Khoang cach trong khong gian

Bên cạnh giúp các em giải quyết các bài toán cơ bản về khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song với nó, hai mặt phẳng song song, kho[r]

1 MỤC LỤC Trang Mở đầu Chương I 1.1 Cơ sở lí luận Tư và đặc trưng tư 1.1.1 Tư là gì 1.1.2 Đặc trưng tư 1.2 Tư tích cực, tư sáng tạo và mối quan hệ chúng 1.2.1 Tư tích cực là gì .8 1.2.2 Tư sáng tạo là gì 1.2.3 Mối quan hệ tư tích cực và tư sáng tạo 1.3 Một số biện pháp bồi dưỡng tư sáng tạo cho học sinh 10 1.4 Dạy học theo hướng phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo cho học sinh 10 1.5 Tiềm phát huy tính tích cực, sáng tạo thông qua dạy bài tập khoảng cách 13 CHƯƠNG II PHÁT HUY TÍNH TÍCH CỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY BÀI TẬP KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN 16 2.1 Đặc điểm bài tập khoảng cách hình học phổ thông .16 2.2 Một số khó khăn mà học sinh thường gặp giải bài tập khoảng cách không gian 17 2.3 Phương pháp chung để giải bài toán 18 2.4 Xây dựng và xếp các bài tập khoảng cách có tính hệ thống để phát huy tính tích cực, tư sáng tạo cho học sinh .23 2.4.1 Một số khái niệm khoảng cách không gian 23 2.4.2 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng 26 2.4.3 Một số bài tập tính khoảng cách hai đường thẳng chéo 56 KẾT LUẬN 61 TÀI LIỆU THAM KHẢO 62 MỞ ĐẦU I.LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Sự phát triển khoa học công nghệ thời đại ngày và thành tựu phát triển kinh tế - xã hội đã đặt yêu cầu cần phải tiếp tục xem xét mục tiêu, nội dung, phương pháp dạy học Vì Bộ GD và ĐT có quy định: “Phương pháp GD phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo người học, bồi dưỡng lực tự học, tự say mê học tập và ý chí vươn lên (luật GD năm 1998)” Đồng hành cùng phát triển xã hội và thực theo mục tiêu mà Bộ GD đề ra, nhà trường đã nhanh chóng bước đổi phương pháp dạy và học hướng tới đào tạo hệ học sinh thành người lao động tích cực, chủ động, sáng tạo bắt nhịp với xu phát triển toàn cầu hóa Mục tiêu đó chủ yếu thực thông qua hoạt động giáo dục và giảng dạy nhà trường phổ thông Trong giảng dạy thì hoạt động chủ đạo và thường xuyên học sinh là hoạt động giải bài tập, thông qua đó hình thành kỹ kỹ xảo đồng thời rèn luyện trí tuệ Vì nó quan tâm nhiều dạy học Chủ đề khoảng cách không gian trình bày cụ thể và chú trọng, nhiên bài tập vấn đề này đã gây không ít khó khăn, vướng mắc cho người học toán Trí tưởng tượng không gian, khả vẽ hình biểu diễn, biết liên hệ, xâu chuỗi kiến thức góp phần định việc tìm lời giải bài tập hình học Nhưng bài toán khoảng cách còn đòi hỏi có nhạy cảm, linh hoạt để xác định và đến lời giải cụ thể Đó là tiềm lớn để phát triển trí tuệ cho học sinh giải các bài toán khoảng cách Với học sinh việc giải bài tập khoảng cách đã nhiều thời gian thì với giáo viên việc phát triển tư duy, sáng tạo thông qua các bài tập đó lại càng nhiều thời gian và công sức Chính khó khăn đó đã cản trở đến quá trình truyền thụ kiến thức và phát triển trí tuệ cho hoc sinh hoạt động giảng dạy Thiết nghĩ, xếp các bài tập khoảng cách có tính hệ thống thì giúp học sinh tự tin giải bài tập hình học không gian, đồng thời tạo điều kiện thuận lợi để phát huy tính tích cực, tư sáng tạo cho các em Từ lí trên tôi chọn đề tài “phát huy tính tích cực, tư sáng tạo cho học sinh thông qua dạy bài tập khoảng cách không gian” II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Xây dựng, xếp các bài tập khoảng cách có tính hệ thống, thông qua đó để phát huy tính tích cực, tư sáng tạo cho học sinh III NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU +Tìm hiểu khái niệm, cấu trúc tư tích cực, tư sáng tạo +Xây dựng và định hướng khai thác hệ thống bài tập tìm khoảng cách +Tiến hành thực nghiệm sư phạm nhằm đánh giá tính khả thi và hiệu đề tài IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU + Phương pháp nghiên cứu lí luận + Phương pháp nghiên cứu thực nghiệm V NỘI DUNG ĐỀ TÀI MỞ ĐẦU CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÍ LUẬN 1.1 Tư và đặc trưng tư 1.2 Tư tích cực, tư sáng tạo và mối quan hệ chúng 1.3 Một số biện pháp bồi dưỡng tư sáng tạo cho học sinh 1.4 Dạy học theo hướng phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo cho học sinh 1.5 Tiềm phát huy tính tích cực, sáng tạo cho học sinh thông qua dạy bài tập khoảng cách CHƯƠNG II: PHÁT HUY TÍNH TÍCH CỰC, TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY BÀI TẬP KHOẢNG CÁCH 2.1 Đặc điểm bài tập khoảng cách hình học phổ thông 2.2 Một số khó khăn mà học sinh thường gặp giải bài tập khoảng cách không gian 2.3 Phương pháp chung để giải bài toán 2.4 Xây dựng và xếp các bài tập khoảng cách có tính hệ thống để phát huy tính tích cực, sáng tạo cho học sinh 2.4.1 Một số khái niệm khoảng cách không gian 2.4.1 Khoảng từ điểm đến mặt phẳng 2.2.4 Một số bài tập tính khoảng cách hai đường thẳng chéo KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO CHƯƠNG I CƠ SỞ LÍ LUẬN 1.1 TƯ DUY VÀ ĐẶC TRƯNG CƠ BẢN CỦA TƯ DUY 1.1.1 Tư là gì? Theo từ điển triết học: “Tư duy, sản phẩm cao cái vật chất tổ chức cách đặc biệt là não, là quá trình phản ánh tích cực giới khách quan các khả năng, phán đoán, lý luận …Tư xuất quá trình hoạt động sản xuất người và bảo đảm phản ánh thực cách gián tiếp, phát mối liên hệ hợp quy luật thực tại” 1.1.2 Đặc trưng tư +Tính có vấn đề tư +Tính khái quát tư +Tư người có quan hệ mật thiết với ngôn ngữ: ngôn ngữ xem là phương tiện tư duy, diễn biến quá trình tư nhờ tham gia hệ thống tín hiệu thứ hai(ngôn ngữ)mà người tiến hành các thao tác tư duy, cuối cùng sản phẩm quá trình tư là khái niệm, phán đoán, suy lý biểu đạt từ, ngữ, câu… +Tư có quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính: Tư và nhận thức cảm tính thuộc mức độ nhận thức khác không tách rời nhau, có quan hệ chặt chẽ bổ sung cho nhau, chi phối lẫn hoạt động nhận thức thống và biện chứng Tư toán học hiểu thứ là hình thức biểu lộ tư biện chứng quá trình người nhận thức khoa học, toán học hay quá trình áp dụng toán học vào các khoa học khác kỹ thuật, kinh tế quốc