Cách xác định khoảng cách trong không gian

Bài giảng Chuyên đề: Hình học không gian – GV: Đặng Thành Nam – Hotline: 0976 266 202 Tài liệu Ôn thi THPT Quốc Gia 1 Vấn$đề$2.$Xác$định$khoảng$cách$ NỘI$DUNG$PHƯƠNG$PHÁP$ Mấu$chốt$của$nó$là$tính$được$khoảng$cách$từ$chân$đường$cao$của$khối$chóp$đến$mặt$ bên$đối$diện$với$nó.$Khi$đó$khoảng$cách$từ$điểm$bất$kỳ$đến$mặt$phẳng$ta$quy$về$khoảng$ cách$từ$chân$đường$vuông$góc$tới$mặt$phẳng$đó;$khoảng$cách$giữa$hai$đường$thẳng$chéo$ nhau$quy$về$khoảng$cách$từ$điểm$đến$mặt$phẳng$và$như$vậy$vẫn$là$khoảng$cách$từ$chân$ đường$cao$của$khối$chóp$đến$mặt$bên$đối$diện$với$nó.$ Ta$cùng$xét$bài$toán$sau:$ Bài$toán$1.$Cho$hình$chóp$S.ABC$có$hình$chiếu$vuông$góc$của$S$lên$mặt$đáy$(ABC)$là$H.$Tính$ khoảng$cách$từ$H$đến$mặt$bên$(SBC).$ K I A C B H S $ Kẻ$HI$vuông$góc$với$BC$tại$I.$ Kẻ$SK$vuông$góc$với$SI$tại$K.$ Ta$có:$ BC ⊥ HI BC ⊥ SH ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⇒ BC ⊥ SHI ( ) ⇒ BC ⊥ HK .$ HK ⊥ SI HK ⊥ BC ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⇒ HK ⊥ SBC ( ) .$ Tam$giác$vuông$SHI$ta$có:$ 1 HK 2 = 1 SH 2 + 1 HI 2 .$ $ HI$có$nhiều$cách$tính$khác$nhau$phụ$thuộc$vào$vị$trí$của$H$tuy$nhiên$tổng$quát$tính$theo$ diện$tích$ HI = 2S HBC BC .$$$$$ Ngoài$ra.$Tính$khoảng$cách$theo$thể$tích$như$sau:$ d H ; SBC ( ) ( ) = 3V SHBC S SBC .$ Nhưng$khi$đã$áp$dụng$thuần$thục$cách$tính$quy$về$chân$đường$vuông$góc$H$các$em$sẽ$ không$cần$phải$sử$dụng$công$thức$khoảng$cách$theo$thể$tích$như$trên.$ Bài$toán$2.$Tính$khoảng$cách$từ$điểm$M$đến$mặt$phẳng$(P).$ Bài$toán$này$tôi$chỉ$đề$cập$đến$ứng$dụng$thực$tế$tức$(P)$là$mặt$bên$khối$chóp$và$gọi$(Q)$là$ mặt$đáy$khối$chóp.$ Bài giảng Chuyên đề: Hình học không gian – GV: Đặng Thành Nam – Hotline: 0976 266 202 Tài liệu Ôn thi THPT Quốc Gia 2 $ Xác$định$chân$đường$cao$H$hạ$từ$đỉnh$S$ của$khối$chóp$xuống$mặt$đáy$(Q).$ Kéo$dài$MH$cắt$(P)$tại$A.$Khi$đó$ta$có:$$ d M ; P ( ) ( ) d H ; P ( ) ( ) = MA HA .$ Bài$toán$quy$về$tính$khoảng$cách$từ$H$đến$ mặt$phẳng$(P)$đây$chính$là$bài$toán$1$đã$ trình$bày$ở$trên.Ta$tạm$gọi$đây$là$phương$ pháp$đổi$điểm(đổi%điểm%cần%tính%về%chân% đường%vuông%góc).$ (P) (Q) S M A H $ Ví$dụ$1.$Cho$hình$chóp$S.ABC$có$đáy$ABC$là$tam$giác$cân$tại$A,$ AB = AC = 2a, BAC ! = 120 0 .$ Hình$chiếu$vuông$góc$của$S$lên$mặt$đáy$(ABC)$là$điểm$H$thuộc$cạnh$AB$sao$cho$ HA = 2HB .$ Biết$góc$giữa$mặt$bên$(SBC)$và$mặt$đáy$bằng$ 60 0 .$$$ a) Tính$khoảng$cách$từ$H$đến$mặt$phẳng$(SBC).$ b) Tính$khoảng$cách$từ$A$đến$mặt$phẳng$(SBC).$ Lời$giải:$ a) Gọi$M$là$trung$điểm$của$BC$ta$có$ AM ⊥ BC .$ Kẻ$HI$song$song$với$AM$cắt$BC$tại$I.