SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI HSG QUỐC GIA ĐỒNG THÁP NĂM HỌC 2021 2022 Đề chính thức Môn TOÁN ( CHUYÊN) (15/9/2021) Thời gian làm bài 150 phút (không kể thời gian phát đề) Tên TRƢƠNG QUANG AN Địa chỉ[.]
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI HSG QUỐC GIA ĐỒNG THÁP NĂM HỌC 2021 - 2022 Đề thức Mơn: TỐN ( CHUN) (15/9/2021) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Tên: TRƢƠNG QUANG AN Địa : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tƣ Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi Điện thoại : 0353276871 Bài (4,0 điểm) a) Cho P(x) Q(x) hai đa thức có bậc khơng q 2020 thoả mãn x2021.P( x) ( x 2)2021.Q( x) 1, x Tính Q(1) b) Tìm tất ba số thực dƣơng (x,y,z) thoả mãn hai điều kiện xy+yz+zx+xyz=4 2(4 xy) 5(4 yz) 10(4 zx) 12 Bài (3,0 điểm) Cho dãy số ( xn ) xác định x1 0, x2 xn2 xn , n xn1 xn Chứng minh dãy số ( xn ) có giới hạn hữu hạn tính giới hạn Bài (5,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, khơng cân, nội tiếp đƣờng trịn tâm O có đƣờng cao AD,BE,CF cắt H Gọi O1 điểm đối xứng O qua đƣờng thẳng BC A O1 cắt BC L, DE cắt HC M, DF cắt HB N a) Chứng minh đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác DMN đƣờng trịn đƣờng kính AL tiếp xúc với b) Tiếp tuyến D đƣờng trịn đƣờng kính AL cắt EF K Chứng minh KH=KD Bài (5,0 điểm) a) Cho hàm số f : thoả mãn f ( x y) f ( x) y f ( f ( x)) với số thực x,y Chứng minh f (0) b) Cho số nguyên dƣơng a,b,c phân biệt Chứng minh tồn số nguyên n cho a+n, b+n, c+n số đôi nguyên tố Bài (3,0 điểm) Trên mặt phẳng ta vẽ 3333 đƣờng trịn đơi khác có bán kính Chứng minh chọn đƣợc số 34 đƣờng trịn mà đƣờng trịn đơi có điểm chung đơi khơng có điểm chung - HẾT (Thí sinh khơng sử dụng tài liệu máy tính cầm tay) Bài 2.Tìm tất ba số thực dƣơng (x,y,z) thoả mãn hai điều kiện xy+yz+zx+xyz=4 2(4 xy) 5(4 yz ) 10(4 zx) 12 Giải.Với điều kiện xy+yz+zx+xyz=4 tồn số dƣơng a,b,c cho 2b 2c 2a Thay vào điện kiện thứ hai ta có đƣợc x , y , z ac ab bc 2a ( a b c ) 5b(a b c) 10c(a b c) (1).Ta có (a b)(a c) (b c)(b a) (c a)(c b) 10c(a b c) 2a ( a b c ) 5b(a b c) VT (1) 1 4 Đến (a b)(a c) (b c)(b a) (c a)(c b) ta chứng minh 10c(a b c) 2a ( a b c ) 5b(a b c) (c a)(c b) VP(1) Q (a b)(a c) (b c)(b a) uy đồng thu đƣợc bất đẳng thức tƣơng đƣơng với (9ab bc 4ca)(a b c) 36abc Bất đẳng thức ln theo bất đẳng thức Cauchy b c (9ab bc 4ca)(a b c) 6 (3ab) bc (2ca) 6 a 36abc Dấu 2 3 2 xảy (a,b,c)=(1,2,3) , dẫn tới ( x, y, z ) 1,2, 5 Bài Cho số nguyên dƣơng a,b,c phân biệt Chứng minh tồn số nguyên n cho a+n, b+n, c+n số đơi ngun tố Giải.Khơng tính tổng quát, giả sử a>b>c Đặt u=[a−b,a−c] Nhận thấy chọn nn cho n≡1−a(modu) (n+a,n+b)=(n+a,n+c)=1 Cịn chọn n cho n≡1−b(modb−c) (n+b,n+c)=1 Do ta cần chọn n thoả mãn hệ phƣơng trình đồng n a(modu ) () dƣ n b ( modb c ) Đặt (a b, a c) d2 Tồn x,y:(x,y)=1 cho a b d2 x; a c d2 y Khi b c d2 ( y x); u xyd2 Suy (u, b c) d2 ( y x, xy) d2 nên a−b⋮(u,b−c) (1 b) (1 a) (u, b c) Theo định lý Thặng dƣ Trung Hoa hệ phƣơng trình đồng dƣ (∗) có nghiệm.Vậy ta có đpcm Bài Cho tam giác ABC nhọn, khơng cân, nội tiếp đƣờng trịn tâm O có đƣờng cao AD,BE,CF cắt H Gọi O1 điểm đối xứng O qua đƣờng thẳng BCBC A O1 cắt BC L, DE cắt HC M, DF cắt HB N a) Chứng minh đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác DMN đƣờng tròn đƣờng kính AL tiếp xúc với b) Tiếp tuyến D đƣờng trịn đƣờng kính AL cắt EF K Chứng minh KH=KD Giải.a) Gọi Oc tâm đƣờng trịn Euler ΔABC.Khi A, Oc , A1 thẳng hàng.Ta có M /(Oc ) MD.ME MH MC M /(O1 ) nên M nằm trục đẳng phƣơng (Oc ),(O1 ) Tƣơng tự N nằm trục đẳng phƣơng (Oc ),(O1 ) nên MN trục đẳng phƣơng (Oc ),(O1 ) Suy MN⊥AL.Kẻ tiếp tuyến d D (DMN).Ta có (d , DA) (d , DN ) ( DN , DA) (MD, MN ) ( DN , DA) ( MD, AL) ( DN , DA) ( MD, AL) ( DA, DM ) 2 ( DA, AL) ( DL, DA) ( LD, LA) (mod ) d tiếp tuyến (AL) nên (AL) tiếp xúc với (HMN)(HMN) b) Dễ thấy EF,MN,BC đồng quy tâm đẳng phƣơng G ( BC ),(O1 ),(Oc ) MN cắt AH Q.EF cắt AH T.Qua H kẻ đƣờng thẳng song song với MN cắt EF K′ K H GQ TH QD TH AL Ta có ΔGQD đồng dạng ΔALD (1).Mặt HD HD TQ HD TQ LD khác (TQ, HD) G(TQ, HD) G( EN , HB) F ( EN , HB) F (TD, HA) 1 K H AL DQ TH ( DT , QH ) Kết hợp với (1) ta có DH TQ HD LD Mà K ' HD ALD nên K H K D K ' DH K ' HD ALD DK tiếp tuyến (AL) Vậy K′≡K hay KKD=KH.Hình gửi kèm .. .- HẾT (Thí sinh khơng sử dụng tài liệu máy tính cầm tay) Bài 2.Tìm tất ba số thực dƣơng (x,y,z) thoả mãn hai điều kiện xy+yz+zx+xyz=4 2(4 xy) 5(4 yz ) 10(4 zx) 12 Giải. Với... Cho số nguyên dƣơng a,b,c phân biệt Chứng minh tồn số nguyên n cho a+n, b+n, c+n số đôi ngun tố Giải. Khơng tính tổng qt, giả sử a>b>c Đặt u=[a−b,a−c] Nhận thấy chọn nn cho n≡1−a(modu) (n+a,n+b)=(n+a,n+c)=1... trịn đƣờng kính AL tiếp xúc với b) Tiếp tuyến D đƣờng trịn đƣờng kính AL cắt EF K Chứng minh KH=KD Giải. a) Gọi Oc tâm đƣờng tròn Euler ΔABC.Khi A, Oc , A1 thẳng hàng.Ta có M /(Oc ) MD.ME MH