dân…Thứ hai tư toán học có các tính chất đặc thù quy định chất toán học, áp dụng các phương pháp toán học để nhận thức các tượng giới thực chính các phương thức chung tư mà nó sử dụng 1.2 TƯ DUY TÍCH CỰC, TƯ DUY SÁNG TẠO VÀ MỐI QUAN HỆ GIỮA CHÚNG 1.2.1 Tư tích cực là gì? Là loại tư dựa vào tính tích cực nhận thức học sinh quá trình học tập Tính tích cực là trạng thái hoạt động học sinh đặc trưng khát vọng học tập, cố gắng trí tuệ và nghị lực cao quá trình nắm vững kiến thức(theo Kharlanop) Theo Shukina GL tính tích cực có thể phân thành loại: Tính tích cực tái bắt chước, tính tích cực tìm tòi và tính tích cực sáng tạo 1.2.2 Tư sáng tạo là gì? Sáng tạo hiểu theo từ điển Việt Nam là làm cái chưa làm là tìm tòi làm tốt việc gì đó mà không bị gò bó Tư sáng tạo là quá trình tìm cách nhận thức, phát quy luật vật, có ý thức luôn tìm cái để hiểu chất vật tượng tìm nguyên nhân, ngăn chặn, loại bỏ cái xấu và phát triển cái tốt Như tư sáng tạo là thuộc tính chất người để tồn và phát triển điều tốt đẹp, các loại hình tư nhằm phản ánh thực thì tư sáng tạo là loại hình tư độc lập tạo ý tưởng độc đáo và hiệu quả, phát nội dung mới, tìm hướng và tạo kết 1.2.3 Mối quan hệ tư tích cực và tư sáng tạo Bàn mối quan hệ các khái niệm tư tích cực, tư sáng tạo thì VAKrutexki cho có thể biểu diễn dạng đường tròn đồng tâm Đó là các mức độ tư khác mà tư tích cực có vai trò là tiền đề Quá trình từ tư tích cực đến tư sáng tạo thông qua tư độc lập Như tư sáng tạo luôn có tư tích cực và tư độc lập Ví dụ học sinh chăm chú theo dõi việc giải bài tập và cố gắng hiểu các bước giải thì ta nói đây là tư tích cực, tư độc lập thể việc học sinh tự mình phát vấn đề tự mình xác định phương 10 hướng, tìm cách giải quyết, tự mình kiểm tra và hoàn thiện kết đạt Trên các kết đó học sinh tự khám phá tìm cách chứng minh, lời giải mà nó chưa biết thì đây là tư sáng tạo 1.3 MỘT SỐ BIỆN PHÁP BỒI DƯỠNG TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH Theo các tác giả Isen và Barron việc bồi dưỡng trí sáng tạo cần: Phát triển cái phong phú rộng rải Bồi dưỡng tính độc lập Khuyến khích tò mò ham hiểu biết Theo tác giả Trần Thúc Trình, “tư và hoạt động toán” đã nêu các biện pháp sau để phát triển lực sáng tạo cho học sinh: Bồi dưỡng tư sáng tạo cho học sinh cần kết hợp hữu với các hoạt động trí tuệ khác Bồi dưỡng tư sáng tạo cho học sinh cần đặt trọng tâm vào việc bồi dưỡng lực phát vấn đề Chú trọng bồi dưỡng yếu tố cụ thể tư sáng tạo và trang bị cho học sinh phương tiện, thủ pháp các hoạt động nhận thức Qúa trình bồi dưỡng tư sáng tạo là quá trình lâu dài, cần tiến hành qua các lớp tất các khâu quá trình dạy học 11 Vận dụng tối đa phương pháp dạy học giải vấn đề qua các lên lớp 1.4 DẠY HỌC THEO HƯỚNG PHÁT HUY TÍNH TÍCH CỰC, CHỦ ĐỘNG, SÁNG TẠO CHO HỌC SINH Trong thời đại khoa học bùng nổ thông tin nay, đĩa CDROM có thể lưu giữ thông tin 100 đến 500 sách giá chưa đầy 10 ngàn đồng; các đĩa vi tính thay cho hàng nghìn hàng vạn hàng triệu sách cách gọn gàng và thuận lợi vô cùng; công nghệ thông tin cho phép người học có thể học nơi, lứa tuổi thì nhà trường phải sớm phấn đấu thực có phương pháp dạy học thích hợp, phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo người học Sự phát triển khoa học công nghệ thời đại ngày và thành tựu phát triển kinh tế-xã hội đã đạt yêu cầu cần phải tiếp tục xem xét mục tiêu, nội dung và phương pháp dạy học Lâu các phương pháp dạy học dường chủ yếu tập trung vào giáo viên, các phương pháp dạy học tích cực tập trung vào học sinh mang tính hình thức, thiếu đồng và mang tính hiệu Vì lẽ đó xu hướng đổi phương pháp dạy học trường THPT nay, vấn đề đổi phương pháp dạy học theo hướng phát huy cao độ tính tích cực, chủ động, sáng tạo học sinh có ý nghĩa mặt lí luận lẫn thực tiễn 12 Tính tích cực học sinh quá trình học tập là yếu tố bản, có tính định đến chất lượng và hiệu học tập Mục tiêu đổi phương pháp dạy học, xét đến cùng phải hướng tới việc phát huy tính tích cực nhận thức học sinh Vấn đề cốt lõi là đặt học sinh vào vị trí trung tâm quá trình dạy học Trong quá trình dạy học người thầy biết sử dụng phối hợp các phương pháp dạy học cách hiệu nhằm phát huy cao độ vai trò nội lực học sinh Phương pháp dạy học nêu vấn đề, phương pháp thực hành, phương pháp làm việc theo nhóm, phương pháp tình chuẩn bị tốt thực kích thích tính chủ động tích cực học sinh Ngày quá trình dạy học, người ta nhấn mạnh vai trò học sinh nỗ lực tạo chuyển biến từ học tập thụ động sang học tập tích cực, chủ động và sáng tạo Nếu học sinh chủ động học tập thì khơi dậy tiềm vốn có nó, làm cho kết học tập nâng cao không ngừng, đồng thời giúp học sinh sớm thích ứng với đời sống cộng đồng Theo hướng đó cần phải thiết kế hoạt động dạy có tính đến quy luật hoạt động học trên quan điểm dạy và học là hai mặt thống biện chứng quá trình dạy học Hoạt động dạy và học đan xen, thâm nhập vào nhau, quy định lẫn Sự tác động qua lại hoạt động dạy và hoạt động học chính là hoạt động cùng nhau, hoạt động hợp tác người dạy và người học Muốn đổi phương pháp dạy học để phát huy tính tích cực chủ động sáng tạo học sinh cần phải: 13 - Tạo môi trường tâm lí thuận lợi, thoải mái cho học sinh quá trình học Sự căng thẳng, gò bó làm hạn chế khả tiếp nhận và chuyển hoá thông tin Muốn học cần có khởi đầu tốt, tạo tâm cho học sinh việc lĩnh hội tri thức Sự phong phú phương pháp, phương tiện và hình thức dạy học tránh mệt mỏi, nhàm chán học sinh - Giúp học sinh hiểu và có thủ thuật ghi nhớ chắn kiến thức, khái niệm khoa học Trực quan hóa tài liệu học tập, sử dụng mô hình, biểu bảng cùng với việc gắn nội dung dạy học với thực tiễn sinh động làm cho học sinh dễ hiểu hơn, dễ nhớ và nhớ lâu - Giúp học sinh phát triển khả tư độc lập, chủ động tìm tòi và sáng tạo Muốn phải biết dẫn dắt học sinh vào các tình có vấn đề Tính có vấn đề dạy học thực có hiệu phương pháp dạy học nêu vấn đề Lẽ thường nghệ thuật khai thác hợp lí hệ thống câu hỏi phát vấn giáo viên góp phần tạo nên giảng hấp dẫn, sinh động Hệ thống câu hỏi bài giảng phải luôn luôn thay đổi, biến hoá, tránh lặp lại, đơn điệu Những