BỘ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP QG VIỆT NAM LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2021 2022 MÔN TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài 180 phút Năm học 2021 2022 Ngày thi 27 28/3/2022 Thời gian làm bài[.]
BỘ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO VIỆT NAM KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP QG LỚP 12_THPT NĂM HỌC 2021-2022 MƠN TỐN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút Năm học 2021-2022.Ngày thi 27-28/3/2022 Thời gian làm :180 phút Ngày thi thứ (04/03/2022) Thời gian làm bài: 180 phút Bài (5,0 điểm) Cho a số thực không âm dãy số (un ) xác định 2n a na un 4, n n n a) Với a=0, chứng minh (un ) có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn u1 6, un1 b) Với a , chứng minh (un ) có giới hạn hữu hạn Bài (5,0 điểm) Tìm tất hàm số f:(0;+∞)→(0;+∞) thoả mãn f ( x) f y f ( y), x, y (0; ) x Bài (5,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC Các điểm E,F thay đổi tia đối tia BA,CA cho BF=CE (E≠B, F≠C) Gọi M,N tương ứng trung điểm BE,CF D giao điểm BF với CE a) Gọi I,J tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DBE,DCF Chứng minh MN song song với IJ b) Gọi KK trung điểm MN H trực tâm tam giác AEF Chứng minh HK qua điểm cố định Bài (5,0 điểm) Với cặp số nguyên dương (n,m) thoả mãn n Khi số kề với số phải M Cứ mặt điền M mặt kề với điền M Tiếp tục ta có điều vơ lý có hữu hạn mặt Hệ kết với ba số ban đầu ba số có không cách điền số thoả mãn Kết 2: Cho k ≤ 2021, với k số ban đầu bất kì, ln tồn cách điền số cịn lại thoả mãn Ta chứng minh quy nạp lùi theo k Với k = 2021, lại số phải điền hiển nhiên tồn cách điền số trung bình cộng số kề Giả sử khẳng định tới k ≤ 2021 Ta chứng minh cho k - Đặt N = 2022 - k Ta xét số cần điền x[1], x[2], ,x[N] X[N+1] Theo giả thiết quy nạp, với giá trị x[N+1] = y, tồn cách số x[1], ,[N] thoả mãn Khi t[i]x[i] = v[i]y + a[i] với t[i] ≥ số cạnh mặt chứa x[i] v[i] = phụ thuộc vào việc mặt chứa x[i] có kề với mặt chứa x[N+1] hay khơng Viết lại x[i] = (v[i]/t[i])y + b[i] với b[i] = a[i]/t[i] Xét điều kiện với N + 1, ta phải có t[N+1]y = sum v[i]x[i] + C = sum (v[i]^2/t[i])y + D, tổng chạy từ đến N Rõ ràng v[i] = nên v[i]^2 = v[i] sum v[i] = t[N+1] t[i] ≥ nên sum v[i]^2/t[i] ≤ 1/2 t[N+1] Do t[N+1] - sum v[i]^2/t[i] = Q > 0, chọn y = D/Q thoả mãn Theo nguyên lý quy nạp khẳng định với k ≤ 2021 Kết hợp hai kết ta có tồn cách điền số thoả mãn ... minh trung điểm T MN thuộc đường tròn cố định ĐỀ CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI OLYMPIC TOÁN QUỐC TẾ 2022 Ngày thi thứ (26/04 /2022) Trương Quang An Thời gian: 270 phút Bài 1: Cho số thực xét hàm số (... đường thẳng nối tâm đường tròn ngoại tiếp hai tam giác GAB,KCD đồng quy Ngày thi thứ hai ( 27/ 04 /2022) Thời gian: 270 phút Bài 4: Cho tam giác ABC nhọn, không cân nội tiếp đường tròn (O) Một đường... tứ giác IEJF Nên I, T, Y thẳng hàng Bài hình học câu b) chia thành toán nhỏ: 1) Chứng minh FN EM cắt điểm đường nối I với tâm (EIF) 2) Phát biểu lại bổ đề: Cho tam giác EIF Dựng tam giác DIF CIE