Lý thuyết số mũ lyapunov cho nghiệm của phương trình vi phân phân thứ tuyến tính

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ———————————— TỐNG THU TRANG LÝ THUYẾT SỐ MŨ LYAPUNOV CHO NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHÂN THỨ TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2020 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ———————————— TỐNG THU TRANG LÝ THUYẾT SỐ MŨ LYAPUNOV CHO NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHÂN THỨ TUYẾN TÍNH Chun ngành: Tốn Giải Tích Mã số: 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Cán hướng dẫn khoa học: TS HỒNG THẾ TUẤN THÁI NGUYÊN - 2020 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan đề tài luận văn "Lý thuyết số mũ Lyapunov cho nghiệm phương trình vi phân phân thứ tuyến tính" khơng có chép người khác Khi viết luận văn tơi có tham khảo số tài liệu, tất có nguồn gốc rõ ràng hoàn thành hướng dẫn TS Hồng Thế Tuấn Tơi xin hồn tồn chịu trách nhiệm nội dung luận văn Thái Nguyên, ngày 10 tháng năm 2020 Tác giả luận văn Tống Thu Trang i Lời cảm ơn Lời đầu tiên, xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới TS Hồng Thế Tuấn - Viện Tốn học tận tình dẫn nhiệt tình đóng góp ý kiến q báu giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy, cô giáo khoa Sau đại học, khoa Toán trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện tốt giúp đỡ tơi suốt q trình học tập nghiên cứu khoa Tôi xin cảm ơn Ban giám hiệu, thầy cô bạn trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên tạo điều kiện nhiệt tình đóng góp ý kiến giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Cuối cùng, xin cảm ơn gia đình tơi Những người ln u thương ủng hộ vô điều kiện Thái Nguyên, ngày 10 tháng năm 2020 Người thực Tống Thu Trang ii Mục lục Kiến thức chuẩn bị 1.1 Phương trình vi phân phân thứ tuyến tính 1.1.1 Tích phân phân thứ 1.1.2 Đạo hàm phân thứ 1.1.3 Sự tồn nghiệm phương trình vi phân phân thứ tuyến tính Hàm Mittag-Leffler bất đẳng thức Gronwall suy rộng Số mũ Lyapunov cổ điển cho nghiệm phương trình vi phân 1.2.1 Số mũ Lyapunov hàm 1.2.2 Phổ Lyapunov hệ phương trình vi phân tuyến tính 10 1.1.4 1.2 1.3 Số mũ Lyapunov cổ điển cho nghiệm phương trình vi phân phân thứ tuyến tính 11 Lý thuyết số mũ Lyapunov phân thứ 2.1 13 Phổ Lyapunov cho phương trình vi phân phân thứ 13 2.1.1 Số mũ Lyapunov phân thứ hàm 13 2.1.2 Số mũ Lyapunov cho nghiệm phương trình vi phân phân thứ tuyến tính 19 2.2 Cấu trúc phổ Lyapunov phân thứ nghiệm xuất phát từ mặt cầu đơn vị không gian Euclide Rd 23 2.3 Số mũ Lyapunov phân thứ nghiệm phương trình vi phân phân thứ tuyến tính hệ số hai chiều 27 Tài liệu