câu hỏi rập khuôn, sáo mòn kìm hãm phát triển trí tuệ, câu hỏi gợi mở thông minh, sáng tạo kích thích khả và độ sâu tư học sinh Vấn đề là phải biết dẫn dắt người học vào tình có vấn đề day học, biết đánh thức tiềm sáng tạo, kích thích nhu cầu, hứng thú học tập học sinh, là phải biết truyền đạt có kết 14 cái mà học sinh cần lĩnh hội, vừa biết dạy học sinh cách học và cao là tự học 1.5 TIỀM NĂNG PHÁT HUY TÍNH TÍCH CỰC, TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY BÀI TẬP KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN Hình học phổ thông đã trình bày “khoảng cách” hình học phẳng và hình học không gian, chúng có mối quan hệ mật thiết với Hình học không gian ngoài hai đối tượng là điểm và đường thẳng (như hình học phẳng) còn có mặt phẳng Do đó hình học không gian có thêm nhiều mối quan hệ điểm đường thẳng, điểm với mặt phẳng, mặt phẳng với mặt phẳng Vì muốn giải các bài tập khoảng cách đòi hỏi học sinh phải có khả tưởng tượng không gian, khả vẽ hình biểu diễn và biết xâu chuỗi liên hệ các kiến thức lại với Quan trọng không kém là khả biết vẽ thêm các đường, chọn điểm đặc biệt cho phù hợp, thuận lợi bài tập Đó là lí vì bài tập “khoảng cách” chứa đựng tiềm lớn việc phát huy tính tích cực tư sáng tạo cho học sinh Dạy bài tập “khoảng cách không gian” giúp học sinh: + Rèn luyện các thao tác vẽ hình biểu diễn, trí tưởng tượng không gian, mở đầu cho các ý tưởng vẽ thêm các đường, chọn điểm - yếu tố định tạo lời giải độc đáo cho bài toán 15 + Có khả sáng tạo các bài toán tương tự và giải các bài toán đó nhanh chóng + Rèn luyện tư độc lâp, rèn luyện tính linh hoạt và phê phán tư + Có khả vẽ hình tốt tạo nên hứng thú học không gian từ đó tích cực hoạt động giải bài tập Đó là tiền đề cho phát triển tư sáng tạo học sinh + Có khả phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa…các yếu tố trên hình vẽ, giả thiết bài toán 16 CHƯƠNG II PHÁT HUY TÍNH TÍCH CỰC, TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY BÀI TẬP KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN 2.1 ĐẶC ĐIỂM CỦA BÀI TẬP KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN Đặc điểm hình học không gian là môn học trừu tượng, là môn toán học nghiên cứu các tính chất các hình không gian Chủ đề quan trọng đề cập cách chi tiết là khoảng cách Cụ thể là khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, khoảng cách từ điểm dến mặt phẳng, khoảng cách đường thẳng và mặt phẳng song song với nó, khoảng cách hai mặt phẳng song song, khoảng cách hai đường thẳng chéo Vì bài tập khoảng cách không gian đa dạng và phong phú Khoảng cách hình học không gian mang tính trừu tượng nói đến khái niệm nào đó khoảng cách thì ta có hình ảnh cụ thể nó thực tế Ví dụ khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng ta có thể hình dung độ dài đoạn tính từ điểm thả viên phấn rơi đến điểm nó chạm sàn nhà là khoảng cách từ điểm (thả viên phấn) đến mặt phẳng (sàn nhà) 17 Từ đặc điểm này ta thấy các kiến thức khoảng cách mặc dù trừu tượng không xa lạ mà ngược lại gần gủi với thực tế Thông qua việc liên tưởng các hình ảnh cụ thể thực tế học sinh phát huy trí tưởng tượng không gian, tức là ta đưa học sinh từ trực quan sinh động đến tư trừu tượng Đó là sở để xác định, giải các bài toán tìm khoảng cách 2.2 MỘT SỐ KHÓ KHĂN HỌC SINH THƯỜNG GẶP KHI GIẢI BÀI TẬP KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN Hình học không gian là nối tiếp hình học phẳng, khoảng cách không gian nằm cái chung đó Do vậy, trước học khoảng cách không gian ta phải nắm vững các khái niệm, định lí liên quan với nó hình học phẳng Đối với học sinh yếu hình học phẳng thì gặp khó khăn giải các bài tập khoảng cách không gian Một vấn đề quan trọng việc giải bài tập khoảng cách là học sinh phải biết vẽ các hình biểu diễn, xác định hình chiếu điểm lên đường thẳng, hình chiếu điểm lên mặt phẳng…Đây là vấn đề gây nhiều khó khăn cho hoc sinh Khoảng cách không gian và hình học phẳng có mối liên hệ khăng khít Ví dụ khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, khoảng cách hai đường thẳng song song giữ nguyên chuyển sang hình học không gian Tuy nhiên có nhiều tính chất, khái niệm mở rộng 18 không gian khoảng cách đường thẳng và mặt phẳng song song với nó, khoảng cách hai mặt phẳng song song, hai đường thẳng chéo làm học sinh khó hình dung và gặp khó khăn việc xác định và tính toán Khoảng cách là chủ đề gây nhiều khó khăn cho việc tiếp thu học sinh truyền thụ giáo viên Tuy nhiên ta biết xếp, xâu chuỗi các kiến thức để phát huy tính tích cực học sinh, tạo hứng thú cho học sinh giải các bài toán khoảng cách thì tình trạng trên khắc phục cách đáng kể 2.3 PHƯƠNG PHÁP CHUNG ĐỂ GIẢI MỘT BÀI TẬP TOÁN Ta đã biết dạy toán là dạy hoạt động toán học, đó giải toán là hoạt động chủ yếu Giải toán giúp học sinh nắm vững tri thức, hình thành kỹ kỹ xảo, phát triển tư tích cực, độc lập sáng tạo Nghiên cứu hoạt động phát triển trí tuệ người, người ta đã rút nhận xét : “Có hai phạm trù khác ý nghĩ: Phạm trù thứ bao gồm cái chúng ta sản sinh cách tích cực hành vi, tư duy, suy ngẫm Phạm trù thứ hai gồm cái tự phát lóe lên ý thức chúng ta” Vì việc giải toán nói chung, dạy bài tập tìm khoảng cách nói riêng phải cung cấp hệ thống tri thức, kỹ giải bài tập từ đó kích thích 19 hoạt động tích cực học sinh Đồng thời thông qua hoạt động hướng dẫn làm lóe lên ý tưởng giải toán, đó là sở để học sinh có phát kiến mới, nói cách khác tư sáng tạo học sinh có điều kiện phát triển lên cao Theo “sáng tạo toán học” PÔLIA(1975) phương pháp chung để giải bài tập toán gồm bước sau: Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài Bước 2: Tìm cách giải Bước 3: Trình bày lời giải theo trình tự các bước thích hợp Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải Ta có thể xét ví dụ cụ thể sau: Chứng minh tổng các khoảng cách từ điểm bất kì nằm tam giác tới cạnh tam giác đó là số Ta giải bài toán theo bước cụ thể A K H M B I' Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài I C 20 Để hiểu nội dung đề bài ta phát biểu bài toán cách cụ thể: “Cho tam giác ABC, gọi M là điểm