Sáng kiến kinh ngiệm: Rèn kỹ năng giải phương trình cho học sinh - Môn Đại số lớp 8

Đổi mới chương trình, tăng cường sử dụng thiết bị dạy học, ứng dụng công nghệ thông tin trong dạy học, đổi mới phương pháp dạy học toán hiện nay ở trường THCS đã và đang làm tích cực hoá[r]

Rèn kỹ giải phương trình cho học sinh - môn Đại số Trường THCS Phước Chỉ A/ MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài: Bộ môn Toán học coi là môn chủ lực nhất, nó vận dụng và phục vụ rộng rãi đời sống ngày chúng ta Bởi trước hết Toán học hình thành các em học sinh tính chính xác, hệ thống, khoa học, logic và tư cao,… đó chất lượng dạy và học toán trường THCS nâng cao thì có nghĩa là chúng ta đưa các em học sinh tiếp cận với tri thức khoa học đại, có ý nghĩa giàu tính nhân văn nhân loại Đổi chương trình, tăng cường sử dụng thiết bị dạy học, ứng dụng công nghệ thông tin dạy học, đổi phương pháp dạy học toán trường THCS đã và làm tích cực hoá hoạt động tư học tập học sinh, khơi dậy và phát triển khả tự học, tự tìm tòi, tự sáng tạo, … nhằm nâng cao lực phát và giải vấn đề, rèn luyện và hình thành kỹ vận dụng kiến thức cách khoa học, hợp lý, sáng tạo vào thực tế sống Trong chương trình Đại số lớp 8, thì dạng bài tập giải phương trình là nội dung quan trọng, là trọng tâm chương trình đại số lớp 8, việc áp dụng dạng toán này phong phú, đa dạng và phức tạp Vì để giúp học sinh nắm khái niệm phương trình, giải thành thạo các dạng phương trình là yêu cầu cần thiết người giáo viên Qua thực tế giảng daïy nhieàu naêm, cuõng nhö qua vieäc theo doõi keát quaû baøi kieåm tra, baøi thi cuûa học sinh lớp (các lớp giảng dạy), thì việc giải phương trình là không khó, còn nhiều học sinh mắc phải các sai lầm không đáng có, giải phương trình còn nhiều sai sót, rập khuôn máy móc chưa làm được, chưa nắm vững các cách giải, vận dụng kỹ biến đổi chưa linh hoạt vào dạng toán phương trình Nhằm đáp ứng yêu cầu đổi phương pháp giảng dạy, giúp học sinh tháo gỡ và giải khó khăn, vướng mắc học tập đồng thời nâng cao chất lượng môn toán nên thân đã chọn đề tài: “ RÌn kü giải phương trình cho học sinh - môn Đại số 8” Đối tượng nghiên cứu: Reøn kyõ naêng giaûi phöông trình cho hoïc sinh Phạm vi nghiên cứu: Đề tài nghiên cứu phạm vi học sinh lớp 81, 83 trường THCS Phước Chæ, naêm hoïc 2009 - 2010 Người thực hiện: Nguyễn Hoài Phương Lop8.net Trang Rèn kỹ giải phương trình cho học sinh - môn Đại số Trường THCS Phước Chỉ Đề tài có ý tưởng phong phú, đa dạng, nên thân nghiên cứu qua ba daïng phöông trình “phöông trình ñöa veà daïng ax + b = 0, phöông trình tích, phương trình chứa ẩn mẫu” chương trình toán hành Phương pháp nghiên cứu: Nghiên cứu qua tài liệu: SGK, SGV, SBT toán 8, tài liệu có liên quan Nghiên cứu qua thực tế giải bài tập học sinh Nghiên cứu qua theo dõi các bài kiểm tra Nghiên cứu qua thực tế giảng dạy, học tập đối tượng học sinh B/ NOÄI DUNG Cơ sở lý luận Với phát triển mạnh mẽ kinh tế tri thức khoa học đại, bùng nổ công nghệ thông tin, đẩy mạnh ứng dụng công nghệ thông tin dạy học và quản lý giáo dục, toàn cầu hóa nay, đã và tạo điều kiện thuận lợi cho giáo dục và đào tạo nước ta trước thời và thách thức Để hòa nhập tiến độ phát triển mạnh mẽ đó thì giáo dục và đào tạo trước hết và luôn luôn đảm nhận vai trò quan trọng việc “đào tạo nhân lực, nâng cao dân trí, bồi dưỡng nhân tài” mà Đảng, Nhà nước đã đề ra, đó là “đổi giáo dục phổ thông theo Nghị số 40/2000/QH10 Quốc hội” Hiện ngành Giáo dục tích cực xây dựng nhiều chương trình hành động, đa dạng hóa