hsg thanh hóa 2022 - Đại số 9 - QUÊ HƯƠNG - Thư viện Đề thi & Kiểm tra

Nguyễn Thiên Hương Trường THCS Tứ Trưng 1 SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THANH HÓA LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2021 2022 MÔN TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài 150 phút Ngày thi 26/12[.]

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9_THCS NĂM HỌC 2021-2022 MƠN TỐN Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi 26/12/2021 Thời gian làm :150 phút THANH HĨA ĐỀ CHÍNH THỨC Tên : Trương Quang An Địa : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi.Điện thoại : 0708127776 Câu I: ( 4,0 điểm) 1.Rút gọn biểu thức P  x x3  x  với x  0, y  0, x  y, y  xy  y x  x  xy  y  x 2.Cho a, b, c số thực dương thỏa : a2  b2  c2  2abc  Tính giá trị biểu thức: P  a 1  b2 1  c   b 1  a 1  c   c 1  b2 1  a   abc  2020 Câu II: ( 4,0 điểm) 1.Giải phương trình 3x2  x   (2  x)5  (7 x  19)  x  x2 2 x   6  y y 2.Giải hệ phương trình   x  x  x  12  y   y y2 Câu III: ( 4,0 điểm) 1.Tìm a,b nguyên dương thỏa  4b  4 b b  44 b b a 2.Cho ba số tự nhiên a, b, c thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: a – b số nguyên tố 3c2 = ab + bc + ca Chứng minh 8c + số phương Câu IV: ( 6,0 điểm) Cho nửa đường trịn (O;R) đường kính AB C thay đổi (C khác A,B).Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn vẽ tiếp tuyến Ax ,By.Tiếp tuyến C đường tròn cắt Ax,By D,E.Gọi I giao điểm AE,DB CI cắt AB H 1.Chứng minh CH//BE I trung điểm CH 2.Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc AB K.Chứng minh KA.KB=CH.CO 3.Qua C vẽ đường thẳng song song AB cắt By F.Gọi M giao điểm AF BC.Xác định vị trí C nửa đường trịn (O;R) cho tam giác ABM có diện tích lớn nhất.Tính diện tích lớn theo R Câu V: ( 2,0 điểm) Cho a,b số thực dương Chứng minh ab ab ab a  b  2ab    3  ab  a  b (1  a)(1  b)ab Ta có 3c2 = c(a + b) + ab => 4c2 = c2 + ca + cb + ab = (a + c)(b + c) (1) Vì a – b số nguyên tố => a > b a + c > b + c => (b + c)2 < (a + c)(b + c) (2) Từ (1) (2) => b + c < 2c => b < c (3) Ta lại có (a + c) – (b + c) = a – b số nguyên tố => Hoặc a – b  ƯC(a + c, b + c) (a + c, b + c) = * Nếu a – b = p  ƯC(a + c, b + c) => a + c = p.k b + c = p.h (k, h  N) => pk – ph = a – b = p => k – h = (vì p  0) => k = h + Khi (1) trở thành (2c)2 = p2kh = p2k(k + 1) => k(k + 1) số phương Mà k k + hai số tự nhiên liên tiếp => k = => b + c = pk = (mâu thuẫn với (3)) * Nếu (a + c, b + c) = Từ (1) => (2c)2 = (a + c)(b + c) Đặt a + c = m2 b + c = n2 (m, n  N) => m2 – n2 = (m – n)(m + n) = a – b số nguyên tố Mà m – n < m + n => m – n = m + n = a – b Suy (2c)2 = (b + c)(c + a) = (mn)2 = (m – 1)2m2 => 2c = m(m – 1) Khi 8c + = 4m(m – 1) + = (2m – 1)2 số phương Vậy 8c + số phương Câu (3 điểm): Cho a, b, c số thực dương thỏa : a2  b2  c2  2abc  Tính giá trị biểu thức: P  a 1  b2 1  c   b 1  a 1  c   c 1  b2 1  a   abc  2020 Lời giải Theo ra: a  b  c  2abc  Suy ra: a2  2abc   b2  c2 ; b2  2abc   c2  a2 ; c2  2abc   b2  a2 Ta :   2        P  a  b2  c  b  a  c  c  b2  a  abc  2020 = a  c2  b2  b2c2  b  c2  a  a 2c2  c  a  b2  a 2b2  abc  2020 = a a  2abc  b2c2  b b2  2abc  a 2c2  c c2  2abc  a 2b2  abc  2020 =a  a  bc  b b  ac  c  c  ab   abc  2020  a(a+bc)+b(b+ac) + c(c+ab)  abc  2020 (a, b, c >0)  a2  b2  c2  2abc  2020  2021 ... a – b số nguyên tố Mà m – n < m + n => m – n = m + n = a – b Suy (2c)2 = (b + c)(c + a) = (mn)2 = (m – 1)2m2 => 2c = m(m – 1) Khi 8c + = 4m(m – 1) + = (2m – 1)2 số phương Vậy 8c + số phương Câu... – h = (vì p  0) => k = h + Khi (1) trở thành (2c)2 = p2kh = p2k(k + 1) => k(k + 1) số phương Mà k k + hai số tự nhiên liên tiếp => k = => b + c = pk = (mâu thuẫn với (3)) * Nếu (a + c, b + c)...Từ (1) (2) => b + c < 2c => b < c (3) Ta lại có (a + c) – (b + c) = a – b số nguyên tố => Hoặc a – b  ƯC(a + c, b + c) (a + c, b + c) = * Nếu a – b = p  ƯC(a + c, b + c)