nằm tam giác đó Hình chiếu vuông góc M lên các cạnh AB, BC, CA là H, I, K Chứng minh MH + MI + MK không đổi M di chuyển tam giác ABC” Bước 2: Tìm cách giải Việc giải bài toán dễ ta xác định số MH + MI + MK Muốn vậy, ta có thể đặc biệt hóa cách lấy M trùng điểm A, I tới vị trí I’ Khi đó: MH + MI + MK = + AI’ + = AI’ Như số cần tìm là độ dài đường cao h tam giác ABC Ta đưa bài toán chứng minh : MH + MI + MK = h Để chứng minh tổng MH + MI + MK = h ta nghĩ tới đặt đoạn thẳng này liên tiếp trên đường thẳng nào đó để tạo thành đoạn thẳng có độ dài h, điều này khó thực M di chuyển tam giác ABC Hướng khác có thể biểu thị h qua đại lượng không đổi khác S(diện tích), cạnh tam giác đều,…Ta nghĩ đến biểu thức: S Δ MAB+ S Δ MBC + S Δ MCA =S Δ ABC 1 1 a MH+ a MI+ a MK= a h 2 2 Hay 1  a (MH+ MI+ MK)= a h 21 Do đó MH + MI + MK = h (*) Để kiểm tra lời giải trước hết ta thử M vị trí khác chẳng hạn M là giao điểm đường cao thì đẳng thức (*) có đúng không? Do MH = MI = MK = h nên ta có (*) đúng Bước 3: Trình bày lời giải Gọi M là điểm bất kì tam giác ABC, hình chiếu M lên AB, BC, CA là H, I, K Cạnh và đường cao tam giác đó là a và h Ta có: S Δ MAB+ S Δ MBC + S Δ MCA =S Δ ABC Hay  1 1 a MH+ a MI+ a MK= a h 2 2 1 a (MH+ MI+ MK)= a h 2 Do đó MH + MI + MK = h Đẳng thức này chứng tỏ tổng MH + MI + MK không đổi M di chuyển tam giác ABC Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải Từ bài toán này ta có thể phát biểu và giải bài toán khái quát mở rộng sau đây: 22 Mở rộng bài toán trường hợp đa giác đều: “ Chứng minh tổng các khoảng cách từ điểm bất kì đa giác tới các cạnh đa giác đó là số” Mở rộng bài toán cho trường hợp tứ diện đều: “Chứng minh tổng các khoảng cách từ điểm bất kì nằm tứ diện tới các mặt tứ diện đó là số” Như quá trình học sinh học phương pháp chung để giải toán là quá trình biến tri thức phương pháp tổng quát thành kinh nghiệm giải toán thân mình thông qua việc giải hàng loạt các bài toán cụ thể Từ phương pháp chung giải toán tới cách giải bài toán cụ thể, áp dụng vào trường hợp định là chặng đường đòi hỏi phải có lao động tích cực người học sinh đó có nhiều yếu tố sáng tạo Theo PÔLIA thì “tìm cách giải bài toán là phát minh” Chủ đề “khoảng cách không gian” chứa đựng nhiều tiềm to lớn việc phát huy tính tích cực, tư sáng tạo cho học sinh Bên cạnh giúp các em giải các bài toán khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, khoảng cách đường thẳng và mặt phẳng song song với nó, hai mặt phẳng song song, khoảng cách hai đường thẳng chéo thì người giáo viên cần xây dựng hệ thống bài tập trên sở bài tập bản, tạo hội cho học sinh phát triển lực sáng tạo mình Phục vụ mục 23 đích đó, khóa luận đưa số bài tập tính khoảng cách nhằm phát triển tính tích cực, tư sáng tạo cho học sinh 2.4 XÂY DỰNG VÀ SẮP XẾP CÁC BÀI TẬP KHOẢNG CÁCH CÓ TÍNH HỆ THỐNG ĐỂ PHÁT HUY TÍNH TÍCH CỰC, SÁNG TẠO CHO HOC SINH 2.4.1 Một số khái niệm khoảng cách không gian + Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng O H  Cho điểm O và mặt phẳng() Gọi H là hình chiếu vuông góc O lên mặt phẳng ( Khi đó khoảng cách điểm O và H gọi là khoảng cách từ điểm O đến mp( + Khoảng cách đường thẳng và mặt phẳng song song a  A A' O H 24 Định nghĩa: Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (), khoảng cách đường thẳng a và mặt phẳng () là khoảng cách từ điểm bất kì a đến mp() + Khoảng cách mặt phẳng song song A  A'  Định nghĩa: Khoảng cách mặt phẳng song song là khoảng cách từ điểm bất kì mặt phẳng này đến mặt phẳng + Khoảng cách đường thẳng chéo Định nghĩa  a Đường vuông góc chung : Đường thẳng  cắt đường thẳng chéo a, b và vuông góc với M đường thẳng gọi là đường vuông góc chung b đường thẳng a và b Khoảng cách đường thẳng chéo nhau: N 25 Nếu đường vuông góc chung  cắt đường thẳng chéo a và b M và N thì độ dài đoạn thẳng MN gọi là khoảng cách đường thẳng chéo a và b Nhận xét + Khoảng cách đường thẳng chéo M a khoảng cách hai b đường thẳng đó và mặt phẳng song song a'  N với nó chứa đường thẳng còn lại + Khoảng cách hai đường thẳng chéo a M  khoảng cách hai mặt phẳng b song song chứa hai đường thẳng đó  N Qua các định nghĩa và nhận xét vừa nêu ta rút kết luận: Bài toán tìm khoảng cách đường thẳng song song với mặt phẳng, hai mặt phẳng song song, khoảng cách hai đường thẳng chéo đưa bài toán tìm khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Nếu muốn làm tốt các bài tập khoảng cách khác thì trước tiên và trọng điểm là giúp học sinh giải các bài toán tìm khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Trên ý tưởng này khoá luận sâu vào xây dựng hệ thống các bài toán tìm khoảng cách từ 26 điểm đến mặt phẳng đồng thời thông qua việc giải các bài tập đó để phát huy tính tích cực, tư sáng tạo cho học sinh 2.4.2 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Sau đây ta xây dựng các bài tập khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng có tính hệ thống nhằm phát huy tính tích cực, tư sáng tạo cho học sinh E A Bài toán 1: M H P  Cho mặt phẳng () và điểm A không nằm mặt phẳng đó, M là điểm bất kì nằm trên mp() Xét các điểm E nằm trên đường thẳng qua AM ME cho MA =k Khi đó khoảng cách từ điểm A đến mp() và khoảng cách từ điểm E đến mp( có mối quan hệ nào? Sau đây ta giải câu hỏi đặt đồng thời xây dựng số bài tập có tính hệ thống nhằm phát triển tư cho học sinh dựa trên kết bài toán này VẤN ĐỀ I: Xét các điểm A và E nằm cùng phía với mp( Kết bài toán nào trường hợp điểm E nằm trên tia MA? Ta xét ví dụ sau: 27 Ví dụ 1.1 Cho mặt phẳng (), điểm A không thuộc mặt phẳng (), H là hình chiếu vuông góc A lên mặt phẳng (), E là điểm thuộc AM cho ¿ ME =k MA ¿ a Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng () b Tính khoảng cách từ E đến mặt phẳng (), từ đó suy khoảng cách từ I – trung điểm AM đến mặt phẳng () c Gọi d là đường thẳng qua I song song với mặt phẳng () Lấy J thuộc d, tính khoảng cách từ J đến mặt phẳng () d Gọi C là chân đường vuông góc J lên mặt phẳng () D là trung điểm JC Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng () Lời giải A E J I D C  Q P H M a H là hình chiếu vuông