầu tiếp cận với các hệ phơng trình có tham số đơn giản, biết thay và giãi hệ với