$ Ta$có$ BC ⊥ HI BC ⊥ SH ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⇒ BC ⊥ SHI ( ) nên$góc$ SIH ! = 60 0 chính$ là$góc$giữa$hai$mặt$phẳng$(SBC)$và$(ABC).$ Ta$có:$ AM = AC.cos MAC ! = 2a. 1 2 = a .$ $ K M A B C S H I $ Theo$định$lý$Talets$ta$có:$ HI AM = BH BA = 1 3 ⇒ HI = a 3 .$ Tam$giác$vuông$SHI$có:$ SH = HI .tan 60 0 = a 3 .$$$$$$ Kẻ$HK$vuông$góc$với$SI$tại$K$ta$có$ HK ⊥ SBC ( ) .$ Tam$giác$vuông$SHI$có:$ Bài giảng Chuyên đề: Hình học không gian – GV: Đặng Thành Nam – Hotline: 0976 266 202 Tài liệu Ôn thi THPT Quốc Gia 3 1 HK 2 = 1 SH 2 + 1 HI 2 = 1 a 3 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 2 + 1 a 3 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 2 = 12 a 2 ⇒ HK = a 3 6 .$ Vậy$ d H ; SBC ( ) ( ) = HK = a 3 6 .$ b) Ta$có:$ d A; SBC ( ) ( ) = AB HB .d H ; SBC ( ) ( ) = 3d H ; SBC ( ) ( ) = 3. a 3 6 = a 3 2 .$ Bài$toán$3.$Tính$khoảng$cách$giữa$hai$đường$thẳng$chéo$nhau$a$và$b.$ $Tôi$trình$bày$cách$tính$khoảng$cách$giữa$hai$đường$thẳng$chéo$nhau$bằng$cách$quy$về$ khoảng$cách$từ$điểm$đến$mặt$phẳng.$ Bước$1.$Dựng$mặt$phẳng$(P)$chứa$đường$thẳng$b$và$cắt$đường$thẳng$a$tại$A.$ Bước$2.$Từ$A$kẻ$đường$thẳng$ b '/ /b ,$gọi$(Q)$là$mặt$phẳng$chứa$a$và$b’.$ Bước$3.$Khi$đó$ d b;a ( ) = d b; Q ( ) ( ) = d M ; Q ( ) ( ) ,∀ M ∈ b .$ Như$vậy$bài$toán$quy$về$tính$khoảng$cách$từ$một$điểm$ bất$kỳ$từ$điểm$M$trên$b$đến$mặt$phẳng$(Q).$Đây$chính$ là$bài$toán$2$đã$trình$bày$ở$trên.$ $ a b b' (Q) (P) A M $ $ Chú$ý.$Trong$đề$thi$đại$học$thông$thường$yêu$cầu$tính$khoảng$cách$giữa$hai$đường$thẳng$ chéo$nhau$trong$đó$có$một$đường$thẳng$nằm$trên$mặt$đáy$và$một$đường$thẳng$khác$chống$ lên(thường$là$cạnh$bên).$Khi$đó$(P)$chính$là$mặt$đáy$đáy.$Mục$đích$dựng$mặt$phẳng$(Q)$là$ lấy$chân$đường$vuông$góc$hạ$từ$đỉnh$xuống$mặt$đáy$để$thuận$tiện$cho$bước$tính$khoảng$ cách$từ$điểm$đến$mặt$phẳng$(Q).$Để$thuận$tiện$ta$dựng$một$hình$bình$hành(không$phải$là$ một$đường$thẳng$b’$song$song$với$b).$ Nếu$không$có$đường$thẳng$nào$nằm$trong$mặt$đáy$lúc$này$ta$chọn$một$mặt$phẳng$chứa$một$ trong$hai$đường$thẳng$đó$là$mặt$đáy$và$thực$hiện$tương$tự$cách$trên.$ Bài giảng Chuyên đề: Hình học không gian – GV: Đặng Thành Nam – Hotline: 0976 266 202 Tài liệu Ôn thi THPT Quốc Gia 4 Ví$dụ$2(TSĐH$Khối$A,A1$2012)$Cho$hình$chóp$S.ABC$có$đáy$ABC$là$tam$giác$đều$cạnh$a,$ hình$chiếu$vuông$góc$của$S$lên$mặt$đáy$(ABC)$là$điểm$H$thuộc$đoạn$AB$sao$cho$ HA = 2HB .$ Góc$giữa$SC$và$mặt$phẳng$(ABC)$bằng$ 60 0 .$Tính$khoảng$cách$giữa$hai$đường$thẳng$SA$và$ BC.$ Lời$giải:$ Trong$mặt$phẳng$(ABC)$dựng$hình$bình$hành$ ACBD.