Đề HSG toán 9 có đáp án chi tiết

Tailieumontoan.com  SƯU TẦM TUYỂN TẬP ĐỀ THI HSG LỚP CẤP TỈNH NĂM 2019 Tài liệu sưu tầm Website:tailieumontoan.com ĐỀ HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP CÁC TỈNH NĂM HỌC 2018-2019 LỜI NÓI ĐẦU Nhằm đáp ứng nhu cầu giáo viên toán THCS học sinh luyện thi học sinh giỏi mơn tốn lớp 9, website tailieumontoan.com giới thiệu đến thầy cô em đề thi học sinh giỏi toán lớp tỉnh nước có hướng dẫn giải cụ thể Đây đề thi mang tính chất thực tiễn cao, giúp thầy cô em học sinh luyện thi học sinh giỏi lớp có tài liệu bám sát đề thi để đạt thành tích cao, mang lại vinh dự cho thân, gia đình nhà trường Bộ đề gồm nhiều Câu tốn hay thầy cô nước sưu tầm sáng tác, ôn luyện qua giúp em phát triển tư mơn tốn từ thêm u thích học giỏi mơn học này, tạo tảng để có kiến thức tốt đáp ứng cho việc tiếp nhận kiến thức lớp, cấp học nhẹ nhàng hiệu Các vị phụ huynh thầy dạy tốn dùng dùng tuyển tập đề tốn để giúp em học tập Hy vọng Tuyển tập đề thi học sinh giỏi lớp cấp tỉnh năm 2018-2019 giúp ích nhiều cho học sinh phát huy nội lực giải tốn nói riêng học tốn nói chung Bộ đề viết theo hình thức Bộ đề ơn thi, gồm: đề thi hướng dẫn giải đề đề thi dựa đề thi thức sử dụng kì thi học sinh giỏi tốn lớp tỉnh nước Mặc dù có đầu tư lớn thời gian, trí tuệ song tránh khỏi hạn chế, sai sót Mong góp ý thầy, giáo em học! Chúc thầy, cô giáo em học sinh thu kết cao từ đề này! sưu tầm tổng hợp zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com MỤC LỤC Phần Đề thi ĐỀ SỐ TỈNH THÀNH Đề thi học sinh giỏi toán tỉnh Điện Biên năm học 2018-2019 Đề thi học sinh giỏi toán tỉnh Lạng Sơn năm học 2018-2019 Đề thi học sinh giỏi toán tỉnh Nghệ An năm học 2018-2019 Đề thi học sinh giỏi toán tỉnh Quảng Bình năm học 2018-2019 Đề thi học sinh giỏi toán tỉnh Đồng Nai năm học 2018-2019 Đề thi học sinh giỏi tốn tỉnh Thanh Hóa năm học 2018-2019 Đề thi học sinh giỏi toán tỉnh Bình Phước năm học 2018-2019 Đề thi học sinh giỏi toán tỉnh Sơn La năm học 2018-2019 Đề thi học sinh giỏi toán tỉnh Ninh Bình năm học 2018-2019 10 Đề thi học sinh giỏi toán tỉnh Nam Định năm học 2018-2019 11 Đề thi học sinh giỏi toán tỉnh Bắc Ninh năm học 2018-2019 12 Đề thi học sinh giỏi toán tỉnh Bình Định năm học 2018-2019 13 Đề thi học sinh giỏi toán tỉnh Đà Nẵng năm học 2018-2019 14 Đề thi học sinh giỏi toán tỉnh Đắk Lắk năm học 2018-2019 15 Đề thi học sinh giỏi toán tỉnh Đồng Nai năm học 2018-2019 16 Đề thi học sinh giỏi toán tỉnh Gia Lai năm học 2018-2019 17 Đề thi học sinh giỏi toán tỉnh Hà Nội năm học 2018-2019 18 Đề thi học sinh giỏi toán tỉnh Hải Dương năm học 2018-2019 19 Đề thi học sinh giỏi toán tỉnh Hải Phòng năm học 2018-2019 20 Đề thi học sinh giỏi tốn TP Hồ Chí Minh năm học 2018-2019 21 Đề thi học sinh giỏi toán tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu năm học 2018-2019 22 Đề thi học sinh giỏi toán tỉnh Hưng Yên năm học 2018-2019 23 Đề thi học sinh giỏi toán tỉnh Lai Châu năm học 2018-2019 24 Đề thi học sinh giỏi toán tỉnh Lâm Đồng năm học 