các loại hình học tập, đó việc đẩy mạnh sử dụng công nghệ đại dạy học và quản lý là biện pháp quá trình đổi giáo dục theo hướng tích cực phù hợp với xu Để đáp ứng mục tiêu giáo dục cách toàn diện cho học sinh, đường là nâng cao có hiệu chất lượng học tập học sinh từ nhà trường phổ thông Muốn trước hết giáo viên là người định hướng và giúp đỡ học sinh mình lĩnh hội kiến thức cách chủ động, rèn luyện tính tự học, tính cần cù, siêng năng, chịu khó, … tạo điều kiện khơi dạy lòng ham hoïc, yeâu thích boä moân, phaùt huy tö saùng taïo cuûa hoïc sinh, thì moân toán là môn học đáp ứng đầy đủ yêu cầu đó Học toán không phải là học sách giáo khoa, không làm bài tập cách giải Thầy, Cô đưa mà là quá trình nghiên cứu đào sâu suy nghĩ, tìm tòi vấn đề, khai thác tổng quát vấn đề và rút cách giải hay, điều gì bổ ích Do đó dạng toán giải phương trình môn đại số đáp ứng yêu đầy đủ cầu này, là tảng, làm sở để các em hoïc tieáp caùc chöông trình sau naøy, nhö giaûi baát phöông trình, chöông trình Người thực hiện: Nguyễn Hoài Phương Lop8.net Trang Rèn kỹ giải phương trình cho học sinh - môn Đại số Trường THCS Phước Chỉ lớp sau này, … Tuy nhiên, vì lý sư phạm và khả nhận thức học sinh đại trà nên đề tài đề cập đến ba dạng phương trình và các phương phaùp giaûi thoâng qua caùc ví duï cuï theå Vấn đề đặt là làm nào để học sinh giải các dạng phương trình cách nhanh chóng và chính xác Để thực tốt điều này, đòi hỏi giáo viên cần xây dựng cho học sinh kỹ quan sát, nhận xét, đánh giá, đặc biệt là kỹ phân tích đa thức thành nhân tử, kỹ giải phương trình, kỹ vận dụng vào thực tiễn Tuỳ theo đối tượng học sinh, mà ta xây dựng cách giải cho phù hợp để giúp học sinh học tập tốt môn Cơ sở thực tiễn Về học sinh: Còn nhiều hạn chế tính toán, kỹ quan sát nhận xét, nhận dạng phương trình và biến đổi thực hành giải toán yếu kém, phần lớn kiến thức các lớp dưới, là chưa chủ động học tập từ đầu chương trình lớp 8, chay lười học tập, ỷ lại, chưa nỗ lực tự học, tự rèn, tự ý thức học tập, nhờ vào kết người khác Đa số các em sử dụng các loại sách bài tập có đáp án để tham khảo, nên gặp bài tập, các em thường lúng túng, không tìm hướng giải thích hợp Về giáo viên: Chưa thật định hướng, xây dựng, giúp đỡ học sinh thói quen học tập và lòng yêu thích môn học, chưa xây dựng phương pháp học tập tốt và kỹ giải toán cho học sinh, dạy học đổi chưa triệt để, ngại sử dụng đồ dùng dạy học, phương tiện dạy học, ứng dụng công nghệ thông tin Về phụ huynh: Chưa thật quan tâm đúng mức đến việc học tập em mình theo dõi, kiểm tra, đôn đốc nhắc nhở học tập nhà Giữ mối liên lạc với nhà trường chưa thường xuyên, việc theo dõi nắm bắt thông tin kết quaû hoïc taäp cuûa em haàu nhö khoâng coù Nội dung vấn đề 3.1 Những giải pháp đề tài  Đề tài đưa các giải pháp sau: - Sắp xếp các dạng phương trình theo các mức độ - Xây dựng các phương pháp giải theo dạng phương trình - Sửa chữa các sai lầm thường gặp học sinh giải toán - Củng cố các phép biến đổi và hoàn thiện các kỹ giải phương trình - Tìm tòi cách giải hay, khai thác bài toán  Đối với học sinh yếu, kém: Củng cố kiến thức + Phương pháp giải phương trình đưa dạng ax + b = + Phöông phaùp giaûi phöông trình tích + Phương pháp giải phương trình chứa ẩn mẫu Người thực hiện: Nguyễn Hoài Phương Lop8.net Trang Trường THCS Phước Chỉ Rèn kỹ giải phương trình cho học sinh - môn Đại số  Đối với học sinh đại trà: Phát triển tư duy, kỹ giải phương trình + Phát triển kỹ giải các dạng phương, khai thác bài toán.