$ Ta$có:$ BC / /AD ⇒ BC // SAD ( ) .$ ⇒ d BC;SA ( ) = d BC; SAD ( ) ( ) = D B; SAD ( ) ( ) = BA HA .d H ; SAD ( ) ( ) = 3 2 d H ; SAD ( ) ( ) $$$ K F E N D M A B C S H $ Muốn%tính%khoảng%cách%từ%H(chân%đường%cao)%đến%mặt%đối%diện%ta%cần%kẻ%đường%thẳng%vuông%góc%với% AD%và%tính%độ%dài%đoạn%thẳng%SH.% Kẻ$ HF ⊥ AD tại$F,$kẻ$ HK ⊥ SF tại$K$ta$có$ HK ⊥ SAD ( ) .$ Gọi$M$là$trung$điểm$của$AB$ta$có$ CM ⊥ AB ⇒ CM = AB sin 60 0 = a 3 2 .$ Tam$giác$vuông$CMH$có:$ CH = CM 2 + MH 2 = a 3 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 2 + a 2 − a 3 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 2 = a 7 3 .$ Ta$có:$ SH ⊥ ABC ( ) ⇒ SCH ! = 60 0 $là$góc$giữa$SC$và$mặt$đáy$(ABC).$ Suy$ra:$ SH = CH .tan 60 0 = a 21 3 .$ Để$ý$HF$là$đường$cao$của$tam$giác$HAD$có:$ HF = 2S HAD AD = HA.AD sin 60 0 AD = HA.sin 60 0 = 2a 3 . 3 2 = a 3 3 .$ Tam$giác$vuông$SHF$có:$ 1 HK 2 = 1 SH 2 + 1 HF 2 = 1 a 21 3 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 2 + 1 a 3 3 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 2 = 24 7a 2 ⇒ HK = a 42 12 .$ Bài giảng Chuyên đề: Hình học không gian – GV: Đặng Thành Nam – Hotline: 0976 266 202 Tài liệu Ôn thi THPT Quốc Gia 5 Suy$ra$ d BC;SA ( ) = 3 2 HK = 3 2 . a 42 12 = a 42 8 .$ Nhận$xét.$Rõ$ràng$việc$dựng$hình$bình$hành$ACBD$cho$phép$ta$tính$độ$dài$HF$theo$công$ thức$diện$tích$hết$sức$đơn$giản.$Đây$chính$là$thuận$lợi$của$phép$dựng$này.$Ngoài$ra$ta$có$thể$ tính$CH$và$HF$theo$cách$khác$sau$đây:$$$ Định$lý$hàm$số$côsin$cho$tam$giác$CHB$có:$ CH = HB 2 + BC 2 − 2HB.BC cos60 0 = a 7 3 ⇒ SH = CH .tan 60 0 = a 21 3 .$ Gọi$N$là$trung$điểm$của$BC$ta$có$ AN ⊥ BC ,BC //AD ⇒ AN ⊥ AD .$ Kéo$dài$HF$cắt$BC$tại$E$ta$có$ HF / /AN .$ Theo$talets$ta$có:$ HE EF = HE AN = BH BA = 1 3 ⇒ HF = 2HE = 2 3 AN = 2 3 . a 3 2 = a 3 3 .$$$ A. CÁC$DẠNG$TOÁN$ DẠNG$1.$KHOẢNG$CÁCH$TỪ$ĐIỂM$ĐẾN$MẶT$PHẲNG$ Ví$dụ$1.$Cho$hình$chóp$S.ABC$có$đáy$ABC$là$tam$giác$vuông$tại$B,$ AB = a,AC = 2a .$Gọi$I,H,J$ lần$lượt$là$trung$điểm$của$BC,AI,SC.$Tam$giác$SAI$cân$tại$S$và$nằm$trong$mặt$phẳng$vuông$ góc$với$đáy$(ABC).$Biết$góc$giữa$hai$mặt$phẳng$(SAB)$và$(ABC)$bằng$ 60 0 .$Tính$thể$tích$khối$ chóp$S.ABC$và$khoảng$cách$từ$H$đến$mặt$phẳng$(ABJ).$ Lời$giải:$ Gọi$M$là$trung$điểm$của$AB$ta$có$MH$là$đường$ trung$bình$của$tam$giác$ABI$nên:$ $ MH //BC ⇒ MH ⊥ AB ⇒ AB ⊥ (SHM ) .$ Do$đó$góc$ SMH ! = 60 0 là$góc$giữa$mặt$phẳng$(SAB)$ và$(ABC).$ Theo$pitago$ta$có: BC = AC 2 − AB 2 = a 3 .$ Ta$có:$ MH = BI 2 = BC 4 = a 3 4 .$ F E K M J H I A B S C D $ Tam$giác$vuông$SHM$có:$ SH = HM tan 60 0 = a 3 4 . 3 = 3a 4 .$ Bài giảng Chuyên đề: Hình học không gian – GV: Đặng Thành Nam – Hotline: 0976 266 202 Tài liệu Ôn thi THPT Quốc Gia 6 Vì$vậy$ V S .ABC = 1 3 SH .S ABC = 1 6 .SH .AB.BC = 1 6 . 3a 4 .a.a 3 = a 3 3 8 .$ Tính$ d H ; ABJ ( ) ( ) :$ Nhận$xét.$Xét$khối$chóp$J.ABC$lúc$này$H$không$phải$là$chân$đường$cao$của$khối$chóp$này.$ Ta$tìm$cách$quy$về$chân$đường$vuông$góc$của$khối$chóp$J.ABC.$Vậy$trước$tiên$phải$tìm$chân$ đường$vuông$góc$hạ$từ$đỉnh$J$xuống$mặt$đáy$(ABC).$ Kẻ$JK$song$song$với$SH$cắt$CH$tại$K$ta$có$ JK ⊥ ABC ( ) và$K$là$trung$điểm$của$CH.$ Kéo$dài$CH$cắt$AB$tại$D:$ Ta$có$ d H ; ABJ ( ) ( ) = HD KD .d K ; ABJ ( ) ( ) .$$ Theo$talets$ta$có:$ DH DC = HM BC = 1 4 ⇒ HD KD = 2 5 ⇒ d H ; ABJ ( ) ( ) = 2 5 d K ; ABJ ( ) ( ) .$ Kẻ$ KE // BC cắt$AB$tại$E$ta$có$ KE ⊥ AB .$Kẻ$KF$vuông$góc$với$JE$ta$có$ KF ⊥ ABJ ( ) .$ Theo$talets$ta$có:$ KE BC = DK DC = 5 8 ⇒ KE = 5 8 BC = 5a 3 8 .$Tam$giác$SHC$có: JK = 1 2 SH = 3a 8 .$ Tam$giác$vuông$JKE$ta$có:$ 1 KF 2 = 1 JK 2 + 1 KE 2 = 1 3a 8 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 2 + 1 5a 3 8 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 2 = 1792 225a 2 ⇒ KF = 15a 7 112 .$ Vậy$ d H ; ABJ ( ) ( ) = 2 5 .KF = 2 5 . 15a 7 112 = 3a 7 56 .$$$$$$$$ DẠNG$2.$KHOẢNG$CÁCH$GIỮA$HAI$ĐƯỜNG$THẲNG$CHÉO$NHAU$$ *Tính$khoảng$cách$giữa$hai$đường$thẳng$trong$đó$có$một$đường$thẳng$nằm$trên$mặt$đáy$ Ví$dụ$1.$Cho$hình$chóp$S.ABCD$có$đáy$ABCD$là$nửa$lục$giác$đều,$ AB = BC = CD = a,SA = a 3 và$vuông$góc$với$mặt$đáy$(ABCD).$Gọi$M,I$lần$lượt$là$các$điểm$ thuộc$đoạn$SB$và$SD$sao$cho$ SM = 3MB,3ID = 4IS .$Chứng$minh$SD$vuông$góc$với$mặt$ phẳng$(AMI)$và$tính$khoảng$cách$giữa$hai$đường$thẳng$AD$và$SC.$ Lời$giải:$ Bài giảng Chuyên đề: Hình học không gian – GV: Đặng Thành Nam – Hotline: 0976 266 202 Tài liệu Ôn thi THPT Quốc Gia 7 Ta$có:$ SI .SD = 3 7 SD 2 = 3a 2 = SA 2 ⇒ I trùng$ với$chân$đường$cao$hạ$từ$A$lên$SD.$ Do$đó$ SD ⊥ AI .$ Tương$tự:$ SM .SB = 3 4 SB 2 = 3a 2 = SA 2 nên$ M$trùng$với$chân$đường$cao$hạ$từ$A$lên$ SB.$ Ta$có:$ $ BD ⊥ AB BD ⊥ SA ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⇒ BD ⊥ SAB ( ) ⇒ BD ⊥ AM .$ Do$đó$ AM ⊥ SBD ( ) ⇒ AM ⊥ SD .$ Suy$ra$ SD ⊥ AMI ( ) .$$$$$$$ A D B S C M I H K E F $ Tính$ d AD;SC ( ) :$ Ta$có$ AD //BC ⇒ AD / / SBC ( ) ⇒ d AD;SC ( ) = d AD; SBC ( ) ( ) = d A; SBC ( ) ( ) .$ Kẻ$AH$vuông$góc$với$BC$tại$H,$kẻ$AK$vuông$góc$với$SH$tại$K$ta$có$ AK ⊥ SBC ( ) .$ Gọi$E,F$lần$lượt$là$hình$chiếu$vuông$góc$của$B,C$trên$AD$ta$có$ EF = BC = a và$ AE = DF = a 2 .$ Suy$ra$ AB = BC = AB 2 + AE 2 = a 2 + a 2 4 = a 5 2 .$ Suy$ra$ AH = BE = a 5 2 .