chung minh cac diem thang hang

Chứng minh rằng giao điểm của hai đờng I thẳng chứa hai cạnh bên, giao điểm của hai đờng chéo và Q trung điểm của hai đáy nằm trên cùng một đờng thẳng.. Trên mặt phẳng cho n điểm n > 3 v[r]

Chuyên đề Chøng minh c¸c ®iÓm th¼ng hµng Sử dụng tiên đề Ơcơlit và hệ  Tiên đề Ơcơlit : Qua điểm A nằm ngoài đờng thẳng a kẻ đợc đờng thẳng song song với a  Hệ : Qua điểm A nằm ngoài đờng thẳng a kẻ đợc đờng th¼ng vu«ng gãc víi a VÝ dô Cho tam gi¸c ABC víi hai trung tuyÕn BD vµ CE Gäi M vµ N theo thø tù thuộc các tia đối các tia EC và DB cho EC = EM và DB = DN Chứng minh A, M, N th¼ng hµng Lêi gi¶i M A N Tø gi¸c AMBC cã EA = EB, EM = EC (gt) nªn lµ E F h×nh b×nh hµnh Suy AM // BC (1) Chøng minh t¬ng tù ta cã B C AN // BC (2) Q Tõ (1) vµ (2) suy ba điểm A, M, N thẳng hàng (tiên đề Ơcơlit) Ví dụ Cho hình chữ nhật ABCD (AB < CD) có O là giao điểm hai đờng chéo Trên tia đối tia CD lấy điểm E cho CE = CD Gọi F là hình chiếu của D trªn BE ; I lµ giao ®iÓm cña AB vµ CF ; K lµ giao ®iÓm cña AF vµ BC Chøng minh r»ng ba ®iÓm O, K, I th¼ng hµng A B I Lêi gi¶i Q Q Q K ABCD lµ h×nh ch÷ nhËt nªn AB = CD, AC = F Q BD vµ OA = OB = OC = OD Q Ta cã CB  AI (v× ABCD lµ h×nh ch÷ nhËt)  O CB là đờng cao CAI (1) Q FBD vu«ng t¹i F (v× F lµ h×nh chiÕu cña D lªn BE) cã FO lµ trung tuyÕn øng víi c¹nh huyÒn D C E 1 Q Q Q BD nªn OF = BD  OF = AC FAC có FO là đờng trung tuyến ứng với cạnh AC mà FO = AC nên FAC vuông F Suy AF  CI hay AF là đờng cao CAI (2) K lµ giao ®iÓm cña AF vµ CB nªn tõ (1) vµ (2) suy K lµ trùc t©m cña CAI Do đó IK  AC (3) MÆt kh¸c, tø gi¸c ABEC cã AB = CE (cïng b»ng CD) vµ AB // CE (v× AB // CD) nªn lµ h×nh b×nh hµnh  BE // AC  BF //AC  ABFC lµ h×nh thang L¹i cã FDE vu«ng t¹i F, FC lµ trung tuyÕn øng víi c¹nh DE (v× CD = CE) nªn CF = CD  CF = AB (v× AB = CD) Suy BAC = FCA (c¹nh huyÒn – c¹nh gãc vu«ng)  AF = BC Hình thang ABFC có hai đờng chéo AF và BC nên là hình thang cân Suy · · IAC = ICA  IAC cân I  IO là trung tuyến đồng thời là đờng cao Hay IO  AC (4) Tõ (3) vµ (4) suy I, K, O th¼ng hµng (®pcm) Sö dông tÝnh chÊt céng ®o¹n th¼ng  TÝnh chÊt : NÕu AM + BM = AB th× M n»m gi÷a A vµ B VÝ dô Cho tø gi¸c ABCD Gäi M, I vµ N theo thø tù lµ trung ®iÓm cña AB, AC vµ AD + BC CD Chøng minh r»ng nÕu th× M, I, N th¼ng hµng vµ ABCD trë thµnh h×nh thang Lêi gi¶i MN = MN = AD + BC (1) Gi¶ sö Vì MA = MB, IA = IC nên MI là đờng trung bình cña tam gi¸c ABC B Q I Q M Q C Q N Q D Q A Q Suy MI // BC vµ MI = BC Chøng minh t¬ng tù ta cã IN // AD vµ IN = AD AD + BC 1 = BC + AD 2 Mµ hay MN = MI + IN Từ đó suy I nằm M vµ N, hay M, I, N th¼ng hµng Lúc đó ta có BC // AD vì cùng song song với MN Do đó ABCD trở thành hình thang MN = AD + BC VËy nÕu th× M, I, N th¼ng hµng vµ ABCD trë thµnh h×nh thang C Sử dụng tính chất hai góc kề bù và hai góc đối đỉnh Q ·AOC + COB · = 180 th× A, O, B th¼ng hµng  NÕu A B O Q  Nếu C và D nằm hai nửa