(nâng cao) + Ñöa caùch giaûi hay, saùng taïo, cho caùc daïng phöông trình 3.2 Các phương trình thường gặp A Củng cố kiến thức phương trình  Phương trình đưa dạng ax + b = (hoặc ax = c)  Dạng1: Phương trình chứa dấu ngoặc: Phöông phaùp chung: - Thực bỏ dấu ngoặc - Thực phép tính hai vế và chuyển vế đưa phương trình dạng ax = c  Chuù yù: Neáu a  0, phöông trình coù nghieäm x = c a Neáu a = 0, c  0, phöông trình voâ nghieäm Neáu a = 0, c = 0, phöông trình coù voâ soá nghieäm Ví duï 1: Giaûi phöông trình: – (x – 6) = 4(3 – 2x) (BT-11c)-SGK-tr13) Gợi ý: Bỏ dấu ngoặc, chuyển vế, thu gọn, tìm nghiệm Giaûi: – (x – 6) = 4(3 – 2x)  – x + = 12 – 8x  – x + 8x = 12 – 11  7x =  x= Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = Ví duï 2: Giaûi phöông trình: (x – 1) – (2x – 1) = – x (2) (BT-17f)-SGK-tr14) Gợi ý: Bỏ dấu ngoặc, chuyển vế, thu gọn, tìm nghiệm Lời giải sai:     (x – 1) – (2x – 1) = – x x – – 2x – = – x (bỏ dấu ngoặc sai) x – 2x – x = – (chuyển vế không đổi dấu) –2x = (sai từ trên) x = – = (tìm nghieäm sai) Sai lầm học yếu kém thường gặp đây là: Thực bỏ dấu ngoặc sai: không đổi dấu hạng tử dấu ngoặc Thực chuyển vế sai: không đổi dấu hạng tử đã chuyển vế Tìm nghiệm sai: số vế phải trừ số vế trái Lời giải đúng: (2)  x – – 2x + = – x Người thực hiện: Nguyễn Hoài Phương Lop8.net Trang Trường THCS Phước Chỉ Rèn kỹ giải phương trình cho học sinh - môn Đại số  x – 2x + x =  0x = Vậy phương trình đã cho vô nghiệm Qua ví duï naøy, giaùo vieân cuûng coá cho hoïc sinh: Quy tắc bỏ dấu ngoặc, quy tắc nhân, quy tắc chuyển vế, phương pháp thu goïn vaø chuù yù veà caùch tìm nghieäm cuûa phöông trình  Dạng 2: Phương trình chứa mẫu là các số: Phöông phaùp chung: - Thực quy đồng mẫu hai vế khử mẫu, đưa phương trình dạng - Thực cách giải dạng Ví duï 3: Giaûi phöông trình: x 1 x 1 x 1   2 (3) (ví duï Sgk-tr12) Gợi ý: Quy đồng-khử mẫu, bỏ dấu ngoặc, chuyển vế, thu gọn, tìm nghiệm Lời giải sai: x 1 x 1 x 1   2 3( x  1)  2( x  1)  x  12  (sai hạng tử thứ ba)  6  3( x  1)  2( x  1)  x   12 (sai từ trên)  x  18 (sai từ trên)  x  4,5 (sai từ trên) Sai lầm học đây là: Sai lầm trên là cách đưa dấu trừ phân thức lên tử thức chưa đúng x 1 x 1 x 1   2 3( x  1)  2( x  1)  ( x  1) 12   6  x   x   x   12 Lời giải đúng: Vaäy: S =    x  16  x  Qua ví duï treân, giaùo vieân cuûng coá cho hoïc sinh: Cách quy đồng mẫu, cách chuyển dấu trừ phân thức lên tử xuống mẫu tử và mẫu phân thức là đa thức  Chú ý: Ở ví dụ trên học sinh có thể giải theo cách khác sau: 1 Caùch 1: (3)  ( x  1)      2 6 2  x 1   x =  ( x  1) Người thực hiện: Nguyễn Hoài Phương Lop8.net Caùch 2: Ñaët t = x -1 (3)  t t t   2  3t  2t  t  2.6 Trang Trường THCS Phước Chỉ Rèn kỹ giải phương trình cho học sinh - môn Đại số Vaäy: S =    t 3  x 1   x = Ví duï 4: Giaûi phöông trình: 2 x 1 2x  0,5 x   0, 25 (4) Vaäy: S =   (BT-18b)-SGK-tr14) Gợi ý: Quy đồng-khử mẫu, bỏ dấu ngoặc, chuyển vế, thu gọn, tìm nghiệm Caùch giaûi 1: (4)  4(2  x)  20  0,5 x  5(1  x)  20  0, 25   x  10 x   10 x   4x =  x = 0,5 Vaäy: S =  0,5   Ở ví dụ trên học sinh có thể giải theo cách khác sau: Caùch 2: Chuyeån phöông trình veà phaân soá (4)   x x 1 2x  x x 1 x 2 x         4 2 Caùch 3: Chuyeån phöông trình veà soá thaäp phaân (4)  0,  (2  x)  0,5 x  0, 25  (1  x)  0, 25  0,  0, x  0,5 x  0,5  0,5 x  0, x  0,1  Phöông trình tích Phöông phaùp chung: Dạng tổng quát A(x).B(x).C(x) … = 0, với A(x), B(x), C(x) là các biểu thức Cách giải: A(x).B(x).C(x) … =  A(x) = B(x) = C(x) =  Chú ý: Để có dạng A(x).B(x).C(x) … = Ta thường biến đổi sau: Bước 1: Đưa phương