Đang tải... (xem toàn văn)
2Hoành độ giao điểm của đường thẳng y=x+m d và đồ thị C là nghiệm của phương trình... thể tích khối lăng trụ là VABC.[r]
(1)ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ======================================================================= ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC - CAO ĐẲNG NĂM 2010 Môn thi: TOÁN ĐỀ THI THAM KHẢO Thời gian: 180 phút ( không kể thời gian giao đề) -Câu 1: ( 2,0 điểm) Cho hàm số y = 2x −1 có đồ thị (C) x −1 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm m ( m ∈ ) để đường thẳng y = x + m cắt (C) hai điểm A, B cho AB = Câu 2: (2,0 điểm) 1) Giải phương trình cos x + cos x ( sin x − 1) = 2) Giải phương trình log 22 x − log 2 = log x ( x ∈ ) x Câu 3: (1,0 điểm) 2x dx x 1+ Tính tích phân I = ∫ Câu 4: (1,0 điểm) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có cạnh bên a, đáy ABC là tam giác đều, hình chiếu A trên (A’B’C’) trùng với trọng tâm G ∆ A’B’C’ Cạnh bên tạo với đáy góc 600 Tính thể tích lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a Câu 5: (1,0 điểm) Trong hệ toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng d1 : 3x + y − 20 = 0, d : x + y + = Viết phương trình đường tròn (C) biết (C) có bán kính R=5, tiếp xúc với d1 và có tâm nằm trên d Câu 6: ( 1,0 điểm) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) có phương trình (S): x + y + z − x − y + z − 16 = ( P) : x + y − z + = Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P) và khoảng cách từ tâm mặt cầu (S) đến mặt phẳng (Q) Câu 7: ( 1,0 điểm) Cho số phức z thoả mãn + i z = 4i Tính z 2010 Câu 8: (1,0 điểm) ( ) Cho các số thực không âm x, y, z thoả mãn x + y + z = Tìm giá trị lớn biểu thức P = ( x + y + z ) + x+ y+ z ………….…………………………………Hết……………………………………… Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh:……………………………………; Số báo danh: Chữ kí giám thị:……………………………………… -Gv: Trần Quang Thuận 0912.676.613 – 091.5657.952 (2) ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ======================================================================= H−íng dÉn chÊm TOÁN Câu Câu1 (2,0đ) 1)1,0 đ Nội dung 1)Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = Điểm 0,25 2x −1 x −1 Tập xác định: D = \{1} Sự biến thiên hàm số * Giới hạn vô cực, giới hạn vô cực hàm số Tiệm cận đồ thị hàm số 2− 2x −1 x =2 lim y = lim = lim x x →±∞ →±∞ x −1 x →±∞ 1− x => Đồ thị hàm số nhận đường thẳng y=2 làm tiệm cận ngang lim y = lim+ x →1+ x →1 2x −1 2x −1 = +∞;lim y = lim− = −∞ x →1 x − x −1 x →1− =>Đồ thị hàm số nhận đường thẳng x=1 làm tiệm cận đứng * Lập bảng biến thiên y' = 0,25 −1 < 0∀x ∈ D , y’ không xác định <=> x=1 ( x − 1) Hàm số nghịch biến trên khoảng xác định nó Hàm số không có cực trị bảng biến thiên x -∞ +∞ y’ || y +∞ -∞ 0.25 Đồ thị - Giao đồ thị hàm số và Ox: y=0=>x=1/2 x - Giao đồ thị hàm số và Oy: x=0=>y=1 - đồ thị hàm số nhận điểm I(1;2) làm tâm đối xứng 0,25 I(1;2) O y -Gv: Trần Quang Thuận 0912.676.613 – 091.5657.952 (3) ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ======================================================================= 2)1,0đ 2)Hoành độ giao điểm đường thẳng y=x+m (d) và đồ thị (C) là nghiệm phương trình 0,25 2x −1 = x+m x −1 ⇔ x − = ( x − 1)( x + m ) (*) ( x=1 không phải là nghiệm (*)) ⇔ x + (m − 3) x + − m = (1) ∆ = (m − 3)2 − 4(1 − m) = m − 2m + > 0∀m 0,25 Do đó (d) luôn cắt (C) hai điểm phân biệt A( x1 ; y1 ), B( x2 ; y2 ) với x1 , x2 là hai