Đang tải... (xem toàn văn)
b Tìm trên đồ thị hàm số đã cho các điểm sao cho tiếp tuyến tại đó vuông góc với tiệm cận xiên của nó.. c Với giá trị nào của m thì hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu, đồng thời giá trị [r]
(1)CHƯƠNG I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ I TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Đinh nghĩa: Hàm số f đồng biến trên K (x1, x2 K, x1 < x2 f(x1) < f(x2) Hàm số f nghịch biến trên K (x1, x2 K, x1 < x2 f(x1) > f(x2) Điều kiện cần: Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I a) Nếu f đồng biến trên khoảng I thì f(x) 0, x I b) Nếu f nghịch biến trên khoảng I thì f(x) 0, x I Điều kiện đủ: Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I a) Nếu f (x) 0, x I (f(x) = số hữu hạn điểm) thì f đồng biến trên I b) Nếu f (x) 0, x I (f(x) = số hữu hạn điểm) thì f nghịch biến trên I c) Nếu f(x) = 0, x I thì f không đổi trên I Chú ý: Nếu khoảng I thay đoạn nửa khoảng thì f phải liên tục trên đó VẤN ĐỀ 1: Xét chiều biến thiên hàm số Baøi 1.Xét chiều biến thiên các hàm số sau: a) y x x b) y x x x y x4 2x2 d) e) y x x y 1 1 x y a) y x 8x x 2x y x2 d) g) y x x y sin x x 2 k) b) y e) f) y 2 x x 26 x 2 g) h) Baøi 2.Xét chiều biến thiên các hàm số sau: y c) y (4 x )( x 1) m) x 2 x y x x2 y x2 c) 1 x x2 x 1 x2 x 1 x x 3x f) y x 2 x h) y x x i) y x x y sin x x x 2 l) VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số luôn đồng biến nghịch biến trên tập xác định (hoặc trên khoảng xác định) Baøi 1.Chứng minh các hàm số sau luôn đồng biến trên khoảng xác định (hoặc tập xác định) nó: a) y x x 13 b) y x3 3x x c) y 2x x 2 (2) y x2 2x x 1 y x 2mx x m d) e) y 3 x sin(3 x 1) f) Baøi 2.Chứng minh các hàm số sau luôn nghịch biến trên khoảng xác định (hoặc tập xác định) nó: a) y x cot( x 1) b) y cos x x c) y sin x cos x 2 x Baøi 3.Tìm m để các hàm số sau luôn đồng biến trên tập xác định (hoặc khoảng xác định) nó: x 2mx y x m c) mx y y x mx ( m 2) x m x m a) b) Baøi 4.Tìm m để hàm số y x x mx m nghịch biến trên khoảng có độ dài Baøi 5.Tìm m để hàm số: x3 (m 1) x (m 1) x a) đồng biến trên khoảng (1; +) mx y (m 2) x m b) đồng biến trên khoảng (1; +) y c) y x 2mx 3m x 2m đồng biến trên khoảng (1; +) VẤN ĐỀ 3: Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức Baøi 1.Chứng minh các bất đẳng thức sau: x3 x sin x x , với x sin x tan x x , với x a) b) Baøi 2.Chứng minh các bất đẳng thức sau: tan a a , với a b a) tan b b b) a sin a b sin b, với a b VẤN ĐỀ 4: Chứng minh phương trình có nghiệm Baøi 1.Giải các phương trình sau: a) x x Baøi 2.Giải các phương trình sau: a) x x x 0 b) x x x 0 b) ln( x 4) 5 x Baøi 3.Giải các hệ phương trình sau: 2 x y y y y z3 z2 z a) 2 z x x x x y y y y z3 z z b) z x x x x x x c) 5 (3) tan x tan y y x 5 2 x 3y x, y d) y 6 x 12 x z 6 y 12 y c) x 6z 12 z HD: a, b) Xét hàm số f (t ) t t t d) Xét hàm số f(t) = tant + t c) Xét hàm số f (t ) 6t 12t II CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ I Khái niệm cực trị hàm số Giả sử hàm số f xác định trên tập D (D R) và x0 D a) x0 – điểm cực đại f tồn khoảng (a; b) D và x0 (a; b) cho f(x) < f(x0), với x (a; b) \ {x0} Khi đó f(x0) đgl giá trị cực đại (cực đại) f b) x0 – điểm cực tiểu f tồn khoảng (a; b) D và x0 (a; b) cho f(x) > f(x0), với x (a; b) \ {x0} Khi đó f(x0) đgl giá trị cực tiểu (cực tiểu) f c) Nếu x0 là điểm cực trị f thì điểm (x0; f(x0)) đgl điểm cực trị đồ thị hàm số f II Điều kiện cần để hàm số có cực trị Nếu hàm số f có đạo hàm x0 và đạt cực trị điểm đó thì f (x0) = Chú ý: Hàm số f có thể đạt cực trị điểm mà đó đạo hàm không có đạo hàm III Điểu kiện đủ để hàm số có cực trị Định lí 1: Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm x và có đạo hàm trên (a; b)\{x0} a) Nếu f (x) đổi dấu từ âm sang dương x qua x0 thì f đạt cực tiểu x0 b) Nếu f (x) đổi dấu từ dương sang âm x qua x0 thì f đạt cực đại x0 Định lí 2: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a; b) chứa điểm x 0, f (x0) = và có đạo hàm cấp hai khác điểm x0 a) Nếu f (x0) < thì f đạt cực đại x0 b) Nếu f (x0) > thì f đạt cực tiểu x0 VẤN ĐỀ 1: Tìm cực trị hàm số Tìm cực trị các hàm số sau: Baøi a) y 3 x x x4 y x2 2 d) Baøi b) y x x x x 3x y x 2 e) Tìm cực trị các hàm số sau: c) f) y y x4 x2 3x x x 1 (4) a) y ( x 2) ( x 1) Baøi y 4x2 2x 2x2 x b) Tìm cực trị các hàm số sau: a) y x x x b) y e 4e d) y x 4sin x c) y x x c) y x x ln x e) y x ln(1 x ) VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị Chứng minh các hàm số sau luôn có cực đại, cực tiểu: Baøi 2 a) y x 3mx 3(m 1) x m x m(m2 1) x m y x m c) Baøi b) y 2 x 3(2m 1) x 6m(m 1) x x mx m y x m 1 d) Tìm m để hàm số: 2 a) y x 3(m 1) x (2m 3m 2) x m(m 1) có cực đại, cực tiểu 2 b) y x 3mx (m 1) x đạt cực đại x = x c) y mx 2(m 2) x m có cực đại x 2mx y x m d) đạt cực tiểu x = 2 x x m y x e) có giá trị cực đại Baøi Tìm m để các hàm số sau không có cực trị: a) y x x 3mx 3m x mx y x c) Baøi b) y mx 3mx (m 1)x x (m 1) x m m y x d) Tìm a, b, c, d để hàm số: y ax bx cx d a) đạt cực tiểu x = và đạt cực đại 27 x = b) y ax bx c có đồ thị qua gốc toạ độ O và đạt cực trị –9 x = x bx c y x c) đạt cực trị –6 x = –1 d) y y e) Baøi ax bx ab bx a đạt cực trị x = và x = ax x b x2 1 đạt cực đại x = Tìm m để hàm số : 2 a) y x 2(m 1) x (m 4m 1) x 2(m 1) đạt cực trị hai điểm x1, x2 cho: (5) 1 (x x ) x1 x2 2 y x mx mx x x 8 b) đạt cực trị hai điểm x1, x2 cho: 1 y mx (m 1) x 3(m 2) x 3 đạt cực trị hai điểm x1, x2 cho: x1 x2 1 c) VẤN ĐỀ 3: Đường thẳng qua hai điểm cực trị Baøi Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số : x2 x y x c) 2 a) y x x x b) y 3 x x Baøi 2.Khi hàm số có cực đại, cực tiểu, viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số: 2 a) y x 3mx 3(m 1) x m x mx y x m b) Baøi 3.Tìm m để hàm số y 2 x 3(m 1) x 6(m 2) x có đường thẳng qua hai điểm cực trị song song với đường thẳng y = –4x + III GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VAØ GIAÙ TRÒ NHOÛ NHAÁT CUÛA HAØM SOÁ Định nghĩa: Giả sử hàm số f xác định trên miền D (D R) f ( x ) M , x D M max f ( x ) D x0 D : f ( x0 ) M a) f ( x ) m, x D m min f ( x ) D x0 D : f ( x0 ) m b) Tính chất: max f ( x ) f (b), f ( x ) f (a) [a;b ] a) Nếu hàm số f đồng biến trên [a; b] thì [a;b ] max f ( x ) f (a), f ( x ) f (b) [a;b ] b) Nếu hàm số f nghịch