2018-2019 25 Đề thi học sinh giỏi toán tỉnh Long An năm học 2018-2019 26 Đề thi học sinh giỏi toán tỉnh Phú Yên năm học 2018-2019 27 Đề thi học sinh giỏi toán tỉnh Quảng Trị năm học 2018-2019 28 Đề thi học sinh giỏi toán tỉnh Quảng Ngãi năm học 2018-2019 29 Đề thi học sinh giỏi toán tỉnh Sóc Trăng năm học 2018-2019 30 Đề thi học sinh giỏi tốn tỉnh Thái Bình năm học 2018-2019 31 Đề thi học sinh giỏi toán tỉnh Thừa Thiên Huế năm học 2018-2019 sưu tầm tổng hợp zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com 32 Đề thi học sinh giỏi toán tỉnh Tiền Giang năm học 2018-2019 33 Đề thi học sinh giỏi toán tỉnh Quảng Nam năm học 2018-2019 34 Đề thi học sinh giỏi toán tỉnh Trà Vinh năm học 2018-2019 Phần Đáp án sưu tầm tổng hợp zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH TỈNH ĐIỆN BIÊN LỚP THCS NĂM HỌC 2018 – 2019 MƠN THI: TỐN ĐỀ THI CHÍNH THỨC Ngày thi: 09/4/2019 Đề số Thời gian làm 180 phút, khơng kể thời gian giao đề (Đề thi có trang) Câu (5,0 điểm)  Cho biểu thức P =  +    x   −  :   − x +1  x −1 x x + x − x −1 a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm giá trị x để biểu thức = Q ( ) )( x − P nhận giá trị nguyên 3 Cho x + x + 2y + 4y + = Tính giá trị biểu thức x + 8y + 2019 Câu (4,0 điểm) Giải phương trình: 2x + x += 3x x +  x − y = Giải hệ phương trình:  3x − = −2  y3 Câu (3,0 điểm) Chứng minh: 2 +1 + 3+2 + + ( n + 1) n +1 + n n < 1− n +1 ( ∀n ∈  * ) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = 5x + 9y − 12xy + 24x − 48y + 82 Câu (6,0 điểm) Cho ∆ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường trịn (O) Kẻ đường cao BE, CF ∆ABC ( E ∈ AC ; F ∈ AB ) Các đường cao BE, CF cắt (O) M N a) Chứng minh MN song song với EF; OA vng góc với EF b) Gọi H trực tâm ∆ABC Chứng minh rằng: CH.CF + BH.BE = BC Cho điểm O thuộc miền ∆ABC Các tia AO, BO, CO cắt cạnh BC , AC, AB G, E,F Chứng minh tổng vị trí điểm O Câu (2,0 điểm) OA OB OC không phụ thuộc vào + + AG BE CF Chứng minh P = x − 3x − 3x + số phương x =+ 32+34 Tìm x, y ∈  thỏa mãn: x − 2y = _Hết _ sưu tầm tổng hợp zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH TỈNH LẠNG SƠN LỚP THCS NĂM HỌC 2018 – 2019 MƠN THI: TỐN ĐỀ THI CHÍNH THỨC Ngày thi: 23/3/2019 Đề số Thời gian làm 150 phút, không kể thời gian giao đề (Đề thi có trang) Câu (4 điểm) Cho biểu thức A = x x −3 − ( x −3 x−2 x −3 x +1 a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị nhỏ biểu thức A Câu (4 điểm) )+ x +3 3− x với x ≥ 0; x ≠ Cho phương trình x – ( m + ) x + m + 8m – = a) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với giá trị m b) Tìm m ngun dương để phương trình cho có hai nghiệm x1 , x cho P= x12 + x 22 − 60 đạt giá trị nguyên x1 + x Câu (4 điểm) a) Giải phương trình x − x + − +5= x x b) Tìm tất cặp ( x; y ) nguyên thỏa mãn x y + ( x − ) + ( 2y − ) − 2xy ( x + 2y − ) = 2 Câu (6 điểm) Cho tam giác nhọn ABC ( AB < AC ) nội tiếp đường tròn ( O ) , đường cao BE,CF cắt H ( E ∈ AC,F ∈ AB ) a) Gọi K = EF ∩ BC ,= L AK ∩ ( O ) với L ≠ A Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp