Qua M là trung điểm của BC kẻ đường vuông góc với đường phân giác trong của góc A, cắt các đường thẳng AB, AC lần lượt tại D, E... Tia phân giác của góc B cắt AC tại D, tia phân giác của[r]
(1)PHÒNG GD & ĐT HUYỆN QUAN HÓA TRƯỜNG THCS DTNT TUYỂN TẬP CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP GV: PHẠM VĂN TUẤN NĂM HỌC: 2011 – 2012 (2) ĐỀ SỐ 1: ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN MÔN TOÁN LỚP (Thời gian làm bài 120 phút) Bài Tìm giá trị n nguyên dương: a) n 16 2 n ; b) 27 < 3n < 243 Bài Thực phép tính: ( 1 1 49 ) 4.9 9.14 14.19 44.49 89 2x x Bài a) Tìm x biết: b) Tìm giá trị nhỏ A = x 2006 2007 x Khi x thay đổi Bài Hiện hai kim đồng hồ 10 Sau ít bao lâu thì kim đồng hồ nằm đối diện trên đường thẳng Bài Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đường cao AH, trung tuyến AM Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho DM = MA Trên tia đối tia CD lấy điểm I cho CI = CA, qua I vẽ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng AH E Chứng minh: AE = BC ĐỀ SỐ 2: ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN MÔN TOÁN LỚP (Thời gian làm bài 120 phút) Bài 1:(4 điểm) a) Thực phép tính: A 212.35 46.9 3 510.73 255.492 125.7 59.143 b) Chứng minh : Với số nguyên dương n thì : 3n 2 2n 2 3n 2n chia hết cho 10 (3) Bài 2:(4 điểm) Tìm x biết: x a 3, 5 x 7 b x 1 x 7 x 11 0 Bài 3: (4 điểm) : : a) Số A chia thành số tỉ lệ theo Biết tổng các bình phương ba số đó 24309 Tìm số A a c a2 c2 a 2 b) Cho c b Chứng minh rằng: b c b Bài 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC, M là trung điểm BC Trên tia đối của tia MA lấy điểm E cho ME = MA Chứng minh rằng: a) AC = EB và AC // BE b) Gọi I là điểm trên AC ; K là điểm trên EB cho AI = EK Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng H BC Biết HBE c) Từ E kẻ EH BC = 50o ; MEB =25o Tính HEM và BME Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân A có A 20 , vẽ tam giác DBC (D nằm tam giác ABC) Tia phân giác góc ABD cắt AC M Chứng minh: a) Tia AD là phân giác góc BAC b) AM = BC ……………………………… Hết ……………………………… (4) Đáp án đề Toán Bài Tìm giá trị n nguyên dương: (4 điểm câu điểm) a) n 16 2 n ; => 24n-3 = 2n => 4n – = n => n = b) 27 < 3n < 243 => 33 < 3n < 35 => n = Bài Thực phép tính: ( (4 điểm) 1 1 49 ) 4.9 9.14 14.19 44.49 89 1 1 1 1 (1 49) ( ) 44 49 12 = 9 14 14 19 1 (12.50 25) 5.9.7.89 ( ) 89 5.4.7.7.89 28 = 49 Bài (4 điểm câu điểm) a) Tìm x biết: 2x x Ta có: x + => x - 2x x + Nếu x - thì => 2x + = x + => x = - (Thoả mãn) 2x x + Nếu - x < - Thì => - 2x - = x + => x = - (Thoả mãn) + Nếu - > x Không có giá trị x thoả mãn b) Tìm giá trị nhỏ A = x 2006 2007 x Khi x thay đổi + Nếu x < 2006 thì: A = - x + 2006 + 2007 – x = - 2x + 4013 Khi đó: - x > -2006 => - 2x + 4013 > – 4012 + 4013 = => A > + Nếu 2006 x 2007 thì: A = x – 2006 + 2007 – x = + Nếu x > 2007 thì A = x - 2006 - 2007 + x = 2x – 4013 Do x > 2007 => 2x – 4013 > 4014 – 4013 = => A > Vậy A đạt giá trị nhỏ là 2006 x 2007 (5) Bài Gọi x, y là số vòng quay kim phút và kim 10giờ đến lúc kim đối trên đường thẳng, ta có: x – y = (ứng với từ số 12 đến số trên đông hồ) và x : y = 12 (Do kim phút quay nhanh gấp 12 lần kim giờ) x 12 x y x y 1 : 11 12 11 33 Do đó: y 12 ( vòng) x 11 (giờ) x = 33 Vậy thời gian ít để kim đồng hồ từ 10 đến lúc nằm đối diện trên đường thẳng là 11 Bài Đường thẳng AB cắt EI F ABM = DCM vì: E AM = DM (gt), MB = MC (gt), F AMB = DMC (đđ) => BAM = CDM =>FB // ID => ID AC I Và FAI = CIA (so le trong) A (1) IE // AC (gt) => FIA = CAI (so le trong) (2) Từ (1) và (2) => CAI = FIA (AI chung) B H => IC = AC = AF M và D EFA = 1v (3) (4) Mặt khác EAF = BAH (đđ), BAH = ACB ( cùng phụ ABC) => EAF = ACB (5) Từ (3), (4) và (5) => AFE = CAB =>AE = BC (6) Đáp án đề Toán Bài 1:(4 điểm): a) (2 điểm) 212.35 46.92 10 212.35 212.34 510.73 A 12 9 3 12 125.7 14 3 212.34 1 212.35 1 510.73 255.492 510.73 59.73 23 10 212.34.2 12 59.73.9 10 b) (2 điểm) 3n2 2n 3n 2n = 3n2 3n n2 2n n n = (3 1) (2 1) n n n n = 10 5 3 10 10 =10( 3n -2n) n2 n2 n n Vậy 10 với n là số nguyên dương Bài 2:(4 điểm) a) (2 điểm) x 4 16 3, x 5 5 x 14 5 x 2 x 12 x 1 x21 7 3 x 21 3 b) (2 điểm) x 7 x 1 x 7 x 7 x 1 x 11 0 x 10 0 (7) x 7 x 1 x 10 0 x x10 x 7010 x7 x8 1 ( x 7)10 0 ( x 7) Bài 3: (4 điểm) a) (2,5 điểm) Gọi a, b, c là ba số chia từ số A : : (1) Theo đề bài ta có: a : b : c = và a2 +b2 +c2 = 24309 (2) a b c k a k;b k;c Từ (1) = k k ( ) 24309 25 16 36 Do đó (2) k = 180 và k = 180 + Với k =180, ta được: a = 72; b = 135; c = 30 Khi đó ta có số A = a + b + c = 237 + Với k = 180 , ta được: a = 72 ; b = 135 ; c = 30 Khi đó ta có só A = 72 +( 135 ) + ( 30 ) = 237 a c b) (1,5 điểm) Từ c b suy c a.b a c a a.b a (a b) a 2 đó b c b a.b = b(a b) b Bài 4: (4 điểm) A a/ (1điểm) Xét AMC và EMB có : I M B C H K E (8) AM = EM (gt ) AMC = EMB (đối đỉnh ) BM = MC (gt ) Nên : AMC = EMB (c.g.c ) 0,5 điểm AC = EB Vì AMC = EMB MAC = MEB (2 góc có vị trí so le tạo đường thẳng AC và EB cắt đường thẳng AE ) Suy AC // BE 0,5 điểm b/ (1 điểm ) Xét AMI và EMK có : AM = EM (gt ) MAI = MEK ( vì AMC EMB ) AI = EK (gt ) Nên AMI EMK ( c.g.c ) Suy AMI = EMK Mà AMI + IME = 180o ( tính chất hai góc kề bù ) EMK + IME = 180o Ba điểm I;M;K thẳng hàng c/ (1,5 điểm ) Trong tam giác vuông BHE ( H = 90o ) có HBE = 50o HBE = 90o - HBE = 90o - 50o =40o HEM = HEB - MEB = 40o - 25o = 15o A 20 BME là góc ngoài đỉnh M HEM Nên BME = HEM + MHE = 15o + 90o = 105o M ( định lý góc ngoài tam giác ) D Bài 5: (4 điểm) a) Chứng minh ADB = ADC (c.c.c) B C suy DAB DAC 0 Do đó DAB 20 : 10 0 b) ABC cân A, mà A 20 (gt) nên ABC (180 20 ) : 80 (9) 600 ABC nên DBC 0 Tia BD nằm hai tia BA và BC suy ABD 80 60 20 Tia BM là phân giác góc ABD nên ABM 10 Xét tam giác ABM và BAD có: AB cạnh chung ; BAM ABD 20 ; ABM DAB 10 Vậy: ABM = BAD (g.c.g) suy AM = BD, mà BD = BC (gt) nên AM = BC Đề số 3: Đề thi học sinh giỏi Môn Toán Lớp (Thời gian làm bài 120 phút) Câu 1: Tìm tất các số nguyên a biết a 4 Câu 2: Tìm phân số có tử là biết nó lớn Câu Cho đa thức 9 10 và nhỏ 11 2 P x = x + 2mx + m và Q x = x + (2m+1)x + m 2 Tìm m biết P (1) = Q (-1) Câu 4: Tìm các cặp số (x; y) biết: x y a/ ; xy=84 1+3y 1+5y 1+7y b/ 12 5x 4x Câu 5: Tìm giá trị nhỏ lớn các biểu thức sau : A= x 1 +5 (10) x 15 B = x 3 Câu 6: Cho tam giác ABC có Â < 900 Vẽ phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và AB; AE vuông góc và AC a Chứng minh: DC = BE và DC BE b Gọi N là trung điểm DE Trên tia đối tia NA lấy M cho NA = NM Chứng minh: AB = ME và ABC = EMA c Chứng minh: MA BC Đáp án đề Toán Câu 1: Tìm tất các số nguyên a biết a 4 0 a => = 0; 1; 2; ; a * = => a = a * = => a = a = - a * = => a = a = - a * = => a = a = - a * = => a = a = - a 4 Câu 2: Tìm phân số có tử là biết nó lớn Gọi mẫu phân số cần tìm là x Ta có: 9 10 và nhỏ 11 9 9 63 63 63 10 x 11 => 70 x 77 => -77 < 9x < -70 Vì 9x 9 => 9x = -72 => x = Vậy phân số cần tìm là (11) Câu Cho đa thức 2 P x = x + 2mx + m và Q x = x + (2m+1)x + m 2 Tìm m biết P (1) = Q (-1) P(1) = 12 + 2m.1 + m2 = m2 + 2m + Q(-1) = – 2m – +m2 = m2 – 2m Để P(1) = Q(-1) thì m2 + 2m + = m2 – 2m 4m = -1 m = -1/4 Câu 4: Tìm các cặp số (x; y) biết: x y x y xy 84 a/ ; xy=84 4 => 49 3.7 21 => x2 = 4.49 = 196 => x = 14 => y2 = 4.4 = 16 => x = 4 Do x,y cùng dấu nên: x = 6; y = 14 x = -6; y = -14 b/ 1+3y 1+5y 1+7y 12 5x 4x Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: 1+3y 1+5y 1+7y 7y 5y 2y 5y 3y 2y 12 5x 4x 4x 5x x 5x 12 5x 12 2y 2y => x x 12 => -x = 5x -12 => x = Thay x = vào trên ta được: 1 3y y y 12 2 =>1+ 3y = -12y 1 => = -15y => y = 15 1 Vậy x = 2, y = 15 thoả mãn đề bài Câu 5: Tìm giá trị nhỏ lớn các biểu thức sau : (12) x 1 A= +5 Ta có : x Dấu = xảy x= -1 A Dấu = xảy x= -1 Vậy: Min A = x= -1 x 15 x 12 12 2 B = x 3 = x 3 = + x 3 Ta có: x Dấu = xảy x = x + ( vế dương ) 12 12 12 12 2 x x 1+ x 1+ B 5 Dấu = xảy x = Vậy : Max B = x = Câu 6: a/ Xét ADC và DA = BA(gt) BAF ta có: AE = AC (gt) DAC = BAE ( cùng 900 + BAC ) => DAC = BAE(c.g.c ) => DC = BE Xét AIE và TIC I1 = I2 ( đđ) E1 = C1( DAC = BAE) => EAI = CTI => CTI = 900 => DC b/ Ta có: MNE = BE AND (c.g.c) => D1 = MEN, AD = ME (13) mà AD = AB ( gt) => AB = ME (đpcm) (1) Vì D1 = MEN => DA//ME => DAE + AEM = 1800 ( cùng phía ) mà BAC + DAE = 1800 => BAC = AEM ( ) Ta lại có: AC = AE (gt) ( 3) Từ (1),(2) và (3) => c/ Kéo dài MA cắt BC H Từ E hạ EP Xét AHC và ABC = EMA ( đpcm) MH EPA có: CAH = AEP ( cùng phụ với gPAE ) AE = CA ( gt) PAE = HCA ( => AHC = ABC = EMA câu b) EPA => EPA = AHC => AHC = 900 => MA BC (đpcm) Đề số 4: Đề thi học sinh giỏi (Thời gian làm bài 120 phút) Câu ( điểm) Thực phép tính : 12 1 6. 