mặt phẳng bờ là đờng thẳng Q Q C Q · · AB mµ AOC = BOD (O  AB) th× C, O, D th¼ng hµng O B Ví dụ Đờng tròn tâm O và đờng tròn tâm O’ cắt A Q D Q A và B Gọi C, D lần lợt đối xứng với B qua O và O’ Chứng Q minh r»ng C, A, D th¼ng hµng Q B Q MN = O Q C Q Lêi gi¶i A Q D Q Vì C đối xứng với B qua O nên O là trung điểm BC Suy BC là đờng kính (O) BC · Ta cã OA = OB = OC = nªn tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A  BAC = 90 · Chøng minh t¬ng tù ta cã BAD = 90 · · · Do đó : CAD = BAC + BAD = 180  C, A, D thẳng hàng Sử dụng đồng quy các đờng trung tuyến, các đờng cao, các đờng phân gi¸c tam gi¸c Ví dụ Cho hình bình hành ABCD Gọi O là giao điểm hai đờng chéo ; E là điểm đối xứng A qua B ; F là giao điểm BC và ED ; G là giao điểm BC và OE ; H lµ giao ®iÓm cña EC vµ OF Chøng minh r»ng A, G, H th¼ng hµng Lêi gi¶i Vì O là giao điểm hai đờng chéo AC và BD nên OA = OC E suy EO lµ trung tuyÕn cña EAC Q E đối xứng với A qua B nên B là trung điểm H EA suy CB lµ trung tuyÕn cña EAC Q G lµ giao ®iÓm cña CB vµ EO nªn G lµ träng t©m G B C cña EAC (1) F Q Q Q Q MÆt kh¸c, ABCD lµ h×nh b×nh hµnh nªn CD // O AB, CD = AB, mµ B lµ trung ®iÓm cña AE nªn suy Q CD // BE, CD = BE Do đó tứ giác BECD là hình A D bình hành Từ đó F là trung điểm hai đờng chéo Q Q ED vµ BC cña h×nh b×nh hµnh BECD Ta có OF là đờng trung bình CAB nên OF // AB  OH // AE  HE = HC Do đó AH là trung tuyến EAC (2) Tõ (1) vµ (2) suy A, G, H th¼ng hµng (®pcm) Sử dụng tính chất đờng chéo hình bình hành Ví dụ Cho hình bình hành ABCD Trên đờng chéo BD lấy hai điểm E và F cho BE = DF KÎ EH  AB, FK  CD (H  AB, K  CD) Gäi O lµ trung ®iÓm cña EF Chøng minh r»ng ba ®iÓm H, O, K th¼ng hµng Lêi gi¶i V× EH  AB, FK  CD vµ AB // CD nªn EH // FK (1) H A B · · XÐt HBE vµ KDF cã BE = DF, KDF = HBE , Q Q Q F O E · · DKF = BHE = 90 Q Q Q  HBE = KDF (c¹nh huyÒn – gãc nhän) D C K Q Q Q  HE = KF (2) Tõ (1) vµ (2) suy HEKF lµ h×nh b×nh hµnh  trung ®iÓm cña EF còng lµ trung ®iÓm cña HK VËy E, H, K th¼ng hµng (®pcm) Sö dông ph¬ng ph¸p diÖn tÝch Ví dụ Cho tứ giác ABCD Các đờng thẳng AB và CD cắt M, các đờng th¼ng AD vµ BC c¾t t¹i N Gäi I, J, K theo thø N tù lµ trung ®iÓm cña BD, AC, MN Chøng minh r»ng Q I, J, K th¼ng hµng Lêi gi¶i E K’ Q A Gäi K’ lµ giao ®iÓm cña IJ víi MN Gäi E, F lÇn B Q Q K lợt là chân đờng vuông góc kẻ từ N, M tới đờng Q F Q I Q th¼ng IJ DÔ thÊy M, N n»m vÒ hai phÝa cña IJ Q J Q Ta cã : M D C Q Q Q S NIJ = S NDC - S NDI - S NJC - S CIJ - S CID = S NDC - 1 1 S NBD - S NAC - S AIC - S CBD 2 2 = S NDC - S NAB = S ABCD - 1 1 S ABD - S ABC - (S ADC - S ADIC ) - S CBD 2 2 1 1 (S ABD - S BCD ) + S ABCD - (S ABC + S ADC ) = S ABCD 4 S MIJ = S ABCD Chøng minh t¬ng tù ta cã 1 NF.IJ = ME.IJ Do đó SNIJ = SMIJ hay  ME = NF  SNKJ= SMKJ Hai tam gi¸c NKJ vµ MKJ cã chung chiÒu cao h¹ tõ J nªn tõ trªn suy NK’ = MK’ Mµ MK = NK (gt) nªn K  K’ VËy ba ®iÓm I, J, K th¼ng hµng Sử dụng