góc A lên mặt phẳng () nên : 28 d(A,()) = AH = h b Gọi P là chân đường vuông góc E lên mặt phẳng () Khi đó d(E, ()) = EP Ta có : EP // AH (đều vuông góc với mp()) và M, P, H thẳng hàng Theo định lí Tallet ta có : ¿ EP ME = =h AH MA ¿ Khi đó EP = k AH hay d(E, ()) = k h (1) Vì I là trung điểm AM nên : 1 d(I, ()) = h (áp dụng kết (1) với k = ) ❑ ¿ ¿❑ ❑ ❑ c Dễ thấy IJCQ là hình chữ nhật nên IQ = JC Do đó d(J, ()) = d(I, ()) hay d(J, ()) = d D là trung điểm JC nên Lúc đó d(Q, ()) = h ¿1 h ¿❑ ❑ CD = CJ 2 d(J, ()) = ¿❑ ❑ ¿❑ ❑ h hay d(Q, ()) = ¿❑ ❑ ¿❑ ❑ 29 Ví dụ này tạo với hệ thống câu hỏi từ a đến d nhằm gây chú ý, lôi học sinh tập trung vào bài học Trước hết ta đưa câu a thì học sinh yếu có thể xác định Với câu hỏi này học sinh tập trung chú ý vào bài học và có thể tự mình thực yêu cầu bài toán, từ đó có hứng thú và mong muốn giải câu Ở đây giáo viên đã bắt đầu kích thích tính tích cực học sinh Tiếp theo với tập trung các em suy nghĩ để xác định khoảng cách từ E đến mặt phẳng (), nó là đoạn nào? Tình bắt buộc học sinh suy ngẫm và sử dụng vốn kiến thức cũ như: xác định hình chiếu vuông góc điểm lên mặt phẳng, quan hệ song song và vuông góc, định lí Tallet …để tính khoảng cách từ E đến mp () Ta tiếp tục yêu cầu tính khoảng cách điểm cụ thể trên AM đến mặt phẳng () Ví dụ khoảng cách từ điểm I đến mp() bài toán trên Tiếp tục quá trình suy nghĩ để phát trường hợp I là trung điểm AM thì tỉ số k lúc này mấy? ngang đây ta phát huy tính tích cực học sinh, theo quá trình đó, các em bắt đầu độc lập suy nghĩ và giải tiếp các câu hỏi c và d Như việc xếp hệ thống các câu hỏi góp phần định phát triển tư học sinh Với phát triển đó các em tự phát ra: bài tập không phải lúc nào tính trực tiếp khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng mà nhiều lúc việc tính gián tiếp thông qua khoảng cách từ điểm khác đến mặt phẳng đó lại đơn giản và thuận tiện Với kết luận này tư học sinh không phải là tích cực mà có chuyển biến sang tư độc lập, tức là tự mình suy nghĩ vấn đề và đưa kết nhỏ Nhu cầu đặt 30 bây là kiểm nghiệm, vận dụng phát mà thân đã rút từ ví dụ 1, ta xét tiếp ví dụ: Ví dụ 1.2 Cho tứ diện SABC có tam giác ABC vuông cân đỉnh B, AB = a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA = a a Chứng minh (SAB)  (SBC) b Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SBC) c Gọi I là trung điểm AB Tính khoảng cách từ điểm I đến mp(SBC); d Gọi J là trung điểm AC Tính khoảng cách từ điểm J đến mp(SBC); e G là trọng tâm tam giác ABC, tính khoảng cách từ điểm G đến mp(SBC) Nhận xét: Để chứng minh mặt phẳng vuông góc với ta chứng minh mặt phẳng này chứa đường thẳng vuông góc với mặt kia, áp dụng giả thiết bài toán ta có câu a Trên kết câu a và định lí:  ¿ (α )∩( β)≡ d (α )⊥( β)  a  ( a ⊂ (α ) a⊥ d ¿ { {{ ¿ a d  ta xác định khoảng cách từ A đến mp(SBC) từ đó tính khoảng cách 31 Câu c, d gợi cho ta nhớ đến kết rút ví dụ 1, trên sở kết tính câu b suy nghĩ và áp dụng để tìm lời giải Đến câu e giả thiết cho dạng lạ đòi hỏi phải có suy nghĩ, hoạt động tích cực để tìm mối liên hệ khoảng cách từ G đến mặt phẳng (SBC) và các khoảng cách đã biết : d(A, (SBC)), d(J, (SBC)), hay d(I, (SBC)) Lời giải S H A J C G I B a Theo giả thiết ta có: SA  (ABC) suy SA  BC (1) mà AB  BC (giả thiết) (2) Từ (1) và (2) ta suy : BC  (SAB)  (SBC)  (SAB) b Ta có (SAB)  (SBC)  SB Kẻ AH  SB (H thuộc SB) Do SAB vuông cân nên H là trung điểm SB,khi đó AH  ( SBC) nên d(A, (SBC)) = AH 32 Xét SAB vuông cân A Theo hệ thức lượng tam giác vuông ta 1 1 = + = 2+ 2 AH AS AB a a có : Khi đó c Ta có AH= a √2 AB ∩(SBC)≡ B BI và BA = (do I là trung điểm AB) nên 1 a d ( I ,(SBC))= d ( A ,(SBC))= √ 2 Vậy d ( I ,(SBC))= a √2 CJ d Tương tự J là trung điểm AC nên CA = , đó a √2 J ,(SBC)= d ( A ,(SBC))= d¿ e Vì G là trọng tâm ABC nên có Lúc đó Hay CG = CI 2 a d (G ,(SBC))= d (I , (SBC))= √ 3 d (G ,(SBC))= a √2 Đối với ví dụ này ta đưa các câu hỏi từ a đến e theo mức độ khó dần và nâng cao Hoạt động chia các bước nhỏ trên giúp học sinh tiếp thu kiến thức cách nhẹ nhàng đồng thời việc nâng cao mức độ khó 33 dần câu hỏi là phát triển tư học sinh Từ tư tích cực phát triển cao dần đến độc lập suy nghĩ, tự mình phát vấn đề, tự mình xác định phương hướng, tìm cách giải quyết, tự thân kiểm tra và hoàn thành kết Nếu ví dụ học sinh tích cực hoạt động tìm lời giải và đưa kết luận nhỏ thì ví dụ học sinh tiếp tục theo lối phát triển đó để kiểm nghiệm lại kết Các em đã biết hoài nghi khoa học, biết đặt câu hỏi sao? Như nào? liệu có đúng không? quá trình lĩnh hội kiến thức Điều này cho ta thấy phát triển tư duy, đặc biệt là tư độc lập - sở để có tư sáng tạo các em Ví dụ 1.1 đã áp dụng vào bài toán cụ thể hình tứ diện Vậy hình khác chóp tứ giác, hình hộp thì việc áp dụng và tính toán có phức tạp không, ta xét tiếp các ví dụ sau Ví dụ 1.3 Cho hình chóp tứ giác SABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mp(ABCD) và SA = a √ O là tâm hình vuông ABCD a Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SBC); b Tính khoảng cách từ điểm O đến mp(SBC); c G1 là trọng tâm ∆SAC Từ G1 kẻ đường thẳng song song với SB cắt OB I Tính khoảng cách từ điểm điểm I đến mp(SBC); G1 đến mp(SBC), khoảng cách từ 34 d J là trung điểm SD, tính khoảng cách từ điểm J đến mp(SBC); e Gọi G2 là trọng tâm ∆SDC Tính khoảng cách từ điểm G2 mp(SBC) Lời giải S J a H A D I B O a C a Kẻ AH  SB(1); Ta có SA  AD ( vì SA(ABCD)) Mà AB  AD (ABCD là hình vuông) suy AD  (SAB) Vì BC // AD nên BC  (SAB) Lại có AH  (SBC) nên BC  AH (2) Từ (1) và (2) ta suy AH  (SBC) Khi đó d(A, (SBC)) = AH Xét ∆SAD vuông A Theo hệ thức lượng tam giác vuông ta có: đến 35 1 1 = + = 2+ 2 AH SA AB a a Suy AH = a √3 b O là trung điểm AC nên d(O, (SBC)) = d(A,(SBC)) hay d(O,(SBC)) = a √3 c G1 là trọng tâm ∆SAC nên : SG1 = SO d (G1 , ( SBC ))  d (O, ( SBC )) Khi đó hay a a d (G ,(SBC))= √ = √ Vì G1 I // SB nên d(I, (SBC)) = d( G1 , (SBC)) = a √3 d J, O là trung điểm SD, DB nên JO là đường trung bình tam giác SDB Suy JO // SB; Do đó e d ( J ,(SBC))=d (O ,(SBC))= G2 là trọng tâm ∆SDC nên đó a √3 CG2 = CJ 2 a d (G2 ,(SBC))= d (J ,(SBC))= √ 3 36 d (G2 , ( SBC ))  a Vẫn là hệ thống các câu hỏi nhỏ vừa thu hút, lôi tập trung hoạt động học sinh, vừa bước giải bài toán khá phức tạp Cũng ví dụ này ta sửa lại yêu cầu bài toán: a Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SBC); b Tính khoảng cách từ điểm G đến mp(SBC) Hoặc yêu cầu tính khoảng cách từ điểm G đến mp(SBC) (với G là trọng tâm ∆SDC) thì làm nào? điều này không phải là đơn giản mà đòi hỏi phải có hoạt động tối đa trí óc Nếu ta đưa bài toán dạng này gây khó khăn, vướng mắc việc giải học sinh làm ảnh hưởng đến tư tích cực và dễ chán nản Vì hệ thống các câu hỏi nhỏ trên giúp các em lấy hứng thú bắt tay vào bài, tích cực suy nghĩ và đó là sở để phát huy tư sáng tạo cho học sinh Ví dụ 1.4 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a, AC cắt BD O a.Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(BDD’B’) b Gọi M là mp(BDD’B’) trung điểm AA’ Tính khoảng cách từ điểm M đến 37 c G là trọng tâm ∆ABA’ Tính khoảng cách từ điểm G đến mp(BDD’B’) d I là trung điểm GB Tính khoảng cách từ điểm I đến mp(BDD’B’) e K là trọng tâm ∆BMD Tính khoảng cách từ K đến mp(BDD’B’) Suy khoảng cách từ điểm J đến mp(BDD’B’) với J là trung điểm KO Lời giải D C O A K B J I G M D' A' C' B' a Ta có AO  BD( giả thiết) Mặt khác AO  DD’(vì DD’  (ABCD)) suy AO  (BDD’B’) ; Khi đó Hay 1 d ( A ,( BDD' B '))=AO= AC= a √2 2 d ( A, ( BDD'B'))= a 2 b Do AM // (BDD’B’) nên d(M,(BDD’B’))= d(A, (BDD’B’)) d(M, (BDD’B’)) = a √2 38 BG c Ta có BM = Khi đó Hay d (do G là trọng tâm ∆ABA’) 2 a d (G ,(BDD ' B' ))= d ( M ,( BDD' B ' ))= √ 3 d (G, ( BDD'B'))= BI = BG a (do I là trung điểm GB) nên a d ( I , ( BDD'B'))= d ( I , ( BDD ' B '))  d (G, BDD ' B ')) hay OK = OM e K là trọng tâm ∆BMD nên Khi đó a d ( K ,( BDD' B ' ))= d (M , (BDD' B '))= √ OJ = OK Do J là trung điểm KO nên d ( J , ( BDD ' B '))  d ( K , ( BDD ' B ')) Lúc đó Vậy d ( J ,( BDD' B' ))= a √2 12 Hệ thống các ví dụ từ 1.1 đến 1.4 đó ví dụ 1.1 là bản, tảng để kích thích tính tích cực hoạt động học sinh, ví dụ 1.2 đến 1.4 tiếp tục phát huy tính tích cực, đẩy cao tư độc lập, từ đó khẳng định kết rút từ ví dụ 1.1 Điều quan trọng là từ đây học sinh có khả đề bài 39 toán mới, khái quát hóa, tương tự hoá …hay nói cách khác biết đề câu hỏi, thắc mắc xung quanh bài toán đó, tự giải và rút kết luận cần thiết Chẳng hạn từ ví dụ 1.2 ta có thể sáng tạo bài toán mới: Ví dụ 1.2.1 Cho tứ diện SABC có tam giác ABC vuông cân đỉnh B AB = a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), SA = a a Chứng minh (SAB)  (SBC) b Tính khoảng cách từ A đến mp(SBC) c Gọi J là trung điểm AC, từ J kẻ Jx // SB, trên Jx lấy điểm P Tính khoảng cách từ P đến mp(SBC) d G là trọng tâm ∆PSB Tính khoảng cách từ G đến mp(SBC)” Từ ví dụ 1.3 ta có thể tạo bài toán mới: Ví dụ 1.3.1 Cho hình chóp tứ giác SABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mp(ABCD) và SA = a √ , O là tâm hình vuông ABCD a Tính khoảng cách từ A đến mp(SBC); b Tính khoảng cách từ O đến mp(SBC); 40 c Qua D kẻ đường thẳng Dy // SC Lấy Q thuộc SC, tính khoảng cách từ Q đến mp(SBC); d G là trọng tâm ∆QAM, tính khoảng cách từ G đến mp(SBC)” * Nhìn lại vấn đề qua các ví dụ ta có thể kết luận sau: Cho mặt phẳng () và điểm A, E phân biệt nằm cùng phía với so với mp() Khi đó: A E a + Nếu AE //  thì d(E, ()) = d(A, ()) a'  + Nếu AE cắt mp() điểm M cho ME =k MA thì d(E, ()) = d(A, ()) E A M H P  Bây ta xét tiếp vấn đề là hai điểm A và E khác phía so với mp() thì các kết trên còn đúng hay không? VẤN ĐỀ 2: Hai điểm E và A nằm khác phía so với mp() 41 Ví dụ 2.1 Cho mặt phẳng () và điểm A không thuộc mp() M là điểm nằm ME trên mp(), trên tia đối tia MA lấy điểm E cho MA =k , H là hình chiếu vuông góc A lên mp(), AH = h a Tính khoảng cách từ điểm E đến mp(); b N là điểm đối xứng với A qua M Tính khoảng cách từ điểm N đến mp(); c Trên đường thẳng d qua E và d // lấy điểm Q bất kì Tính khoảng cách từ điểm Q đến mp(); d I là trung điểm MQ, tính khoảng cách từ điểm I đến mp() Nhận xét Với câu a cần xác định hình chiếu vuông góc điểm E lên mp(), sử dụng vốn kiến thức cũ: quan hệ song song vuông góc, định lí Tallet…(tương tự ví dụ 1.1) để xác định và tính khoảng cách từ điểm E đến mp() Câu b là trường hợp đặc biệt câu a với k = Câu c, d sử dụng kết ví dụ 1.1 (vấn đề 1) và kết tính câu a, b để tìm khoảng cách Lời giải P A M H  I E Q N 42 a.Gọi P là hình chiếu vuông góc E lên mặt phẳng () ¿ AH ⊥(α ) EP ⊥(α) ¿{ ¿  AH // EP Lại có P, M, H thẳng hàng Theo định lí Tallet ta có: EP ME = =k AH MA  EP = k AH = k.h b N là điểm đối xứng với A qua M nên MN = MA hay MN =1 MA Áp dụng câu a với k =1 ta có d(N, ()) = h c Vì EQ // () nên theo kết rút từ vấn đề ta có: d(Q, ()) = d(E, (k.h d I là trung điểm MQ nên : 1 d(I,()) = d(Q,() hay d(I, ()) = k.h Ở ví dụ này ta đã giải vấn đề đặt ban đầu tương tự hoá và tích cực suy nghĩ Đến đây ta có thể khẳng định các bài toán : cho mặt phẳng () và điểm A không nằm mp(), biết d(A, ()) = h, yêu cầu tính khoảng cách số điểm M, N, P, Q …khác phía A so với mp() thì tính khoảng cách từ điểm số các điểm đó 43 đến mp() cho khoảng cách này là dễ tính nhất, sau đó chuyển bài toán dạng quen thuộc vấn đề đã nêu Bây ta xét ví dụ cụ thể: Ví dụ 2.2 Cho tam giác ABC cạnh a Trên đường thẳng Ax vuông góc với mp(ABC), lấy điểm S cho SA=a √ , K là trung điểm BC a Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SBC); b Gọi M là điểm đối xứng với A qua C Tính khoảng cách từ điểm M đến mp(SBC); c Gọi G là trọng tâm ∆SCM Tính khoảng cách từ điểm G đến mp(SBC); d I là trung điểm GK Tính khoảng cách từ điểm I đến mp(SBC) Lời giải S H G I A C K B a Xét ∆ vuông SAB và SAC : M 44 SB=√ SA 2+ AB2=2a 2 SC=√ SA + AC =2 a suy SB = SC hay ∆SBC cân S Trong ∆SBC có SK là đường trung tuyến đồng thời là đường cao đó BC  SK mà BC  SA( SA  (ABC)) nên BC (SAK), suy SAK)  (SBC) Ta có (SAK)  (SBC) ≡ SK Từ A kẻ AH  SK H Khi đó d(A,(SBC)) = AH Xét ∆SAK vuông taị A, theo hệ thức lượng tam giác vuông ta có: 1 = 2+ AH SA AK (*) a Trong đó AK= √ (đường cao tam giác cạnh a), SA = a (giả thiết) (1) a 15 Thay (1) vào (*) ta có