3. 1 : ( 3 a- 2 3 2003 1 3 4 2 5 bCâu ( điểm) 5 12 a2 a a- Tìm số nguyên a để a là số nguyên b- Tìm số nguyên x,y cho x - 2xy + y = Câu ( điểm) (14) a c thì b d với b,d khác a- Chứng minh a + c = 2b và 2bd = c (b+d) b- Cần bao nhiêu số hạng tổng S = 1+2+3+… để số có ba chữ số giống Câu ( điểm) Cho tam giác ABC có góc B 450 , góc C 1200 Trên tia đối tia CB lấy điểm D cho CD = 2CB Tính góc ADE Câu ( 1điểm) Tìm số nguyên tố thoả mãn : x2 - 2y2 =1 Đáp án đề Toán Câu 1.a 1.b 2.a Hướng dẫn chấm Thực theo bước đúng kết -2 cho điểm tối đa Thực theo bước đúng kết 14,4 cho điểm tối đa Điểm 1Điểm 1Điểm 0,25 a a a (a 1) 3 a a 1 Ta có : a = a a a 3 0,25 vì a là số nguyên nên a là số nguyên a là số nguyên hay a+1 là ước đó ta có bảng sau : a+1 -3 -1 a -4 -2 0,25 0,25 a2 a Vậy với a 4, 2,0,2 thì a là số nguyên 2.b Từ : x-2xy+y=0 Hay (1-2y)(2x-1) = -1 0,25 Vì x,y là các số nguyên nên (1-2y)và (2x-1) là các số nguyên đó (15) ta có các trường hợp sau : 1 y 1 x 0 2 x y 0 1 y x 1 x y 1 Hoặc 0,25 0,25 Vậy có cặp số x, y trên thoả mãn điều kiện đầu bài 3.a Vì a+c=2b nên từ 2bd = c (b+d) Ta có: (a+c)d=c(b+d) 3.b a c Hay ad=bc Suy b d ( ĐPCM) Giả sử số có chữ số là aaa =111.a ( a là chữ số khác 0) 0,25 0,5 0,5 Gọi số số hạng tổng là n , ta có : n(n 1) 111a 3.37.a Hay n(n+1) =2.3.37.a 0,25 Vậy n(n+1) chia hết cho 37 , mà 37 là số nguyên tố và n+1<74 ( Nếu n = 74 không thoả mãn ) 0,25 Do đó n=37 n+1 = 37 n(n 1) 703 Nếu n=37 thì n+1 = 38 lúc đó không thoả mãn n(n 1) 666 Nếu n+1=37 thì n = 36 lúc đó thoả mãn Vậy số số hạng tổng là 36 0,5 A H 0,5 B C D Kẻ DH Vuông góc với AC vì ACD =600 đó CDH = 300 CD Nên CH = CH = BC Tam giác BCH cân C CBH = 300 ABH = 150 0,5 1,0 Mà BAH = 15 nên tam giác AHB cân H Do đó tam giác AHD vuông cân H Vậy ADB = 450+300=750 1,0 (16) Từ : x2-2y2=1suy x2-1=2y2 0,25 Nếu x chia hết cho vì x nguyên tố nên x=3 lúc đó y= nguyên tố 0,25 thoả mãn Nếu x không chia hết cho thì x2-1 chia hết cho đó 2y2 chia hết cho Mà(2;3)=1 nên y chia hết cho đó x2=19 không thoả mãn Vậy cặp số (x,y) tìm thoả mãn điều kiện đầu bài là 0,25 (2;3) 0,25 Đề số 5: Đề thi học sinh giỏi (Thời gian làm bài 120 phút) Bài (3đ): 1, Tính: 1 2003 2004 2005 5 P = 2003 2004 2005 2 2002 2003 2004 3 2002 2003 2004 2, Biết: 13 + 23 + + 103 = 3025 Tính: S = 23 + 43 + 63 + + 203 x x 0, 25 xy x2 y 3, Cho: A = x ; y Tính giá trị A biết là số nguyên âm lớn Bài (1đ): Tìm x biết: 3x + 3x + + 3x + = 117 (17) Bài (1đ): Một thỏ chạy trên đường mà hai phần ba đường băng qua đồng cỏ và đoạn đường còn lại qua đầm lầy Thời gian thỏ chạy trên đồng cỏ nửa thời gian chạy qua đầm lầy Hỏi vận tốc thỏ trên đoạn đường nào lớn ? Tính tỉ số vận tốc thỏ trên hai đoạn đường ? Bài (2đ): Cho ∆ABC nhọn Vẽ phía ngoài ∆ABC các ∆ ABD và ACE Gọi M là giao điểm BE và CD Chứng minh rằng: 1, ∆ABE = ∆ADC 2, BMC 120 Bài (3đ): Cho ba điểm B, H, C thẳng hàng, BC = 13 cm, BH = cm, HC = cm Từ H vẽ tia Hx vuông góc với đường thẳng BC Lấy A thuộc tia Hx cho HA = cm 1, ∆ABC là ∆ gì ? Chứng minh điều đó 2, Trên tia HC lấy điểm D cho HD = HA Từ D vẽ đường thẳng song song với AH cắt AC E Chứng minh: AE = AB Đề số 6: Đề thi học sinh giỏi (Thời gian làm bài 120 phút) Bài (4đ): Cho các đa thức: A(x) = 2x5 – 4x3 + x2 – 2x + B(x) = x5 – 2x4 + x2 – 5x + 4 C(x) = x + 4x + 3x – 8x + 1, Tính M(x) = A(x) – 2B(x) + C(x) 16 2, Tính giá trị M(x) x = 0, 25 3, Có giá trị nào x để M(x) = không ? Bài (4đ): 1, Tìm ba số a, b, c biết: 3a = 2b; 5b = 7c và 3a + 5b – 7c = 60 2, Tìm x biết: 2x x x (18) Bài (4đ): Tìm giá trị nguyên m và n để biểu thức 1, P = m có giá trị lớn 8 n 2, Q = n có giá trị nguyên nhỏ Bài (5đ): Cho tam giác ABC có AB < AC; AB = c, AC = b Qua M là trung điểm BC kẻ đường vuông góc với đường phân giác góc A, cắt các đường thẳng AB, AC D, E 1, Chứng minh BD = CE 2, Tính AD và BD theo b, c Bài (3đ): Cho ∆ABC cân A, BAC 100 D là điểm thuộc miền ∆ABC cho DBC 100 , DCB 200 Tính góc ADB ? Đề số 7: Đề thi học sinh giỏi (Thời gian làm bài 120 phút) Bài (3đ): Tính: 3 1 1 1, 1 2, (63 + 62 + 33) : 13 1 1 1 1 3, 10 90 72 56 42 30 20 12 Bài (3đ): a b c 1, Cho b c a và a + b + c ≠ 0; a = 2005 Tính b, c a b c d 2, Chứng minh từ hệ thức a b c d ta có hệ thức: (19) a c b d Bài (4đ): Độ dài ba cạnh tam giác tỉ lệ với 2; 3; Ba chiều cao tương ứng với ba cạnh đó tỉ lệ với ba số nào ? Bài (3đ): Vẽ đồ thị hàm số: x ; x 0 y = x ; x Bài (3đ): Chứng tỏ rằng: A = 75 (42004 + 42003 + + 42 + + 1) + 25 là số chia hết cho 100 Bài (4đ): Cho tam giác ABC có góc A = 600 Tia phân giác góc B cắt AC D, tia phân giác góc C cắt AB E Các tia phân giác đó cắt I Chứng minh: ID = IE Đề số 8: Đề thi học sinh giỏi (Thời gian làm bài 120 phút) Bài (5đ): 1, Tìm n N biết (33 : 9)3n = 729 2, Tính : A= Bài (3đ): Cho a,b,c | (√ ) | + − R và a,b,c − − 0,( 4)+ − − | | thoả mãn b2 = ac Chứng minh rằng: (20) a c = a+2007 b ¿ ¿ b+ 2007 c ¿2 ¿ ¿ ¿ Bài (4đ): Ba đội công nhân làm công việc có khối lượng Thời gian hoàn thành công việc đội І, ІІ, ІІІ là 3, 5, ngày Biêt đội ІІ nhiều đội ІІІ là người và suất công nhân là Hỏi đội có bao nhiêu công nhân ? Câu (6đ): Cho ∆ABC nhọn Vẽ phía ngoài ∆ABC các ∆ ABD và ACE 1, Chứng minh: BE = DC 2, Gọi H là giao điểm BE và CD Tính số đo góc BHC Bài (2đ): p Cho m, n N và p là số nguyên tố thoả mãn: m−1 = Chứng minh : p2 = n + m+n p Đề số 9: Đề thi học sinh giỏi (Thời gian làm bài 120 phút) Bài 1: (2 điểm) a, Cho A (0,8.7 0.82 ).(1,25.7 B 1,25) 31,64 (11,81 8,19).0,02 : 11,25 Trong hai số A và B số nào lớn và lớn bao nhiêu lần ? 1998 b) Số A 10 có chia hết cho không ? Có chia hết cho không ? Câu 2: (2 điểm) (21) Trên quãng đường AB dài 31,5 km An từ A đến B, Bình từ B đến A Vận tốc An so với Bình là 2: Đến lúc gặp nhau, thời gian An so với Bình là 3: Tính quãng đường người tới lúc gặp ? Câu 3: a) Cho f ( x) ax bx c với a, b, c là các số hữu tỉ Chứng tỏ rằng: f ( 2) f (3) 0 Biết 13a b 2c 0 A 6 x b) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức có giá trị lớn Câu 4: (3 điểm) Cho ABC dựng tam giác vuông cân BAE; BAE = 90 0, B và E nằm hai nửa mặt phẳng khác bờ AC Dựng tam giác vuông cân FAC, FAC = 90 F và C nằm hai nửa mặt phẳng khác bờ AB a) Chứng minh rằng: ABF = ACE b) FB EC Câu 5: (1 điểm) Tìm chữ số tận cùng A 19 89 51 2 96 91 (22) Đề số 10: Đề thi học sinh giỏi (Thời gian làm bài 120 phút) Câu 1: (2 điểm) 3 0,375 0,3 1,5 0,75 1890 11 12 : A 115 2,5 1,25 0,625 0,5 2005 11 12 a) Tính 1 1 1 B 2004 2005 3 3 3 b) Cho B Chứng minh Câu 2: (2 điểm) a c 5a 3b 5c 3d a) Chứng minh b d thì 5a 3b 5c 3d (giả thiết các tỉ số có nghĩa) x x x x b) Tìm x biết: 2004 2003 2002 2001 Câu 3: (2điểm) a) Cho đa thức f ( x) ax bx c với a, b, c là các số thực Biết f(0); f(1); f(2) có giá trị nguyên Chứng minh 2a, 2b có giá trị nguyên b) Độ dài cạnh tam giác tỉ lệ với 2; 3; Ba đường cao tương ứng với ba cạnh đó tỉ lệ với ba số nào ? Câu 4: (3 điểm) Cho tam giác cân ABC (AB = AC0 Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối tia CB lấy điểm E cho BD = CE Các đường thẳng vuông góc với BC kẻ từ D và E cắt AB, AC M, N Chứng minh rằng: a) DM = EN b) Đường thẳng BC cắt MN trung điểm I MN c) Đường thẳng vuông góc với MN I luôn qua điểm cố định D thay đổi trên cạnh BC Câu 5: (1 điểm) 7n Tìm số tự nhiên n để phân số 2n có giá trị lớn (23) Đề số 11: Đề thi học sinh giỏi (Thời gian làm bài 120 phút) Câu 1: (2 điểm) a) Tính: 3 11 11 0,75 0,6 : 2,75 2,2 13 13 A= 10 1,21 22 0,25 225 : 49 B= b) Tìm các giá trị x để: x x 3x Câu 2: (2 điểm) a b c a b b c c a không là số nguyên a) Cho a, b, c > Chứng tỏ rằng: b) Cho a, b, c thoả mãn: a + b + c = Chứng minh rằng: ab bc ca 0 M Câu 3: (2 điểm) a) Tìm hai số dương khác x, y biết tổng, hiệu và tích chúng tỉ lệ nghịch với 35; 210 và 12 b) Vận tốc máy bay, ô tô và tàu hoả tỉ lệ với các số 10; và Thời gian máy bay bay từ A đến B ít thời gian ô tô chạy từ A đến B là 16 Hỏi tàu hoả chạy từ A đến B bao lâu ? Câu 4: (3 điểm) Cho cạnh hình vuông ABCD có độ dài là Trên các cạnh AB, AD lấy các điểm P, Q cho chu