tham khảo 32 iii Lời nói đầu Phép tính vi-tích phân cơng cụ lý tưởng để mơ tả q trình tiến hóa Thơng thường, q trình tiến hóa biểu diễn phương trình vi phân thường Bằng việc nghiên cứu (định tính định lượng) nghiệm phương trình, người ta biết trạng thái thời dự đoán dáng điệu khứ hay tương lai q trình Tuy nhiên, tượng hay gặp sống có tính chất phụ thuộc vào lịch sử Đối với tượng này, việc ngoại suy dáng điệu thời điểm tương lai từ khứ phụ thuộc vào quan sát địa phương lẫn toàn khứ Hơn nữa, phụ thuộc nói chung khơng giống tất thời điểm Phương trình vi phân phân thứ lý thuyết đời để đáp ứng u cầu Bài tốn quan trọng lý thuyết định tính phương trình vi phân nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm Đối với trường hợp phương trình tuyến tính hệ số hằng, dáng điệu nghiệm mô tả đầy đủ thông qua phần thực giá trị riêng ma trận hệ số bội chúng Với phương trình tuyến tính có hệ số tuần hoàn, lý thuyết Floquet sử dụng để mô tả cặn kẽ dáng điệu tất nghiệm, xem [1] Đối với hệ phương trình vi phân tuyến tính có hệ số biến thiên, phương pháp số mũ đặc trưng đề xuất Lyapunov, xem [1,6], công cụ hữu hiệu Ý tưởng phương pháp so sánh độ tăng trưởng hay suy giảm nghiệm với hàm mũ Độ tăng trưởng (suy giảm) xác định thông qua số mũ đặc trưng (ngày gọi số mũ Lyapunov cổ điển) Người ta biết phương trình vi phân tuyến tính khơng gian Euclide Rd có nhiều d số mũ Lyapunov phân biệt Tập tất số mũ với bội chúng gọi phổ Lyapunov Nhiều tính chất quan trọng phương iv trình tính ổn định, tính hyperbolic, tính rẽ nhánh, v.v, đặc trưng phổ Lyapunov Tuy nhiên, phương trình vi phân phân thứ tuyến tính, người ta chứng minh số mũ Lyapunov nghiệm khơng tầm thường ln khơng âm Do đó, số mũ dùng để đặc trưng cho tốc độ tăng trưởng hay suy giảm nghiệm loại phương trình Nó dẫn đến địi hỏi phải xây dựng lý thuyết số mũ phù hợp cho phương trình phân thứ Trong năm 2014, tác giả Nguyễn Đình Cơng, Đồn Thái Sơn, Hồng Thế Tuấn Stefan Siegmund giải vấn đề nói cơng bố kết họ báo [3,4] Mục đích luận văn trình bày lại kết [3,4] Chúng chia luận văn làm hai chương Chương 1: Giới thiệu kiến thức chuẩn bị Cụ thể sau: Phần 1.1 giới thiệu nét sở phương trình vi phân phân thứ tuyến tính; Phần 1.2 đề cập sở lý thuyết số mũ Lyapunov cho phương trình vi phân cổ điển; Phần 1.3 thảo luận số mũ Lyapunov cổ điển cho nghiệm phương trình vi phân phân thứ tuyến tính Chương 2: Trình bày lý thuyết số mũ Lyapunov phân thứ cho phương trình vi phân phân thứ tuyến tính Chương gồm ba phân Thứ nhất, Phần 2.1, chúng tơi nói số mũ Lyapunov phân thứ, cách tính số mũ này, số tính chất số mũ Lyapunov phân thứ, phổ Lyapunov phân thứ cho phương