trình dạng tích - Chuyển tất các hạng tử sang vế trái đó vế phải - Thu gọn, tìm cách phân tích vế trái thành nhân tử Bước 2: Giải phương trình tích nhận và kết luận Ví duï 5: Giaûi phöông trình (3x – 2)(4x + 5) = (BT- 21a)-Sgk-tr17) Lời giải: (3x – 2)(4x + 5) =  3x – = 4x + =  3x = 4x = –  x = x =  Người thực hiện: Nguyễn Hoài Phương Lop8.net Trang Trường THCS Phước Chỉ Rèn kỹ giải phương trình cho học sinh - môn Đại số Vaäy S =  ;      Chú ý: Ở ví dụ trên Giáo viên hướng dẫn học sinh làm quen với kí hiệu sau: 3 x    (3x – 2)(4x + 5) =   ( ký hiệu  thay cho chữ hoặc) 4 x    * Tuy nhiên giải toán ta thường gặp phải phương trình bắt buộc ta phải biến đổi để đưa phương trình đã cho phương trình tích Ví duï 6: Giaûi phöông trình x2 – x = –2x + (6) (BT-23b)-Sgk-tr17) - Trong ví dụ trên học sinh thông thường biến đổi sau: (6)  x2 – x + 2x – =  x2 + x – = ñaây laø phöông trình raát khoù chuyeån phương trình tích học sinh trung bình và yếu kém Vì giáo viên cần định hướng cho học sinh cách giải hợp lý Chuyển vế các hạng tử nhóm Nhóm các hạng tử chuyển vế Caùch 1: (6)  x2 – x + 2x – = Caùch 2: (6)  x(x – 1) = – 2(x – 1)  x(x – 1) + 2(x – 1) =  x(x – 1) + 2(x – 1) =  (x – 1)(x + 2) =  (x – 1)(x + 2) =  x 1  x     x    x  2 Vaäy S =  ;    x 1  x     x    x  2 Vaäy S =  ;   Ví duï 7: Giaûi phöông trình (x + 2)(3 – 4x) = x2 + 4x + (7) (BT-28f)-Sgk-tr7) - Trong ví dụ trên học sinh thông thường biến đổi sau: Bỏ dấu ngoặc, chuyển vế các hạng tử, thu gọn hai vế phương trình (7)  –4x2 – 5x + – x2 – 4x – =  –5x2 – 9x + = ñaây laø phöông trình raát khoù chuyeån veà phöông trình tích Giáo viên định hướng gợi ý cách phân tích hợp lý Giaûi: (7)  (x + 2)(3 – 4x) = (x + 2)2  (x + 2)(3 – 4x) – (x + 2)2 =  (x + 2)(3 – 4x – x – 2) =  x  2 x      x   x     Vaäy S =   ;    Giaùo vieân cuûng coá cho hoïc sinh kinh nghieäm ñöa phöông trình veà daïng tích: Nếu nhận thấy hai vế phương trình có nhân tử chung thì ta biến đổi phương trình và đặt nhân tử chung Người thực hiện: Nguyễn Hoài Phương Lop8.net Trang Trường THCS Phước Chỉ Rèn kỹ giải phương trình cho học sinh - môn Đại số Nếu nhận thấy hai vế phương trình có dạng đẳng thức thì ta sử dụng phương pháp đẳng thức để phân tích thành nhân tử Khi đã chuyển vế mà ta thấy không thể phân tích vế trái thành nhân tử thì nên rút gọn tìm cách phân tích thành nhân tử  Phương trình chứa ẩn mẫu Phöông phaùp chung Bước 1: Tìm điều kiện xác định phương trình Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế phương trình và khử mẫu Bước 3: Giải phương trình vừa nhận Bước 4: (Kết luận) Trong các giá trì tìm bước 3, các giá trị thỏa mãn điều kiện xác định chính là nghiệm phương trình đã cho x2   x  x x( x  2) Ví duï 8: Giaûi phöông trình (8) (BT 52b)-Sgk-tr33) Khi giải phương trình chứa ẩn mẫu học sinh thường mắc các sai lầm sau: Lời giải sai: ĐKXĐ: x  ; x  (8)  x( x  2)  1( x  2)  x( x  2) x( x  2)  x(x + 2) – 1(x – 2) = (duøng kyù hieäu  laø khoâng chính xaùc) + 2x – x + =  x2 + x =  x(x + 1) =  x2 x  (không kiểm chứng với điều kiện) x     x 1   x  1 Vaäy S =  ;   (keát luaän dö nghieäm) Sai laàm cuûa hoïc sinh laø: Duøng kyù hieäu “  ”khoâng chính xaùc Không kiểm tra các nghiệm tìm với điều kiện Lời giải đúng: ĐKXĐ: x  ; x  (8)  x( x  2)  1( x  2)  x( x  2) x( x  2)  x(x + 2) – 1(x – 2) = (8’)  x2 + 2x – x + =  x2 + x =  x(x + 1) = (khoâng thoûa ñieàu kieän) x  x     x 1   x  1 (thoûa ñieàu kieän) Vaäy S =    Giáo viên cần củng cố học: Người thực hiện: Nguyễn Hoài Phương Lop8.net Trang Trường THCS Phước Chỉ Rèn kỹ giải phương trình cho học sinh - môn Đại số Khi khử mẫu ta thu phương trình hệ phương trình đã cho, neân ta duøng kyù hieäu “  ” hay noùi caùch khaùc taäp nghieäm cuûa phöông trình (8’) chöa chaéc laø taäp nghieäm cuûa phöông trình (8) Kiểm tra các nghiệm tìm với điều kiện kết luận Ví duï 9: Giaûi phöông trình x 3 3 x2 2 x (9) (BT 30a)-Sgk-tr23) - Trước hết cho học sinh nhận xét mẫu thức phương trình trước, tìm mẫu thức chung cuûa phöông trình, roài tìm ÑKXÑ - Lưu ý quy tắc đổi dấu, bước khử mẫu phương trình và kiểm tra nghiệm Giaûi: ÑKXÑ: x  (9)   3( x  2)  x  x2 x2  + 3(x – 2) = – x  + 3x – = – x  4x =  x = (khoâng thoûa maõn ñieàu kieän) Vaäy phöông trình voâ nghieäm Qua ví dụ này giáo viên củng cố lại học sinh và rèn các kỹ sau: - Tìm ÑKXÑ cuûa phöông trình: * Tìm các giá trị ẩn để các mẫu khác (Cho các mẫu thức khác 0) * Tìm các giá trị ẩn để các mẫu 0, loại giá trị đó (Cho các mẫu thức 0) - Khi giải phương trình chứa ẩn mẫu để không sót điều kiện phương trình nên cho học sinh tìm trước mẫu thức chung (MTC) và cho MTC khác 0, đây là ñieàu kieän xaùc ñònh (ÑKXÑ) cuûa phöông trình - Rèn cho học sinh kỹ thực các bước giải phương trình, kỹ phân tích đa thức thành nhân tử để tìm MTC, các quy tắc dấu quy tắc đổi dấu, quy tắc dấu ngoặc và việc triển khai tích có dấu trừ đàng trước - Rèn học sinh kỹ nhận dạng các phương trình có mẫu là các đa thức dạng x2 + 1; 3x2 + 2; x2 + x + 3;… là bình phương thiếu tổng, hiệu luôn luôn dương với giá trị x Do đó gặp phải các mẫu thức có dạng này ta không cần phải đặt điều kiện cho mẫu thức đó khác 2x2    Ví duï 10: Giaûi phöông trình (10) (BT 41c)-SBT-tr10) x 1 x 1 x  x 1 Lời giải: ĐKXĐ: x  ; x2 + x + > x2  x   2x2  4( x  1)  (10)  ( x  1)( x  x  1) ( x  1)( x  x  1) Người thực hiện: Nguyễn Hoài Phương Lop8.net Trang Trường THCS Phước Chỉ Rèn kỹ giải phương trình cho học sinh - môn Đại số  3x2 + x – = 4x –  3x2 – 3x =  3x(x – 1) = (thoûa ñieàu kieän) x  3 x      x 1   x  (không thoûa ñieàu kieän) Vaäy S =   B Phaùt trieån tö vaø kyõ naêng giải phương trình Ví duï 11: Giaûi phöông trình x 3x  3 x 5x    x  (11) (Sách Bổ trợ-Nâng cao) 15 - Đối với bài tập này gợi ý cách giải: Thực quy đồng khử mẫu hai lần Laàn 1: Maãu chung laø 15 Laàn 2: Maãu chung laø 10 3x   3x  15 x   15 x  15  10 x  2(3 x  4)  5(9  x)  150 (hoïc sinh giaûi tieáp) x 1 x  x  x     Ví duï 12: Giaûi phöông trình (12) (BT 53-Sgk-tr34) Hướng dẫn: (11)  x  - Thông thường học sinh thực cách giải quy đồng khử mẫu sau: Caùch 1: (12)  56.( x  1)  63.( x  2)  72.( x  3)  84.( x  4)  56x + 56 + 63x + 126 = 72x + 216 + 84x + 336  37x = –370  x = –10 Vaäy S =   10  - Với cách giải này thì ta không thể khai thác gì bài toán này, đôi gặp phải bài toán có mẫu lớn thì học sinh lúng túng, việc quy đồng khó khăn Do đó giáo viên cần định hướng cách giải hay hơn, trên sở đó ta có thể rút cách giải tổng quát cho các bài tập có dạng tương tự Ta có nhận xét: Nhận thấy các phân thức có tính chất đặc biệt sau: x + + = x + 10 Tử thức cộng mẫu thức các phân thức x + + = x + 10 cùng phân thức x + + = x + 10 x + + = x + 10 Khi đó ta có cách giải sau:  Phương pháp thêm vào hai vế phương trình cho cùng hạng tử: x 1 x2 x3 x4         1    1    1    1 Caùch 2: (12)           Người thực hiện: Nguyễn Hoài Phương Lop8.net Trang 10 Rèn kỹ giải phương trình cho học sinh - môn Đại số Trường THCS Phước Chỉ x  10 x  10 x  10 x  10    1 1 1  ( x  10)       9 6   x + 10 =  x = –10 Vaäy S =   10  - Với cách giải này thì ta có thể có cách giải tổng