$ Tam$giác$vuông$SAH$có:$ 1 AK 2 = 1 SA 2 + 1 AH 2 = 1 (a 3) 2 + 1 a 5 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 2 = 17 15a 2 ⇒ AK = a 15 17 .$ Vậy$ d AD;SC ( ) = AK = a 15 17 .$$$$$$$ Ví$dụ$2.$Cho$hình$chóp$S.ABCD$có$đáy$ABCD$là$hình$thang$vuông$tại$A$và$D, AD = 2a ,$$ AB = 3a,CD = a .$Tam$giác$SAD$cân$tại$S$và$nằm$trong$mặt$phẳng$vuông$góc$với$đáy.$Biết$ Bài giảng Chuyên đề: Hình học không gian – GV: Đặng Thành Nam – Hotline: 0976 266 202 Tài liệu Ôn thi THPT Quốc Gia 8 góc$giữa$mặt$phẳng$(SBC)$và$mặt$đáy$bằng$ 60 0 .$Tính$khoảng$cách$giữa$hai$đường$thẳng$SA$ và$BC$theo$a.$ Lời$giải:$ Gọi$H$là$trung$điểm$của$AD.$Do$tam$giác$ SAD$cân$tại$S$nên$ SH ⊥ AD .$ Hai$mặt$phẳng$(SAD)$và$(ABCD)$vuông$ góc$và$có$giao$tuyến$HD$nên$ SH ⊥ ABCD ( ) .$ Kẻ$HI$vuông$góc$với$BC$tại$I$khi$đó$ BC ⊥ HI BC ⊥ SH ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⇒ BC ⊥ SHI ( ) nên$góc$ SIH ! = 60 0 chính$là$góc$giữa$hai$mặt$phẳng$ (SBC)$và$(ABCD).$ Bài$toán$này$có$một$ý$nữa$đó$là$tính$thể$ tích$của$khối$chóp$S.ABCD$ta$tính$đường$ cao$SH$vì$vậy$cần$tính$được$độ$dài$HI.$ Để%tính%HI%ta%sử%dụng%công%thức%diện%tích:% HI = 2S HBC BC .$ Diện%tích%tính%gián%tiếp(lấy%diện%tích%cả%hình% thang%trừ%đi%diện%tích%hai%tam%giác%vuông%nhỏ).% Độ%dài%BC%tính%thông%qua%tam%giác%vuông.$$$$$% E K M F I H D A B C S T $ Kẻ$CE$song$song$với$AD$cắt$AB$tại$E.$ Tam$giác$vuông$CEB$có:$ CE = EB = 2a nên$là$tam$giác$vuông$cân$suy$ra$ BC = 2a 2 .$ Ta$có:$$ S HBC = S ABCD −S HAB −S HCD = AB +CD 2 .AD − HA.AB 2 − HD.CD 2 = 3a + a 2 .2a − a.3a 2 − a.a 2 = 2a 2 .$ Suy$ra$ HI = 2S HBC BC = 2.2a 2 2a 2 = a 2 ⇒ SH = HI .tan60 0 = a 6 .$ Trong$mặt$phẳng$(ABCD)$dựng$hình$bình$hành$ACBF$ Ta$có$ BC // A F ⇒ BC // SAF ( ) ⇒ d BC;SA ( ) = d BC; SAF ( ) ( ) .$$ Bài giảng Chuyên đề: Hình học không gian – GV: Đặng Thành Nam – Hotline: 0976 266 202 Tài liệu Ôn thi THPT Quốc Gia 9 Kéo$dài$HI$cắt$AF$tại$T$khi$đó$ d BC; SAF ( ) ( ) = d I ; SAF ( ) ( ) = IT HT d H ; SAF ( ) ( ) .$ Ta$có:$ HT = 2S HAF AF = HA.A F sin HAF ! AF = HA.sin135 0 = a 2 2 .$ Suy$ra$ IT = HI + HT = 3a 2 2 ⇒ IT HT = 3⇒ d BC; SAF ( ) ( ) = 3d H ; SAF ( ) ( ) .$ Kẻ$HK$vuông$góc$với$ST$tại$K$ta$có$ HK ⊥ SAF ( ) .$ Tam$giác$vuông$SHT$có:$ 1 SK 2 = 1 SH 2 + 1 HT 2 = 1 a 6 ( ) 2 + 1 a 2 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 2 = 13 6a 2 ⇒ HK = a 6 13 .$ Vậy$ d SA;BC ( ) = 3HK = 3a 6 13 .$$$$$$ Chú$ý.$Ta$có$thể$quy$khoảng$cách$từ$BC$đến$mặt$phẳng$(SAF)$về$H$bằng$cách$kéo$dài$AD$cắt$ BC$tại$M.$$ Khi$đó$ d BC; SAF ( ) ( ) = d M ; SAF ( ) ( ) = MA HA d H ; SAF ( ) ( ) .