HL ⊥ AK b) Chứng minh đường thẳng HL qua trung điểm BC  = 90 Chứng minh c) Gọi T điểm đoạn thẳng FC cho ATB đường tròn ngoại tiếp hai tam giác KLT CET tiếp xúc với Câu (2 điểm) Cho đa giác 30 đỉnh Chứng minh đỉnh đó, gồm có đỉnh chứa đỉnh tạo nên hình thang cân _Hết _ sưu tầm tổng hợp zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2018 – 2019 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH NGHỆ AN Mơn thi: TỐN - BẢNG A Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số (Đề thi có trang) Câu (3,0 điểm) a Tìm nghiệm nguyên phương trình: 2y − xy + x − 2y + = n b Chứng minh A = 2 + n + 16 chia hết cho với số nguyên dương n Câu (6,5 điểm) 8x + 4x 2x = +3 ⋅ 2x + a Giải phương trình: ( x − 1)2 + ( y − )2 = b Giải hệ phương trình:  ( x − 1)( y − ) − x − y =−3 Câu (2,5 điểm) Cho a, b, c số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 4  a   b   c  P=  +  +  a+ b  b+c  c+a  Câu (6,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) Gọi D, E, F chân đường cao kẻ từ ba đỉnh A, B, C tam giác Đường thẳng EF cắt đường tròn (O) điểm thứ M (M khác phía với O so với đường thẳng AB), đường thẳng BM cắt đường thẳng DF N Chứng minh rằng: a EF ⊥ OA b AM = AN  = Cho tam giác nhọn ABC, D điểm tam giác cho ADB ACB + 900 AC.BD = AD.BC Chứng minh AB.CD = AC.BD Câu (2,0 điểm) Trong hình vng cạnh có 2019 điểm phân biệt Chứng minh tồn hình trịn bán kính nằm hình vng mà khơng chứa điểm 91 2019 điểm cho _Hết _ sưu tầm tổng hợp zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH TỈNH QUẢNG BÌNH LỚP THCS NĂM HỌC 2018 – 2019 MƠN THI: TỐN ĐỀ THI CHÍNH THỨC Ngày thi: 14/3/2019 Đề số Thời gian làm 150 phút, không kể thời gian giao đề (Đề thi có trang) Câu (2.5 điểm) a Cho biểu thức A = x +1 - x x +1 + x- x +1 với x ≥ Rút gọn tìm giá trị lớn A b Khơng dùng máy tính cầm tay, rút gọn biểu thức B = + 10 + + − 10 + Câu (2.0 điểm) ( ) a Xác định hệ số a b để đa thức P x = x − 2x + 3x + ax + b bình phương đa thức b Giải phương trình: − 4x + 4x + =−16x − 8x + (1) Câu (2,5 điểm) Cho đường tròn ( O ) dây cung BC = a không đổi ( O  BC ) A điểm di động cung lớn BC cho tam giác ABC có ba góc nhọn Các đường cao AD, BE, CK cắt H ( D ∈ BC,E ∈ AC,K ∈ AB )  = BOC  , tính AH theo a a Trong trường hợp BHC b Trong trường hợp bất kì, tìm vị trí A để tích DH.DA nhận giá trị lớn Câu (1.0 điểm) Tìm tất số tự nhiên n cho = C 2019 n + 2020 số phương Câu (1.0 điểm) Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn x+y+z+6≥ ( x+y+z+2 = xyz Chứng minh rằng: ) yz + zx + xy Câu (1.0 điểm) Cho tam giác vng ABC có= AB 3,= AC 4,= BC Xét hình chữ nhật MNPQ cho M, N thuộc cạnh BC, P thuộc cạnh AC, Q thuộc cạnh AB Hãy xác định kích thước hình chữ nhật MNPQ để có diện tích lớn _Hết _ sưu tầm tổng hợp zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH TỈNH ĐỒNG NAI LỚP THCS NĂM HỌC 2018 – 2019 MƠN THI: TỐN ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số Ngày thi: 29/3/2019 Thời gian làm 150 phút, không kể thời gian giao đề (Đề thi có trang) Câu (4,5 điểm) x − y = m + 1) Cho (x, y) nghiệm hệ phương trình  (với m tham số thực) 2x − 3y = m + = x + 8y đạt giá trị nhỏ Tìm m để biểu thức P x + y = 2) Giải hệ phương trình  (với x, y thuộc R) −1 x − y = Câu (4,5 điểm) 1) Giải phương trình x − 9x + 24x − 27x + = (x ∈ R) 2) Cho ba số thực dương a, b, c Chứng minh: a b c  a b c  + + + ≥ 4 + +  b c a a+ b b+c c+a  Câu (4,5 điểm) 1 1) Cho a, b, c ba số nguyên khác thỏa = + Chứng minh rằng: abc chia hết a b c cho 2) Tìm số số nguyên dương không vượt 1000 nguyên tố với 999 Câu (2 điểm) 99 + + + + Cho A = tổng 99 số hạng 1+ 2+ 3+ 99 + 100 B= + + + + 100 tổng 99 số hạng Tính A + B Câu (4,5 điểm) Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I) Gọi D, E hai tiếp điểm AB,  ABC,  BCA  , góc nhọn Gọi M N lần AC với đường tròn (I) Biết ba góc BAC, lượt trung điểm hai đoạn BC AC 1) Chứng minh: 2AD = AB + AC – BC 2) Chứng minh ba đường thẳng BI, DE, MN đồng quy _Hết _ sưu tầm tổng hợp zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH TỈNH THANH HĨA LỚP THCS NĂM HỌC 2018 – 2019 MƠN THI: TỐN ĐỀ THI CHÍNH THỨC Ngày thi: 22/3/2019 Đề số Thời gian làm 150 phút, không kể thời gian giao đề (Đề thi có trang) Câu (4,0 điểm)  x x − x −1  x + x−5  Rút gọn biểu thức P = − −   :   , với x > 0, x ≠  x −2 x−2 x   x +1 x− x −2  3 + 50 , b = − 50 Khơng dùng máy tính, chứng minh biểu Cho a = thức M= a + b N = a + b7 có giá trị số chẵn Câu (4,0 điểm) Giả sử x1 , x hai nghiệm phương trình x + 2kx + = ( k tham số ) Tìm 2 x  x  tất giá trị k cho :   +   ≤  x   x1  x + x + = 2y + Giải hệ phương trình   y + y + = 2x + Câu (4,0 điểm) Tìm nghiệm nguyên phương trình x y ( x + y ) + x = + y ( x − 1) Cho n ∈  * Chứng minh 2n + 3n + số phương n chia hết cho 40 Câu (6,0 điểm) Cho đường tròn ( O,R ) điểm A cố định bên ngồi đường trịn, OA = 2R Từ A kẻ tiếp tuyến AB, AC đến đường tròn ( O ) ( B,C tiếp điểm) Đường thẳng OA cắt dây BC I Gọi M điểm di động cung nhỏ BC Tiếp tuyến M đường tròn ( O ) cắt AB, AC E,F Dây BC cắt OE,OF điểm P, Q  = 60 tứ giác OBEQ nội tiếp Chứng minh ABI Chứng minh EF = 2PQ  cho tam giác OPQ có diện tích Xác định vị trí điểm M cung nhỏ BC nhỏ Tính diện tích nhỏ theo R Câu (2,0 điểm) Tìm giá trị lớn Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x + y − z + = biểu thức: P= x3 y3 ( x + yz )( y + xz )( z + xy ) _Hết _ sưu tầm tổng hợp zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 168 Website:tailieumontoan.com b) Đặt =x ⇒ x3 =2 Do x x2 32 34 − + ⇔ x − 1= − + ⇔ 9( x − 1)= x − x + ⇔ 9( x − 1)= ( x − x + 1)3 (1) 9 9 9 2 Ta có VP = ( x − x + 1) = ( x − x + 1) ( x − x + 1) = (x + x + − x − x + x )( x − x + 1) 3 − 1= = [ x( x3 − 2) − x3 + x + 1]( x − x + 1) = 3(x − 1)( x − x + 1) = 3(x − 1)(x + 1) = 3(x − 1)[( x3 − 2) + 3] = 9(x − 1) = VT Vậy 3 − 1= 32 34 − + 9 Bài a) 1  x + + x − + x + − x − = x + ⇔ ( x − + 3) + ( x − − 3) = x +  x ≥  3  ⇔ x − + + x − − = x + (1) 10 , (1) ⇔ x − = x + ⇔ x + 12 x + 20 = (VN) 10 Với ≤ x ≤ , (1) ⇔ = x + ⇔ x = (tm) 3 b) TH1 Nếu số a, b, c số cịn lại Do