quát cho các bài toán tương tự Do đó giáo viên cần hướng học sinh có cách nhìn tổng quát bài toán, trên sở đó ta đề xuất các bài tập có dạng tương tự, phức tạp -Khai thác bài toán: * Thay các mẫu 9; 8; 7; mẫu 2009; 2008; 2007; 2006 ta có bài toán hay sau: 1) x 1 x  x  x     2009 2008 2007 2006 * Thay đổi tử và mẫu ta có bài toán hay sau: x 1 x  x  x      x  2006 2011 2012 2013 2014 x 1 x  x  x  2009 x  2010       2010 3) 2010 2009 2008 x 1 x2 x 3 x4 1 1 1   x  2006  Hướng dẫn: 2) 2011 2012 2013 2014 x  2010 x  2010 x  2010 x  2010 ( x  2010)     0  2011 2012 2013 2014 x 1 x  x  x  2009 x  2010       2010 3) 2010 2009 2008 x  2011 x  2011 x  2011 x  2011 x  2011      0  2010 2009 2008 2)  Phương pháp nhóm, thêm bớt, tách hạng tử: Ví duï 13: Giaûi phöông trình (x + 2)(2x2 – 5x) – x3 = (13) (Sách Bổ trợ-Nâng cao) Gợi ý phân tích: Chuyển số vế trái, nhóm x3 và Hướng dẫn: (13)  (x + 2)(2x2 – 5x) – (x3 + 8) =  (x + 2)(2x2 – 5x) – (x + 2)(x2 – 2x + 4) =  (x + 2)(2x2 – 5x – x2 + 2x – 4) =  (x + 2)(x2 + x – 4x – 4) =  (x + 2)(x + 1)(x – 4) = (hoïc sinh giaûi tieáp) - Trong bài tập này giáo viên cần củng cố học sinh phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử và cho học sinh nhắc lại Phương pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử khác để đưa dạng tích mà các em đã học Bài toán tổng quát: Người thực hiện: Nguyễn Hoài Phương Lop8.net Trang 11 Rèn kỹ giải phương trình cho học sinh - môn Đại số Trường THCS Phước Chỉ Để phân tích đa thức dạng ax2 + bx + c thành nhân tử, ta tách hạng tử bx thaønh b1x + b2x cho b1b2 = ac Trong thực hành ta làm sau: Bước 1: Tìm tích ac Bước 2: Phân tích ac thành tích hai thừa số nguyên cách Bước 3: Chọn hai thừa số mà tổng b  Chú ý trường hợp đặc biệt: Xét tổng a + b + c = a – b + c = Ví duï 14: Giaûi phöông trình   (14) (BT.31.b/23) ( x  1)( x  2) ( x  3)( x  1) ( x  2)( x  3) Hướng dẫn: ĐKXĐ: x  1; x  2; x  (14)  3(x – 3) + 2(x – 2) = x – (hoïc sinh giaûi tieáp) - Với bài tập này việc giải phương trình các em là dễ dàng Nhưng vấn đề đây không phải là việc giải mà là việc nhìn nhận bài toán góc độ khác, khía caïnh khaùc thì vieäc giaûi phöông trình cuûa chuùng ta seõ lyù thuù hôn -Khai thác bài toán: * Bài toán (14) trên chính là bài toán sau phức tạp sau: 1) Ta coù: (14)    x  3x  x  x  x  x  * Ta có bài toán tương tự sau:    0 ( x  1)( x  2)( x  3) ( x  1)( x  2)( x  4) ( x  1)( x  3)( x  4) ( x  2)( x  3)( x  4) 1 1 1      3) (*) ( x  1)( x  2) ( x  2)( x  3) ( x  3)( x  4) ( x  4)( x  5) ( x  5)( x  6) 10 1 1 1     Hướng dẫn: ; ;… ( x  1)( x  2) x  x  ( x  2)( x  3) x  x  1   (*)  x  x  10 2)  Phöông phaùp ñaët aån phuï: x Ví duï 15: Giaûi phöông trình x  3x     (15) (Sách Bổ trợ-Nâng cao) x2 - Đối với bài tập này học sinh thực quy đồng khử mẫu thì việc giải phöông trình laø voâ cuøng khoù khaên (phöông trình baäc 4) Vì vaäy giaùo vieân caàn hướng dẫn học sinh có cách nhìn tổng quát tìm hướng giải thích hợp Giaûi: ÑKXÑ: x  1 1  3( x  )   Ñaët x   y  x   y  2 x x x x Phương trình trở thành y2 – 3y + =  (y – 1)(y – 2) =0  y = y = (15)  x  Người thực hiện: Nguyễn Hoài Phương Lop8.net Trang 12 Rèn kỹ giải phương trình cho học sinh - môn Đại số Trường THCS Phước Chỉ x x    x2 – 2x + =  (x – 1)2  x = (nhaän) x Vaäy S =   Khi đó x    x2 – x + = (vô nghiệm) Trên đây là vài ví dụ điển hình giúp các em học sinh giải mắc mứu quá trình giải phương trình Vì thời gian có hạn nên không sâu vào số phương trình khác phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối,… 3.3 