DE HSG TOAN 9 0506CAN THOCO DA

Xác định các giá trị a, b biết rằng đường thẳng d cắt parabol P tại hai điểm, trong đó một điểm có hoành độ bằng  1 và điểm còn lại có tung độ bằng 9.. Tìm điều kiện xác định của P và r[r]

SỞ GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ CẦN THƠ KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2005-2006 Khóa ngày 07/4/2006 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN THI : TOÁN Thời gian làm bài : 150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài : (3 điểm) y x2 Cho parabol (P) : và đường thẳng d : y ax  b Xác định các giá trị a, b biết đường thẳng d cắt parabol (P) hai điểm, đó điểm có hoành độ  và điểm còn lại có tung độ Bài : (4 điểm) x2  x x  x 2( x  1) P   x  x  x x1 Cho biểu thức a Tìm điều kiện xác định P và rút gọn P b Tìm giá trị x để biểu thức Bài : (3 điểm) Q x P nhận giá trị nguyên và Q > x  2mx  (m  1)3 0 Xác định giá trị m để phương trình phân biệt đó có nghiệm bình phương nghiệm còn lại có hai nghiệm dương Bài : (2 điểm) Cho tam giác ABC có góc B nhọn Chứng minh ABC cân cos B  BC AB thì tam giác Bài : (3 điểm) Cho đoạn thẳng AB = a cố định và điểm C thuộc đoạn thẳng AB (C khác A và khác B) Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB, dựng các nửa đường tròn có đường kính AB, AC, CB Xác định vị trí điểm C để diện tích hình phẳng giới hạn ba nửa đường tròn trên đạt giá trị lớn Bài : (5 điểm) Cho đường tròn (O) và điểm A, B cố định nằm trên (O) (A, B không đối xứng qua O) Một điểm C di động trên cung lớn AB (O) (C khác A và khác B) Kẻ các đường cao AH, BK tam giác ABC (H  BC ; K  AC) Chứng minh : a Tứ giác AKHB nội tiếp đường tròn b Độ dài đoạn HK không đổi c HK vuông góc với OC HẾT HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN Bài : (3 điểm) Cho parabol (P) : y x và đường thẳng d : y ax  b Xác định các giá trị a, b biết đường thẳng d cắt parabol (P) hai điểm, đó điểm có hoành độ  và điểm còn lại có tung độ Toạ độ điểm thứ : x = –  y = Toạ độ điểm thứ hai : y =  x = ±3 Trường hợp : d qua (–1 ; 1) và (3 ; 9)   + +  a  b 1  3a  b 9 a 2  b 3 + + Trường hợp :  a  b 1   3a  b 9 d qua (–1 ; 1) và (–3 ; 9)   a   b   + + Bài : (4 điểm) x2  x x  x 2( x  1) P   x  x  x x1 Cho biểu thức a Tìm điều kiện xác định P và rút gọn P b Tìm giá trị x để biểu thức Q x P nhận giá trị nguyên và Q > a Điều kiện xác định P : x Vì 1  x   x     2   Điều kiện : x > và x ≠ + P    x2 x x x 1 x P x  x 1     2  x 1 x   x 1  x 1  x 1  x1 x1 +  x 1 + P x  x  + x x  x 1 Q x 1  x Q b + x Do x ≠ nên  x 1  x 2 x  Q + Vì Q > và Q nguyên nên Q = + Khi đó ta có phương trình : x     x 2  x  x  0 x 1  x 4 x 2  1 x x  + Bài : (3 điểm) Xác định giá trị m để phương trình x  2mx  (m  1) 0 có hai nghiệm dương phân biệt đó có nghiệm bình phương nghiệm còn lại  '  m  ( m  1) 0 Phương trình có nghiệm phân biệt  x0m2(1) 23 xm.(01)2 x02 Gọi nghiệm là x0 và Từ (2)  x0 = m – Ta có : ++ +  m 0  m 3 Thay vào (1) ta : m2 – 3m =   + Với m = :  ' 1 , phương trình trở thành x2 – =  x 1 (không thoả điều kiện) + Với m = :  x 2   ' 1 , phương trình trở thành x2 – 6x + =   x 4 (thoả điều kiện) + Vậy m = Bài : (2 điểm) Cho tam giác ABC có góc B nhọn Chứng minh giác ABC cân cos B  BC AB thì tam A B H C Kẻ AH  BC (H  BC) Ta có : cos B  BH AB Kết hợp với giả thiết ta BC = 2BH + + Do góc B nhọn và BC = 2BH nên H là trung điểm đoạn BC Vậy tam giác ABC cân A + + Bài : (3 điểm) Cho đoạn thẳng AB = a cố định và điểm C thuộc đoạn thẳng AB (C khác A và khác B) Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB, dựng các nửa đường tròn có đường kính AB, AC, CB Xác định vị trí điểm C để diện tích hình phẳng giới hạn ba nửa đường tròn trên đạt giá trị lớn A C B Đặt AC = x (0 < x < a)  CB = a – x Diện tích S hình phẳng giới hạn ba nửa đường tròn :   AB AC CB  S     2 4  +  S    x  ax  +  a   a2 S   x    4 2 16 ++  a2  S 16 + Vậy S đạt giá trị lớn  x a  C là trung điểm AB + Bài : (5 điểm) Cho đường tròn (O) và điểm A, B cố định nằm trên (O) (A, B không đối xứng qua O) Một điểm C di động trên cung lớn AB (O) (C khác A và khác B) Kẻ các đường cao AH, BK tam giác ABC (H  BC ; K  AC) Chứng minh : a Tứ giác AKHB nội tiếp đường tròn b Độ dài đoạn HK không đổi c HK vuông góc với OC C x H K A O I B Gọi I là trung điểm AB a b Ta có : AKB = AHB = 90o ++  Tứ giác AKHB nội tiếp đường tròn đường kính AB, tâm I + Do A, B cố định nên ACB = sđ AB không đổi + o  CAH = KAH = 90 – ACB không đổi  KIH = 2KAH = 180o – 2ACB không đổi + Đường tròn (I) có đường kính AB cố định và KIH không đổi nên độ dài HK không đổi + C x H K A c O I Kẻ tiếp tuyến Cx đường tròn (O) Ta có : tứ giác AKHB nội tiếp  ABC = CKH mà ABC = xCA nên xCA = CKH  KH // Cx  KH  OC B + + + + Ghi chú : - Mỗi dấu + tương ứng với 0,5 điểm - Mỗi cách giải đúng cho điểm tối đa phần đúng đó - Điểm toàn bài tổng điểm các phần, không làm tròn số