vi APQ Chứng minh góc PCQ 450 Câu 5: (1 điểm) 1 1 1985 20 Chứng minh rằng: 15 25 (24) Đề số 12: Đề thi học sinh giỏi (Thời gian làm bài 120 phút) Bài 1: (2 điểm) a) Chứng minh với số n nguyên dương có: n n n n A= (5 1) (3 2) 91 b) Tìm tất các số nguyên tố P cho P 14 là số nguyên tố Bài 2: ( điểm) a) Tìm số nguyên n cho n n bz cy cx az ay bx a b c b) Biết a b c x y z Chứng minh rằng: Bài 3: (2 điểm) An và Bách có số bưu ảnh, số bưu ảnh người chưa đến 100 Số bưu ảnh hoa An số bưu ảnh thú rừng Bách + Bách nói với An Nếu tôi cho bạn các bưu ảnh thú rừng tôi thì số bưu ảnh bạn gấp lần số bưu ảnh tôi + An trả lời: còn tôi cho bạn các bưu ảnh hoa tôi thì số bưu ảnh tôi gấp bốn lần số bưu ảnh bạn Tính số bưu ảnh người Bài 4: (3 điểm) Cho ABC có góc A 1200 Các đường phân giác AD, BE, CF a) Chứng minh DE là phân giác ngoài ADB b) Tính số đo góc EDF và góc BED Bài 5: (1 điểm) Tìm các cặp số nguyên tố p, q thoả mãn: 52 p 1997 52 p q 2 (25) Đề số 13: Đề thi học sinh giỏi (Thời gian làm bài 120 phút) Bài 1: (2 điểm) 5 13 10 230 46 27 6 25 2 10 : 12 14 7 10 Tính: Bài 2: (3 điểm) 38 33 a) Chứng minh rằng: A 36 41 chia hết cho 77 B x x b) Tìm các số nguyên x để đạt giá trị nhỏ c) Chứng minh rằng: P(x) ax bx cx d có giá trị nguyên với x nguyên và 6a, 2b, a + b + c và d là số nguyên Bài 3: (2 điểm) a c a) Cho tỉ lệ thức b d Chứng minh rằng: ab a b cd c d 2 a2 b2 a b c d2 cd và n b) Tìm tất các số nguyên dương n cho: chia hết cho Bài 4: (2 điểm) Cho cạnh hình vuông ABCD có độ dài là Trên các cạnh AB, AD lấy các điểm P, Q cho chu vi APQ Chứng minh góc PCQ 450 Bài 5: (1 điểm) Chứng minh rằng: 3a 2b 17 10a b 17 (a, b Z ) (26) Đề số 14: Đề thi học sinh giỏi (Thời gian làm bài 120 phút) Bài 1: (2 điểm) a) Tìm số nguyên dương a lớn cho 2004! chia hết cho 7a 1 1 2005 P 2004 2003 2002 2004 b) Tính Bài 2: (2 điểm) x y z t Cho y z t z t x t x y x y z chứng minh biểu thức sau có giá trị nguyên P x y y z z t t x z t t x x y y z Bài 3: (2 điểm) Hai xe máy khởi hành cùng lúc từ A và B, cách 11 km để đến C Vận tốc người từ A là 20 km/h Vận tốc người từ B là 24 km/h Tính quãng đường người đã Biết họ đến C cùng lúc và A, B, C thẳng hàng Bài 4: (3 điểm) Cho tam giác nhọn ABC Kẻ AH BC (H BC) Vẽ AE AB và AE = AB (E và C khác phía AC) Kẻ EM và FN cùng vuông góc với đường thẳng AH (M, N AH) EF cắt AH O Chứng minh O là trung điểm EF Bài 5: (1 điểm) 255 579 So sánh: và 2 (27) Đề số 15: Đề thi học sinh giỏi (Thời gian làm bài 120 phút) Câu 1: (2 điểm) A6 1 39 51 1 52 68 ; B 512 Tính : Câu 2: (2 điểm) a) Tìm x, y nguyên biết: xy + 3x - y = 512 512 512 512 10 2 2 x y z x y z z y x z x y b) Tìm x, y, z biết: (x, y, z ) Câu 3: (2 điểm) a) Chứng minh rằng: Với n nguyên dương ta có: S 3n n 3n n chia hết cho 10 2 b) Tìm số tự nhiên x, y biết: 7( x 2004) 23 y Câu 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC, AK là trung tuyến Trên nửa mặt phẳng không chứa B, bờ là AC, kẻ tia Ax vuông góc với AC; trên tia Ax lấy điểm M cho AM = AC Trên nửa mặt phẳng không chứa C, bờ là AB, kẻ tia Ay vuông góc với AB và lấy điểm N thuộc Ay cho AN = AB Lấy điểm P trên tia AK cho AK = KP Chứng minh: a) AC // BP b) AK MN Câu 5: (1 điểm) Cho a, b, c là số đo cạnh tam giác vuông với c là số đo cạnh huyền Chứng minh rằng: a n b n c n ; n là số tự nhiên lớn (28) Đề số 16: Đề thi học sinh giỏi (Thời gian làm bài 120 phút) Câu 1: (2 điểm) Tính: 16 3 19 A 14 34 34 17 1 1 B 54 108 : 24 1 180 270 378 Câu 2: ( 2, điểm) 1) Tìm số nguyên m để: a) Giá trị biểu thức m -1 chia hết cho giá trị biểu thức 2m + 3m b) n 2 n 4 n n 2) Chứng minh rằng: chia hết cho 30 với n nguyên dương Câu 3: (2 điểm) a) Tìm x, y, z biết: x y 3; y z 2 và x y 16 b) Cho f ( x) ax bx c Biết f(0), f(1), f(2) là các số nguyên Chứng minh f(x) luôn nhận giá trị nguyên với x nguyên Câu 4: (2,5 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AH miền ngoài tam giác ABC ta vẽ các tam giác vuông cân ABE và ACF nhận A làm đỉnh góc vuông Kẻ EM, FN cùng vuông góc với AH (M, N thuộc AH) a) Chứng minh: EM + HC = NH b) Chứng minh: EN // FM Câu 5: (1 điểm) n n Cho là số nguyên tố (n > 2) Chứng minh là hợp số (29) Đề số 17: Đề thi học sinh giỏi (Thời gian làm bài 120 phút) Câu 1: (2 điểm) Tính nhanh: 1 1 (1 99 100) (63.1,2 21.3,6) 9 A 99 100 ( ) 14 35 15 B 2 10 25 Câu 2: (2 điểm) a) Tính giá trị biểu thức A 3x x với b) Tìm x nguyên để x chia hết cho x Câu 3: ( điểm) x 3x y 3z 2 a) Tìm x, y, z biết 64 216 và x y z 1 b) Một ô tô phải từ A đến B thời gian dự định Sau nửa quãng đường ô tô tăng vận tốc lên 20 % đó đến B sớm dự định 15 phút Tính thời gian ô tô từ A đến B Câu 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC, trung tuyến AM Trên nửa mặt phẳng chứa đỉnh C bờ là đường thẳng AB dựng đoạn AE vuông góc với AB và AE = AB Trên nửa mặt phẳng chứa đỉnh B bờ là đường thẳng AC dựng đoạn AF vuông góc với AC và AF = AC Chứng minh rằng: a) FB = EC b) EF = AM c) AM EF Câu 5: (1 điểm) Chứng tỏ rằng: 1 1 1 1 1 99 200 101 102 199 200 (30) Đề số 18: Đề thi học sinh giỏi (Thời gian làm bài 120 phút) Câu 1: (2 điểm) 2 1 0,25 11 M 7 1,4 0,875 0,7 11 a) Thực phép tính: 1 1 1 P 1 10 15 28 21 b) Tính tổng: 0,4 Câu 2: (2 điểm) x x 5 1) Tìm x biết: 2) Trên quãng đường Kép - Bắc giang dài 16,9 km, người thứ từ Kép đến Bắc Giang, người thứ hai từ Bắc Giang đến Kép Vận tốc người thứ so với người thứ hai 3: Đến lúc gặp vận tốc người thứ so với người thứ hai là 2: Hỏi gặp thì họ cách Bắc Giang bao nhiêu km ? Câu 3: (2 điểm) a) Cho đa thức f ( x) ax bx c (a, b, c nguyên) CMR f(x) chia hết cho với giá trị x thì a, b, c chia hết cho a c a 5ac 7b 5bd 2 b) CMR: b d thì 7a 5ac 7b 5bd (Giả sử các tỉ số có nghĩa) Câu 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC có AB < AC Gọi M là trung điểm BC, từ M kẻ đường thẳng vuông góc với tia phân giác góc A, cắt tia này N, cắt tia AB E và cắt tia AC F Chứng minh rằng: a) AE = AF b) BE = CF AE AB AC c) Câu 5: (1 điểm) Đội văn nghệ khối gồm 10 bạn đó có bạn nam, bạn nữ Để chào mừng ngày 30/4 cần tiết mục văn nghệ có bạn nam, bạn nữ tham gia Hỏi có nhiều bao nhiêu cách lựa chọn để có bạn trên tham gia (31) Đề số 19: Đề thi học sinh giỏi (Thời gian làm bài 120 phút) Câu 1: (2 điểm) a) Tính giá trị biểu thức: 11 2 31 15 19 A 1 1 12 6 3 1 B 1 2 3 b) Chứng tỏ rằng: 14 31 93 50 1 2004 2004 Câu 2: (2 điểm) C 3x 2 4x Cho phân số: (x Z) a) Tìm x Z để C đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn đó b) Tìm x Z để C là số tự nhiên Câu 3: (2 điểm) ab (a b) a c cd (c d ) b d Cho Chứng minh rằng: Câu 4: (3 điểm) Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC), tia phân giác các góc B và C cắt AC và AB E và D a) Chứng minh rằng: BE = CD; AD = AE b) Gọi I là giao điểm BE và CD AI cắt BC M, chứng minh các MAB; MAC là tam giác vuông cân c) Từ A và D vẽ các đường thẳng vuông góc với BE, các đường thẳng này cắt BC K và H Chứng minh KH = KC Câu 5: (1 điểm) Tìm số nguyên tố p cho: p ; 24 p là các số nguyên tố (32) Đề số 20: Đề thi học sinh giỏi (Thời gian làm bài 120 phút) Câu 1: (2 điểm) a) Thực phép tính: 3 13 A 11 11 2,75 2,2 ; B ( 251.3 281) 3.251 (1 281) 0,75 0,6 b) Tìm các số nguyên tố x, y cho: 51x + 26y = 2000 Câu 2: ( điểm) a) Chứng minh rằng: 2a - 5b + 6c 17 a - 11b + 3c 17 (a, b, c Z) bz cy cx az ay bx a b c b) Biết a b c Chứng minh rằng: x y z Câu 3: ( điểm) Bây là 10 phút Hỏi sau ít bao lâu thì hai kim đồng hồ nằm đối diện trên đường thẳng Câu 4: (2 điểm) Cho ABC vuông cân A Gọi D là điểm trên cạnh AC, BI là phân giác ABD, đường cao IM BID cắt đường vuông góc với AC kẻ từ C N Tính góc IBN ? Câu 5: (2 điểm) Số 2100 viết hệ thập phân tạo thành số Hỏi số đó có bao nhiêu chữ số ? (33) Đề số 21: Đề thi học sinh giỏi (Thời gian làm bài 120 phút) Bài 1: (2 điểm) a) Tính giá trị biểu thức 3 2,5 1,25 0,375 0,3 11 12 P 2005 : 5 , , 75 0,625 0,5 11 12 b) Chứng minh rằng: 19 2 2 2 2 3 10 Câu 2: (2 điểm) a) Chứng minh với số nguyên dương n thì: 3n 3n 1 2n 3 2n chia hết cho b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: D 2004 x 2003 x Câu 3: (2 điểm) Một ô tô phải từ A đến B thời gian dự định Sau nửa quãng đường ô tô tăng vận tốc lên 20 % đó đến B sớm dự định 10 phút Tính thời gian ô tô từ A đến B Câu 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC, M là trung điểm BC Trên nửa mặt phẳng