$ Theo$talets$ta$có:$ MD MA = CD AB = 1 3 ⇒ MA HA = 3⇒ d BC; SAF ( ) ( ) = 3d H ; SAF ( ) ( ) .$ Ta$có$kết$quả$tương$tự$cách$trên.$ $$ 1. $Cho$hình$chóp$S.ABCD$có$đáy$ABCD$là$hình$thoi$cạnh$a,$ ABC ! = 60 0 .$Hình$chiếu$vuông$ góc$của$S$lên$mặt$đáy$trùng$với$trọng$tâm$G$của$tam$giác$ABC,$đường$thẳng$SA$tạo$với$đáy$ góc$ 60 0 .$Tính$thể$tích$khối$chóp$S.ABCD$và$khoảng$cách$giữa$hai$đường$thẳng$AD$và$SB.$ Bài$giải$ Bài giảng Chuyên đề: Hình học không gian – GV: Đặng Thành Nam – Hotline: 0976 266 202 Tài liệu Ôn thi THPT Quốc Gia 10 Gọi$M$là$trung$điểm$của$BC,$khi$đó$G$là$giao$ điểm$của$AM$và$BD.$ Tam$giác$ AM = AB sin 60 0 = a 3 2 .$ Góc$ SG ⊥ ABCD ( ) ⇒ SAG ! = 60 0 là$góc$giữa$SA$ và$mặt$phẳng$(ABCD).$ Tam$giác$vuông$SAG$có:$ SG = AG tan 60 0 = 2 3 AM .tan 60 0 = 2 3 . a 3 2 . 3 = a .$ S ABCD = 2S ABC = BA.BC sin 60 0 = a 2 3 2 .$$$ $$$ G M D C B A S H $ V S .ABCD = 1 3 SG.S ABCD = 1 3 .a. a 2 3 2 = a 3 3 6 (đvtt).$ Tính$ d AD;SB ( ) :$ Ta$có:$ $ AD //BC ⇒ AD / / SBC ( ) ⇒ d AD;SB ( ) = d AD; SBC ( ) ( ) = d A; SBC ( ) ( ) = AM GM d G; SBC ( ) ( ) = 3d G; SBC ( ) ( ) .$ Kẻ$GH$vuông$góc$với$SM$tại$H$ta$có$ GH ⊥ SBC ( ) .$ Tam$giác$vuông$SGM$có:$ 1 GH 2 = 1 GM 2 + 1 SG 2 = 1 a 3 6 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 2 + 1 a 2 = 13 a 2 ⇒GH = a 13 13 .$ Suy$ra$ d AD;SB ( ) = 3GH = 3a 13 13 .$$$ Ví$dụ$6.$Cho$hình$chóp$S.ABCD$có$đáy$ABCD$là$hình$thang$vuông$tại$A$và$B,$ BC = a,AB = AD = 2a .$Cạnh$bên$SA$vuông$góc$với$mặt$đáy$(ABCD),$mặt$bên$(SBC)$tạo$với$ mặt$đáy$góc$60 0 .$Gọi$M$là$trung$điểm$cạnh$SB,$mặt$phẳng$(ADM)$cắt$cạnh$SC$tại$N.$Tính$thể$ tích$khối$chóp$S.ABCD$và$khoảng$cách$giữa$hai$đường$thẳng$BN$và$CD.$ Lời$giải:$ [...]...  lại)  để  quy  về  tính khoảng cách  như  các  bài  toán  có   một  đường  thẳng  thuộc  mặt  đáy  quen  thuộc           Tài liệu Ôn thi THPT Quốc Gia 13 Bài giảng Chuyên đề: Hình học không gian – GV: Đặng Thành Nam – Hotline: 0976 266 202 DẠNG  3    KHỐI  ĐA  DIỆN  CHO  TRƯỚC  KHOẢNG  CÁCH   Khi  cho  trước khoảng cách  ta  phải định  chính xác  công  thức khoảng cách  đó  Sau  đó  tìm  ra... giảng Chuyên đề: Hình học không gian – GV: Đặng Thành Nam – Hotline: 0976 266 202 a 6 SH 3 ! ! a 3 3 = a   Suy  ra   sinSCH = = 3 = ⇒ OK = CO.sinSCH = SC 3 2 3 2 a 2 Vậy   d ( BD;SC ) = OK = a           2 Cách  2:  Nhiều  học  sinh không  nhận  ra  OK  là  đoạn  vuông  góc  chung  của  BD  và  SC  vậy  áp   dụng cách  tính khoảng cách  tổng  quát  ta  thực  hiện  như  sau:   Trong  mặt  phẳng  (ABCD)...  