Nguyễn Thiên Hương Trường THCS Tứ Trưng 1 SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH VĨNH LONG LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2021 2022 MÔN TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài 150 phút Ngày thi 16/3/[.]
SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO VĨNH LONG ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9_THCS NĂM HỌC 2021-2022 MƠN TỐN Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi 16/3/2022 Thời gian làm :150 phút Tên : Trương Quang An Địa : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi.Điện thoại : 0708127776 Câu (4,0 điểm) 1.Tính giá trị biểu thức A (1 7)3 (1 7)3 2.Cho P 3x x x x 2 , x 0, x Rút gọn biểu thức.Tìm x nguyên dương để P x x2 x 1 x nguyên Câu (4,0 điểm) a.Giải phương trình: 2(2 x 1) 5x 3x 3x y x y b.Giải hệ phương trình: 3 3x y x y 22 Câu (2,0 điểm) Cho phương trình x2 2(m 1) x m Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 phân biệt thỏa ( x12 mx1 m)( x22 mx2 m) Câu (2,5 điểm) a.Chứng minh với k số nguyên 2023k+3 khơng phải lập phương số nguyên b.Tìm nghiệm nguyên x2 y( x y) 2( x 1) Câu (3,0 điểm) Cho (O;R) ,dây BC khác đường kính Hai tiếp tuyến (O;R) B,C cắt A.Kẻ đường kính CD,kẻ BH vuông CD H a.Chứng minh OA vuông BC.Biết R=15 cm,BC=24 cm.Tính AB,OA b.Gọi I giao điểm AD,BH,E giao điểm DB,AC.Chứng minh IB=IH Câu (2,5 điểm) Cho (O;R) có đường kính AB vng dây NM H,H nằm O,B.Trên tia MN lấy C (O),AC cắt (O) K(K khác A),hai dây MN BK cắt E a.Chứng minh CA.CK=CE.CH b.Qua N kẻ đường thẳng d vuông AC cắt MK F.Chứng minh tam giác NCF cân Câu (2,0 điểm) Cho a,b,c số thực dương thỏa a+b+c=3.Chứng minh a) 3(ab bc ca) (a b c)2 b) a b c 2 1 b 1 c 1 a BÀI GIẢI Câu (4,0 điểm) 1.Tính giá trị biểu thức A (1 7)3 (1 7)3 2.Cho P 3x x x x 2 , x 0, x Rút gọn biểu thức.Tìm x nguyên dương để P x x2 x 1 x nguyên BÀI GIẢI 1.Đặt a (1 7), b (1 7) a b 2; ab 6 Ta có A (1 7)3 (1 7)3 (a b)3 3ab(a b) 44 2.Ta có P x 1 x 3x x x x 1 x (thỏa) 1 x x2 x 1 x x 1 x 1 x x Câu (4,0 điểm) a.Giải phương trình: 2(2 x 1) 5x 3x b.Giải hệ phương trình: 3x y x y 3 3x y x y 22 BÀI GIẢI Ta có x 3x y 2 Thử lại thỏa mãn 3 x y x y 22 y x y 3x y x y Câu (2,0 điểm) Cho phương trình x2 2(m 1) x m Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 phân biệt thỏa ( x12 mx1 m)( x22 mx2 m) Câu (2,5 điểm) a.Chứng minh với k số ngun 2023k+3 khơng phải lập phương số nguyên b.Tìm nghiệm nguyên x2 y( x y) 2( x 1) BÀI GIẢI a.Xét a=7m+r với m, r , r 0,6, a3 (7m r )3 (7m)3 3.(7m)2 r 3.7m.r r Ta có a có dạng a3 7.M r Với r 0, chia cho dư 0,1,6.Mà 2023k+3 =7.