không chứa C có bờ AB, vẽ tia Ax vuông góc với AB, trên tia đó lấy điểm D cho AD = AB Trên nửa mặt phẳng không chứa B có bờ AC vẽ tia Ay vuông góc với AC Trên tia đó lấy điểm E cho AE = AC Chứng minh rằng: a) DE = AM b) AM DE Câu 5: (1 điểm) Cho n số x1, x2, …, xn số nhận giá trị -1 Chứng minh x x2 + x2 x3 + …+ xn x1 = thì n chia hết cho (34) Đề số 22: Đề thi học sinh giỏi (Thời gian làm bài 120 phút) Bài 1: (2 điểm) a) Tính giá trị biểu thức: 81,624 : 4,505 125 A 11 13 : , 88 , 53 ( , 75 ) : 25 25 b) Chứng minh tổng: S 1 1 1 n n 2002 2004 0,2 2 2 2 2 Bài 2: (2 điểm) a) Tìm các số nguyên x thoả mãn 2005 x x 10 x 101 x 990 x 1000 b) Cho p > Chứng minh các số p, p + d , p + 2d là các số nguyên tố thì d chia hết cho Bài 3: (2 điểm) a) Để làm xong công việc, số công nhân cần làm số ngày Một bạn học sinh lập luận số công nhân tăng thêm 1/3 thì thời gian giảm 1/3 Điều đó đúng hay sai ? vì ? b) Cho dãy tỉ số nhau: 2a b c d a 2b c d a b 2c d a b c 2d a b c d a b b c c d d a M c d d a a b b c Tính Bài 4: (3 điểm) Cho tam giác nhọn ABC, AB > AC phân giác BD và CE cắt I a) Tính các góc DIE góc A = 600 b) Gọi giao điểm BD và CE với đường cao AH ABC là M và N Chứng minh BM > MN + NC Bài 5: (1 điểm) Cho z, y, z là các số dương x y z Chứng minh rằng: x y z y z x z x y (35) Đề số 23: Đề thi học sinh giỏi (Thời gian làm bài 120 phút) Bài 1: (2 điểm) x2 6x x2 a) Tìm x biết: b) Tìm tổng các hệ số đa thức nhận sau bỏ dấu ngoặc biểu thức: 2004 2005 A(x) = (3 x x ) (3 x x ) Bài 2: (2 điểm) Ba đường cao tam giác ABC có độ dài 4; 12; x biết x là số tự nhiên Tìm x ? Bài 3: (2 điểm) x y z t Cho y z t z t x t x y x y z CMR biểu thức sau có giá trị nguyên: P x y y z z t t x z t t x x y y z Bài 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông A có góc B = Trên cạnh AC lấy điểm E cho góc EBA= Trên tia đối tia EB lấy điểm D cho ED = BC Chứng minh tam giác CED là tam giác cân Bài 5: (1 điểm) Tìm các số a, b, c nguyên dương thoả mãn : a 3a 5b và a 5c (36) Đề số 24: Đề thi học sinh giỏi (Thời gian làm bài 120 phút) Bài 1: (2 điểm) 2003 2004 a) Tính A 3 b) Tìm x biết x x Bài 2: (2 điểm) Chứng minh rằng: x y z Nếu a 2b c 2a b c 4a 4b c a b c Thì x y z x y z x y z Bài 3: (2 điểm) Hai xe máy khởi hành cùng lúc từ A và B, cách 11km để đến C (ba địa điểm A, B, C cùng trên đường thẳng) Vận tốc người từ A là 20 km/h Vận tốc người từ B là 24 km/h Tính quãng đường người đã Biết họ đến C cùng lúc Bài 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC có góc A khác 90 0, góc B và C nhọn, đường cao AH Vẽ các điểm D, E cho AB là trung trực HD, AC là trung trực HE Gọi I, K là giao điểm DE với AB và AC Tính số đo các góc AIC và AKB ? Bài 5: (1 điểm) Cho x = 2005 Tính giá trị biểu thức: x 2005 2006 x 2004 2006 x 2003 2006 x 2002 2006 x 2006 x (37) Đề số 25: Đề thi học sinh giỏi (Thời gian làm bài 120 phút) Câu ( 2đ) Cho: a b c b c d a a b c Chứng minh: b c d d Câu (1đ) Tìm A biết rằng: a c b A = b c a b c a Câu (2đ) Tìm x Z để x 3 a) A = x A Z và tìm giá trị đó 2x b) A = x Câu (2đ) Tìm x: x a) =5 b) ( x+ 2) = 81 c) x + x+ = 650 Câu (3đ) Cho ABC vuông cân A, trung tuyến AM E BC, BH,CK AE, (H,K AE) Chứng minh MHK vuông cân (38) Đề số 26: Đề thi học sinh giỏi (Thời gian làm bài 120 phút) Câu 1: (2đ) x x Rút gọn A= x x 20 Câu (2đ) Ba lớp 7A,7B,7C có 94 học sinh tham gia trồng cây Mỗi học sinh lớp 7A trồng cây, Mỗi học sinh lớp 7B trồng cây, Mỗi học sinh lớp 7C trồng cây, Hỏi lớp có bao nhiêu học sinh Biết số cây lớp trồng Câu 3: (1,5đ) 102006 53 Chứng minh là số tự nhiên Câu : (3đ) Cho góc xAy = 600 vẽ tia phân giác Az góc đó Từ điểm B trên Ax vẽ đường thẳng song song với với Ay cắt Az C vẽ Bh Ay,CM Ay, BK AC.Chứng minh a, K là trung điểm AC AC b, BH = c, KMC Câu (1,5 đ) Trong kỳ thi học sinh giỏi cấp Huyện, bốn bạn Nam, Bắc, Tây, Đông đoạt giải 1,2,3,4 Biết câu câu đây đúng nửa và sai nửa: a, tây đạt giải 1, Bắc đạt giải b, Tây đạt giải 2, Đông đạt giải c, Nam đạt giải 2, Đông đạt giải Em hãy xác định thứ tự đúng giải cho các bạn (39) Đề số 27: Đề thi học sinh giỏi (Thời gian làm bài 120 phút) Bài 1: (3 điểm): Tính 2 3 18 (0, 06 : 0,38) : 19 4 a c Bài 2: (4 điểm): Cho c b chứng minh rằng: a2 c2 a b2 a2 b a 2 2 a a) b c b b) a c Bài 3:(4 điểm) Tìm x biết: a) x b) 15 x x 12 Bài 4: (3 điểm) Một vật chuyển động trên các cạnh hình vuông Trên hai cạnh đầu vật chuyển động với vận tốc 5m/s, trên cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, trên cạnh thứ tư với vận tốc 3m/s Hỏi độ dài cạnh hình vuông biết tổng thời gian vật chuyển động trên bốn cạnh là 59 giây Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân A có A 20 , vẽ tam giác DBC (D nằm tam giác ABC) Tia phân giác góc ABD cắt AC M Chứng minh: c) Tia AD là phân giác góc BAC d) AM = BC 2 Bài 6: (2 điểm): Tìm x, y biết: 25 y 8( x 2009) (40) Đề số 28: Đề thi học sinh giỏi (Thời gian làm bài 120 phút) Bài Bài Bài và 1 1 96.101 Tính 1.6 6.11 11.16 1 x y Tìm giá trị nguyên dương x và y, cho: Tìm hai số dương biết: tổng, hiệu và tích chúng tỷ lệ nghịch với các số 20, 140 Bài Tìm x, y thoả mãn: x x y x = Bài Cho tam giác ABC có góc ABC = 50 ; góc BAC = 700 Phân giác góc ACB cắt AB M Trên MC lấy điểm N cho góc MBN = 40 Chứng minh: BN = MC Đề số 29: Đề thi học sinh giỏi (Thời gian làm bài 120 phút) a 4 Câu 1: Tìm tất các số nguyên a biết 9 Câu 2: Tìm phân số có tử là biết nó lớn 10 và nhỏ 11 Câu 3: Trong số x, y, z có số dương , số âm và số Hỏi số đó thuộc loại nào biết: x y3 y2 z Câu 4: Tìm các cặp số (x; y) biết: x y a, ; xy=84 1+3y 1+5y 1+7y b, 12 5x 4x 3n S 1 14 (n Z* ) Câu 5: Tính tổng: Câu 6: Cho tam giác ABC có Â < 90 Vẽ phía ngói tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và AB; AE vuông góc và AC (41) d Chứng minh: DC = BE và DC BE e Gọi N là trung điểm DE Trên tia đối tia NA lấy M cho NA = NM Chứng minh: AB = ME và ABC EMA f Chứng minh: MA BC Đề số 30: Đề thi học sinh giỏi (Thời gian làm bài 120 phút) Câu 1: So sánh các số: A 1 2 250 a B =251 b 2300 và 3200 Câu 2: Tìm ba số a, b, c biết a tỉ lệ thuận với và 11; b và c tỉ lệ nghịch với và và 5a - 3b + 2c = 164 Câu 3: Tính nhanh: 1 761 4 417 762 139 762 417.762 139 Câu Cho tam giác ACE cho B và E hai nửa mặt phẳng đối có bờ AC a Chứng minh tam giác AED cân b Tính số đo góc ACD? (42) Tuyển tập các đề thi học sinh giỏi lớp Một số kinh nghiệm nhỏ tìm chử số tận cùng và ứng dụng vào các bài toán chứng minh chia hết các lớp 6,7 I phần mở đầu : Tìm chử số tận cùng luỷ thừa đây là bài toán tương đối phức tạp học sinh các lớp 6,7 lại là bài toán lí thú , nó tạo cho học sinh lòng say mê khám phá từ đó các em ngày càng yeu môn toán có bài có số mủ lớn tưởng là mình không thể giãi Nhưng nhờ phát và nắm bắt qui luật , vận dungj qui luật đó các em tự giãi và tự nhiên thấy mình làm việc vô cùng lớn lao từ đó gieo vào trí tuệ các em khả khám phá , khả tự nghiên cứu Tuy là khó chúng ta hướng dẩn các em cách từ từ có hệ thống ,lô rích và chặt chẻ thì các em vẩn tiếp fhu tốt đây là kinh nghiệm nhỏ mà tôi muốn trình bày và trao đổi cùng các bạn II Nội dung cụ thể : Lí thuyết tìm chử số tận cùng : phần này quan trọng , cần lí giải cho học sinh cách kỉ lưởng ,đầy đủ X 0 = A0 số có tận cùng là luỷ thừa bậc n có tận cùng vẩn là X 1 = B1 số có tận cùng là luỷ thừa bậc n có tận cùng vẩn là X 5 = C5 số có tận cùng là luỷ thừa bậc n có tận cùng vẩn là X 6 = D6 số có tận cùng là luỷ thừa bậc n có tận cùng vẩn là n n n n X *a = F với a chẳn : số có tận cùng là nhân với số chắn sẻ có chử số tận cùng là x5 *a = N với a lẻ : số có tận cùng là nhân với số lẻ sẻ có tận cùng là Qua các công thức trên ta có quy tắc sau : Một số tưn nhiên có chử số tận cùng là : (0,1,5,6) nâng lên luỷ thừa với số mủ tự nhiên thì có chử số tự nhiên không thay đổi Kết luận trên là chìa khoá để giả các bài toán tìm chử số tận cùng luỷ thừa Các bài toán Bài toán 1: Tìm chử số tận cùng các luỷ thừa sau (43) a) 2100 ; b) 3100 ; c) 4100 d) 5100 ; e) 6100 ; f) 7100 g) 8100 ; 9100 Ta nhận thấy các luỷ thừa 5100 , 6100 thuộc dạng đả trình bày trên còn lại các luỷ thừa mà số là 2, , , , , Muốn giãi các bài toán này thì ta phai đưa chúng dạng trên thực chất có đưa hai dạng đó là : X 1 n = M , X 6 n = N Giải bài toán a) 2100 = 24*25 = ( 2 4)25 = (16)25 = A6 b) 3100 = 34*25 = ( 3 4)25 = (81)25 = B1 c) 4100 = 44*50 =( 4 2)50 = (16)50 = C d) 7100 = 74*25 =( 4)25 = 240125 = D1 e) 8100 = 84*25 = ( 8 4)25 = 409625 = E f) 9100 = 92*50 = ( 2)50 = 8150 = F1 Bài toán 2: tìm chử số tận cùng các số sau : a) 2101 ; b) 3101 ; c) 41o1 , d) 7101 ; e) 8101 ; f) 9101 Giải bài toán _ nhận xét đầu tiên số mủ ( 101 không chia hết cho và ) _ Ta viết 101 = 4.25 +1 101 = 50 +1 _ áp dụng công thức am+n = am.an ta có : a) 2101 = 24.25+1 = 2100 = Y = M b) 3101 = 3100+1 = 3100 = B1 = Y c) 41o1 = 4100 +1 = 4100 = C = k d) 7101 = 7100+1 = 7100 = D1 = F e) 8101 = 8100+1 = 8100 = E = N f) 9101 = 9100 +1 = 9100 = F1 = M Một số bài toán phức tạp Bài toán 3: Tìm chử số tận cùng các luỷ thừa sau : a) 12921997 ; b) 33331997 ; c) 12341997 ; d) 12371997 ; e) 12381997 ; f) 25691997 Bài giải Nhận xét quan trọng : Thực chất chử số tận cùng luỷ thừa bậc n mộtsố tự nhiên phụ thuộc vào chử số tận cùng số tự nhiên đó mà thôi (cơ số) Như bài toá thực chất là bài toán (44) a) 12921997 = 12924 499 +1= (12924)499 1292 = A6.1292 M b) 33331997 = 33334 499 +1 =(33334)499 +1 3333 = (B1) 499 3333 = D3 c) 12341997 = 12344 499 +1 = (12344)499 1234 = ( C )499 1234 = G d) 12371997 = 12374 499 +1 = (12374) 499 1237 = (D1) 499 1237 = X Vận dụng vào các bài toán chứng minh chia hết áp dụng dấu hiệu chia hết Ta dể dàng nhận thấy : Nếu hai số có chử số tận cùng giống thì thực phép trừ sẻ có chử số tận cùng là ta sẻ có các bài toán chứng minh chia hết cho { 2,5,10 } Nếu số có tận cùng là và số có tận cùng là chẳng hạn ta sẻ có bài toán chứng minh tổng hai số đó chia hết cho (vì chử số tận cùng tổng là 4) Các bài toán cụ thể : Hảy chứng minh a) 12921997 + 33331997 Theo bài toán trên ta có 12921997 = M 33331997 = D3 tổng hai số này sẻ có tận cùng là 12921997 + 33331997 b) Chứng minh 16281997 + 12921997 10 Ap dụng qui tắc tìm chử số tận cùng ta có 16281997 sẻ có tận cùng là M 12921997 Sẻ Có tận cùng là N Như 16281997 + 12921997 10 (vì chử số tận cùng tổng này sẻ là 0) Ta củng có thể vận dung hiệu hai số tích hai số để các bài toán chứng minh tương tự III Kết luận : Trên đây tôi đã trình bày phần vấn đề tìm chử số tận cùng luỷ thừa và ứng dụng nó bài toán chứng minh chia hết tập hợp số tự nhiên Trong năm học qua tôi đã trực tiếp hướng dẩn cho số học sinh các em tỏ thích thú và xem đó là khám phá chính các em với cách đặt vấn đề trên các em đã tự đề và có nhiều bài hay Cách đặt vấn đề cung trình bày nội sẻ không tránh khỏi phần sai sót mong các đồng nghiệp góp ý chân thành (45) (46) Đề thi Ô-lim -pic huyện Môn Toán Lớp Năm học 2006-2007 (Thời gian làm bài 120 phút) Bài Tìm giá trị n nguyên dương: a) n 16 2 n ; b) 27 < 3n < 243 Bài Thực phép tính: ( 1 1 49 ) 4.9 9.14 14.19 44.49 89 Bài a) Tìm x biết: 2x x x 2006 2007 x b) Tìm giá trị nhỏ A = Khi x thay đổi Bài Hiện hai kim đồng hồ 10 Sau ít bao lâu thì kim đồng hồ nằm đối diện trên đường thẳng Bài Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đường cao AH, trung tuyến AM Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho DM = MA Trên tia đối tia CD lấy điểm I cho CI = CA, qua I vẽ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng AH E Chứng minh: AE = BC Đáp án toán Bài Tìm giá trị n nguyên dương: (4 điểm câu điểm) a) n 16 2 n ; => 24n-3 = 2n => 4n – = n => n = b) 27 < 3n < 243 => 33 < 3n < 35 => n = Bài Thực phép tính: ( (4 điểm) 1 1 49 ) 4.9 9.14 14.19 44.49 89 1 1 1 1 (1 49) ( ) 44 49 12 = 9 14 14 19 (47) 1 (12.50 25) 5.9.7.89 ( ) 89 5.4.7.7.89 28 = 49 Bài (4 điểm câu điểm) a) Tìm x biết: 2x x Ta có: x + => x - 2x x + Nếu x - thì => 2x + = x + => x = - (Thoả mãn) 2x x + Nếu - x < - Thì => - 2x - = x + => x = - (Thoả mãn) + Nếu - > x Không có giá trị x thoả mãn b) Tìm giá trị nhỏ A = x 2006 2007 x Khi x thay đổi + Nếu x < 2006 thì: A = - x + 2006 + 2007 – x = - 2x + 4013 Khi đó: - x > -2006 => - 2x + 4013 > – 4012 + 4013 = => A > + Nếu 2006 x 2007 thì: A = x – 2006 + 2007 – x = + Nếu x > 2007 thì A = x - 2006 - 2007 + x = 2x – 4013 Do x > 2007 => 2x – 4013 > 4014 – 4013 = => A > Vậy A đạt giá trị nhỏ là 2006 x 2007 Bài Hiện hai kim đồng hồ 10 Sau ít bao lâu thì kim đồng hồ nằm đối diện trên đường thẳng (4 điểm mỗi) Gọi x, y là số vòng quay kim phút và kim 10giờ đến lúc kim đối trên đường thẳng, ta có: x – y = (ứng với từ số 12 đến số trên đông hồ) và x : y = 12 (Do kim phút quay nhanh gấp 12 lần kim giờ) x 12 x y x y 1 : 11 12 11 33 Do đó: y 12 ( vòng) x 11 (giờ) => x = 33 (48) Vậy thời gian ít để kim đồng hồ từ 10 đến lúc nằm đối diện trên đường thẳng là 11 Bài Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đường cao AH, trung tuyến AM Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho DM = MA Trên tia đối tia CD lấy điểm I cho CI = CA, qua I vẽ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng AH E Chứng minh: AE = BC (4 điểm mỗi) Đường thẳng AB cắt EI F ABM = DCM vì: E AM = DM (gt), MB = MC (gt), F AMB = DMC (đđ) => BAM = CDM =>FB // ID => ID AC Và FAI = CIA (so le trong) I A (1) IE // AC (gt) => FIA = CAI (so le trong) (2) Từ (1) và (2) => CAI = FIA (AI chung) B H => IC = AC = AF M và D E FA = 1v (3) (4) Mặt khác EAF = BAH (đđ), BAH = ACB ( cùng phụ ABC) => EAF = ACB (5) Từ (3), (4) và (5) => AFE = CAB =>AE = BC (49) BÀI TẬP VỀ CÁC ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ Ba đơn vị kinh doanh góp vốn theo tỉ lệ : : Hỏi đơn vị chia bao nhiêu tiền tổng số tiền lãi là 350 000 000 đ và tiền lãi chia theo tỉ lệ thuận với số vốn đóng góp Hai nhà hình chữ nhật có chiều dài Nền nhà thứ có chiều rộng là mét, nhà thứ hai có chiều rộng là 3,5 mét Để lát hết nhà thứ nhấtngười ta dùng 600 viên gạch hoa hình vuông Hỏi phải dùng bao nhiêu viên gạch cùng loại để lát hết nhà thứ hai? Khi tổng kết cuối năm học người ta thấy số học sinh giỏi trường phân bố các khối 6,7,8,9theo tỉ lệ 1,5 : 1,1 : 1,3 : 1,2 Hỏi số học sinh giỏi khối lớp, biết khối nhiều khối là học sinh giỏi BÀI TẬP HÌNH HỌC Cho góc xOz và yOz kề bù Ot và Ot’ là phân giác hai góc xOy và yOz từ điểm M trên Ot hạ MH Ox ( H Ox ) Trên tia Oz lấy điểm N cho ON = MH Đường vuông góc kẻ từ N cắt tia Ot’ K Tính số đo góc KM^O ? Cho tam giác ABC có B^ = 300 , C^ = 200.Đường trung trực cùa AC cắt BC E cắt BA F.Chứng minh : FA = FE Cho tam giác ABC tia phân giác góc B và góc C cắt O Qua O kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB D và AC E Chứng minh : DE = BD + EC Cho tam giác ABD có B = D Kẻ AH vuông góc với BD (H BD ) trên tia đối tia BA lấy BE = BH, đường thẳng EH cắt AD F Chứng minh : FH = FA = FD Cho tam giác cân ABC (AB = AC) trên tia đối tia CA lấy điểm D a) Chứng minh : ABD = CBD + CDB b) Giả sử A = 300, ABD = 900, hãy tính góc CBD MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÓ Tìm x, y, biết : a) (x – 1)2 + (y + 2)2 = b) |x +2005| + | y +1| = Trong chạy đua tiếp sức 100m ( Mỗi đội tham gia gồm vận động viên, VĐV chạy xong 100m truyền gậy tiếp sức cho VĐV Tổng số thời gian chạy VĐV là thành tích đội, thời gian chạy đội nào càng ít thì thành tích càng cao ) Giả sử đội tuyển gồm : chó, mèo, gà, vịt có vận tốc tỉ lệ với 10, 8, 4, Hỏi thời gian chạy đội tuyển là ? giây Biết vịt chạy hết 80 giây? x 3 Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn : − y = (50) Đề số 31: Đề thi học sinh giỏi (Thời gian làm bài 120 phút) Bài (3đ): 1, Tính: 1 2003 2004 2005 5 P = 2003 2004 2005 2 2002 2003 2004 3 2002 2003 2004 2, Biết: 13 + 23 + + 103 = 3025 Tính: S = 23 + 43 + 63 + + 203 x x 0, 25 xy x2 y 3, Cho: A = x ; y Tính giá trị A biết là số nguyên âm lớn Bài (1đ): Tìm x biết: 3x + 3x + + 3x + = 117 Bài (1đ): Một thỏ chạy trên đường mà hai phần ba đường băng qua đồng cỏ và đoạn đường còn lại qua đầm lầy Thời gian thỏ chạy trên đồng cỏ nửa thời gian chạy qua đầm lầy Hỏi vận tốc thỏ trên đoạn đường nào lớn ? Tính tỉ số vận tốc thỏ trên hai đoạn đường ? Bài (2đ): Cho ∆ABC nhọn Vẽ phía ngoài ∆ABC các ∆ ABD và ACE Gọi M là giao điểm BE và CD Chứng minh rằng: 1, ∆ABE = ∆ADC 2, BMC 120 Bài (3đ): Cho ba điểm B, H, C thẳng hàng, BC = 13 cm, BH = cm, HC = cm Từ H vẽ tia Hx vuông góc với đường thẳng BC Lấy A thuộc tia Hx cho HA = cm 1, ∆ABC là ∆ gì ? Chứng minh điều đó (51) 2, Trên tia HC lấy điểm D cho HD = HA Từ D vẽ đường thẳng song song với AH cắt AC E Chứng minh: AE = AB Đề số 32 Đề thi học sinh giỏi (Thời gian làm