Biện pháp và kết thực  Bieän phaùp Để thực tốt kỹ giải phương trình học sinh, giáo viên cần cung cấp cho học sinh các kiến thức sau: Củng cố lại các phép tính, các phép biến đổi, quy tắc dấu và quy tắc dấu ngoặc các lớp 6, Ngay từ đầu chương trình Đại số giáo viên cần chú ý dạy tốt cho học sinh nắm vững kiến thức nhân, chia đa thức, các thức đáng nhớ, việc vận dụng thành thạo hai chiều các đẳng thức, đặc biệt là kỹ phân tích đa thức thành nhân tử nhằm mục đích thực các phép tính hai vế cuûa phöông trình, ñöa phöông trình veà daïng tích khoâng sai soùt Khi học phân thức chương II, giáo viên cần chú ý cho học sinh nắm vững các tìm giá trị ẩn để phân thức chứa mẫu thức xác định nhằm giúp học sinh tìm ĐKXĐ phương trình chứa mẫu thức sau này không sót và chính xác Cần chú ý giải phương trình chứa ẩn mẫu có thể nên cho học sinh tìm mẫu thức chung trước để việc tìm ĐKXĐ phương trình tiện và khoâng soùt ñieàu kieän Cần xây dựng học sinh thói quen học tập, biết quan sát, phân tích nhận dạng phương trình, tìm phương trình có dạng đặc biệt, sử dụng thành thạo kỹ giải toán thực hành, rèn luyện khả tự học, tự tìm tòi sáng tạo Khuyến khích học sinh tham gia học tổ, nhóm, học sáng tạo, tìm cách giải hay, caùch giaûi khaùc  Moät soá löu yù giaûi phöông trình, hoïc sinh caàn nhaän xeùt:  Quan saùt ñaëc ñieåm cuûa phöông trình: Nhận xét quan hệ các biểu thức trong phương trình từ đó đưa cách biến đổi thích hợp  Nhaän daïng phöông trình: Xét xem phương trình đã cho thuộc dạng nào?, áp dụng phương pháp cho phù hợp dạng phương trình đó Người thực hiện: Nguyễn Hoài Phương Lop8.net Trang 13 Rèn kỹ giải phương trình cho học sinh - môn Đại số Trường THCS Phước Chỉ  Kinh nghiệm biến đổi phương trình: Khi đã thu gọn hai vế phương trình, biến có số mũ từ hai trở lên thì ta cố gắng tìm cách chuyển phương trình đó dạng phương trình tích Khi biến đổi phương trình nhận thấy hai vế phương có nhân tử chung đẳng thức thì ta nên sử dung đặt nhân tử chung đẳng thức Khi khử mẫu hai vế phương trình ta cần lưu ý đây là phương trình hệ phương trình ban đầu đó ta dùng dấu suy Khi biến đổi phương trình cần chú ý tính chất đặc biệt tử và mẫu phương trình từ đó suy cách phân tích hợp lý nhóm, tách, thêm bớt, đặt ẩn phụ, … cho thích hợp  Keát quaû Kết áp dụng kỹ giải phương trình này đã góp phần nâng cao chất lượng học tập môn học sinh đại trà Kết kiểm tra giải phương trình thông kê, đánh giá qua hai lớp 81, 83 năm học 2009 – 2010 sau: a) Chöa aùp duïng giaûi phaùp Keát quaû khaûo saùt Thời gian học kỳ II Khaûo saùt (chöa aùp duïng giaûi phaùp) TS HS 63 Trung bình trở lên Số lượng Tæ leä (%) 27 42,85% * Nhận xét: Đa số học sinh chưa nắm kỹ phân tích, nhận dạng phương trình, kỹ thu gọn, chuyển vế, biến đổi sai sót dấu, chưa áp dụng các đẳng thức, phân tích đa thức thành nhân tử, b) AÙp duïng giaûi phaùp Laàn 1: Keát quaû khaûo saùt Thời gian học kỳ II Keát quaû aùp duïng giaûi phaùp (laàn 1) TS HS 63 Trung bình trở lên Số lượng Tæ leä (%) 40 63,49% * Nhận xét: Học sinh đã hệ thống, nắm các dạng phương trình, kỹ biến đổi hợp lý, việc vận dụng các đẳng thức đáng nhớ, quy tắc dấu, quy tắc dấu ngoặc, phân tích đa thức thành nhân tử có hiệu quả, biết nhận xét đánh giá bài toán các trường hợp, trình bày khá hợp lý Laàn 2: Keát quaû khaûo saùt (kieåm tra tieát) Người thực hiện: Nguyễn Hoài Phương Lop8.net Trang 14 Rèn kỹ giải phương trình cho học sinh - môn Đại số Thời gian học kỳ II Keát quaû aùp duïng giaûi phaùp (laàn 2) TS HS 63 Trường THCS Phước Chỉ Trung bình