trình phân thứ tuyến tính mối liên hệ phổ Lyapunov với tính ổn định hệ Tiếp đến, Phần 2.2, thảo luận cấu trúc phổ Lyapunov phân thứ cho nghiệm xuất phát từ mặt cầu đơn vị hệ phương trình vi phân phân thứ tuyến tính Cuối cùng, chúng tơi tính số mũ Lyapunov phân thứ cho nghiệm số phương trình vi phân phân thứ tuyến tính hai chiều hệ số hằng, xem Phần 2.3 Do thời gian lực có hạn, số điểm trình bày luận văn cịn thiếu xót Tác giả mong muốn nhận góp ý thầy, bạn đồng nghiệp v Chương Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày kiến thức sở luận văn Nội dung chương gồm ba phần Phần 1.1 giới thiệu nét sở phương trình vi phân phân thứ tuyến tính Phần 1.2 đề cập sở lý thuyết số mũ Lyapunov cho phương trình vi phân cổ điển Phần 1.3 thảo luận số mũ Lyapunov cổ điển cho nghiệm phương trình vi phân phân thứ tuyến tính 1.1 Phương trình vi phân phân thứ tuyến tính Phần dành để giới thiệu sơ lược phương trình vi phân phân thứ tuyến tính Nội dung gồm bốn mục Mục 1.1.1 nhắc lại khái niệm tích phân phân thứ Riemann–Liouville số tính chất Mục 1.1.2 nói đạo hàm Riemann–Liouville, đạo hàm phân thứ Caputo tính chất Mục 1.1.3 thảo luận tồn tính nghiệm phương trình vi phân phân thứ tuyến tính Cuối cùng, Mục 1.1.4 liên quan tới hàm Mittag-Leffler dáng điệu tiệm cận chúng 1.1.1 Tích phân phân thứ Hiểu theo nghĩa đó, tích phân phân thứ mở rộng tự nhiên khái niệm tích phân lặp thông thường Cụ thể, cho α > [a, b] ⊂ R, định nghĩa tích phân phân thứ Riemann–Liouville cấp α hàm x : [a, b] → R α Ia+ x(t) := Γ(α) t (t − τ )α−1 x(τ ) dτ a với t ∈ (a, b], hàm Gamma Γ : (0, ∞) → R>0 có biểu diễn ∞ tα−1 exp(−t) dt, Γ(α) := 0 := I với I toán xem [5, Definition 2.1, p 13] Khi α = 0, quy ước Ia+ tử đồng Dễ thấy định nghĩa trên, với α ∈ (0, 1), x khả tích đoạn [a, b], tức b |x(t)| a dt < ∞, tích phân phân thứ Riemann–Liouville cấp α x tồn hầu khắp nơi [a, b] Hơn nữa, thân tích phân hàm khả tích Bổ đề 1.1.1 ([5, Theorem 2.1]) Giả sử x : [a, b] → R hàm khả tích α x(t) tồn với hầu hết t ∈ [a, b] Hơn nữa, I α x [a, b] Khi đó, tích phân Ia+ a+ hàm khả tích [a, b] Dưới tích phân số hàm đơn giản Ví dụ 1.1.2 (i) Cho x(t) = t2 , t > Chúng ta có 0.5 I0+ x(t) = Γ(3) 2.5 t Γ(3.5) với t > (ii) Cho x(t) = exp(t) Chúng ta có ∞ 0.5 I0+ x(t) = j=0 t0.5+j Γ(j + 1.5) với t > 1.1.2 Đạo hàm phân thứ Cùng với tích phân phân thứ, đạo hàm phân thứ hai khái niệm quan trọng phép tính vi–tích phân phân thứ Có nhiều khái niệm đạo hàm phân thứ xây dựng Tuy nhiên, đạo hàm Riemann–Liouville đạo hàm Caputo dùng rộng rãi Sau nhắc lại định nghĩa hai loại đạo hàm Cho trước số thực dương α khoảng [a, b] ⊂ R Người ta định nghĩa đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville cấp α hàm x : [a, b] → R m−α α x(t), Da+ x(t) := Dm Ia+ t ∈ (a, b], m := ⌈α⌉ số nguyên nhỏ lớn α Dm = dm dtm đạo hàm thông thường cấp m Trong đó, đạo hàm phân thứ Caputo cấp α hàm x(t) định nghĩa C m−α m α Da+ x(t) := Ia+ D x(t), t ∈ (a, b], xem [5, Chapter 3, p 49] Đối với hàm véc tơ x(t) = (x1 (t), , xd (t))T , đạo hàm phân thứ Caputo x(t) định nghĩa theo thành phần sau: C α α α Da+ x(t) := (C Da+ x1 (t), ,C Da+ xd (t))T Nhận xét 1.1.3 (i) Nếu α số nguyên, đạo hàm phân thứ cấp α (theo nghĩa Riemann–Liouville Caputo) đạo hàm thơng thường cấp (hoặc C D ) toán tử α Trong trường hợp α = 0, quy ước Da+ a+ đồng (ii) Nếu x hàm liên tục tuyệt đối [a, b], tức x ∈ AC ([a, b]; R), đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville Caputo hàm tồn hầu khắp nơi [a, b], xem [5, Lemma 2.12, p 27] (iii) Khác với đạo hàm thông thường, đạo hàm phân thứ khơng có tính chất nửa nhóm Cụ thể, cho α1 , α2 số dương x hàm liên tục tuyệt đối đoạn [a, b] Khi đó, nói chung có α1 α α2 α1 α1 +α2 Da+ Da+ x(t) = Da+ Da+ x(t) = Da+ x(t), t ∈ (a, b], xem [5, p 30] [5, Remark 3.3, p 56] Với hàm x đủ quy, đạo hàm phân thứ nghịch đảo trái tốn tử tích phân phân thứ Bổ đề 1.1.4 ([5, Theorem 2.14]) Cho α ≥ Khi đó, với x ∈ L1 [a, b], có α α Ia+ x(t) = x(t) Da+ với hầu hết t ∈ [a, b] Tuy nhiên, đạo hàm phân thứ nói chung khơng tốn tử nghịch đảo phải tích phân phân thứ Từ tính đơn điệu tăng hàm Mittag-Leffler ngược có f (tn ) ≥ Eα (−Ltαn ), ∀n ≥ N1 Điều với Bổ đề 1.1.10 dẫn đến f (tn ) ≥ , 2LΓ(1 − α)tαn ∀n ≥ N2 , N2 > N1 số nguyên dương đủ lớn Tuy nhiên, điều mâu thuẫn với (2.8) Vậy giả thiết phản chứng (2.9) sai χα (f ) = −∞ Bây xét trường hợp < γ := lim supt→∞ tα ||f (t)|| < ∞ Từ định nghĩa khái niệm cận đúng, tìm T5 > cho ||f (t)|| ≤ 2γ , tα ∀t > T5 Do đó, lim sup t→∞ 1 M logM α ( f (t) ) ≤ lim sup α logα α t t→∞ t 2γ tα =− < 2γΓ(1 − α) Như hai trường hợp có χα (f ) < (iii) Suy trực tiếp từ (i) (ii) Sau số tính chất đơn giản số mũ Lyapunov phân thứ Chứng minh tính chất thu từ định nghĩa Định lý 2.1.2 Bổ đề 2.1.3 Những phát biểu sau (i) Cho hàm f : R≥0 → Rd số c ∈ R \ {0} tùy ý, có    χα (f ), χα (f ) > 0, χα (c f ) = χ (f )   α , χα (f ) ≤ |c| (ii) Cho f, g : R≥0 → Rd hàm tùy ý χα (f ) ≥ Khi đó, χα (f + g) ≤ max{χα (f ), χα (g)}, dấu đẳng thức xảy χα (f ) = χα (g) (iii) Cho f, g : R≥0 → Rd hàm tùy ý thỏa mãn χα (f ), χα (g) < Khi đó, χα (f + g) < (iv) Cho f, g : R≥0 → R≥0 hàm liên tục Khi đó, χα (max{f, g}) = max{χα (f ), χα (g)}, max{f, g} : R≥0 → R≥0 định nghĩa max{f, g}(t) = max{f (t), g(t)}, 18 ∀t ∈ R≥0 2.1.2 Số mũ Lyapunov cho nghiệm phương trình vi phân