bài 120 phút) Bài (4đ): Cho các đa thức: A(x) = 2x5 – 4x3 + x2 – 2x + B(x) = x5 – 2x4 + x2 – 5x + 4 C(x) = x + 4x + 3x – 8x + 1, Tính M(x) = A(x) – 2B(x) + C(x) 16 2, Tính giá trị M(x) x = 0, 25 3, Có giá trị nào x để M(x) = không ? Bài (4đ): 1, Tìm ba số a, b, c biết: 3a = 2b; 5b = 7c và 3a + 5b – 7c = 60 2, Tìm x biết: 2x x x Bài (4đ): Tìm giá trị nguyên m và n để biểu thức 1, P = m có giá trị lớn 8 n 2, Q = n có giá trị nguyên nhỏ Bài (5đ): Cho tam giác ABC có AB < AC; AB = c, AC = b Qua M là trung điểm BC kẻ đường vuông góc với đường phân giác góc A, cắt các đường thẳng AB, AC D, E 1, Chứng minh BD = CE 2, Tính AD và BD theo b, c Bài (3đ): (52) Cho ∆ABC cân A, BAC 100 D là điểm thuộc miền ∆ABC cho DBC 100 , DCB 200 Tính góc ADB ? Đề số 33: Đề thi học sinh giỏi (Thời gian làm bài 120 phút) Bài (3đ): Tính: 3 1 1 1, 1 2, (63 + 62 + 33) : 13 1 1 1 1 3, 10 90 72 56 42 30 20 12 Bài (3đ): a b c 1, Cho b c a và a + b + c ≠ 0; a = 2005 Tính b, c a b c d 2, Chứng minh từ hệ thức a b c d ta có hệ thức: a c b d Bài (4đ): Độ dài ba cạnh tam giác tỉ lệ với 2; 3; Ba chiều cao tương ứng với ba cạnh đó tỉ lệ với ba số nào ? Bài (3đ): Vẽ đồ thị hàm số: x ; x 0 y = x ; x Bài (3đ): Chứng tỏ rằng: A = 75 (42004 + 42003 + + 42 + + 1) + 25 là số chia hết cho 100 (53) Bài (4đ): Cho tam giác ABC có góc A = 600 Tia phân giác góc B cắt AC D, tia phân giác góc C cắt AB E Các tia phân giác đó cắt I Chứng minh: ID = IE (54) Đề số 34: Đề thi học sinh giỏi (Thời gian làm bài 120 phút) Bài (5đ): 1, Tìm n N biết (33 : 9)3n = 729 2, Tính : A= − − 0,( 4)+ − − | | (√ ) | + − Bài (3đ): Cho a,b,c | thoả mãn b2 = ac Chứng minh rằng: R và a,b,c a c = a+2007 b ¿ ¿ b+ 2007 c ¿ ¿ ¿ ¿ Bài (4đ): Ba đội công nhân làm công việc có khối lượng Thời gian hoàn thành công việc đội І, ІІ, ІІІ là 3, 5, ngày Biêt đội ІІ nhiều đội ІІІ là người và suất công nhân là Hỏi đội có bao nhiêu công nhân ? Câu (6đ): Cho ∆ABC nhọn Vẽ phía ngoài ∆ABC các ∆ ABD và ACE 1, Chứng minh: BE = DC 2, Gọi H là giao điểm BE và CD Tính số đo góc BHC Bài (2đ): Cho m, n p N và p là số nguyên tố thoả mãn: m−1 = Chứng minh : p2 = n + m+n p (55) Đề số 35: Đề thi học sinh giỏi (Thời gian làm bài 120 phút) Bài 1: (2 điểm) a, Cho A (0,8.7 0.82 ).(1,25.7 B 1,25) 31,64 (11,81 8,19).0,02 : 11,25 Trong hai số A và B số nào lớn và lớn bao nhiêu lần ? 1998 b) Số A 10 có chia hết cho không ? Có chia hết cho không ? Câu 2: (2 điểm) Trên quãng đường AB dài 31,5 km An từ A đến B, Bình từ B đến A Vận tốc An so với Bình là 2: Đến lúc gặp nhau, thời gian An so với Bình là 3: Tính quãng đường người tới lúc gặp ? Câu 3: a) Cho f ( x) ax bx c với a, b, c là các số hữu tỉ Chứng tỏ rằng: f ( 2) f (3) 0 Biết 13a b 2c 0 A 6 x b) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức có giá trị lớn Câu 4: (3 điểm) Cho ABC dựng tam giác vuông cân BAE; BAE = 90 0, B và E nằm hai nửa mặt phẳng khác bờ AC Dựng tam giác vuông cân FAC, FAC = 90 F và C nằm hai nửa mặt phẳng khác bờ AB a) Chứng minh rằng: ABF = ACE b) FB EC Câu 5: (1 điểm) Tìm chữ số tận cùng 18 A 19 19 29 (56) Đề số 36: Đề thi học sinh giỏi (Thời gian làm bài 120 phút Câu 1: (2 điểm) 3 0,375 0,3 1,5 0,75 1890 11 12 : A 115 2,5 1,25 0,625 0,5 2005 11 12 a) Tính 1 1 1 B 2004 2005 3 3 3 b) Cho B Chứng minh Câu 2: (2 điểm) a c 5a 3b 5c 3d a) Chứng minh b d thì 5a 3b 5c 3d (giả thiết các tỉ số có nghĩa) x x x x b) Tìm x biết: 2004 2003 2002 2001 Câu 3: (2điểm) a) Cho đa thức f ( x) ax bx c với a, b, c là các số thực Biết f(0); f(1); f(2) có giá trị nguyên Chứng minh 2a, 2b có giá trị nguyên b) Độ dài cạnh tam giác tỉ lệ với 2; 3; Ba đường cao tương ứng với ba cạnh đó tỉ lệ với ba số nào ? Câu 4: (3 điểm) Cho tam giác cân ABC (AB = AC0 Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối tia CB lấy điểm E cho BD = CE Các đường thẳng vuông góc với BC kẻ từ D và E cắt AB, AC M, N Chứng minh rằng: a) DM = EN b) Đường thẳng BC cắt MN trung điểm I MN c) Đường thẳng vuông góc với MN I luôn qua điểm cố định D thay đổi trên cạnh BC Câu 5: (1 điểm) 7n Tìm số tự nhiên n để phân số 2n có giá trị lớn (57) Đề số 37: Đề thi học sinh giỏi (Thời gian làm bài 120 phút Câu 1: (2 điểm) a) Tính: 3 11 11 0,75 0,6 : 2,75 2,2 13 13 A= 10 1,21 22 0,25 225 : 49 B= b) Tìm các giá trị x để: x x 3 x Câu 2: (2 điểm) a b c a b b c c a không là số nguyên a) Cho a, b, c > Chứng tỏ rằng: b) Cho a, b, c thoả mãn: a + b + c = Chứng minh rằng: ab bc ca 0 M Câu 3: (2 điểm) a) Tìm hai số dương khác x, y biết tổng, hiệu và tích chúng tỉ lệ nghịch với 35; 210 và 12 b) Vận tốc máy bay, ô tô và tàu hoả tỉ lệ với các số 10; và Thời gian máy bay bay từ A đến B ít thời gian ô tô chạy từ A đến B là 16 Hỏi tàu hoả chạy từ A đến B bao lâu ? Câu 4: (3 điểm) Cho cạnh hình vuông ABCD có độ dài là Trên các cạnh AB, AD lấy các điểm P, Q cho chu vi APQ Chứng minh góc PCQ 450 Câu 5: (1 điểm) 1 1 1985 20 Chứng minh rằng: 15 25 (58) Đề số 38: Đề thi học sinh giỏi (Thời gian làm bài 120 phút Bài 1: (2 điểm) a) Chứng minh với số n nguyên dương có: n n n n A= (5 1) (3 2) 91 b) Tìm tất các số nguyên tố P cho P 14 là số nguyên tố Bài 2: ( điểm) a) Tìm số nguyên n cho n n bz cy cx az ay bx a b c b) Biết a b c x y z Chứng minh rằng: Bài 3: (2 điểm) An và Bách có số bưu ảnh, số bưu ảnh người chưa đến 100 Số bưu ảnh hoa An số bưu ảnh thú rừng Bách + Bách nói với An Nếu tôi cho bạn các bưu ảnh thú rừng tôi thì số bưu ảnh bạn gấp lần số bưu ảnh tôi + An trả lời: còn tôi cho bạn các bưu ảnh hoa tôi thì số bưu ảnh tôi gấp bốn lần số bưu ảnh bạn Tính số bưu ảnh người Bài 4: (3 điểm) Cho ABC có góc A 1200 Các đường phân giác AD, BE, CF a) Chứng minh DE là phân giác ngoài ADB b) Tính số đo góc EDF và góc BED Bài 5: (1 điểm) Tìm các cặp số nguyên tố p, q thoả mãn: 52 p 1997 52 p q (59) Đề số 39: Đề thi học sinh giỏi (Thời gian làm bài 120 phút Bài 1: (2 điểm) 5 13 10 230 46 27 6 25 2 10 : 12 14 7 10 Tính: Bài 2: (3 điểm) 38 33 a) Chứng minh rằng: A 36 41 chia hết cho 77 B x x b) Tìm các số nguyên x để đạt giá trị nhỏ c) Chứng minh rằng: P(x) ax bx cx d có giá trị nguyên với x nguyên và 6a, 2b, a + b + c và d là số nguyên Bài 3: (2 điểm) a c a) Cho tỉ lệ thức b d Chứng minh rằng: ab a b cd c d 2 a2 b2 a b c d2 cd và n b) Tìm tất các số nguyên dương n cho: chia hết cho Bài 4: (2 điểm) Cho cạnh hình vuông ABCD có độ dài là Trên các cạnh AB, AD lấy các điểm P, Q cho chu vi APQ Chứng minh góc PCQ 450 Bài 5: (1 điểm) Chứng minh rằng: 3a 2b 17 10a b 17 (a, b Z ) (60) Đề số 40: Đề thi học sinh giỏi (Thời gian làm bài 120 phút) Bài 1: (2 điểm) a) Tìm số nguyên dương a lớn cho 2004! chia hết cho 7a 1 1 2005 P 2004 2003 2002 2004 b) Tính Bài 2: (2 điểm) x y z t Cho y z t z t x t x y x y z chứng minh biểu thức sau có giá trị nguyên P x y y z z t t x z t t x x y y z Bài 3: (2 điểm) Hai xe máy khởi hành cùng lúc từ A và B, cách 11 km để đến C Vận tốc người từ A là 20 km/h Vận tốc người từ B là 24 km/h Tính quãng đường người đã Biết họ đến C cùng lúc và A, B, C thẳng hàng Bài 4: (3 điểm) Cho tam giác nhọn ABC Kẻ AH BC (H BC) Vẽ AE AB và AE = AB (E và C khác phía AC) Kẻ EM và FN cùng vuông góc với đường thẳng AH (M, N AH) EF cắt AH O Chứng minh O là trung điểm EF Bài 5: (1 điểm) 255 579 So sánh: và (61) Đề số 41: Đề thi học sinh giỏi (Thời gian làm bài 120 phút) Câu 1: (2 điểm) Tính : A6 1 39 51 1 52 68 ; B 512 512 512 512 512 10 2 2 Câu 2: (2 điểm) a) Tìm x, y nguyên biết: xy + 3x - y = x y z x y z z y x z x y b) Tìm x, y, z biết: (x, y, z ) Câu 3: (2 điểm) a) Chứng minh rằng: Với n nguyên dương ta có: S 3n n 3n n chia hết cho 10 2 b) Tìm số tự nhiên x, y biết: 7( x 2004) 23 y Câu 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC, AK là trung tuyến Trên nửa mặt phẳng không chứa B, bờ là AC, kẻ tia Ax vuông góc với AC; trên tia Ax lấy điểm M cho AM = AC Trên nửa mặt phẳng không chứa C, bờ là AB, kẻ tia Ay vuông góc với AB và lấy điểm N thuộc Ay cho AN = AB Lấy điểm P trên tia AK cho AK = KP Chứng minh: a) AC // BP b) AK MN Câu 5: (1 điểm) Cho a, b, c là số đo cạnh tam giác vuông với c là số đo cạnh huyền Chứng minh rằng: a n b n c n ; n là số tự nhiên lớn (62) Đề số 42: Đề thi học sinh giỏi (Thời gian làm bài 120 phút) Câu 1: (2 điểm) Tính: 16 3 19 A 14 34 34 17 1 1 B 54 108 : 24 1 180 270 378 Câu 2: ( 2, điểm) 1) Tìm số nguyên m để: a) Giá trị biểu thức m -1 chia hết cho giá trị biểu thức 2m + 3m b) n 2 n 4 n n 2) Chứng minh rằng: chia hết cho 30 với n nguyên dương Câu 3: (2 điểm) a) Tìm x, y, z biết: x y 3; y z 2 và x y 16 b) Cho f ( x) ax bx c Biết f(0), f(1), f(2) là các số nguyên Chứng minh f(x) luôn nhận giá trị nguyên với x nguyên Câu 4: (2,5 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AH miền ngoài tam giác ABC ta vẽ các tam giác vuông cân ABE và ACF nhận A làm đỉnh góc vuông Kẻ EM, FN cùng vuông góc với AH (M, N thuộc AH) a) Chứng minh: EM + HC = NH b) Chứng minh: EN // FM Câu 5: (1 điểm) n n Cho là số nguyên tố (n > 2) Chứng minh là hợp số (63) Đề số 43: Đề thi học sinh giỏi (Thời gian làm bài 120 phút) Câu 1: (2 điểm) Tính nhanh: 1 1 (1 99 100) (63.1,2 21.3,6) 9 A 99 100 2 14 35 ( 15 ) B 2 10 25 Câu 2: (2 điểm) a) Tính giá trị biểu thức A 3x x với b) Tìm x nguyên để x chia hết cho x x Câu 3: ( điểm) 3x y 3z 2 a) Tìm x, y, z biết 64 216 và x y z 1 b) Một ô tô phải từ A đến B thời gian dự định Sau nửa quãng đường ô tô tăng vận tốc lên 20 % đó đến B sớm dự định 15 phút Tính thời gian ô tô từ A đến B Câu 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC, trung tuyến AM Trên nửa mặt phẳng chứa đỉnh C bờ là đường thẳng AB dựng đoạn AE vuông góc với AB và AE = AB Trên nửa mặt phẳng chứa đỉnh B bờ là đường thẳng AC dựng đoạn AF vuông góc với AC và AF = AC Chứng minh rằng: a) FB = EC b) EF = AM c) AM EF Câu 5: (1 điểm) Chứng tỏ rằng: 1 1 1 1 1 99 200 101 102 199 200 (64) Đề số 44: Đề thi học sinh giỏi (Thời gian làm bài 120 phút) Câu 1: (2 điểm) 2 1 0,25 11 M 7 1,4 0,875 0,7 11 a) Thực phép tính: 1 1 1 P 1 10 15 28 21 b) Tính tổng: 0,4 Câu 2: (2 điểm) x x 5 1) Tìm x biết: 2) Trên quãng đường Kép - Bắc giang dài 16,9 km, người thứ từ Kép đến Bắc Giang, người thứ hai từ Bắc Giang đến Kép Vận tốc người thứ so với người thứ hai 3: Đến lúc gặp vận tốc người thứ so với người thứ hai là 2: Hỏi gặp thì họ cách Bắc Giang bao nhiêu km ? Câu 3: (2 điểm) a) Cho đa thức f ( x) ax bx c (a, b, c nguyên) CMR f(x) chia hết cho với giá trị x thì a, b, c chia hết cho a c a 5ac 7b 5bd 2 b) CMR: b d thì 7a 5ac 7b 5bd (Giả sử các tỉ số có nghĩa) Câu 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC có AB < AC Gọi M là trung điểm BC, từ M kẻ đường thẳng vuông góc với tia phân giác góc A, cắt tia này N, cắt tia AB E và cắt tia AC F Chứng minh rằng: a) AE = AF b) BE = CF c) AE AB AC Câu 5: (1 điểm) Đội văn nghệ khối gồm 10 bạn đó có bạn nam, bạn nữ Để chào mừng ngày 30/4 cần tiết mục văn nghệ có bạn nam, bạn nữ tham gia Hỏi có nhiều bao nhiêu cách lựa chọn để có bạn trên tham gia (65) Đề số 45: Đề thi học sinh giỏi (Thời gian làm bài 120 phút) Câu 1: (2 điểm) a) Tính giá trị biểu thức: 11 2 31 15 19 A 1 1 12 6 3 1 B 1 2 3 b) Chứng tỏ rằng: 14 31 93 50 1 2004 2004 Câu 2: (2 điểm) C 3x 2 4x Cho phân số: (x Z) a) Tìm x Z để C đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn đó b) Tìm x Z để C là số tự nhiên Câu 3: (2 điểm) ab (a b) a c cd (c d ) b d Cho Chứng minh rằng: Câu 4: (3 điểm) Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC), tia phân giác các góc B và C cắt AC và AB E và D a) Chứng minh rằng: BE = CD; AD = AE b) Gọi I là giao điểm BE và CD AI cắt BC M, chứng minh các MAB; MAC là tam giác vuông cân c) Từ A và D vẽ các đường thẳng vuông góc với BE, các đường thẳng này cắt BC K và H Chứng minh KH = KC Câu 5: (1 điểm) Tìm số nguyên tố p cho: p ; 24 p là các số nguyên tố (66) Đề số 46: Đề thi học sinh giỏi (Thời gian làm bài 120 phút) Câu 1: (2 điểm) a) Thực phép tính: 3 13 A 11 11 2,75 2,2 ; B ( 251.3 281) 3.251 (1 281) 0,75 0,6 b) Tìm các số nguyên tố x, y cho: 51x + 26y = 2000 Câu 2: ( điểm) a) Chứng minh rằng: 2a - 5b + 6c 17 a - 11b + 3c 17 (a, b, c Z) bz cy cx az ay bx a b c b) Biết a b c Chứng minh rằng: x y z Câu 3: ( điểm) Bây là 10 phút Hỏi sau ít bao lâu thì hai kim đồng hồ nằm đối diện trên đường thẳng Câu 4: (2 điểm) Cho ABC vuông cân A Gọi D là điểm trên cạnh AC, BI là phân giác ABD, đường cao IM BID cắt đường vuông góc với AC kẻ từ C N Tính góc IBN ? Câu 5: (2 điểm) Số 2100 viết hệ thập phân tạo thành số Hỏi số đó có bao nhiêu chữ số ? (67) Đề số 47: Đề thi học sinh giỏi (Thời gian làm bài 120 phút) Bài 1: (2 điểm) a) Tính giá trị biểu thức 3 2,5 1,25 0,375 0,3 11 12 P 2005 : 0,625 0,5 1,5 0,75 11 12 b) Chứng minh rằng: 19 2 2 2 2 3 10 Câu 2: (2 điểm) a) Chứng minh với số nguyên dương n thì: 3n 3n 1 2n 3 2n chia hết cho b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: D 2004 x 2003 x Câu 3: (2 điểm) Một ô tô phải từ A đến B thời gian dự định Sau nửa quãng đường ô tô tăng vận tốc lên 20 % đó đến B sớm dự định 10 phút Tính thời gian ô tô từ A đến B Câu 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC, M là trung điểm BC Trên nửa mặt phẳng không chứa C có bờ AB, vẽ tia Ax vuông góc với AB, trên tia đó lấy điểm D cho AD = AB Trên nửa mặt phẳng không chứa B có bờ AC vẽ tia Ay vuông góc với AC Trên tia đó lấy điểm E cho AE = AC Chứng minh rằng: a) DE = AM b) AM DE Câu 5: (1 điểm) Cho n số x1, x2, …, xn số nhận giá trị -1 Chứng minh x x2 + x2 x3 + …+ xn x1 = thì n chia hết cho (68) Đề số 48: Đề thi học sinh giỏi (Thời gian làm bài 120 phút) Bài 1: (2 điểm) a) Tính giá trị biểu thức: 81,624 : 4,505 125 A 11 13 : , 88 , 53 ( , 75 ) : 25 25 b) Chứng minh tổng: S 1 1 1 n n 2002 2004 0,2 2 2 2 2 Bài 2: (2 điểm) a) Tìm các số nguyên x thoả mãn 2005 x x 10 x 101 x 990 x 1000 b) Cho p > Chứng minh các số p, p + d , p + 2d là các số nguyên tố thì d chia hết cho Bài 3: (2 điểm) a) Để làm xong công việc, số công nhân cần làm số ngày Một bạn học sinh lập luận số công nhân tăng thêm 1/3 thì thời gian giảm 1/3 Điều đó đúng hay sai ? vì ? b) Cho dãy tỉ số nhau: 2a b c d a 2b c d a b 2c d a b c 2d a b c d a b b c c d d a M c d d a a b b c Tính Bài 4: (3 điểm) Cho tam giác nhọn ABC, AB > AC phân giác BD và CE cắt I a) Tính các góc DIE góc A = 600 b) Gọi giao điểm BD và CE với đường cao AH ABC là M và N Chứng minh BM > MN + NC Bài 5: (1 điểm) Cho z, y, z là các số dương x y z Chứng minh rằng: x y z y z x z x y (69) Đề số 49: Đề thi học sinh giỏi (Thời gian làm bài 120 phút) Bài 1: (2 điểm) x2 6x x2 a) Tìm x biết: b) Tìm tổng các hệ số đa thức nhận sau bỏ dấu ngoặc biểu thức: 2004 2005 A(x) = (3 x x ) (3 x x ) Bài 2: (2 điểm) Ba đường cao tam giác ABC có độ dài 4; 12; x biết x là số tự nhiên Tìm x ? Bài 3: (2 điểm) x y z t Cho y z t z t x t x y x y z CMR biểu thức sau có giá trị nguyên: P x y y z z t t x z t t x x y y z Bài 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông A có góc B = Trên cạnh AC lấy điểm E cho góc EBA= Trên tia đối tia EB lấy điểm D cho ED = BC Chứng minh tam giác CED là tam giác cân Bài 5: (1 điểm) Tìm các số a, b, c nguyên dương thoả mãn : a 3a 5b và a 5c (70) Đề số 40: Đề thi học sinh giỏi (Thời gian làm bài 120 phút) Bài 1: (2 điểm) 2003 2004 a) Tính A 3 b) Tìm x biết x x 4 Bài 2: (2 điểm) Chứng minh rằng: x y z Nếu a 2b c 2a b c 4a 4b c a b c Thì x y z x y z x y z Bài 3: (2 điểm) Hai xe máy khởi hành cùng lúc từ A và B, cách 11km để đến C (ba địa điểm A, B, C cùng trên đường thẳng) Vận tốc người từ A là 20 km/h Vận tốc người từ B là 24 km/h Tính quãng đường người đã Biết họ đến C cùng lúc Bài 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC có góc A khác 90 0, góc B và C nhọn, đường cao AH Vẽ các điểm D, E cho AB là trung trực HD, AC là trung trực HE Gọi I, K là giao điểm DE với AB và AC Tính số đo các góc AIC và AKB ? Bài 5: (1 điểm) Cho x = 2005 Tính giá trị biểu thức: x 2005 2006 x 2004 2006 x 2003 2006 x 2002 2006 x 2006 x (71) Đề số 50: Đề thi học sinh giỏi (Thời gian làm bài 120 phút) Câu ( 2đ) Cho: a b c b c d a a b c Chứng minh: b c d d Câu (1đ) Tìm A biết rằng: a c b A = b c a b c a Câu (2đ) Tìm x Z để x 3 a) A = x A Z và tìm giá trị đó 2x b) A = x Câu (2đ) Tìm x: a) x = b) ( x+ 2) = 81 c) x + x+ = 650 Câu (3đ) Cho ABC vuông cân A, trung tuyến AM E BC, BH,CK AE, (H,K AE) Chứng minh MHK vuông cân (72) Đề thi học sinh giỏi toán lớp Câu 1: (2đ) x x Rút gọn A= x x 20 Câu (2đ) Ba lớp 7A,7B,7C có 94 học sinh tham gia trồng cây Mỗi học sinh lớp 7A trồng cây, Mỗi học sinh lớp 7B trồng cây, Mỗi học sinh lớp 7C trồng cây, Hỏi lớp có bao nhiêu học sinh Biết số cây lớp trồng Câu 3: (1,5đ) 