AH= √ b M là điểm đối xứng với A qua C nên d ( M , ( SBC )) d ( A, ( SBC )) d ( M , ( SBC ))  a 15 c G là trọng tâm SCM nên ta có: 45 15 d (G, ( SBC ))  a d (G , ( SBC ))  d ( M , ( SBC )) 15 ; hay d I là trung điểm KG, đó 15 d ( I , ( SBC ))  d (G , ( SBC )) d ( I , ( SBC ))  a 30 suy Ví dụ 2.2 là cụ thể hóa khẳng định ta đã nêu trước đó, quan trọng là khả biết vận dụng linh hoạt các kết từ các ví dụ và khẳng định đã có trước đó để áp dụng giải bài toán cụ thể, trường hợp định Sau đây ta xét tiếp ví dụ Ví dụ 2.3 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Gọi M là trung điểm cạnh BC O là tâm hình vuông ABCD a Tính khoảng cách từ điểm M đến mp (ACC’A’); b N là trung điểm DC Tính khoảng cách từ điểm N đến mp(ACC’A’); c Từ N kẻ đường thẳng song song với CC’ cắt D’C’ N’ Tính khoảng cách từ điểm N’ đến mp(ACC’A’); d G1 là trọng tâm AC’D’ Tính khoảng cách từ điểm mp(ACC’A’); G1 đến 46 e G2 là trọng tâm A G1 C Tính khoảng cách từ điểm G2 đến mp(ACC’A’) Nhận xét: Ví dụ này tạo trên sở ví dụ 1.1 và ví dụ 2.1 nhằm để sử dụng kết đã có không phải dạng tường minh mà đòi hỏi phải tư duy, hoạt động tích cực suy nghĩ để đưa bài toán dạng quen thuộc, nghĩa là tư học sinh phải linh hoạt và khả biết quy lạ quen Lời giải B M C O H A N D B' C' A' N' a Ta có BD  (ACC’A’) D' Kẻ Mx // BD cắt AC H Lúc đó: d ( M ,(ACC' A '))=MH Vậy a MH  MH  BO mà nên d ( M , ( ACC ' A '))  a b Ta có MN là đường trung bình BDC nên MN // BD Suy H, M, N thẳng hàng và HM = HN 47 Khi đó d(M, (ACC’A’)) = d(N, (ACC’A’)) hay d(M, (ACC’A’)) = a √2 ; c Vì NN’ // CC’ nên NN’ // (ACC’A’) Suy d(N’,(ACC’A’)) = d(N, (ACC’A’)) = d G1 là trọng tâm AC’D’ nên: Lúc đó Hay a √2 G1 A = N' A 2 a d (G1 ,( ACC' A '))= d (N ',(ACC' A '))= √ 3 d (G1 , ( ACC ' A '))  a ; e BD cắt AC O nên O là trung điểm AC Do OG2 = OG1 tam giác A G1 C nên Suy 1 a G2 , (ACC ' A ')= d (G1 ,(ACC' A ' ))= √ 3 d¿ Vậy d (G2 , ( ACC ' A '))  G2 là trọng tâm a 18 Qua hệ thống các ví dụ, học sinh rèn luyện kỹ xác định và tính toán khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Nhưng để có sáng tạo người giáo viên phải tạo thói quen cho học sinh, không nên học các định lí, cách chứng minh hay tính toán đơn mà thông qua đó phải luôn biết phát vấn đề, biết đặt câu hỏi tốt, biết hoài nghi…Từ 48 đó sử dụng suy luận có lí để giải vấn đề Trong thực tế phát minh trải qua quá trình dự đoán, thử nghiệm, khái quát hóa hay tương tự hóa để đưa giả thuyết Vấn đề giải toán vậy, không phải dừng việc tính toán khoảng cách mà trên sở bài toán, phương pháp giải ta có thể tìm kiếm, sáng tạo nên bài toán và tự mình đưa lời giải Ta có thể minh họa ví dụ 2.2, câu c G không là trọng tâm tam giác SCM mà là trọng tâm tam giác khác thì có tính khoảng cách từ G đến mp(SBC) không? câu hỏi đặt là “với giả thiết bài toán, kết câu a, b ta tìm G là trọng tâm tam giác nào thì tính khoảng cách từ G đến mp(SBC)?”.Vấn đề đặt cùng với hoạt động tích cực trí óc, sử dụng suy luận lí để sáng tạo nên bài toán Ví dụ 2.2.1 Cho tam giác ABC cạnh a, trên đường thẳng Ax vuông góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm S cho AS = a √ a Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SBC); b Gọi M là điểm đối xứng với A qua C Tính khoảng cách từ điểm M đến mp(SBC); KN c Trên MK lấy điểm N cho KM = mp(SBC) Tính khoảng cách từ điểm N đến 49 d Gọi Q là trọng tâm tam giác SBN Tính khoảng cách từ điểm Q đến mp(SBC) Tương tự quá trình trên ta sáng tạo nên bài toán từ ví dụ 2.3 thành : Ví dụ 2.3.1 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Gọi M là trung điểm cạnh BC a Tính khoảng cách từ điểm M đến mp(ACC’A’); b N là trung điểm cạnh DC Tính khoảng cách từ điểm N đến mp(ACC’A’); c Từ N kẻ Nt // CC’cắt D’C’ N’ Gọi G’ là trọng tâm tam giác CAN’ Tính khoảng cách từ điểm G’ đến mp(ACC’A’); d G” là trọng tâm tam giác AG’A’ Tính khoảng cách từ điểm G’’ đến mp(ACC’A’) * Kết hợp vấn đề và vấn đề ta rút kết luận: Cho mặt phẳng ( và điểm A, E không thuộc mp() + Nếu AE // () thì d(A, (d(E, ()); + Nếu AE cắt () M và ME =k MA thì d(E, ()) = k d(A,()) 50 Vấn đề và vấn đề đã trình bày các ví dụ tính khoảng cách các điểm cùng phía với A khác phía với A so với mặt phẳng ().Vậy các bài toán yêu cầu tính khoảng cách số điểm cùng phía xen kẽ số điểm khác phía A so với mặt phẳng ( thì việc tính toán nào? ta xét tiếp ví dụ: Ví dụ 2.4 Cho hình chóp SABCD ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác cạnh a và (SAB) vuông góc với mp(ABCD) Gọi I là trung điểm cạnh AB, E là trung điểm cạnh BC a Chứng minh mp(SIC)  mp(SED); b Tính khoảng cách từ điểm I đến mp(SED); c Tính khoảng cách từ điểm C đến mp(SED); d Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SED); Nhận xét: Các cặp điểm I và C, C và A nằm khác phía so với mp(SED) Lời giải S H A D B J I E F C 51 a ABCD là hình vuông nên ED  IC (1) SI là đường trung tuyến  ABC nên SI  AB mà (SAB)  (ABCD) nên SI  (ABCD), suy SI  IC ( vì IC  mp(ABCD)) (2) Từ (1) và (2) ta suy IC  (SED) đó (SIC)  (SED); b Gọi J là giao điểm ED và IC, kẻ IH  SJ thì d(I, (SED)) = IH Xét SIJ vuông I Theo hệ thức lượng tam giác vuông ta có: 1 = 2+ 2 IH SI IJ (*) a Trong đó SI= √ ( đường cao tam giác cạnh a) (3) Mặt khác ECD vuông C có: 1 = + = 2+ 2 CJ CE CD a a Suy CJ = a √5 52 2 mặt khác IC = IB  BC nên a a  IJ = IC – JC = IC  hay IJ= a 5 a 10 (4) Thay (3) và (4) vào (*) ta có: IH2= Vậy a2 32 đó IH= √ a d ( I ,(SED))= √2 a c Ta có IC  (SED)  J, xét tỉ số JC a 5  : a JI 10 = 2 d (C , ( SED))  d ( I , ( SED)) d (C , ( SED))  a ; Do đó hay d Gọi F là giao điểm AB và DE, đó FB BE = = FA AD Ta có hay FA = FI suy B là trung điểm FA nên A ,(SED)= √ a d¿ 4 d ( A ,(SED))= d ( I ,( SED))= √ a 3 53 Nhận xét: Ở ví dụ 2.4 này mức độ khó khăn và phức tạp bài toán đã nâng cao, câu b nó không có sẵn tỉ số JC , không có điểm đặc biệt JI trọng tâm, trung điểm, theo hướng suy nghĩ cũ khó tìm lời giải Lúc này cần có mềm dẻo tư tức là có lực chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác, từ thao tác tư này sang thao tác tư khác, điều chỉnh kịp thời hướng suy nghĩ gặp trở ngại, chuyển từ góc