phân thứ tuyến tính Trong mục này, xét phương trình vi phân phân thứ Caputo cấp α ∈ (0, 1): C (2.10) α D0+ x(t) = A(t)x(t), t ∈ R≥0 A : R≥0 → Rd×d hàm liên tục bị chặn, tức tồn số M > cho (2.11) M := sup A(t) < ∞ t≥0 Sử dụng Bổ đề 2.1.3(i) tính tuyến tính ϕ(t, ·), với x0 ∈ Rd \ {0}, có χα (ϕ(·, x0 )) =     χα (ϕ(·, χα (ϕ(·,    χα (ϕ(·, x0 x0 )) > 0, , χα (ϕ(·, x0 x0 )) ≤ x0 x0 )), x0 x0 )) x0 (2.12) Vì vậy, để ước lượng số mũ Lyapunov phân thứ nghiệm (2.10), cần đánh giá χα (ϕ(·, x0 )) với x0 ∈ Rd mà x0 = Bổ đề 2.1.4 (Về tính bị chặn số mũ Lyapunov phân thứ) Kí hiệu Sd−1 mặt cầu đơn vị Rd , tức Sd−1 := {x ∈ Rd : x = 1} Khi đó, χα (ϕ(·, x0 )) ∈ [−M, M ], ∀x0 ∈ Sd−1 Chứng minh Cho x0 ∈ Sd−1 Đầu tiên chứng minh χα (ϕ(·, x0 )) ≤ M Từ cơng thức biểu diễn tích phân nghiệm Bổ đề Gronwall suy rộng 1.1.11: ϕ(t, x0 ) ≤ Eα (M tα ) x0 , ∀t ≥ Vì vậy, logM α ( ϕ(t, x0 ) ) α t→∞ t α ≤ lim sup α logM α (Eα (M t ) x0 ) t→∞ t ≤ M χα (ϕ(·, x0 )) = lim sup Như vậy, phải chứng minh χα (ϕ(·, x0 )) ≥ −M Sử dụng lập luận phản chứng, cho χα (ϕ(·, x0 )) ≤ −M − 2ε với ε > Theo định nghĩa 19 χα , có T > mà ϕ(t, x0 ) ≤ Eα (−(M + ε)tα ), (2.13) ∀t ≥ T Do tính liên tục hàm [0, T ] → R, t → ϕ(t, x0 ) , dẫn đến (2.14) K := max ϕ(t, x0 ) < ∞ t∈[0,T ] Hơn nữa, biểu diễn tích phân nghiệm giả thiết x0 = 1, nên ϕ(t, x0 ) + t Γ(α) A(τ ) (t − τ )1−α ϕ(τ, x0 ) dτ ≥ Bất đẳng thức với (2.13), (2.14) giả thiết A(t) ≤ M , dẫn tới T lim sup t→∞ Γ(α) Tuy nhiên, KM dτ + (t − τ )1−α T lim t→∞ t→∞ T M Eα (−(M + ε)τ α ) dτ (t − τ )1−α ≥ KM T KM dτ ≤ lim = 1−α t→∞ (t − T )1−α (t − τ ) Vì vậy, lim sup t t Γ(α) M Eα (−(M + ε)τ α ) dτ ≥ (t − τ )1−α (2.15) α x(t) = −(M + ε)x(t), nên Ngoài ra, Eα (−(M + ε)tα ) nghiệm C D0+ Eα (−(M + ε)tα ) + Γ(α) t (M + ε)Eα (−(M + ε)τ α ) dτ = (t − τ )1−α Từ suy ra, lim sup t→∞ Γ(α) t M Eα (−(M + ε)sα ) M dτ = , 1−α (t − τ ) M +ε mâu thuẫn với (2.15) Vậy, giả thiết phản chứng sai Chứng minh hoàn thành Chúng ta định nghĩa Phổ Lyapunov phân thứ (2.10) tập Σα := χα (ϕ(·, x0 )) : x0 ∈ Rd \ {0} Phổ Lyapunov phân thứ (2.10) mô tả sau Định lý 2.1.5 (Phổ Lyapunov phân thứ phương trình phân thứ) Xét hệ (2.10) với giả thiết A(t) ≤ M với t ≥ Khi đó, phát biểu sau đúng: 20 (i) Σα ⊂ (−∞, M ]; (ii) Tập Σα ∩ R≥0 chứa nhiều d phần tử phân biệt chúng kí hiệu λj < λj−1 < · · · < λ1 , ≤ j ≤ d; (iii) Nếu Σα ∩ R để x L ≤ x ≤ L x 2, ∀x ∈ Rd Cho (ei )i=1, ,d sở chuẩn tắc Rd Cho trước δ > chọn x0 ∈ Rd thỏa mãn x0 < δ Khi đó, x0 ≤ Lδ Ngồi ra, x0 có biểu diễn sở (ei )i=1, ,d dạng d γi ei , x0 = i=1 hệ số γi phải thỏa mãn d x0 22 γi2 ≤ L2 δ = i=1 Từ đây, d ϕ(t, x0 ) ≤ Lδ ϕ(t, ei ) , ∀t ∈ R≥0 (2.21) i=1 Vì χα (ϕ(·, ei )) < với i = 1, , d, nên limt→∞ ϕ(t, ei ) = với i = 1, , d Kết hợp điều với (2.21) dẫn tới limt→∞ ϕ(t, x0 ) = Định lí chứng minh xong 2.2 Cấu trúc phổ Lyapunov phân thứ nghiệm xuất phát từ mặt cầu đơn vị không gian Euclide Rd Phần dành để nói cấu trúc phổ Lyapunov phân thứ (2.10) giới hạn mặt cầu đơn vị không gian pha Rd Kí hiệu Λα := χα (ϕ(·, x0 )) : x0 ∈ Rd x0 = 23 Định lý sau cho thông tin chi tiết phổ Lyapunov phân thứ (2.10) so với kết trình bày phần trước Định lý 2.2.1 (Phổ Lyapunov phân thứ giới hạn mặt cầu đơn vị) Tập số mũ Lyapunov phân thứ nghiệm xuất phát từ mặt cầu đơn vị Sd−1 phương trình (2.10) mơ tả sau:  [a, b] ∪ {λ1 , , λj }, S = ∅, Λα = {λ1 , , λj }, trường hợp ngược lại, S , λ1 , , λj , định nghĩa Định lí 2.1.5, a b tham số định nghĩa Mệnh đề 2.2.2 Để chứng minh Định lý 2.2.1, ta cần kết bổ trợ sau Mệnh đề 2.2.2 Cho S không gian định nghĩa (2.16): S := {x0 ∈ Rd : χα (ϕ(·, x0 )) < 0} Giả sử S = ∅ Đặt a = inf{χα (ϕ(·, x)) : x ∈ S ∩ Sd−1 }, b = sup{χα (ϕ(·, x)) : x ∈ S ∩ Sd−1 } Khi đó, (i) b < 0; (ii) Ánh xạ λα : S ∩ Sd−1 → R, định nghĩa ∀x ∈ S ∩ Sd−1 , λα (x) := χα (ϕ(·, x)), liên tục Lipschitz; (iii) λα (S ∩ Sd−1 ) = [a, b] Chứng minh (i) Cho u1 , , uℓ sở trực chuẩn S Định nghĩa g : Rℓ → R cho Sd−1 ⊂ x ∈ Rd : x ≤m Vì vậy, sup χα (ϕ(·, x)) : x ∈ S ∩ Sd−1 ≤ sup χα (ϕ(·, x)) : x ∈ S, x ℓ = sup χα ϕ ·, ≤m ℓ γ i ui i=1 γi2 ≤ m : i=1 ℓ γi2 ≤ m = sup g(γ1 , , γℓ ) : (2.22) i=1 Do {(γ1 , , γℓ ) ∈ Rℓ : ℓ i=1 γi ≤ m} compact Rℓ hàm g liên tục đó, nên ℓ γi2 ≤ m sup g(γ1 , , γℓ ) : < i=1 Kết hợp khẳng định với (2.22) dẫn đến b := sup{χα (ϕ(·, x)) : x ∈ S ∩ Sd−1 } < 25 Chứng minh (ii) hoàn thành (ii) Cho x, y ∈ S ∩ Sd−1 x = y Chúng ta có ||ϕ(t, x)|| + ||ϕ(t, y − x)|| ≥ ||ϕ(t, y)|| Vì vậy, lim sup tα ||ϕ(t, x)|| + ||x − y|| lim sup tα ||ϕ(t, t→∞ t→∞ x−y x−y )|| ≥ lim sup tα ||ϕ(t, y)|| , t→∞ kết hợp với Định lí 2.1.2(ii), dẫn tới − ||x − y|| 1 − ≥− x−y Γ(1 − α)χα (ϕ(·, x)) Γ(1 − α)χα (ϕ(·, ||x−y|| )) Γ(1 − α)χα (ϕ(·, y)) ||x − y|| − ≤ χα (ϕ(·, x)) |b| χα (ϕ(·, y)) Thay đổi vai trò x y bất đẳng thức trên, có x−y 1 ≤ − χα (ϕ(·, x)) χα (ϕ(·, y)) |b| Từ đây, |λα (x) − λα (y)| ≤ x−y |χα (ϕ(·, x))χα (ϕ(·, y))| |b| Kết hợp điều với χα (ϕ(·, x)), χα (ϕ(·, y)) ∈ [−M, b], cho ta M2 x−y |λα (x) − λα (y)| ≤ |b| (iii) Từ tính liên tục Lipschitz ánh xạ λα định nghĩa a b, có x, y ∈ S ∩ Sd−1 thỏa mãn λα (x) = a, λα (y) = b Như vậy, ta phải (a, b) ⊂ λα (S ∩ Sd−1 ) Cho h : [0, 1] → R xác định h(u) := λα ux + (1 − u)y ux + (1 − u)y Dễ thấy h liên tục Hơn nữa, h(0) = b, h(1) = a Theo Định lí giá trị trung bình: [a, b] ⊂ h([0, 1]) ⊂ λα (S ∩ Sd−1 ) Chứng minh hoàn thành 26 Chứng minh Định lý 