chiếu  của  A  lên  BC  Tính  thể  tích  khối  chóp  A’.HMN  và khoảng cách  giữa  hai  đường   thẳng  MP  và  HN   Bài  giải   Tài liệu Ôn thi THPT Quốc Gia 12 Bài giảng Chuyên đề: Hình học không gian – GV: Đặng Thành Nam – Hotline: 0976 266 202 A' Nhận  xét  Rất  khó  tính  thể  tích  khối  chóp   C' A’.HMN  nếu  ta không xác định  được  đáy   P E Coi  mặt  đáy  khối  chóp  này  là  (A’MN)  ...  Nếu  khối  chóp  có  mặt  đáy không  là  mặt  đáy  của  khối  lăng  trụ  hoặc  khối  chóp  ban   đầu  ta  lựa  chọn  một  đáy  hợp  lý  sao  cho  việc  tính  diện  tích  đáy  và khoảng cách  từ  đỉnh  còn  lại   đến  đáy  đó  đơn  giản  để  tính  thể  tích  Tương  tự  nếu  hai  đường  thẳng  chéo  nhau không  có   đường  thẳng  nào  nằm  trên  mặt  đáy  ta  phải xác định  mặt  phẳng  đáy  mới(chứa... liệu Ôn thi THPT Quốc Gia 17 Bài giảng Chuyên đề: Hình học không gian – GV: Đặng Thành Nam – Hotline: 0976 266 202 a 6 a 3 2S A' AM A' H AM a 6 2 Ta  có:   AK = MI = = = =   2 2 AA' AA' 2 ⎛a 6 ⎞ ⎛a 3 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ ⎜ ⎜ 6 ⎟ ⎜ 3 ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎟ ⎝ ⎠ ⎠ a   2 Nhận  xét  Ta  có  thể  quy khoảng cách  từ  A  đến  mặt  phẳng  (BCC’B’)  về khoảng cách  từ  H  đến   ( ) Vậy   d A';( BCC 'B') = AK = mặt...  thiện  bước  tính  thể  tích,  góc  hoặc khoảng cách  tùy  thuộc   vào  yêu  cầu  đề  bài   3  Cho  hình  chóp  S.ABCD  có  đáy  ABC  là  hình  bình  hành  và   SA = SB = AB = 2BC = 2a ,  góc   ! ABC =1200  Gọi  M  là  trung  điểm  của  AB  Biết  hình  chiếu  vuông  góc  H  của  S  lên  mặt  đáy   3   5 (ABCD)  nằm trong  tứ  giác  ABCD  và khoảng cách  từ  M  đến  mặt  phẳng  (SCD)  bằng  ... /CE ⇒ BD / /(SCE ) ⇒ d ( BD;CE ) = d BD;(SCE ) = d O;(SCE )   Để  ý   OC ⊥ BD ⇒ OC ⊥ CE do  vậy  chỉ  cần  kẻ  OK  vuông  góc  với  SC  tại  K  thì  OK  chính  là   khoảng cách  cần  tìm  Đây  chính  là  lời  giải  đã  trình  bày trong cách  1     Nhận  xét  Ta  có  thể  quy  về  chân  đường  vuông  góc  H  để  thuận  tiện  tính  toán  như  sau:   ( ) d O;(SCE ) = OC 3 d H ;(SCE ) = d H ;(SCE )  ... Tài liệu Ôn thi THPT Quốc Gia   16 Bài giảng Chuyên đề: Hình học không gian – GV: Đặng Thành Nam – Hotline: 0976 266 202 3 Cho  hình  lăng  trụ  ABC.A’B’C’  có  A’.ABC  là  hình  chóp  đều,   AB = a  Gọi   ϕ là  góc  giữa  mặt   phẳng  (A’BC)  và  mặt  phẳng  (ABC)  với   cosϕ = 3  Tính  thể  tích  khối  chóp  A’.BCC’B’  và   3 khoảng cách  từ  A’  đến  mặt  phẳng  (BCC’B’)   Bài  giải   Gọi  M,  N...  vuông  góc  với  mặt  đáy  (ABCD)  Gọi  M  là   trung  điểm  cạnh  SD  Tính  thể  tích  khối  chóp  S.ABCD  và