NGUYỄN TẤN TRƯỜNG SỞ GD&ĐT Thừa Thiên - Huế sưu tầm và giới thiệu ĐÁP ÁN Bài 1... Gv: Phạm Doãn Lê Bình.[r]
(1)Gv: Phạm Doãn Lê Bình lebinh234.name.vn ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP TỈNH THỪA THIÊN - HUẾ - năm 20121 (Thời gian làm bài: 150 phút) q q p p x − 4(x − 1) + x + 4(x − 1) p Bài (2,5 điểm) Cho biểu thức Q = · 1− x−1 x2 − 4(x − 1) 1) Rút gọn biểu thức Q 2) Tính giá trị Q x = 2013 Bài (4 điểm) Cho phương trình x2 − 2(m − 1)x + 2m − = (1) 1) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm dương 2) Gọi x1 , x2 là hai nghiệm phương trình (1) 2 2 x1 x2 Tìm m nguyên dương để A = + có giá trị nguyên x2 x1 √ √ 1 + 3x + = + x + 2 (x − 1) x √ √ √ 2) Tìm tất các cặp số nguyên (x; y) cho x < y và x + y = 2012 Bài (4 điểm) 1) Giải phương trình Bài (5 điểm) Cho hai đường tròn (O; R) và (O0 ; R0 ) (R > R0 ) cắt A và B Một tiếp tuyến chung tiếp xúc với đường tròn (O) C, tiếp xúc với đường tròn (O0 ) D Gọi I là giao điểm AB và CD, B là điểm đối xứng B qua I; C là điểm đối xứng B qua CD Qua A kẻ cát tuyến song song với CD cắt đường tròn (O) P , cắt đường tròn (O0 ) Q Gọi M ; N là giao điểm DB, CB với P Q 1) Chứng minh A là trung điểm M N 2) Chứng minh năm điểm A, C, B , C , D cùng nằm trên đường tròn Bài (2,5 điểm) Cho đường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC, cạnh BC tiếp xúc với đường tròn (O) D Chứng minh tam giác ABC vuông A thì SABC = BD.DC Bài (2 điểm) Tìm số tự nhiên n để 2012 + n2 là số chính phương NGUYỄN TẤN TRƯỜNG (SỞ GD&ĐT Thừa Thiên - Huế) sưu tầm và giới thiệu ĐÁP ÁN Bài 1)√ĐK: < x 6= 2.√ x−1−1 + x−1+1 x−2 · Q= |x − 2| x−1 Khi < x < thì Q = 1−x Khi x > thì Q = √ x−1 √ 503 2) Do x = 2013 > nên Q = √ = 503 2013 − 1 Báo Toán học & Tuổi trẻ số 422, tháng năm 2012 (2) Gv: Phạm Doãn Lê Bình lebinh234.name.vn Bài 1) Ta có ∆0 = (m − 2)2 + > ∀m nên phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 (x1 < x2 ) với m Để phương trình có nghiệm dương thì x1 ≤ < x2 < x1 < x2 ⇔ m ≤ m > ⇔ ∀m ∈ R x4 + x42 ((x1 + x2 )2 − 2x1 x2 )2 − 2(x1 x2 )2 2) A = = (x1 x2 )2 (x1 x2 )2 2 (4m2 − 12m + 14)2 = − = 2m − + −2 (2m − 5)2 2m − Để A nguyên thì (2m − 5) ⇔ 2m − ∈ {±1, ±3, ±9} Vậy m ∈ {1; 2; 3; 4; 7} Bài ĐK x 6= 0, x 6= và x ≥ − (*) Biến đổi PT thành √ √ 1 1 √ =0 − = x + − 3x + ⇔ (2x − 1) +√ (x − 1)2 x2 (x − 1)2 x2 x + + 3x + 1 ⇔ 2x − = ⇔ x = (thỏa mãn (*)) 2) ĐK:√0 ≤ x < y và√x, y ∈ N √ √ √ √ Ta có x + y = 503 đó x = a 503, y = b 503 với a, b ∈ N, a + b = 2, a < b Do đó a = 0; b = Vậy (x; y) = (0; 2012) Bài (h.1) 1) Vì P Q//CD, theo Hệ định lí BI DI BI CI = ; = Thales ta có AN BA AM BA CI DI ⇒ = (1) AN AM Ta có ∆ACI v ∆CBI (g.g) ⇒ CI = AI.BI (2) Tương tự DI = AI.BI (3) Từ (2) và (3) ta có CI = DI Từ (1) ta có AM = AN (đpcm) 2) Từ Câu thì tứ giác BCB D là hình bình D (4) Mặt khác \ = CB \ hành Do đó CBD Hình \ = CAI [ + DAI [ CAD [ [ \ + CDB \ = BCI + BDI = BCD D = BCD \ + CB \ \ + CDB \ + CBD \ = 180o (5) ⇒ CAD nên tứ giác ACB D nội tiếp (6) D (7) \ = CC \ Mặt khác, C là điểm đối xứng B qua CD, suy CBD D = 180o , nên tứ giác ACC D nội tiếp (8) \ + CC \ Từ (4), (5) và (7) ta có CAD Từ (6) và (8) ta có điểm A, C, B , C, D cùng nằm trên đường tròn Bài (h.2) Đặt AB = c, AC = b, BC = a Đường tròn (O) tiếp xúc AC, AB thứ tự E, F 2BD = BD + BF = (BC − DC) + (AB − AF ) = (BC + AB) − (DC + AF ) = (BC + AB) − (CE + AE) = BC + AB − CA = a + c − b ⇒ 2DB = a − (b − c) Tương tự 2DC = a + (b − c) Hình (3) Gv: Phạm Doãn Lê Bình lebinh234.name.vn Suy 4DB.DC = a2 − (b2 + c2 ) + 2bc (1) 1 Nếu tam giác ABC vuông A thì a2 = b2 + c2 và SABC = AB.AC = b.c (2) 2 bc Từ (1) và (2) suy DB.DC = = SABC (đpcm) Bài Giả sử 2012 + n2 = m2 (m, n ∈ N; m > n) Suy (m + n)(m − n) = 2012 Nhận thấy m + n + m − n = 2m nên hai số m + n và m −n cùng tính chẵn lẻ m + n = 1006 m = 504 Suy m + n và m − n chẵn, m + n > m − n Do đó ⇔ m−n=2 n = 502 Vậy số cần tìm n = 502 (4)