2.2.1 Chúng ta cần xét trường hợp S = ∅ Theo Mệnh đề 2.2.2(iii), Λα ∩ R0 ψ ∈ [−π, π),   r cos ψα     α , 0,      −r, ω απ , απ , |ψ| = απ |ψ| > , |ψ| < ω := max{|x1 cos ψ + x2 sin ψ|, |x2 cos ψ − x1 sin ψ|} Chứng minh Định lý 2.3.1 suy từ bổ đề sau Bổ đề 2.3.2 Những phát biểu sau đúng: (i) Với λ ∈ R x ∈ R \ {0}, có   λ, α χα (Eα (λt )x) =  λ, |x| 28 λ ≥ 0, λ < 0; (2.24) (ii) Với λ ∈ R (x1 , x2 )T ∈ R2 \ {0}, có   λ, χα Eα (λtα )x1 + tα Eα′ (λtα )x2 =  − λ ≥ 0, λ2 , |x2 −λx1 | λ < 0; (iii) Với λ = r(cos ψ + i sin ψ), r ∈ R>0 , ψ ∈ [−π, π) (x1 , x2 )T ∈ R2 \ {0}, có χα (ℜEα (λtα )x1 + ℑEα (λtα )x2 ) =   r cos ψα     α |ψ| < απ , 0, |ψ| =     − r , |ψ| > |x1 cos ψ−x2 sin ψ| απ , , απ Chứng minh (i) Khẳng định rút trực tiếp từ định nghĩa số mũ Lyapunov phân thứ Bổ đề 2.1.3(i) (ii) Chúng ta xét ba trường hợp: λ > 0, λ = λ < Trường hợp : λ > Từ Bổ đề 1.1.10, t → ∞, có Eα (λtα ) = tα Eα′ (λtα ) = 1 1 exp(λ α t) − + O( ), α λΓ(1 − α)tα t2α 1 −1 1 λ α t exp(λ α t) + + O( 2α ) α α λ Γ(1 − α)t t Vì vậy, t → ∞: Eα (λtα )x1 + tα Eα′ (λtα )x2 = 1 x1 x2 −1 + λ α t exp(λ α t) + O( α ) α α t Từ suy χα (Eα (λtα )x1 + tα Eα′ (λtα )x2 ) = λ Trường hợp : λ = Chú ý Eα′ (0) = Γ(1+α) Eα (λtα )x1 + tα Eα′ (λtα )x2 = x1 + Vì vậy, x2 tα Γ(1 + α) Khẳng định với Định lí 2.1.2 suy χα (Eα (λtα )x1 + tα Eα′ (λtα )x2 ) = Trường hợp : λ < Sử dụng Bổ đề 1.1.10, có Eα (λtα ) = − tα Eα′ (λtα ) = 1 + O( 2α ), α λΓ(1 − α)t t λ2 Γ(1 − α)tα 29 + O( t2α ), t → ∞ Do đó, Eα (λtα )x1 + tα Eα′ (λtα )x2 = − x1 x + λ λ 1 + O( 2α ) α Γ(1 − α)t t Điều với Định lí 2.1.2 dẫn đến χα Eα (λtα )x1 + tα Eα′ (λtα )x2 = − λ2 |x2 − λx1 | Chứng minh (ii) hoàn thành (iii) Xét ba trường hợp: |ψ| < Trường hợp : |ψ| < Eα (λtα ) = = απ απ , |ψ| = απ ψ > απ Theo Bổ đề 1.1.10, có 1 exp(λ α t) + O( α ) α t ψ ψ exp(r1/α t cos(ψ/α)) cos(r1/α t sin ) + i sin(r1/α t sin ) + O( α ), α α α t t → ∞ Do đó, ψ exp(r1/α t cos(ψ/α)) cos(r1/α t sin )x1 + α α ψ sin(r1/α t sin )x2 + O( α ) α t x1 ℜEα (λtα ) + x2 ℑEα (λtα ) = Khẳng định với Định lí 2.1.2 dẫn tới χα (x1 ℜEα (λtα ) + x2 ℑEα (λtα )) = r (cos(ψ/α))α Trường hợp : |ψ| = απ Tương tự chứng minh trên, có x1 ℜEα (λtα ) + x2 ℑEα (λtα ) = x1 cos(r1/α t) + x2 sin(r1/α t) + O( ) tα Điều với Định lí 2.1.2 suy χα (x1 ℜEα (λtα ) + x2 ℑEα (λtα )) = Trường hợp : |ψ| > απ Từ Bổ đề 1.1.10, có Eα (λtα ) = = 1 + O( ) λΓ(1 − α)tα t2α cos ψ − i sin ψ + O( ), rΓ(1 − α)tα t2α t → ∞ Vì vậy, x1 ℜEα (λtα ) + x2 ℑEα (λtα ) = x1 cos ψ − x2 sin ψ + O( ) rΓ(1 − α)tα t2α Kết hợp khẳng định với Định lí 2.1.2 dẫn đến χα x1 ℜEα (λtα ) + x2 ℑEα (λtα ) = − Chứng minh (iii) hoàn thành 30 r |x1 cos ψ − x2 sin ψ| Kết luận Luận văn