de hsg toan 9 - Đại số 9 - quach thanh hung - Thư viện Đề thi & Kiểm tra

phßng gi¸o dôc ®µo t¹o PHÒNG GD& ĐT THANH BA TRƯỜNG THCS ĐẠI AN ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2012 2013 MÔN TOÁN LỚP 9 Thời gian làm bài 120 phút không kể thời gian giao đ[.]

PHÒNG GD& ĐT THANH BA TRƯỜNG THCS ĐẠI AN ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2012 - 2013 MƠN: TỐN - LỚP Thời gian làm 120 phút không kể thời gian giao đề Bài 1: (4,0 điểm) Cho biểu thức   2x  x  2x x  x  x   A      : 1 x x  1 x x  1 x  a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị A x 17  12 c) So sánh A với A Bài 2: (4,0 điểm) Với x  0; x  ; x 1 a) Cho x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức M = x3 + y3 b) Chứng minh rằng: 20082 2008 Biểu thức B   2008  có giá trị số tự nhiên  20092 2009 Bài 3: (4,0 điểm) a) Giải phương trình x  3x   x   x   x  2x  b) Cho số thỏa mãn điều kiện: x2+2y+1 = y2+2z+1 = z2+2x+1 = Hãy tính giá trị biểu thức: A = x2012 + y2012 + z2012 Bài 4.(7,0 điểm) Cho tam gi¸c ABC cã AB = c; AC = b; BC = a, phân giác AD a) Chứng minh hÖ thøc AD2 = AB.AC – BD.DC b) TÝnh độ dài phân giác AD? Bi 5: (1,0 im) Rỳt gọn biểu thức sau: 1 1 A     1 2 3 2009  2010 - Hết - HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2012-2013 MƠN TỐN LỚP Bài (4 điểm) a) Rút gọn biểu thức (2 điểm)   2x  x  2x x  x  x     A      x  0;x  ;x 1   :  1 x x  1x x   1 x   x 2x  x   x   x  2x  x  x    :  x 1 x  1 x 1 x 1 x 1 x  x     x x 1 x   x   x 1 x    :   x x1  x 1 x 1 x 1 x x      x1  x  :  x       x  x  x x x                      x1 x  x              x 1  x   x x  1  x x x 1 : x1 : x1   x  x  x 1 :   1  x    x1 x x  0.5    0.5 0.25 0.25  0.5 b) Tính giá trị A x 17  12 (1 điểm)  Tính x 17  12   2    2  x 3  2  3  2 5  2   5   2  17  12 15  10 A  3 2 3 2 c) So sánh A với A (1 điểm) 3  2 0.5 3 2 1 x x  x 1 x x 1  với x  0;x  ;x 1 Chứng minh x  x  A x  1  A   A    A A   x Biến đổi A    A 0.5  0.25 0.25 0.5 A 0 A  A Bài (4 điểm) a) Ta có M = x3 + y3 = (x + y)(x2 - xy + y2) = x2 - xy + y2 ( x + y = 1) 0.25 x2 y x2 y2 x y    xy   (x  y2 )  (  ) M= 2 2 2 Suy M  ( x  y ) Mặt khác : x + y =1  x2 + y2 +2xy =  2(x2 + y2) – (x – y )2 =  2(x2 + y2) 1 Do : x2 + y2  Dấu “ = “ xảy x = y = 2 1 1 Ta có M  ( x  y ) x2 + y2   M    2 2 1 Vậy M  , nên giá trị nhỏ biểu thức M x = y = 4 b) Biểu thức B   20082  Ta có : B   20082  0.5 0.25 0.5 0.25 0.25 20082 2008 có giá trị số tự nhiên )  20092 2009 20082 2008 20082 2008    2008  2.1.2008     20092 2009 20092 2009 2008 20082 2008 2008  2008    2009   2.2009    2009     2009 20092 2009 2009  2009  2008 2008 2008 2008  2009   2009   2009 2009 2009 2009 2009 0.75 0.75 0.5 Vậy B có giá trị số tự nhiên Bài (4điểm) Giải phương trình a) x  3x   x   x   x  2x    x  1  x    x    x  1  x   0 x   x  1  x      x  0  x 2 Điều kiện  x     x  1  x  3 0   1    x  x 1   x 1  x  x 3  0.5 0.25  x   0  x   0  x  1 x  0      x 2  x   x   x   x  0  0.25 0.5 0.5 x = thoả mãn điều kiện xác định Vậy phương trình có nghiệm x = b).Ta có x2+2y+1 = (1); y2+2z+1 = (2) z2+2x+1 = (3) Cộng vế (1),(2),(3) ta có 0.25 (x2+2x+1) +( y2+2y+1) + (z2+2z+1) = 0.5  ( x  1)  ( y  1)  ( z  1) 0  x  0    y    x  y  z   z  0  0.75 Vậy: A = x2012 + y2012 + z2012 = (-1)2012+(-1)2012+(-1)2012 = 0.5 Bài (7 im) Vẽ đờng tròn tâm O ngoại tiếp ABC Gọi E giao điểm AD (O) a) Ta cã :  ABD ~  CED (g –g) BD AD  ED CD  A  AD.ED = BD.CD  AD(AE – AD) = BD.CD  AD2 = AD.AE – BD.CD C (1) L¹i cã:  ABD ~  AEC (g –g) AB AD  AE AC   AB.AC = AD.AE (2) Tõ (1) vµ (2) suy ra: AD2 = AB.AC BD.DC b) Vì AD phân giác 0.5 0.5 DB BA  DC CA DB DC DB  DC a    c b bc c b ac ab DB = vµ DC = bc bc a bc AD2 = bc (b  c ) B D E 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 Bài (1,0 điểm) Rút gọn biểu thức sau: 1 1 A     1 2 3 2009  2010 Ta có: 1 1    21 1 1 1 2 2    3 2 1 2 3 3 =   4 3 4 1 Tương tự ta có 0.5 1 1 A     1 2 3 2009  2010 =  1  2 4   2010  2009 ( =   2010  2010  Chú ý: Nếu thí sinh làm cách khác cho điểm tương đương 0.25 0.25 ... trị số tự nhiên )  20 092 20 09 20082 2008 20082 2008    2008  2.1.2008     20 092 20 09 20 092 20 09 2008 20082 2008 2008  2008    20 09   2.20 09    20 09     20 09 20 092 20 09 20 09. .. 2.20 09    20 09     20 09 20 092 20 09 20 09  20 09  2008 2008 2008 2008  20 09   20 09   20 09 20 09 20 09 20 09 20 09 0.75 0.75 0.5 Vậy B có giá trị số tự nhiên Bài (4điểm) Giải phương trình...  x  0    y    x  y  z   z  0  0.75 Vậy: A = x2012 + y2012 + z2012 = (-1 )2012+ (-1 )2012+ (-1 )2012 = 0.5 Bài (7 im) Vẽ đờng tròn tâm O ngoại tiếp ABC Gọi E giao điểm AD (O) a) Ta