(289k)+3 chia cho dư 3.Vậy ta có đpcm b.Ta có x2 y( x y) 2( x 1) ( x y)2 ( x 2)2 (2)2 (2)2 Vậy có nghiệm (4;1);(0;-1);(4;3);(0;1) Câu (3,0 điểm) Cho (O;R) ,dây BC khác đường kính Hai tiếp tuyến (O;R) B,C cắt A.Kẻ đường kính CD,kẻ BH vng CD H a.Chứng minh OA vuông BC.Biết R=15 cm,BC=24 cm.Tính AB,OA b.Gọi I giao điểm AD,BH,E giao điểm DB,AC.Chứng minh IB=IH BÀI GIẢI a.Vì AB,AC tiếp tuyến (O) nên AB=AC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) có OB=OC nên AO đường trung trực BC nên AO⊥BC.Gọi AO∩BC=E nên E trung điểm BC Lúc BE=0,5.BC=12 Do AB⊥OB,BE⊥AO Áp dụng hệ thức lượng vào ΔΔ vuông ABO đường cao BE có: 1 AB 20, OA2 AB OB OA 25 c 2 BE BO BA d Gọi BD∩AC=F Ta có: FB⊥BC,AB=AC→A trung điểm CF →AF=AC Mà BH⊥CD→BH//CF nên BI DI IH IB IH FA DA AC Câu (2,5 điểm) Cho (O;R) có đường kính AB vng dây NM H,H nằm O,B.Trên tia MN lấy C (O),AC cắt (O) K(K khác A),hai dây MN BK cắt E a.Chứng minh CA.CK=CE.CH b.Qua N kẻ đường thẳng d vuông AC cắt MK F.Chứng minh tam giác NCF cân BÀI GIẢI a.Xét tam giác CKE tam giác CHA có: CKE= CHA=90°; góc ACH chung;⇒ΔCKE đồng dạng ΔCHA(g.g) nên CK CE CA.CK CE.CH CH CA b.Ta có: AKB=90° (nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)) ⇒ BK ⊥ AC (đ/n), mà NF ⊥ AC (gt) suy BK // NF (từ vng góc đến song song)⇒ N1 K1 (2 góc so le trong) (1) Vì KNBM nội tiếp (4 đỉnh thuộc đường tròn (O)) nên M1 K1 (nội tiếp chắn cung BN) (2) NKM+ NBM=180° (tính chất góc đối) (3) Ta lại có: NKM+ NKF=180° (2 góc kề bù) (4) Từ (1) (2) ⇒ N1 M1 (*) ; từ (3) (4) ⇒ NBM= NKF Xét △MBN △NKF có: N1 M1 (cmt), NBM= NKF (cmt) ⇒ △MBN ~ △NKF (g.g) ⇒ N2 F1 (2 góc tương ứng) (**) Ta dễ dàng chứng minh △BMN cân B ⇒ N2 M1 (đ/n) (***) Từ (*), (**) (***) ⇒ N1 F1 ⇒ △NFK cân K (đ/n) (đpcm) Cách khác Qua điểm N kẻ đường thẳng (d) vng góc với AC, (d) cắt MK F Ta có d⊥AC; AKB=900⇒BK⊥AK⇒BK⊥AC⇒d//BK (từ vng góc đến song song).Xét tam giác OMN có OM=ON(=R)⇒ΔOMN cân O⇒ Đường cao OH đồng thời đường phân giác ⇒ MOB= NOB⇒sđ cung MB = sđ cung NB⇒ MKB= NKB(hai góc nội tiếp chắn hai cung nhau).Ta có KFN= MKB (đồng vị); KNF= NKB (so le trong) Mà MKB= NKB(cmt)⇒ KFN= KNF⇒ΔNFK cân K Câu (2,0 điểm) Cho a,b,c số thực dương thỏa a+b+c=3.Chứng minh a) 3(ab bc ca) (a b c)2 b) a b c 2 1 b 1 c 1 a BÀI GIẢI a.Ta có 3(ab bc ca) (a b c) (a c)2 (b c)2 (a b)2 b.Ta có a b c a b c ab2 bc ca a b c (*) Ta 2 2 2 2 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c 1 a có VT bất đẳng thức (*) VT ab bc ca 1 (a b c) 2 ... (2,0 điểm) Cho phương trình x2 2(m 1) x m Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 phân biệt thỏa ( x12 mx1 m)( x22 mx2 m) Câu (2,5 điểm) a.Chứng minh với k số ngun 2023k+3... x x2 x 1 x x 1 x 1 x x Câu (4,0 điểm) a.Giải phương trình: 2(2 x 1) 5x 3x b.Giải hệ phương trình: 3x y x y 3 3x y x y 22 BÀI GIẢI Ta... mx1 m)( x22 mx2 m) Câu (2,5 điểm) a.Chứng minh với k số ngun 2023k+3 khơng phải lập phương số nguyên b.Tìm nghiệm nguyên x2 y( x y) 2( x 1) BÀI GIẢI a.Xét a=7m+r với m, r , r