nghiên cứu lý thuyết phổ Lyapunov phân thứ cho phương trình vi phân phân thứ tuyến tính có hệ số biến thiên mối liên hệ phổ với tính ổn định nghiệm hệ Dựa hai báo [3,4], thực công việc sau: Chỉ số mũ Lyapunov cổ điển nghiệm không tầm thường hệ phương trình vi phân phân thứ tuyến tính ln khơng âm Giới thiệu số mũ Lyapunov phân thứ tính chất Ứng dụng phổ Lyapunov phân thứ nghiên cứu tính ổn định nghiệm phương trình vi phân phân thứ Thảo luận cấu trúc phổ Lyapunov phân thứ hệ vi phân phân thứ tuyến tính giới hạn mặt cầu đơn vị khơng gian pha Trình bày kết tính tường minh số mũ Lyapunov phân thứ nghiệm khơng tầm thường hệ phương trình vi phân phân thứ tuyến tính hệ số hai chiều 31 Tài liệu tham khảo L Adrianova, Introduction to Linear Systems of Differential Equations Translations of Mathematical Monographs 46 Americal Mathematical Society, 1995 D Baleanu and O.G Mustafa, On the global existence of solutions to a class of fractional differential equations Computers and Mathematics with Applications 59 (2010), 1583–1841 N.D Cong, T.S Doan and H.T Tuan, On fractional Lyapunov exponent for solutions of linear fractional differential equations Fractional Calculus and Applied Analysis 17 (2014), no 2, 285–306 N.D Cong, T.S Doan, H.T.Tuan and S Siegmund, Structure of the Fractional Lyapunov Spectrum for Linear Fractional Differential Equations Advances in Dynamical Systems and Applications, (2014), 149-159 K Diethelm, The Analysis of Fractional Differential Equations An Application-oriented Exposition Using Differential Operators of Caputo Type Lecture Notes in Mathematics 2004 Springer-Verlag, Berlin, 2010 V.I Oseledec, A multiplicative ergodic theorem Lyapunov characteristic numbers for dynamical systems Trans Moscow Math Soc., 19 (1968), 197– 231 I Podlubny Fractional Differential equations An Introduction to Fractional Derivatives, Fractional Differential Equations, to Methods of their Solution and some of Their Applications Mathematics in Science and Engineering, 198 Academic Press, Inc., CA, 1999 32 ... sở lý thuyết số mũ Lyapunov cho phương trình vi phân cổ điển; Phần 1.3 thảo luận số mũ Lyapunov cổ điển cho nghiệm phương trình vi phân phân thứ tuyến tính Chương 2: Trình bày lý thuyết số mũ Lyapunov. .. phân thứ 2.1 13 Phổ Lyapunov cho phương trình vi phân phân thứ 13 2.1.1 Số mũ Lyapunov phân thứ hàm 13 2.1.2 Số mũ Lyapunov cho nghiệm phương trình vi phân phân thứ tuyến tính. .. Lyapunov phân thứ cho phương trình vi phân phân thứ tuyến tính Chương gồm ba phân Thứ nhất, Phần 2.1, chúng tơi nói số mũ Lyapunov phân thứ, cách tính số mũ này, số tính chất số mũ Lyapunov phân thứ,