ĐỀ KIỂM TRA MÃ KÍ HIỆU ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 NĂM 2021 MÔN TOÁN 8 Thời gian làm bài 150 phút) (Đề gồm 05 câu, 01 trang Câu 1 (4,5 điểm) 1 Cho biểu thức với a) Rút gọn A b) Tìm x, y thỏa mãn v[.]
MÃ KÍ HIỆU ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM 2021 MƠN: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút) (Đề gồm 05 câu, 01 trang Câu (4,5 điểm) Cho biểu thức A 4xy y x2 : 2 y 2xy x y x với x y, y 0 a) Rút gọn A b) Tìm x, y thỏa mãn 3x y 2x 2y 0 A = 2 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x 2016x 2015x 2016 Câu (4,0 điểm) a) Cho A=11 155 56 với n N * Chứng minh A số phương (n-1 chữ số 1), (n - chữ số 5) b) Tìm đa thức f(x), biết f(x) chia cho (x + 1) dư 4, chia cho (x + 2) dư 1, chia cho (x + 1)(x + 2) thương 5x cịn dư Bài (4,0 điểm) a) Tìm x, y, z biết: x y z xy yz zx x 2015 y 2015 z 2015 32016 b) Tìm m để phương trình sau vơ nghiệm 1 x x 2(x m) x m xm m2 x Bài (6,0 điểm) Cho hình vng ABCD có cạnh a, biết hai đường chéo cắt O Lấy điểm I thuộc cạnh AB, điểm M thuộc cạnh BC cho IOM 900 (I M khơng trùng đỉnh hình vng) a) Chứng minh ΔBIO = ΔCMO tính diện tích tứ giác BIOM BIO = ΔBIO = ΔCMO tính diện tích tứ giác BIOM CMO tính diện tích tứ giác BIOM theo a b) Gọi N giao điểm tia AM tia DC, K giao điểm BN tia OM Chứng minh tứ giác IMNB hình thang BKM BCO c) Chứng minh 1 2 CD AM AN Bài (1,5 điểm) Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh BC, AC, AB a, b, c Các đường cao tương (a b c) ứng ha, hb, hc Tam giác tam giác biểu thức đạt giá trị nhỏ h a2 h b2 h c2 nhất? -Hết MÃ KÍ HIỆU HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP Năm 2021 MƠN: TỐN (Hướng dẫn chấm gồm 05 trang) Câu 1 (3.0 điểm) (4,5 điểm) a (2,0 điểm) Với x y; y 0 ta có: Nội dung : 2 y xy x y x xy 1 A : ( y x)( y x) ( y x)( y x) ( y x) A xy y x2 Điểm 0,25đ 0,25đ 0,25đ yx y x xy : ( y x)( y x) ( y x)( y x) xy 2y A : ( y x)( y x) ( y x)( y x) 0,25đ xy ( y x)( y x) ( y x)( y x) 2y 0,25đ A A A 2 x ( x y ) Vậy x y; y 0 A = 2x(x + y) 0,25đ 0,25đ 0,25đ b (1,0 điểm) Ta có 3x y x y 0 x xy x xy y x y 0 (2 x xy ) ( x xy y ) (2 x y ) 0 x( x y ) ( x y ) 2( x y ) 0 0,25đ 0,25đ A ( x y ) 2( x y ) 2 A ( x y 1) 2 ( x y 1) 2 x y 0 ( x y; y 0 ) Thay y = x + vào A = 2x(x + y) ta : 2x( x + x + 1) = 2x2 + x = 2x2 + x - = (x + 1)(2x - 1) = + Với x = - 1, ta có y = (loại) (thoả mãn) Vậy x, y cần tìm x = y = 2 + Với x = , ta có y = 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ (1,5 điểm) x 2016 x 2015 x 2016 0,25đ x 2015 x x 2015 x 2015 ( x x x ) 2015 x 2015 x 2015) 0,25đ ( x x 1) x 2015( x x 1) 0,25đ 0,25đ ( x 1) x 2015( x x 1) 0,25đ 0,25đ ( x x)( x x) 2015( x x 1) ( x x 1)( x x 2016) a (2,0 điểm) (4.0 điểm) Vì f(x) : (x+1) dư f(x)= (x+1).Q(x)+4 Vì f(x) : (x+2) dư f(x)= (x+2).P(x)+1 Vì f(x) : (x+1)(x+2) thương 5x2 cịn dư nên đa thức dư có bậc nhỏ Do f(x) = (x+1)(x+2).5x2+ax+b f(x) = 5x4 +15x3 + 10x2 + ax + b Ta có f(-1) = - a+b = b = 4+a (1) f(-2) = -2a+b = b = 1+2a (2) a 3 b 7 0,25đ0 ,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ Từ (1) (2) 0,25đ Vậy f(x) = 5x4+15x3+10x2+3x+7 b (2,0 điểm) Ta có A 11 4.11 1 n ( c / s1) 1.75đ n ( c / s1) 10 02 102 n 10n 10 n 4.10 n (10n 2) ( n 1) cs 1 (33 34) 9 9 ( n 1) c / s số phương 55 số phương Vậy A 11 0.25đ n ( c / s1) ( n 1) c / s a (2,0 điểm) (4.0 điểm) Ta có x y z xy yz zx x y z xy yz zx 0 ( x y ) ( y z ) ( z x) 0 0,25đ 0,25đ Chứng minh tìm x y 0 y z 0 x y z z x 0 0,25đ 0,5đ 0,25đ x 2015 y 2015 z 2015 32016 z 2015 32015 z 3 Thay vào x = y = z vào z 2015 32016 ta có Vậy x = y = z = b (2,0 điểm) ĐKXĐ: x+ m 0 x- m 0 x m 0,25đ 0,25đ 0,5d (1 x)( x m) ( x 2)( x m) 2 2( x m) (2m 1) x m 2(*) 3 + Nếu 2m -1= m ta có (*) 0x = (vô nghiệm) 2 m + Nếu m ta có (*) x 2m 0,25đ 0,25đ 0,5đ - Xét x = m 0,25đ m m m 2m m 2m 1 2m 2m 0 m m 0 m 0 2 2 (Khơng xảy vế trái dương) Xét x= - m m m m 2m m m2 1 m 1 2m 1 Vậy phương trình vơ nghiệm m m = 1 0,25đ (6.0 điểm) A I O E D B M K N C a) Xét BIO CMO có: 0,25đ IBO MCO (450 ) BO = CO ( t/c đường chéo hình vuông) ( phụ với BOM ) BOI COM BIO = CMO (g.c.g) S BIO SCMO mà S BMOI S BOI S BMO b) Ta có CM = BI ( BIO = CMO ) Hay S BMOI SCMO S BMO S BOC S ABCD a 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ BM = AI Vì CN // AB nên 0,5đ BM AM IA AM CM MN IB MN 0,5đ IM // BN ( Định lí Talet đảo) Hay IMNB hình thang Vì OI = OM ( BIO = CMO ) IOM cân O IMO MIO 450 Vì IM // BN IM // BK BKM IMO 450 ( sole trong) BKM BCO c) Qua A kẻ tia Ax vng góc AN cắt CD E Chứng minh ADE ABM ( g c.g ) AE AM Ta có ANE vng A có AD NE nên AD.NE AN AE S AEN 2 AD.NE AN AE ( AD.NE ) ( AN AE )2 áp dụng định lí pitagota vào ANE ta có AN2 + AE2 = NE2 AD ( AN AE ) AN AE AN AE 1 1 2 2 AN AE AD AE AN AD 1 Mà AE AM CD = AD 2 CD AM AN (1.5điểm) 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ A x hc B C D Qua C vẽ Cx song song AB gọi D điểm đối xứng A qua Cx BAD 900 ; CD = AC = b; AD = 2hc Xét điểm B, C, D ta có: BD BC + CD Tam BDA có BAD 900 theo định lý pitago 2 AB AD BD ( BC CD ) 0,5đ 0,5đ c 4hc2 (a b) 4hc2 (a b ) c (Dấu ‘‘ = ’’ xảy a = b) Chứng minh tương tự: a 4h (b c ) a b 0,5đ 4h (a c ) b (Dấu ‘‘ = ’’ xảy b = c) (Dấu ‘‘ = ’’ xảy c = a) 4( ha2 hb2 hc2 ) ( a b c ) (a b c) 4 hb2 hc2 Dấu ‘‘ = ’’ xảy a = b = c -Hết ... Vì f(x) : (x+1)(x+2) thư? ?ng 5x2 cịn dư nên đa thức dư có bậc nhỏ Do f(x) = (x+1)(x+2).5x2+ax+b f(x) = 5x4 +15x3 + 10x2 + ax + b Ta có f (-1 ) = - a+b = b = 4+a (1) f (-2 ) = -2 a+b = b = 1+2a (2)... 0 ) Thay y = x + vào A = 2x(x + y) ta : 2x( x + x + 1) = 2x2 + x = 2x2 + x - = (x + 1)(2x - 1) = + Với x = - 1, ta có y = (loại) (thoả mãn) Vậy x, y cần tìm x = y = 2 + Với x = , ta có y...MÃ KÍ HIỆU HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP Năm 2021 MƠN: TỐN (Hướng dẫn chấm gồm 05 trang) Câu 1 (3.0 điểm) (4,5 điểm) a (2,0 điểm) Với x y; y