trở lên Số lượng Tæ leä (%) 58 92,06% * Nhận xét: Học sinh nắm vững các dạng phương trình, vận dụng thành thạo các kỹ biến đổi, phân tích, biết dựa vào các yếu tố quan trọng, đặc điểm phương trình, linh hoạt biến đổi và vận dụng đẳng thức, phân tích đa thức thành nhân tử, trình bày bài giải hợp lý có hệ thống, còn số ít học sinh quá yếu, kém chưa thực tốt Học sinh hứng thú, tích cực tìm hiểu kỹ phương pháp giải, phân loại dạng toán, chủ động lĩnh hội kiến thức, có kỹ xử lý nhanh các bài toán có dạng tương tự, đặt nhiều vấn đề mới, nhiều bài toán  Toùm laïi: Từ thực tế giảng dạy áp dụng phương pháp này tôi nhận thấy học sinh nắm vững kiến thức hơn, hiểu rõ các dạng phương trình, đặc điểm cách giải cho các dạng phương trình Kinh nghiệm này đã giúp học sinh trung bình, hoïc sinh yeáu naém chaéc veà caùch giaûi phöông trình, vaän duïng vaø reøn luyeän kyõ naêng thực hành theo hướng tích cực hoá hoạt động nhận thức mức độ khác thông qua chuỗi bài tập phương trình xếp theo các mức độ nhận thức học sinh Bên cạnh đó còn giúp cho học sinh khá giỏi có điều kiện tìm hiểu thêm số phương pháp giải khác, các dạng toán khác nâng cao hơn, nhằm phát huy tài toán học, phát huy tính tự học, tìm tòi, sáng tạo học sinh học toán C/ KEÁT LUAÄN  Baøi hoïc kinh nghieäm Thông qua việc nghiên cứu đề tài và kinh nghiệm từ thực tiễn giảng dạy, cho pheùp toâi ruùt moät soá kinh nghieäm sau:  Đối với học sinh yếu kém: Là quá trình liên tục củng cố và sửa chữa sai lầm, khuyết điểm, cần rèn luyện học sinh các kỹ thực hành theo trình tự các bước giải phương trình Từ đó học sinh có khả nắm phương pháp vận dụng tốt các cách giải phương trình, cho học sinh thực hành theo mẫu với các bài tập tương tự, bài tập từ đơn giản nâng dần đến phức tạp, không nên daãn caùc em ñi quaù xa noäi dung saùch giaùo khoa  Đối với học sinh đại trà: Giáo viên cần chú ý cho học sinh nắm các dạng phương trình phương pháp giải cho dạng, rèn kỹ biến đổi, linh Người thực hiện: Nguyễn Hoài Phương Lop8.net Trang 15 Rèn kỹ giải phương trình cho học sinh - môn Đại số Trường THCS Phước Chỉ hoạt việc vận dụng các đẳng thức, phân tích đa thức thành nhân tử, luyện tập khả tự học, gợi suy mê hứng thú niềm vui học tập, kích thích và khơi dậy óc tìm tòi, chủ động chiếm lĩnh kiến thức  Đối với học sinh khá giỏi: Ngoài việc nắm các phương pháp giải baûn, ta caàn cho hoïc sinh tìm hieåu theâm caùc phöông phaùp phaân tích naâng cao khaùc, các bài tập dạng mở rộng giúp các em biết mở rộng vấn đề, cụ thể hoá vấn đề, tương tự hoá vấn đề để việc giải phương trình tốt Qua đó tập học sinh thói quen tự học, tự tìm tòi sáng tạo, khai thác cách giải, khai thác bài toán khác nhằm phát triển tư cách toàn diện cho quá trình tự nghiên cứu các em  Đối với giáo viên: Giáo viên thường xuyên kiểm tra mức độ tiếp thu và vận dụng học sinh quá trình cung cấp các thông tin có liên quan chương trình đại số đã đề cập trên Nếu thực tốt phương pháp trên quá trình giảng dạy và học tập thì chất lượng học tập môn học sinh nâng cao hơn, đào tạo nhiều học sinh khá giỏi, đồng thời tạo hứng thú và niềm vui học tập  Hướng phổ biến áp dụng Đề tài triển khai phổ biến và áp dụng rộng rãi chương trình đại số lớp 8, cho các năm học sau, cho đơn vị trường cùng loại hình  Hướng nghiên cứu phát triển Đề tài nghiên cứu tiếp tục các phương pháp giải khác, phương pháp giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, việc vận dụng giải phương trình vào các bài toán thực tế Người thực hiện: Nguyễn Hoài Phương Lop8.net Trang 16