khoảng cách  giữa  hai  đường  thẳng   SB  và  CM   Lời  giải:   Gọi  H  là  trung  điểm  cạnh  AB,  ta  có   Tài liệu Ôn thi THPT Quốc Gia 11 Bài giảng Chuyên đề: Hình học không gian – GV: Đặng Thành Nam – Hotline: 0976 266 202 ⎧SH ⊥ AB ⎪ ⎪   ⇒ SH ⊥ (ABCD)   ⎨ ⎪(SAB) ⊥ (ABCD) ⎪ ⎩ Tam  giác... ( BD;SC ) = HI = =   4 4 3 2 Ta  có  kết  quả  tương  tự cách  trên           2 Cho  hình  lăng  trụ  đứng  ABC.A’B’C’  có  đáy  ABC  là  tam  giác  vuông,   AB = BC = a  Gọi  M  là   trung  điểm  BC,  biết  góc  giữa  mặt  phẳng  (A’BC)  và  mặt  đáy  (ABC)  bằng   600  Tính  thể  tích   lăng  trụ  khối  chóp  A’.BCC’B’  và khoảng cách  giữa  hai  đường  thẳng  B’C  và  AM   Bài  giải       . Hình học không gian – GV: Đặng Thành Nam – Hotline: 0976 266 202 Tài liệu Ôn thi THPT Quốc Gia 1 Vấn$đề$2. $Xác$ định$ khoảng $cách$ NỘI$DUNG$PHƯƠNG$PHÁP$ Mấu$chốt$của$nó$là$tính$được $khoảng $cách$ từ$chân$đường$cao$của$khối$chóp$đến$mặt$ bên$đối$diện$với$nó.$Khi$đó $khoảng $cách$ từ$điểm$bất$kỳ$đến$mặt$phẳng$ta$quy$về $khoảng$ cách$ từ$chân$đường$vuông$góc$tới$mặt$phẳng$đó; $khoảng $cách$ giữa$hai$đường$thẳng$chéo$ nhau$quy$về $khoảng $cách$ từ$điểm$đến$mặt$phẳng$và$như$vậy$vẫn$là $khoảng $cách$ từ$chân$ đường$cao$của$khối$chóp$đến$mặt$bên$đối$diện$với$nó.$ Ta$cùng$xét$bài$toán$sau:$ Bài$toán$1.$Cho$hình$chóp$S.ABC$có$hình$chiếu$vuông$góc$của$S$lên$mặt$đáy$(ABC)$là$H.$Tính$ khoảng $cách$ từ$H$đến$mặt$bên$(SBC).$ K I A C B H S $ Kẻ$HI$vuông$góc$với$BC$tại$I.$ Kẻ$SK$vuông$góc$với$SI$tại$K.$ Ta$có:$ . Vấn$đề$2. $Xác$ định$ khoảng $cách$ NỘI$DUNG$PHƯƠNG$PHÁP$ Mấu$chốt$của$nó$là$tính$được $khoảng $cách$ từ$chân$đường$cao$của$khối$chóp$đến$mặt$ bên$đối$diện$với$nó.$Khi$đó $khoảng $cách$ từ$điểm$bất$kỳ$đến$mặt$phẳng$ta$quy$về $khoảng$ cách$ từ$chân$đường$vuông$góc$tới$mặt$phẳng$đó; $khoảng $cách$ giữa$hai$đường$thẳng$chéo$ nhau$quy$về $khoảng $cách$ từ$điểm$đến$mặt$phẳng$và$như$vậy$vẫn$là $khoảng $cách$ từ$chân$ đường$cao$của$khối$chóp$đến$mặt$bên$đối$diện$với$nó.$ Ta$cùng$xét$bài$toán$sau:$ Bài$toán$1.$Cho$hình$chóp$S.ABC$có$hình$chiếu$vuông$góc$của$S$lên$mặt$đáy$(ABC)$là$H.$Tính$ khoảng $cách$ từ$H$đến$mặt$bên$(SBC).$ K I A C B H S $ Kẻ$HI$vuông$góc$với$BC$tại$I.$ Kẻ$SK$vuông$góc$với$SI$tại$K.$ Ta$có:$ . 3 2 .$ Bài$toán$3.$Tính $khoảng $cách$ giữa$hai$đường$thẳng$chéo$nhau$a$và$b.$ $Tôi$trình$bày $cách$ tính $khoảng $cách$ giữa$hai$đường$thẳng$chéo$nhau$bằng $cách$ quy$về$ khoảng $cách$ từ$điểm$đến$mặt$phẳng.$ Bước$1.$Dựng$mặt$phẳng$(P)$chứa$đường$thẳng$b$và$cắt$đường$thẳng$a$tại$A.$ Bước$2.$Từ$A$kẻ$đường$thẳng$