Với x ≥ a= b= c= TH2 Xét a, b, c khác 0: Ta có 1 1 + b + c + a (1 − b) (1 − c) (1 − a ) 1 1 + += + + = + + + + + ≥ + + a b c 2b 2 2a 2b b 2c c 2a a a b c Dấu “ = ” xảy − b =1 − c =1 − a = ⇔ a = b = c =1 Vậy a= b= c= a= b= c= Câu 3: Gọi x, y, z, số gói kẹo chocola, kẹo chuối kẹo dừa lớp 9A mua (gói, 0< x, y, z 2, Vậy xe tải qua cổng Câu 3: (4,0 điểm) Từ giả thiết xy + yz + zx = ta có: x + = x + xy + yz + zx = ( x + y )( z + x ) Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có: sưu tầm tổng hợp zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 172 Website:tailieumontoan.com ( x + y ) + ( z + x ) 5x + y + z = 2 3x + y + z x + y + 2z Chứng minh tương tự, ta được: ( y + ) ≤ ; z2 + ≤ 2 Cộng theo vế bất đẳng thức trên, ta được: 9x + y + 6z ( x + 5) + ( y + 5) + z + ≤ 2 ( 3x + y + z ) 3x + y + z ≥ = Suy P = 9x + y + 6z ( x + 5) + ( y + 5) + z + ( x + 5) = ( x + y )( z + x ) ≤ Đẳng thức xảy x= y= 1; z= Vậy giá trị nhỏ biểu thức P Ta có: a ≠ , b ≠ 2 2 0 6a b + 20ab + 15b = 6a + 20a + 15 = ⇔  0 15b + 20b + = 15b + 20b + = ⇒ ( 6a 2b − ) + ( 20ab − 20b ) = ⇔ ( ab − 1)( ab + 1) + 20b ( ab − 1) = ⇔ ( ab + 1) = −20b (vì ab ≠ ) −10 ⇔ ab + = b −4 Tương tự: ab + = a −10 −4  b a +1 = ab= Vậy:  3 2a = 5b A= A= b3 ab − ( ab + 1) = b3 ab − ( −b3 ) 1000 27 b b = = 1000 1000 a+ b b+ b 2015 3 Câu 4: (3,0 điểm) Theo đề ta có số phải tìm có từ chữ số trở lên Giả sử sau bỏ ba chữ số tận abc n ta số x thì: = n 103 x + abc Theo đề bài, ta= có: x 3 1000 x + abc ⇔ x= 1000 x + abc ⇔ x ( x − 1000 ) = abc Nếu x ≥ 33 vế trái lớn 33 (1089 − 1000 ) =33.89 = 2937 > abc Do abc số có ba chữ số nên x < 33 (1) sưu tầm tổng hợp zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 173 Website:tailieumontoan.com Nếu x ≤ 31 x ≤ 961 nên x ( x − 1000 ) < Lại có: abc > nên x > 31 ( ) Từ (1) ( ) suy x = 32 Thật vậy, với x = 32 32 (1026 − 1000 ) = abc hay abc = 768 Do đó: n= 103.32 + 768= 32768 Vậy số cần tìm 32768 Gọi năm số cần tìm a, b, c, d , e với a, b, c, d , e ∈  + Ta có: a = (b + c + d + e) b = ( a + c + d + e) (b + c + d + e) − ( a + c + d + e) ⇔ a − b = ( b − a )( a + b + 2c + 2d + 2e ) ⇔ ( a − b )( a + b + 2c + 2d + 2e + 1) = Suy ra: a − b = 2 a − b = ⇔  a + b + 2c + d + 2e + = Với a + b + 2c + 2d + 2e + = vơ lí a, b, c, d , e ∈  + Vậy a = b Tương tự ta có: a= b= c= d= e= Câu 5: 16 (3,0 điểm) = C = 72° Ta có: ∆ABC cân A nên B A = C = 36° Kẻ tia phân giác góc C cắt AB D nên C 36° = 36° nên ∆ADC cân D ∆ADC có A= C H Kẻ DH vng góc với AC Khi đó: AH vừa đường cao vừa D đường trung tuyến 72° x Đặt BC = cm, AH = x (cm) với x > = AC = x ; BD = x − ; AD = Ta có: AB AD CA Ta có: CD tia phân giác nên = BD CB 72° B 1 C  1+ x=  2x hay = ⇔ x ( x − 1) =1 ⇔  2x −1  1− x =  Ta loại x = Vậy 1− x > AB x + = = BC Câu 6: (3,5 điểm) sưu tầm tổng hợp zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 174 Website:tailieumontoan.com Trường hợp 1: Xét ∆ABC vng A A Ta có ∆ABC nội tiếp đường tròn tâm O với O trung điểm cạnh huyền BC B Vì sin = A sin= 90° C O ⇒ BC = R.sin A = R.1 = R (luôn đúng) Vậy BC = R.sin A A D Trường hợp 2: Xét ∆ABC với góc A nhọn Ta vẽ đường kính BD đường trịn ngoại tiếp ∆ABC tam O giác BCD vng C nên ta có BC = BD.sin D hay a = R.sin D  = BDC  hai góc nội tiếp chắn cung BC  Do Ta có BAC a C B a = R.sin A hay BC = R.sin A A Trường hợp 3: Xét ∆ABC với góc A tù C Ta vẽ đường kính BD đường trịn ngoại tiếp ∆ABC  Tứ giác ABDC nội tiếp đường tròn tâm O nên D = 180° −  A a B sin D sin (180° − A ) Do đó: = D O Ta lại có BC = BD.sin D hay BC = BD.sinA Vậy BC = R.sin A  = MBA  (tính chất góc tiếp tuyến dây cung) Ta có: IMN  = NAB  (tính chất góc tiếp tuyến dây cung) INM I  + NBA    + INM  Xét tứ giác IMBN , ta có: MBN = MBA = IMN  = 180° − MIN Suy tứ giác IMBN nội tiếp Các góc AMB ANB góc nội tiếp chắn cung AB cố định ( O ; R ) , ( O ; R ) nên  ANB không đổi AMB ,  1 A E F N K M O2 O1 B  không đổi  không đổi nên MIN  Suy ra: MBN = 180° − MBN Gọi R bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác MIN MN = R.sin MIN MN ⇒R= 2sin MIN Do R lớn MN lớn Gọi E , F hình chiếu vng góc O1O2 lên ( d ) , K hình chiếu vng góc O1 lên = 2= EF 2O1 K ≤ 2O1O2 O2 F thì: MN Dấu xảy EF // O1O2 hay ( d ) // O1O2 sưu tầm tổng hợp zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 175 Website:tailieumontoan.com Đề số 33 Câu 1: A= x+8 ( x) + 23 + x−2 x +4 ( x − 2) x−4 x −2 x+8 + + ( x + 2)( x − x + 4) x − x + ( x − 2)( x + 2) = x+8 x −2 + − ( x + 2)( x − x + 4) x − x + ( x − 2)( x + 2) = (vì ≤ x < nên ≤ = + x < 2) x + + ( x + 2) − ( x − x + 4) x+8 1 = + − ( x + 2)( x − x + 4) ( x + 2)( x − x + 4) x − x + x +2 x +6 = ( x + 2)( x − x + 4) x − x + Ta có : x − x + 4= ( x − 1) + ≥ ⇒ 0 ⇒ m>1 • Ta có : x1 + x2 =2, x1.x2 =3 − 2m x1 = x22 ⇒ x1 = x2 + 2m − ⇒ x1 + x2 = x2 + 2m − ⇒ x2 =− 2m ⇒ x1 = + 2m ⇒ x1.x2 =− (5 2m)(1 + 2m) −4m + 8m + ⇒ 9(3 − 2m) = ⇒= ⇒ 4m − 26m + 22 = m 1,= m 11 11 - chọn m = 2 Cách 2: Điều kiện : ∆’ >0 ⇒ 2m−2 >0 ⇒ m>1 • Ta có : x1 + x2 =2, x1.x2 =3 − 2m Để phương trình có nghiệm bình phương nghiệm cịn lại ( x1 − x22 )( x2 − x12 ) = ⇒ x1 x2 − ( x13 + x23 ) + x12 x22 = ⇒ x1 x2 − ( x1 + x2 )3 + x1 x2 ( x1 + x2 ) + x12 x22 = ⇒ x12 x22 + x1 x2 − =0 ⇒ x1 x2 =1, x1 x2 =−8 + x1 x2 = ⇒ − 2m = ⇒ m = (loai ) 11 + x1 x2 =−8 ⇒ − 2m =−8 ⇒ m = ( thỏa mãn ) Cách : • Điều kiện : ∆’ >0 ⇒ 2m−2 >0 ⇒ m>1 Phương trình có nghiệm x1 = + 2m − 2, x2 = − 2m − Để phương trình có nghiệm bình phương nghiệm cịn lại x1 = x22 ( không xảy trường hợp ngược lại x2 = x12 < x2 < 1, x12 > (!) ) ⇒ + 2m − = − 2m − + 2m − ⇒ (2m − 2) − 2m − = ⇒ 2m − = ∨ 2m − = 11 ⇒ m =1 ∨ m = - Chọn m = 11 b) Giải phương trình − x + − x = − x (1) sưu tầm tổng hợp zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 177 Website:tailieumontoan.com Cách 1: Điều kiện : −1 ≤ x ≤ (1) ⇔ − x + − x + x = 3−x Đặt (2) x a; + = x b (⇒ a,b ≥ 0) 1−= (2) viết lại: 2a + ab =4 − b ⇒ a (2 + b) = (2 + b)(2 − b) ⇒ a= − b ( 2+b>0 ⇒ 1− x + 1+ x = ⇒ x=0 ( Cô si – bình phương ) x=0 thỏa điều kiện ⇒ x=0 nghiệm phương trình cho Cách 2: Điều kiện : −1 ≤ x ≤ (1) ⇔ 2[ − x − (1 − x)] + [ − x − (1 + x)] = ⇔ − x (1 − − x ) + + x ( − x − + x ) = 1− x 1+ x −2 x x − )= + + x = ⇔ x( 1+ 1− x 1− x + 1+ x 1+ 1− x 1− x + 1+ x 1− x 1+ x ⇔x= ∨ = (*) 1+ 1− x 1− x + 1+ x (*) ⇔ − x = + x ⇔ + x − x =1 + x ⇔ x =0, x =3 (loai ) ⇔ − x Kết luận: x=0 nghiệm Câu 3: a) Chứng minh với số tự nhiên n ≥ (n+2)(n+1)(n+8) khơng thể lập phương số tự nhiên Ta có: (n+2)2< (n+2)(n+1)(n+8) < (n+4)3 (*) ⇔ n3+ 6n2+12n+8 < (n2+3n+2) (n+8)=n3+ 11n2+26n+16 < n3+ 12n2+48n+64 ( đúng) Giả sử có n∈N, n ≥ cho (n+2)(n+1)(n+8) lập phương số tự nhiên, đó, từ (*) suy ra: (n+2)(n+1)(n+8) =( n+3)3 ⇒ n3+ 11n2+26n+16 = n3+ 9n2+27n+27 = ⇒ 2n2 − n −11 =0 ⇒ n ± 89 ∉ N (!) Vậy ∀n ≥ 1, n ∈ N (n+2)(n+1)(n+8) khơng lập phương số tự nhiên b) Cho số nguyên tố p ( p > 3) hai số nguyên dương a, b thỏa mãn phương trình p + a = b2 Chứng minh a chia hết cho 12 2( p + a + 1) số phương Ta có: p + a = b ⇔ p = (b − a )(b + a ) Các ước p2 1, p p2 ; không xảy trường hợp b + a = b ‒ a = p Do xảy trường hợp b + a = p2 b ‒ a = p2 + p2 −1 = a Khi b = suy 2a = (p ‒1)(p + 1) 2 Từ p lẻ suy p + 1, p ‒1 hai số chẵn liên tiếp ⇒ (p ‒1)(p + 1) chia hết cho Suy 2a chia hết cho (1) Từ p nguyên tố lớn nên p khơng chia hết cho Do p có dạng 3k+1 3k+2 sưu tầm tổng hợp zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 178 Website:tailieumontoan.com Suy hai số p + 1; p ‒1 chia hết cho Suy 2a chia hết cho Từ (1) (2) suy 2a chia hết cho 24 hay a chia hết cho 12 (đpcm)  Xét ( p + a + 1) =2  p+  (2) p -1  +1 =2p+p +1= ( p+1) số phương  Câu 4: a)Chứng minh tứ giác KDCE nội tiếp đường tròn ba điểm K , E , F thẳng hàng A B K H E D C F (Khơng có hình vẽ khơng chấm bài)  = BAK  + Hai tam giác BKA BKC ⇒ BCK  = KDE  + Lại có A, B, H, D nằm đường tròn nên BAK  Do tứ giác KDCE nội tiếp đường tròn  = KDE Suy BCK + Trong tam giác BDF có BC DH hai đường cao Suy FE ⊥ BD (1)  = 900 nên EKD  = 900 hay EK ⊥ BD (2) Tứ giác KDCE nội tiếp đường tròn ECD Từ (1) (2) suy K, E, F thẳng hàng b) Khi E trung điểm cạnh BC , tính diện tích tứ giác BKEH Ta có ∆ BKE vuông cân, BK= KE = 1 SBKE = = BK KE = 2 2 DC 4 Xét ∆BHE ta có BH = BE sinE = sinE = 2.= 2= DE 5 16 HE2 =BE2 −BH2 = − = ⇒ HE = 5 SBHE = HE.BH = SBKEH = SBKE +SBHE = + = (cm2) 5 Câu 5: a/ Chứng minh tam giác AMP ANQ đồng dạng sưu tầm tổng hợp zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 179 Website:tailieumontoan.com (Khơng có hình vẽ khơng chấm bài) Tứ giác ABNP nội tiếp ⇒  ANB =  APB Tứ giác ABMQ nội tiếp ⇒  AQB =  AMB Suy ra: ∆ ANQ đồng dạng ∆ APM b/ Chứng minh: MB.NA2 = NB.MA2 AM tiếp tuyến , MBP cát tuyến (C2) –chứng minh MA2 = MB.MP Tương tự AN tiếp tuyến , NBQ cát tuyến (C1), ta có: NA2 = NB.NQ ⇒ MA2 MB MP (1) = NA2 NB NQ Để có (1), ta chứng minh MP =NQ ( AMP ANQ đồng dạng , chứng minh A M = AP ⇒ ∆ AMP = ∆ AQN Cần chứng minh A M = AP hay  APN =  ANB )    ( chắn cung AB (C2)) + Ta có = P ANB = MAB  = NAB  ( chắn cung NB (C2) ) + Ta có P = NAB AMB ( chắn cung AB (C1)) sưu tầm tổng hợp zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 180 Website:tailieumontoan.com +P = MAB + + Suy P AMB ⇒  APN =  ABP ( Góc ngồi tổng góc khơng kề nó) + Mặt khác  ABP =  ANP ( chắn cung AP (C2)) Suy ra:  APN =  ANP Ta có:  APN =  ANP ⇒ ∆ ANP cân N ⇒ AN= AP Tam giác AMP AQN đồng dạng kết hợp AN= AP ⇒ ∆ AMP = ∆ AQN ⇒ MP=NQ (2) Từ (1) (2) ⇒ MA2 MB = hay MB.NA2 = NB.MA2 NA NB Đề số 34 Bài 1.