định lí Talet, định lí Ta lét đảo và hệ định lí Ta let Ví dụ Ba điểm A, B, C cùng thuộc đờng thẳng a, ®iÓm O kh«ng thuéc a Chøng minh r»ng nÕu ba ®iÓm C Q OM ON OP P = = Q M, N, P tháa m·n hÖ thøc OA OB OC th× M, N, B P th¼ng hµng N Q Q Lêi gi¶i O A M Q Q Q OM ON = Thật vậy, theo định lí Talet đảo thì từ OA OB ta suy MN // AB Tơng tự MP // AC Nhng A, B, C thẳng hàng nên M, N, P thẳng hàng (tiên đề Ơcơlit) Ví dụ 10 (Bổ đề hình thang) : Trong hình thang có hai đáy không Chứng minh giao điểm hai đờng I thẳng chứa hai cạnh bên, giao điểm hai đờng chéo và Q trung điểm hai đáy nằm trên cùng đờng thẳng A M B Lêi gi¶i Q Q Q Giả sử hình thang đã cho là ABCD (AB // CD, AB < CD) có J I, J tơng ứng là giao điểm hai đờng thẳng chứa hai cạnh và D QN C hai đờng chéo ; Q Q Q Gäi M vµ N lÇn lît lµ giao ®iÓm cña IJ víi AB vµ CD AM BM IM = (= ) IN vµ Do AB // CD nên áp dụng hệ định lí Talet ta có : DN CN AM BM JM AM BM IM = (= ) = (= ) CN DN JN hay DN CN IN Sö dông ph¬ng ph¸p ph¶n chøng Ví dụ 11 Trên mặt phẳng cho n điểm (n > 3) và bất kì đờng A thẳng nào qua hai điểm đó chứa điểm Q đã cho Chứng minh tất các điểm đã cho cùng nằm trên đờng thẳng H Q Lêi gi¶i C D Giả sử tất các điểm không cùng nằm trên đờng B Q Q Q thẳng Qua cặp điểm đã cho vẽ đờng thẳng (có số Q Q hữu hạn đờng này) và chọn khoảng cách khác từ các điểm đã các đờng thẳng nµy Giả sử khoảng cách từ điểm A đến đờng thẳng BC, đó A, B, C là các điểm đã cho là khoảng cách nhỏ Trên đờng thẳng BC còn có điểm D nào đó Tõ A kÎ AQ vu«ng gãc víi BC t¹i Q Hai c¸c ®iÓm B, C, D n»m cïng mét phÝa điểm Q, chẳng hạn C và D nh hình vẽ, đó ta có CQ < DQ Hạ CH vuông góc với AD H Dễ thấy CH < AQ Điều này mâu thuẫn với việc chọn điểm A và đờng thẳng BC Từ đó ta có điều phải chứng minh Sö dông c¸c tÝnh chÊt sau – Ba điểm cùng thuộc đờng thẳng thì thẳng hàng – Ba điểm cùng cách hai đầu mút đoạn thẳng (cùng thuộc đờng trung trùc cña mét ®o¹n th¼ng) th× th¼ng hµng – Ba điểm cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ a và cùng cách a thì thẳng hàng – Ba điểm cùng cách hai đờng thẳng song song thì thẳng hàng – Ba điểm cùng cách hai cạnh góc (cùng thuộc đờng phân giác gãc) th× th¼ng hµng Bµi tËp Cho ∆ABC, đờng cao AH Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C dựng hình vu«ng ABDE ; trªn nöa mÆt ph¼ng bê AC kh«ng chøa ®iÓm B dùng h×nh vu«ng ACMN Dùng h×nh b×nh hµnh AEIG Gäi K lµ giao ®iÓm cña CD vµ BM Chøng minh r»ng bèn ®iÓm I, A, K, H th¼ng hµng Trªn c¸c c¹nh AB, BC, CD, DA cña h×nh vu«ng ABCD ta lÊy lÇn lît c¸c ®iÓm M, N, P, Q cho AM = BN = CP = DQ Gọi O là giao điểm hai đờng chéo Chứng minh r»ng M, O, P th¼ng hµng Cho góc vuông xAy Một điểm B cố định trên Ax, còn điểm C chuyển động trên Ay §êng trßn néi tiÕp tam gi¸c ABC tiÕp xóc víi c¸c c¹nh AB vµ AC lÇn lît ë M vµ N Chứng minh MN luôn qua điểm cố định điểm C chuyển động trên Ay · · Trong h×nh vu«ng ABCD lÊy ®iÓm E cho