Nguyễn Thiên Hương Trường THCS Tứ Trưng 1 SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THANH HÓA LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2021 2022 MÔN TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài 150 phút Ngày thi 26/12[.]
SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9_THCS NĂM HỌC 2021-2022 MƠN TỐN Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi 26/12/2021 Thời gian làm :150 phút THANH HĨA ĐỀ CHÍNH THỨC Tên : Trương Quang An Địa : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi.Điện thoại : 0708127776 Câu I: ( 4,0 điểm) 1.Rút gọn biểu thức P x x3 x với x 0, y 0, x y, y xy y x x xy y x 2.Cho a, b, c số thực dương thỏa : a2 b2 c2 2abc Tính giá trị biểu thức: P a 1 b2 1 c b 1 a 1 c c 1 b2 1 a abc 2020 Câu II: ( 4,0 điểm) 1.Giải phương trình 3x2 x (2 x)5 (7 x 19) x x2 2 x 6 y y 2.Giải hệ phương trình x x x 12 y y y2 Câu III: ( 4,0 điểm) 1.Tìm a,b nguyên dương thỏa 4b 4 b b 44 b b a 2.Cho ba số tự nhiên a, b, c thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: a – b số nguyên tố 3c2 = ab + bc + ca Chứng minh 8c + số phương Câu IV: ( 6,0 điểm) Cho nửa đường trịn (O;R) đường kính AB C thay đổi (C khác A,B).Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn vẽ tiếp tuyến Ax ,By.Tiếp tuyến C đường tròn cắt Ax,By D,E.Gọi I giao điểm AE,DB CI cắt AB H 1.Chứng minh CH//BE I trung điểm CH 2.Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc AB K.Chứng minh KA.KB=CH.CO 3.Qua C vẽ đường thẳng song song AB cắt By F.Gọi M giao điểm AF BC.Xác định vị trí C nửa đường trịn (O;R) cho tam giác ABM có diện tích lớn nhất.Tính diện tích lớn theo R Câu V: ( 2,0 điểm) Cho a,b số thực dương Chứng minh ab ab ab a b 2ab 3 ab a b (1 a)(1 b)ab Ta có 3c2 = c(a + b) + ab => 4c2 = c2 + ca + cb + ab = (a + c)(b + c) (1) Vì a – b số nguyên tố => a > b a + c > b + c => (b + c)2 < (a + c)(b + c) (2) Từ (1) (2) => b + c < 2c => b < c (3) Ta lại có (a + c) – (b + c) = a – b số nguyên tố => Hoặc a – b ƯC(a + c, b + c) (a + c, b + c) = * Nếu a – b = p ƯC(a + c, b + c) => a + c = p.k b + c = p.h (k, h N) => pk – ph = a – b = p => k – h = (vì p 0) => k = h + Khi (1) trở thành (2c)2 = p2kh = p2k(k + 1) => k(k + 1) số phương Mà k k + hai số tự nhiên liên tiếp => k = => b + c = pk = (mâu thuẫn với (3)) * Nếu (a + c, b + c) = Từ (1) => (2c)2 = (a + c)(b + c) Đặt a + c = m2 b + c = n2 (m, n N) => m2 – n2 = (m – n)(m + n) = a – b số nguyên tố Mà m – n < m + n => m – n = m + n = a – b Suy (2c)2 = (b + c)(c + a) = (mn)2 = (m – 1)2m2 => 2c = m(m – 1) Khi 8c + = 4m(m – 1) + = (2m – 1)2 số phương Vậy 8c + số phương Câu (3 điểm): Cho a, b, c số thực dương thỏa : a2 b2 c2 2abc Tính giá trị biểu thức: P a 1 b2 1 c b 1 a 1 c c 1 b2 1 a abc 2020 Lời giải Theo ra: a b c 2abc Suy ra: a2 2abc b2 c2 ; b2 2abc c2 a2 ; c2 2abc b2 a2 Ta : 2 P a b2 c b a c c b2 a abc 2020 = a c2 b2 b2c2 b c2 a a 2c2 c a b2 a 2b2 abc 2020 = a a 2abc b2c2 b b2 2abc a 2c2 c c2 2abc a 2b2 abc 2020 =a a bc b b ac c c ab abc 2020 a(a+bc)+b(b+ac) + c(c+ab) abc 2020 (a, b, c >0) a2 b2 c2 2abc 2020 2021 ... a – b số nguyên tố Mà m – n < m + n => m – n = m + n = a – b Suy (2c)2 = (b + c)(c + a) = (mn)2 = (m – 1)2m2 => 2c = m(m – 1) Khi 8c + = 4m(m – 1) + = (2m – 1)2 số phương Vậy 8c + số phương Câu... – h = (vì p 0) => k = h + Khi (1) trở thành (2c)2 = p2kh = p2k(k + 1) => k(k + 1) số phương Mà k k + hai số tự nhiên liên tiếp => k = => b + c = pk = (mâu thuẫn với (3)) * Nếu (a + c, b + c)...Từ (1) (2) => b + c < 2c => b < c (3) Ta lại có (a + c) – (b + c) = a – b số nguyên tố => Hoặc a – b ƯC(a + c, b + c) (a + c, b + c) = * Nếu a – b = p ƯC(a + c, b + c)