(4.0 điểm) 1/ ĐKXĐ: x ≥ 1 Đặt a = − ; b = x − ta có hpt x x x a + b = x2 − x + 2 ⇒ − − = − ⇔ = a x a x a ( )  2 2x a − b =1 − x x2 − x + 1 = − ⇔ x − x3 − x + x + =0 ⇔ x − x − + + =0 x x x 2x Do đó: 1 ⇔ ( x + ) − 2( x − ) − =0 x x Đặt t = x − 1 ⇔ t = x + − ta có pt: t − 2t + = ⇔ t = x x  1+ x1 =   Với t = x − = ⇔ x − x − = ⇔  x 1−   x2 = (loai ) Vậy pt có nghiệm x= 1+ 2/ Tự giải Bài 2.(4.0 điểm) sưu tầm tổng hợp zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 181 Website:tailieumontoan.com + xy + y 0(1) xy + y x = 2 x + 2= ⇔ ⇒ ( x + y ) + 2( x + y ) − =   2 2 1/= x y 8(2) x y + = +    x = +  x2 − x − =  x + y = y =2− x ⇔   x = − vào (1) ta được:  ⇔ ⇔  x + y =−4  y =−4 − x  x + 4x + =   x = −2 Vây hpt có ba nghiệm: (1 + ;1 − ), (1 − ;1 + ) (-2;-2) 2/ Tự giải Bài 3.(3.0 điểm) Phương trình: x − 2mx + m − = có hai nghiệm khơng âm  −m + ≥ −2 ≤ m ≤ ∆ ≥    ⇔  x1 + x2 ≥ ⇔ m ≥ ⇔ m ≥ ⇔ ≤m≤2  x x ≥  m2 −   m ≥ ∨ m ≤ −  ≥0  / Do ≤ x1 ≤ x2 nên x2 = Hay m + −m2 + Mà x1 + x2 = m nên x2 đạt GTLN ⇔ x2=m  m = 2(nhan ˆ ) m + −m2 + =m ⇔ m =2 ⇔   m = − 2(loai ) Vậy m = GTLN x2 Bài 4.(3.0 điểm) ( x − a )( x − b) + ( x − b)( x − c) + ( x − c)( x − a ) = ⇔ 3x2-2(a+b+c)+ab+bc+ca=0 ∆ ’=[-(a+b+c)]2-3(ab+bc+ca)=a2+b2+c2-ab-bc-ca Do phương trình có nghiệm kép nên ∆ ’=0 ⇔ a2+b2+c2-ab-bc-ca=0 a − b =  ⇔ 2a +2b +2c -2ab2-bc-2ca=0 ⇔ (a-b) +(b-c) +(c-a) =0 ⇔ b − c = ⇔ a = b = c c − a =  2 2 2 Vậy ABC nên Aˆ= Bˆ= Cˆ= 600 Bài 5.(2.0 điểm) sưu tầm tổng hợp zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 182 Website:tailieumontoan.com Nếu x,y,z chẵn x3,y3,z3 chẵn Nếu x,y,z lẻ x3,y3,z3 lẻ Suy x+y+z x3+y3+z3 tính chẵn, lẻ nên (x3+y3+z3)-( x+y+z) ln chẵn Do (x3+y3+z3)-( x+y+z)=2017 vơ lí Vậy không tồn số nguyên x, y, z thỏa mãn x + y + z = x + y + z + 2017 Bài 6.(4.0 điểm) Kẻ HK ⊥ AB K, C Ta có HK//AC (cùng ⊥ AB) ⇒ BH BK = (định lí Ta-let) HC KA Mà ∆ BHK vuông cân K nên BK=HK H ⇒ BH HK = (1) HC KA Mà ∆ AKH A Từ (1) (2) ⇒ M K B ⇒ ∆ CAM (g-g) HK MA MA = = = (2) KA AC AB BH = HC sưu tầm tổng hợp zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC ... giỏi toán tỉnh Gia Lai năm học 2018-20 19 17 Đề thi học sinh giỏi toán tỉnh Hà Nội năm học 2018-20 19 18 Đề thi học sinh giỏi toán tỉnh Hải Dương năm học 2018-20 19 19 Đề thi học sinh giỏi toán tỉnh... giỏi toán tỉnh Ninh Bình năm học 2018-20 19 10 Đề thi học sinh giỏi toán tỉnh Nam Định năm học 2018-20 19 11 Đề thi học sinh giỏi toán tỉnh Bắc Ninh năm học 2018-20 19 12 Đề thi học sinh giỏi toán. .. 2018-20 19 13 Đề thi học sinh giỏi toán tỉnh Đà Nẵng năm học 2018-20 19 14 Đề thi học sinh giỏi toán tỉnh Đắk Lắk năm học 2018-20 19 15 Đề thi học sinh giỏi toán tỉnh Đồng Nai năm học 2018-20 19 16 Đề