nghiệm (1) Theo viét x1 + x2 = − m; x1 x2 = − m Vì A, B ∈ ( d ) nên y1 = x1 + m; y2 = x2 + m 0,25 AB = 2( x1 − x2 ) = ( x1 + x2 ) − x1 x2 = 2(m2 − 2m + 5) m = −1 AB = ⇔ AB = 16 ⇔ 2(m − 2m + 5) = 16 ⇔ m − 2m − = ⇔ m=3 1)Giải phương trình cos x + cos x ( sin x − 1) = Câu 2: (2,0đ) 0,25 0,25 ⇔ cos x + sin x = cos x ⇔ cos x + sin x = cos x 2 ⇔ cos x cos π + sin x sin π = cos x 0,25 π ⇔ cos(2 x − ) = cos x π x − = x + k 2π ⇔ (k ∈ ) x − π = − x + k 2π π x = + k 2π ⇔ (k ∈ ) x = π + k 2π 18 0,25 0,25 KL 1)1,0đ 2)Giải phương trình log 22 x − log 2 = log x ( x ∈ ) (1) x 0,25 ĐKXĐ:x>0 (1) ⇔ log 22 x + log 2 = log x x -Gv: Trần Quang Thuận 0912.676.613 – 091.5657.952 (4) ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ======================================================================= 0,25 ⇔ log 22 x − 3log x + = (*) 0,25 Đặt t=log2x Thay vào (*) ta có t − 3t + = t = ⇔ t = t=1 ta có log2x=1 ⇔ x=2 t=2 ta có log2x=2 ⇔ x=4 kết hợp với ĐKXĐ ⇒ phương trình đã cho có nghiệm là x=2 và x=4 Câu 3: (1,0đ) 0,25 0,25 2x dx x 1+ Tính tích phân I = ∫ Đặt t = x ⇒ x = t ⇒ dx = 2tdt xdx 4t 3dt = 1+ x 1+ t Nếu x =0⇒t =0 x =1⇒ t =1 0,25 4t dt = ∫ (t − t + − )dt + + t t 0 I =∫ 0,25 1 = 4( t − t + t − ln + t ) 10 ) 10 = − ln Câu 4: (1,0đ) 0,25 A C 0,25 B C' A' G M' B' -Gv: Trần Quang Thuận 0912.676.613 – 091.5657.952 (5) ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ======================================================================= Hình chiếu AA’ trên (A’B’C’) là A’G nên góc tạo AA’và (A’B’C’) là AA ' G = 600 gọi M’là trung điểm B’C’ ⇒ A’,G, M’ thẳng hàng đặt x=AB x x , A 'G = A ' M ' = 3 a a x a ; A ' G = AA ' cos600 = = Trong ∆ AA’G vuông có AG=AA’sin600= ⇔ x= 2 2 x 3 a 3a diện tích ∆ ABC là S ∆ABC = AB AC.sin 600 = = ( ) = 4 16 0,25 ∆ A’B’C’ cạnh x có A’M’ là đường cao ⇒ A ' M ' = thể tích khối lăng trụ là VABC A ' B 'C ' = AG.S ∆ABC = Câu 5: (1,0đ) a 3a 9a = 16 32 Giả sử là I (t; −1 − t ) ∈ d tâm đường tròn (C) Vì (C) tiếp xúc với d1 nên d ( I , d1 ) = R ⇔ 0,25 =5 32 + 42 t + 24 = 25 t =1 ⇔ t + 24 = 25 ⇔ ⇔ t + 24 = −25 t = −49 0,25 Với t = ⇒ I1 (1; −2) ta phương trình đường tròn 0,25 ( C1 )( x − 1) + ( y + ) = 25 Với t = −49 ⇒ I1 (−49; 48) ta phương trình đường tròn ( C2 )( x + 49 ) + ( y − 48 ) | 2.2 + 1.2 − 2(−1) + D | 2 + + (−2) =3 Kết hợp với điều kiện (*) ta D = -17 Vậy phương trình (Q) x + y − z − 17 = (1 + i ) z = 4i ( 0,25 0,25 0,25 D = ⇔| D + |= ⇔ D = −17 ⇔z= 0,25 = 25 (S): x + y + z − x − y + z − 16 = (S) có tâm I(2;2;-1) phương trình mặt phẳng (Q) có dạng: x + y − z + D = điều kiện D ≠ 1(*) d ( I , ( P )) = ⇔ Câu 7: (1,0đ) 0,25 3t + 4(−1 − t ) − 20 Câu 6: (1,0đ) 0,25 0,25 0,25 ) 4i − i 4i = = +i + i + ( 3) -Gv: Trần Quang Thuận 0912.676.613 – 091.5657.952 (6) ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ======================================================================= = 2( Theo công thức Moa-vrơ 2010π 2010 2010 z Câu 8: (1,0đ) 0,25 π π + i ) = cos + i sin 2 6 =2 cos + i sin 0,25 2010π = 22010 ( −1) = −22010 0,25 Đặt t=x+y+z Ta có 0,25 x + y + z ≤ ( x + y + z ) ≤ 3( x + y + z ) ⇒ A = 3t + 2 ≤t ≤4⇒ ≤t≤2 3 t Xét hàm số f (t ) = 3t + 2 trên ; 2 t 0,5 3t − f '(t ) = − = ≥ 0∀t ≥ t t 3 f '(t ) = ⇔ t = 2 Hàm số f(t) đồng biến trên ; đó f (t ) ≤ f (2) = Dấu đẳng thức xảy t=2 ( x + y + z )2 = 3( x + y + z ) Do đó A ≤ Dấu “=” xảy và ⇔x= y= z= x + y + z = 0,25 Vậy giá trị lớn A là -Gv: Trần Quang Thuận 0912.676.613 – 091.5657.952 (7)