biến trên [a; b] thì [a;b] VẤN ĐỀ 1: Tìm GTLN, GTNN hàm số cách lập bảng biến thiên Cách 1: Thường dùng tìm GTLN, GTNN hàm số trên khoảng Tính f (x) Xét dấu f (x) và lập bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên để kết luận Cách 2: Thường dùng tìm GTLN, GTNN hàm số liên tục trên đoạn [a; b] (6) Tính f (x) Giải phương trình f (x) = tìm các nghiệm x1, x2, …, xn trên [a; b] (nếu có) Tính f(a), f(b), f(x1), f(x2), …, f(xn) So sánh các giá trị vừa tính và kết luận M max f ( x ) max f (a), f (b), f ( x1 ), f ( x2 ), , f ( xn ) [ a;b ] m min f ( x ) min f (a), f (b), f ( x1 ), f ( x2 ), , f ( x n ) [ a;b] Baøi 1.Tìm GTLN, GTNN các hàm số sau: a) y x x 3 b) y 4 x 3x x y x 2x e) d) y x x c) y x x y x2 4x x2 1 f) x2 x 1 y ( x 0) x x2 x 1 g) h) Baøi 2.Tìm GTLN, GTNN các hàm số sau: y x y x4 x2 1 i) x3 x a) y 2 x x 12 x trên [–1; 5] b) y 3 x x trên [–2; 3] c) y x x trên [–3; 2] 3x y x trên [0; 2] e) d) y x x trên [–2; 2] x y x trên [0; 4] f) g) y x x2 y x x trên [0; 1] h) x2 7x x 2 trên [0; 2] i) y 100 x trên [–6; 8] Baøi 3.Tìm GTLN, GTNN các hàm số sau: a) y sin x sin x ( x 0) y b) k) y x x c) y 2sin x cos x cos2 x cos x 3 e) y sin x cos x d) y cos x 2sin x y f) x2 x4 x2 1 2 2 g) y 4 x x x x h) y x x x x VẤN ĐỀ 2: Tìm GTLN, GTNN hàm số cách dùng bất đẳng thức Baøi Giả sử P D ( x; y; z) / x 0, y 0, z 0, x y z 1 Tìm giá trị lớn biểu thức: x y z x 1 y 1 z 1 1 P 3 x 1 y 1 z 1 HD: Sử dụng bất đẳng thức Cô–si: 1 9 x 1 y 1 z 1 ( x 1) ( y 1) (z 1) (7) 3 P P Dấu “=” xảy x = y = z = Vậy D 5 ( x; y ) / x 0, y 0, x y Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Baøi Cho D = S x 4y x x x x y 4 4( x y ) 25 25 x x x x 4y x 4y HD: S Dấu “=” xảy x = 1, y = Vậy minS = VẤN ĐỀ 3: Tìm GTLN, GTNN hàm số cách dùng miền giá trị Baøi 1.Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ các hàm số sau: x2 x 1 x x 23 2sin x cos x y y y 2 sin x cos x x x 1 x x 10 a) b) c) VẤN ĐỀ 4: Sử dụng GTLN, GTNN hàm số PT, HPT, BPT Baøi 1.Giải các phương trình sau: x (1 x )5 4 x x 16 a) x x 2 b) 6 x c) Baøi 2.Tìm m để các phương trình sau có nghiệm: a) x x m c) 3 x 6 x b) 2 x 2x (3 x )(6 x ) m (2 x )(2 x ) m d) x x (7 x )(2 x ) m Baøi 3.Tìm m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với x R: a) x x m b) m x x m c) mx x m 0 IV ĐIỂM UỐN CỦA ĐỒ THỊ Định nghĩa: U x ; f ( x0 ) Điểm đgl điểm uốn đồ thị hàm số y = f(x) tồn khoảng (a; b) chứa điểm x0 cho trên hai khoảng (a; x0) và (x0; b) tiếp tuyến đồ thị điểm U nằm phía trên đồ thị còn trên khoảng tiếp tuyến nằm phía đồ thị Tính chất: Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trên khoảng chứa điểm x 0, f(x0) = và f(x) U x ; f ( x0 ) đổi dấu x qua x0 thì là điểm uốn đồ thị hàm số (8) Đồ thị hàm số bậc ba y ax bx cx d (a 0) luôn có điểm uốn và đó là tâm đối xứng đồ thị Baøi 1.Tìm điểm uốn đồ thị các hàm số sau: a) y x x x b) y x x c) y 3 x 5x x Baøi 2.Tìm m, n để đồ thị hàm số sau có điểm uốn ra: x3 y (m 1) x (m 3) x 3 ; I(1; 3) a) y x x 3mx 3m ; I(1; 2) b) Baøi 3.Tìm m để đồ thị các hàm số sau có điểm uốn: x mx x5 y y x (4 m 3) x x x2 1 a) b) Baøi 4.Chứng minh đồ thị các hàm số sau có điểm uốn thẳng