102006 53 Chứng minh là số tự nhiên Câu : (3đ) Cho góc xAy = 600 vẽ tia phân giác Az góc đó Từ điểm B trên Ax vẽ đường thẳng song song với với Ay cắt Az C vẽ Bh Ay,CM Ay, BK AC.Chứng minh a, K là trung điểm AC AC b, BH = c, KMC Câu (1,5 đ) Trong kỳ thi học sinh giỏi cấp Huyện, bốn bạn Nam, Bắc, Tây, Đông đoạt giải 1,2,3,4 Biết câu câu đây đúng nửa và sai nửa: a, tây đạt giải 1, Bắc đạt giải b, Tây đạt giải 2, Đông đạt giải c, Nam đạt giải 2, Đông đạt giải Em hãy xác định thứ tự đúng giải cho các bạn Đề số 51: Đề thi học sinh giỏi (Thời gian làm bài 120 phút) Bài 1: (3 điểm): Tính 2 3 18 (0, 06 : 0,38) : 19 4 (73) a c Bài 2: (4 điểm): Cho c b chứng minh rằng: a2 c2 a b2 a2 b a 2 2 a a) b c b b) a c Bài 3:(4 điểm) Tìm x biết: a) x b) 15 x x 12 Bài 4: (3 điểm) Một vật chuyển động trên các cạnh hình vuông Trên hai cạnh đầu vật chuyển động với vận tốc 5m/s, trên cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, trên cạnh thứ tư với vận tốc 3m/s Hỏi độ dài cạnh hình vuông biết tổng thời gian vật chuyển động trên bốn cạnh là 59 giây Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân A có A 20 , vẽ tam giác DBC (D nằm tam giác ABC) Tia phân giác góc ABD cắt AC M Chứng minh: e) Tia AD là phân giác góc BAC f) AM = BC 2 Bài 6: (2 điểm): Tìm x, y biết: 25 y 8( x 2009) ĐÁP ÁN ĐỀ THI Bài 1: điểm 2 3 18 (0, 06 : 0,38) : 19 4 = 15 17 38 19 109 (100 : 100 ) : 19 = 109 17 19 38 50 15 50 : 19 = 109 323 19 250 250 : = 109 13 10 19 = = 506 253 = 30 19 95 0.5đ 1đ 0.5 0.5đ 0.5đ (74) Bài 2: a c a) Từ c b suy c a.b a c a a.b 2 đó b c b a.b a ( a b) a = b( a b) b 0.5đ 0.5đ 0.5đ a2 c2 a b2 c b 2 2 b) Theo câu a) ta có: b c b a c a b2 c2 b b2 c b 2 1 2 a từ a c a a c 2 0.5đ 1đ b c a c b a 2 a c a hay 2 b a b a 2 a a c 0.5đ 0.5đ Bài 3: a) x x 0.5đ 1 2 x 2 x 5 1 x 2 x 2 x 5 hay Với 1 11 x x x 5 hay Với x 1đ 0.25đ 0.25đ b) 15 x x 12 x x 13 ( )x 14 49 13 x 20 14 0.5đ 0.5đ 0.5đ (75) 130 x 343 0.5đ Bài 4: Cùng đoạn đường, cận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch 0.5đ Gọi x, y, z là thời gian chuyển động với các vận tốc 5m/s ; 4m/s ; 3m/s 5.x 4 y 3.z và x x y z 59 Ta có: 1đ x y z x x y z 59 60 1 1 1 59 hay: 5 60 0.5đ Do đó: x 60 12 ; x 60 15 ; x 60 20 0.5đ 0.5đ Vậy cạnh hình vuông là: 5.12 = 60 (m) Bài 5: -Vẽ hình, ghi GT, KL đúng 0.5đ a) Chứng minh ADB = ADC (c.c.c) 1đ suy DAB DAC 0 Do đó DAB 20 : 10 A 20 0 0 b) ABC cân A, mà A 20 (gt) nên ABC (180 20 ) : 80 600 ABC nên DBC 0 Tia BD nằm hai tia BA và BC suy ABD 80 60 20 Tia BM là phân giác góc ABD nên ABM 10 M D B C Xét tam giác ABM và BAD có: AB cạnh chung ; BAM ABD 20 ; ABM DAB 10 Vậy: ABM = BAD (g.c.g) suy AM = BD, mà BD = BC (gt) nên AM = BC Bài 6: 25 y 8(x 2009) Ta có Vì y 8(x-2009)2 = 25- y2 8(x-2009)2 + y2 =25 (*) 0.5đ 25 , suy (x-2009)2 = (x-2009)2 =1 nên (x-2009) Với (x -2009)2 =1 thay vào (*) ta có y2 = 17 (loại) 0.5đ (76) Với (x- 2009)2 = thay vào (*) ta có y2 =25 suy y = (do y ) Từ đó tìm (x=2009; y=5) 0.5đ 0.5đ Đề số 52: Đề thi học sinh giỏi (Thời gian làm bài 120 phút) 1 1 96.101 Tính 1.6 6.11 11.16 1 x y Tìm giá trị nguyên dương x và y, cho: Bài Bài Bài và Tìm hai số dương biết: tổng, hiệu và tích chúng tỷ lệ nghịch với các số 20, 140 Bài Tìm x, y thoả mãn: x x y x = Bài Cho tam giác ABC có góc ABC = 50 ; góc BAC = 700 Phân giác góc ACB cắt AB M Trên MC lấy điểm N cho góc MBN = 40 Chứng minh: BN = MC Đề số 52: đề thi học sinh giỏi (Thời gian làm bài 120 phút) Bài 1:(4 điểm) a) Thực phép tính: A 212.35 46.92 22.3 84.35 510.73 255.492 125.7 59.143 b) Chứng minh : Với số nguyên dương n thì : 3n 2 2n 2 3n 2n chia hết cho 10 Bài 2:(4 điểm) Tìm x biết: x a 3, 5 (77) x 7 b x 1 x 7 x 11 0 Bài 3: (4 điểm) : : Biết tổng các bình phương ba c) Số A chia thành số tỉ lệ theo số đó 24309 Tìm số A a c a2 c2 a 2 d) Cho c b Chứng minh rằng: b c b Bài 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC, M là trung điểm BC Trên tia đối của tia MA lấy điểm E cho ME = MA Chứng minh rằng: a) AC = EB và AC // BE b) Gọi I là điểm trên AC ; K là điểm trên EB cho AI = EK Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng H BC Biết HBE c) Từ E kẻ EH BC = 50o ; MEB =25o Tính HEM và BME Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân A có A 20 , vẽ tam giác DBC (D nằm tam giác ABC) Tia phân giác góc ABD cắt AC M Chứng minh: g) Tia AD là phân giác góc BAC h) AM = BC ……………………………… Hết ……………………………… Đề số 53: Đề thi học sinh giỏi (Thời gian làm bài 120 phút) Câu ( điểm) Thực phép tính : 12 1 6. 3. 1 : ( 3 a 2 3 2003 1 3 4 2 12 b Câu ( điểm) a2 a a Tìm số nguyên a để a là số nguyên b Tìm số nguyên x, y cho x- 2xy + y = (78) Câu ( điểm) a c a Chứng minh a + c = 2b và 2bd = c(b + d) thì b d với b, d khác b Cần bao nhiêu số hạng tổng S = + + +… để số có ba chữ số giống Câu ( điểm) Cho tam giác ABC có góc B 450 , góc C 1200 Trên tia đối tia CB lấy điểm D cho CD = 2CB Tính góc ADE Câu ( 1điểm) Tìm số nguyên tố thoả mãn : x2- 2y2 = Đáp án chấm Toán Câ Hướng dẫn chấm u 1.a Thực theo bước đúng kết -2 cho điểm tối đa 1.b Thực theo bước đúng kết 14,4 cho điểm tối đa 2.a a a a (a 1) 3 a a 1 Ta có : a = a a2 a vì a là số nguyên nên a là số nguyên a là số nguyên hay a+1 là ước đó ta có bảng sau : a+1 -3 -1 a -4 -2 a2 a Vậy với a 4, 2,0,2 thì a là số nguyên 2.b Điểm 1Điểm 1Điểm 0,25 0,25 0,25 0,25 Từ : x- 2xy + y = Hay (1- 2y)(2x - 1) = -1 0,25 Vì x,y là các số nguyên nên (1 - 2y)và (2x - 1) là các số nguyên đó ta có các trường hợp sau : 1 y 1 x 0 2 x y 0 1 y x 1 x y 1 Hoặc 0,25 0,25 Vậy có cặp số x, y trên thoả mãn điều kiện đầu bài 3.a Vì a + c = 2b nên từ 2bd = c(b + d) Ta có: (a + c)d =c(b + d) 3.b a c Hay ad = bc Suy b d ( ĐPCM) Giả sử số có chữ số là aaa =111.a ( a là chữ số khác 0) 0,25 0,5 0,5 Gọi số số hạng tổng là n , ta có : (79) n(n 1) 111a 3.37.a Hay n(n + 1) =2.3.37.a 0,25 Vậy n(n+1) chia hết cho 37 , mà 37 là số nguyên tố và n + < 74 ( Nếu n = 74 không thoả mãn ) Do đó n=37 n + = 37 0,25 n(n 1) 703 Nếu n =37 thì n + = 38 lúc đó không thoả mãn n(n 1) 666 Nếu n + 1=37 thì n = 36 lúc đó thoả mãn Vậy số số hạng tổng là 36 0,5 A H B C D Kẻ DH Vuông góc với AC vì ACD =60 đó CDH = 30 0,5 CD Nên CH = CH = BC Tam giác BCH cân C CBH = 300 ABH = 150 0,5 Mà BAH = 150 nên tam giác AHB cân H Do đó tam giác AHD vuông cân H Vậy ADB = 450 + 300 =750 1,0 1,0 Từ : x - 2y =1suy x - = 2y 0,25 Nếu x chia hết cho vì x nguyên tố nên x = lúc đó y = nguyên tố 0,25 thoả mãn Nếu x không chia hết cho thì x 2-1 chia hết cho đó 2y chia hết cho Mà(2;3) =1 nên y chia hết cho đó x2 =19 không thoả mãn Vậy cặp số (x,y) tìm thoả mãn điều kiện đầu bài là (2;3) 0,25 2 2 0,25 (80) Đề số 54: Đề thi học sinh giỏi (Thời gian làm bài 120 phút) Bài (4đ) Rút gọn biểu thức a- A = a - + - 2a - + a b- (n 1) n (n 1) với n N Bài (4 đ) Chứng minh : a,b,c là các số không âm thoả mãn các điều kiện sau : a + c = 17 và a + b = thì N = a + b - c - là số không dương Tìm a,b,c để N = Bài (4 đ) x2 Cho biểu thức A = x Biểu thức A có giá trị lớn hay nhỏ nhát ? Tìm giá trị đó Câu (4 đ) Cho tam giác cân ABC có ACB = 100 Phân giác CAB cắt CB D Chứng minh AD + DC = AB Bài ( đ) Cho tam giác ABC có AB = AC Trên đường thẳng vuông góc với AC C lấy điểm D cho hai điểm B , D nằm khác phía đường thẳng AC Gọi K là giao điểm đường thẳng qua B vuông góc với AB và đường thẳng qua trung điểm M CD và vuông góc với AD Chứng minh KB = KD (81) -***** - Đề số 55: Đề thi học sinh giỏi (Thời gian làm bài 120 phút) Bài 1: Thực phép tính (2 điểm) a/ 5 : − + : − 11 22 15 ( ) ( ) −1 −1 69 − −1 − 2+ ( 3+ ( 4+5 ) ) 167 b/ ( b/ √ ( 1− √50 ) ( ) −1 ) Bài 2: So sánh (2 điểm) a/ 7+ √ với √ 48+2 với Bài 3: Tìm x, y, z biết (4,5 điểm) a/ 3(x-2) – 4(2x+1) – 5(2x+3) = 50 1 21 b/ : − |2 x+ 1| =22 ( x −2 y c/ 37 ) = y −3 z z − x = 15 và 10x - 3y - 2z = -4 Bài 4: (6 điểm) Cho hàm số y=( m+2009 ) x+ 2|x| Biết đồ thị hàm số qua điểm A(-1; -1) a/ Tìm m b/ Vẽ đồ thị hàm số với m tìm c/ Điểm nào sau đây không thuộc đồ thị hàm số trên B(-2; -2) C(5; 1) D(2; 10) d/ Tính diện tích tam giác OBC Bài 5: (5,5 điểm) Cho ∆ABC, góc B = 600, AB = 7cm, BC = 14cm Trên BC lấy điểm D cho góc BAD = 600 Gọi H là trung điểm BD (82) a/ Tính độ dài HD b/ Chứng minh ∆DAC cân c/ ∆ABC là tam giác gì? d/ Chứng minh AB2 + CH2 = AC2 + BH2 =======¯&¯======= (Cán coi thi không giải thích gì thêm) (83)