EBC = ECB = 15 Trªn nöa mÆt ph¼ng bờ CD không chứa điểm E vẽ tam giác CDF Chứng minh B, E, F thẳng hàng Cho hình thang ABCD, đáy lớn AB Đờng thẳng kẻ từ C song song với AD cắt BD và AB lÇn lît t¹i E vµ F §êng th¼ng kÎ tõ D song song víi BC c¾t AC vµ AB lÇn lît t¹i P vµ Q Chøng minh r»ng bèn ®iÓm M, N, P, Q th¼ng hµng Trên đờng thẳng lấy bốn điểm theo thứ tự là A, E, F, B Dựng các hình vuông ABCD, EFGH cho chúng nằm cùng nửa mặt phẳng bờ là đờng thẳng đã cho Gäi O lµ giao ®iÓm cña AG vµ BH Chøng minh r»ng : a) C, O, E th¼ng hµng b) D, O, F th¼ng hµng Cho hình bình hành ABCD Trên cạnh BC lấy điểm E Lấy điểm F điểm đối xứng với C qua E Tõ ®iÓm F kÎ Fx vµ Fy lÇn lît song song víi AD vµ AB Gäi I lµ giao ®iÓm cña Fx vµ AB ; K lµ giao ®iÓm cña FI vµ AD Chøng minh r»ng I, K, E th¼ng hµng Cho ∆ABC vu«ng t¹i A, c¹nh huyÒn BC = 2AB Trªn c¹nh AC lÊy ®iÓm D cho 1· 1· · · ABD = ABC ACE = ACB 3 ; trªn c¹nh AB lÊy ®iÓm E cho Gäi F lµ giao ®iÓm BD và CE ; G và H theo thứ tự là các điểm đối xứng F qua các cạnh BC và AC Chøng minh r»ng : a) Ba ®iÓm H, D, G th¼ng hµng b) Tam gi¸c EDF c©n Cho gãc vu«ng xOy tam gi¸c M thuéc Ox; A, B thuéc Oy §êng th¼ng ®i qua A vµ vuông góc với AM cắt đờng thẳng qua B và vuông góc với BM P Gọi H là giao ®iÓm cña AP víi MB ; K lµ giao ®iÓm cña AM víi BP ; I, K, E lÇn lît lµ trung ®iÓm cña MP, AB vµ KH Chøng minh r»ng I, E, N th¼ng hµng 10 Cho hình vuông EFGH Một góc vuông xEy quay quanh đỉnh E có cạnh Ex cắt FG và GH theo thứ tự M và N, còn cạnh Ey cắt các đờng FG và GH theo thứ tự tạ P và Q Gäi I vµ K theo thø tù lµ trung ®iÓm cña PN vµ QM Chøng minh r»ng bèn ®iÓm F, H, K, I th¼ng hµng 11 Cho tø gi¸c ABCD vµ mét ®iÓm O n»m bªn tø gi¸c cho c¸c tam gi¸c ABO, BCO, CDO, DAO cã diÖn tÝch b»ng Chøng minh r»ng hoÆc ba ®iÓm A, O, C th¼ng hµng, hoÆc ba ®iÓm B, O, D th¼ng hµng 12 Cho tam giác ABC và ba điểm A’, B’, C’ lần lợt nằm trên các đờng thẳng BC, CA, AB (A’, B’, C’ không trùng với các đỉnh tam giác cho ba điểm đó có đúng điểm ba điểm nằm ngoài tam giác) Chứng minh điều kiện cần và đủ A' B B 'C C ' A × × =1 để ba điểm A’, B’, C’ thẳng hàng là : A 'C B 'A C ' B (§Þnh lÝ Mª – nª – la uýt) 13 Cho ABC có ba góc nhọn, các đờng cao BD và CE Gọi I là điểm thuộc đoạn BC ; H lµ giao ®iÓm cña BD vµ CE ; N thuéc ®o¹n AH ; M thuéc ®o¹n DE Chøng minh r»ng M, I, N th¼ng hµng 14 Cho hình vuông EFGH Một góc vuông Exy quay quanh đỉnh E Cạnh Ex cắt các đờng thẳng FG và GH theo thứ tự M và N ; cạnh Ey cắt các đờng thẳng FG và GH theo thø tù ë P vµ Q Gäi I vµ K theo thø tù lµ trung ®iÓm cña PN vµ QM Chøng minh r»ng ®iÓm F, H, K, I th¼ng hµng · 15 Cho xOy = 90 LÊy ®iÓm M thuéc Ox, A vµ B cïng thuéc Oy §êng th¼ng ®i qua A và vuông góc với AM cắt đờng thẳng qua B và vuông góc với BM P Gọi H là giao ®iÓm cña AP vµ MB ; K lµ giao ®iÓm cña AM vµ BP ; I, E, N lÇn lît lµ trung ®iÓm cña MP, AB vµ KH Chøng minh r»ng I, E, N th¼ng hµng