độ quan niệm này sang góc độ quan niệm khác, biết biến kiến thức kỹ sẵn có vào hoàn cảnh mới, biết nhìn nhận vấn đề điều kiện quen thuộc, nhìn thấy chức đối tượng quen biết Cụ thể JC bài này ta có thể tính độ dài đoạn JC, JI thay vào ta có tỉ số JI , từ đó đưa bài toán quen thuộc đã biết Nằm hệ thống bài tập này đề thi Đại học khối D năm 2007 đã có bài “Cho hình chóp SABCD có đáy hình thang.ABC = BAD = 900 , BA = BC = a, AD = 2a Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA=a √ Gọi H là hình chiếu vuông góc A lên SB Chứng minh tam giác SCD vuông và tính khoảng cách từ H đến mp(SCD).” Gợi ý giải: 54 S a J H A I D a B C Lấy I là trung điểm AD, đó IA = ID = IC = a, suy CD  AC mà CD  SA nên CD  SC hay tam giác SCD vuông C + Tính d(H, (SCD)) Xét tam giác vuông SAB có Do đó SH SA 2 = = SB SB d ( H ,(SCD))= d ( B ,(SCD)) mà d(B, (SCD)) = d(I, (SCD), d ( I ,(SCD))= d( A ,(SCD)) nên d (H ,(SCD))= d ( A ,(SCD)) ; Mặt khác ta có : CD  SC (theo chứng minh trên) (SCD) (SAC) CD  SA (vì SA  (ABCD)) 55 (SCD)  (SAC)  SC Kẻ AJ  SC (J thuộc SC) thì J là trung điểm SC ( vì tam giác SAC cân A) Khi đó d(A, (SCD)) = AJ Xét tam giác SAC vuông A có SC=√SA 2+ AC2 nên SC = 2a; mà AJ= SC suy d(A,(SCD)) = a Vậy d ( H ,(SCD))= a 2.4.3 Một số bài tập tính khoảng cách hai đường thẳng chéo Với các bài toán tính khoảng cách đường thẳng và mặt phẳng song song, hai mặt phẳng song song, hai đường thẳng chéo thì ta đưa bài toán t ính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Ví dụ 3.1 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = SB = SC = SD = a √ Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo AD và SC Lời giải S a H D C O A a I B 56 Vì AD // BC nên d(AD, SC) = d(AD, (SBC)) = d(A, (SBC)) CO Ta có AO  (SBC)  C và CA = đó d(A, (SBC)) = 2.d(O, (SBC)) ; SO  (ABCD) nên SO  BC Kẻ SJ  BC thì J là trung điểm BC Suy BC  (SOJ)  (SBC)  (SOJ) (SBC)  (SOJ)  SJ, kẻ OH  SJ (H  SJ) Khi đó d(O, (SBC)) = OH Xét tam giác SOJ vuông O, theo hệ thức lượng tam giác vuông ta có 1 = 2+ 2 OH OJ OS a mà OJ= a , SO=√ SC − CO2= √ 42 a 14 Suy OH= √ 42 42 a= √ a 14 Vậy d ( AD ,SC )=2 √ Sau đưa ví dụ này học sinh nhớ lại nhận xét phần định nghĩa khoảng cách để phát d(AD, SC) = d(AD, (SBC)) Rõ ràng ta đưa bài 57 toán tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, đó cần sử dụng các kỹ đã trình bày vấn đề này để giải bài toán Như biết xếp các bài toán có tính hệ thống thì việc giải toán học sinh nhẹ nhàng hơn, phát huy lối tư tích cực, kế thừa kết đã có, kỹ đã biết phục vụ vào giải các bài toán Với giả thiết bài toán này ta có thể yêu cầu học sinh tính tiếp: b Khoảng cách đường thẳng chéo AD và SB; c Từ B kẻ đường thẳng song song với SC cắt CH K, tính khoảng cách đường thẳng chéo AD và SK Theo lối tư trên học sinh nhận ra: 42 d(AD, SB) = d(A, (SBC)) = √ a d(AD, SK) = d(AD, (SBC)) = √ 42 a Ví dụ 3.2 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mp(ABCD), SA = a √ E là điểm đối xứng B qua A, tính khoảng cách đường thẳng chéo a AC và SD S b AC và SE E a Lời giải A D B a C 58 ¿ AE=CD=a AE // CD ¿{ ¿ E là điểm đối xứng B qua A nên  AEDC là hình bình hành Do đó AC // ED hay AC // (SED) (1) suy d(AC, SD) = d(AC, (SED)) = d(A, (SED)); * Tính d(A, (SED)) SA  ED, kẻ SK  ED(KED) thì ED  (SAK) suy (SED)  (SAK); (SED)  (SAK)  SK Kẻ AH  SK (HSK) thì d(A, (SED)) = AH SAK và EAD là các tam giác vuông A Theo hệ thức lượng tam giác vuông ta có: 1 1 = 2+ = 2+ 2 AH AS AK a AK 1 1 = 2+ = 2+ 2 AK AE AD a a Suy 1 1 = 2+ 2+ 2 AH a a a 21 a hay AH= √ 59 21 Vậy d ( AC ,SD )= √ a Vì AC // (SED) (theo 1) nên d(AC, SE) = d(AC, (SED)) = √21 a Nhận xét: AC // (SED) ¿ SE∈(SED) SD ∈(SED) ¿{ ¿ đó d(AC, SE) = d(AC, (SD) = d(AC, (SED)) Qua hai ví dụ 3.1 và 3.2 cùng với nhận xét ta giúp học sinh rút kết luận: ¿ a // mp (α ) ∀ b ∈mp (α ) d(a, b) = d(a, mp(với a, b là các đường thẳng ¿{ ¿ Ví dụ 3.4 (ĐỀ THI ĐH-CĐ KHỐI B NĂM 2007) “Cho chóp tứ giác SABCD có đáy hình vuông cạnh a Gọi E là điểm đối xứng D qua trung điểm SA, M là trung điểm AE, N là trung điểm BC Chứng minh MN vuông góc với BD; tính khoảng cách đường thẳng MN và AC.” Lời giải S E M P a A D a O B N C 60 Gọi P là trung điểm AS, đó MP // NC và MP = NC (đều nửa a) Do đó MPCN là hình bình hành, suy MN // PC (1) Mặt khác BD  (SAC) nên BD  PC (2) Từ (1) và (2) ta suy MN  BD ; d(MN,AC) = d(MN, (SAC)) đó d(MN,(SAC)) = d(N, (SAC)), d ( N ,(SAC))= d (B ,(SAC)) , suy d (MN , AC)= BD a Vậy d (MN , AC)= √ KẾT LUẬN Trong đề tài này tôi đề cập đến các vấn đề: Tìm hiểu khái niệm tư duy, tư tích cực, tư sáng tạo và mối quan hệ chúng Một số biện pháp phát huy, bồi dưỡng tính tích cực sáng tạo học sinh thông qua dạy học toán đã nhiều tác giả nghiên cứu Tiềm phát triển tính tích cực, tư sáng tạo cho học sinh day bài tập khoảng cách Đặc điểm bài khoảng cách và khó khăn mà học sinh thường gặp giải các bài toán chúng Xây dựng các bài tập khoảng cách có tính hệ thống để phát huy tính tích cực tư sáng tạo học sinh Phải nói các bài toán khoảng cách thực hấp dẫn tính trừu tượng và phong phú nó Tuy nhiên với học sinh THPT thì đây là vấn đề gây nhiều khó khăn và tâm lý e ngại các học sinh trung bình giải các bài toán khoảng cách Vì khóa luận giúp học sinh có 61 hứng thú, đam mê, khả sáng tạo, khám phá nên bài toán trên sở bài tập đã biết, từ đó đưa hướng giải các bài toán cụ thể Đề tài đã xây dựng số bài tập khoảng cách có tính hệ thống để phát huy tính tích cực, tư sáng tạo cho học sinh chưa thể đưa tất các phương hướng phát triển tư Vì mong quý thầy cô và các bạn góp ý cho đề tài thêm hoàn chỉnh TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Trần Thành Minh: Giải toán hình học 11, NXB Giáo dục 1997 [2] Nguyễn Mộng Hy, Khu Quốc Anh, Nguyễn Hà Thành, Bài tập hình học 11, NXB Giáo dục 2007 [3] GPÔLIA, Giải bài toán nào, NXB Giáo dục 1997 [4] GPÔLIA, Sáng tạo toán học, NXB Giáo dục 1997 [5] Nguyễn Cảnh Toàn, Phương pháp luận vật biện chứng với việc học, dạy, nghiên cứu toán học, NXB ĐH Quốc gia 1997 [6] Võ Đại Mau, Tuyển tập 170 bài toán hình học không gian, NXB Trẻ [7] Tạp chí giáo dục số 196 kì 2/ 8/2008 62