hàng: x 1 x 1 x 3x y y y x2 x 1 x2 1 x2 1 a) b) c) Baøi 5.Tìm m, n để đồ thị các hàm số: a) y x x x mx 2m có hai điểm uốn thẳng hàng với điểm A(1; –2) x3 y x mx 3 có điểm uốn trên đường thẳng y x b) V ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ Định nghĩa: x x0 Đường thẳng đgl đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số y f ( x ) ít các điều kiện sau thoả mãn: lim f ( x ) lim f ( x ) lim f ( x ) lim f ( x ) x x0 x x0 x x0 x x0 ; ; ; y y0 Đường thẳng đgl đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số y f ( x ) ít các điều kiện sau thoả mãn: lim f ( x ) y0 lim f ( x ) y0 x x ; Đường thẳng y ax b, a 0 đgl đường tiệm cận xiên đồ thị hàm số y f ( x ) ít các điều kiện sau thoả mãn: lim f ( x ) (ax b) 0 lim f ( x ) (ax b) 0 x ; x Chú ý: P( x ) y f (x) Q( x ) là hàm số phân thức hữu tỷ a) Nếu x x0 Nếu Q(x) = có nghiệm x0 thì đồ thị có tiệm cận đứng Nếu bậc(P(x)) bậc(Q(x)) thì đồ thị có tiệm cận ngang Nếu bậc(P(x)) = bậc(Q(x)) + thì đồ thị có tiệm cận xiên (9) b) Để xác định các hệ số a, b phương trình tiệm cận xiên, ta có thể áp dụng các công thức sau: f ( x) a lim ; b lim f ( x ) ax x x x f ( x) a lim ; b lim f ( x ) ax x x x Baøi 1.Tìm các tiệm cận đồ thị các hàm số sau: 2x 10 x y y x 1 2x a) b) x2 4x ( x 2)2 y x 1 1 x d) e) Baøi 2.Tìm các tiệm cận đồ thị các hàm số sau: x 2x y y x 4x x2 a) b) Baøi 3.Tìm các tiệm cận đồ thị các hàm số sau: 4x y x2 a) y x x b) Baøi 4.Tìm các tiệm cận đồ thị các hàm số sau: y 2x 1 y 2x 2 x c) 7x2 x y 3x f) y c) y c) x2 4x x2 1 x2 4x e x e x 2 2x a) b) c) y ln( x x 6) Baøi 5.Tìm m để đồ thị các hàm số sau có đúng hai tiệm cận đứng: x2 x 3 y y y 2 2 x 2(2m 3) x m b) x 2(m 1) x c) x x m a) y y ln x (3m 2) x 2m y x 5 Baøi 6.Tìm m để đồ thị hàm số sau có tiệm cận xiên Baøi 7.Tính diện tích tam giác tạo tiệm cận xiên đồ thị các hàm số sau chắn trên hai trục toạ độ: 3x x 3x x y y x x 2 a) b) Baøi 8.Tìm m để tiệm cận xiên đồ thị các hàm số sau tạo với các trục toạ độ tam giác có diện tích S đã ra: x mx x (2m 1) x 2m y y x ;S=8 x 1 a) b) ;S=8 Baøi 9.Chứng minh tích các khoảng cách từ điểm bất kì trên đồ thị các hàm số đến hai tiệm cận số: x2 x 1 x 5x y y x x 3 a) b) (10) VI KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ Các bước khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số Tìm tập xác định hàm số Xét biến thiên hàm số: + Tính y + Tìm các điểm đó đạo hàm y không xác định + Tìm các giới hạn vô cực, giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có) + Lập bảng biến thiên ghi rõ dấu đạo hàm, chiều biến thiên, cực trị hàm số Vẽ đồ thị hàm số: +(NC) Tìm điểm uốn đồ thị (đối với hàm số bậc ba và hàm số trùng phương) – Tính y – Tìm các điểm đó y = và xét dấu y + Vẽ các đường tiệm cận (nếu có) đồ thị + Xác định số điểm đặc biệt đồ thị giao điểm đồ thị với các trục toạ độ (trong trường hợp đồ thị không cắt các trục toạ độ việc tìm toạ độ giao điểm phức tạp thì có thể bỏ qua) Có thể tìm thêm số điểm thuộc đồ thị để có thể vẽ chính xác 2 Hàm số bậc ba y ax bx cx d (a 0) : Tập xác định D = R Đồ thị luôn có điểm uốn và nhận điểm uốn làm tâm đối xứng Các dạng đồ thị: a>0 y’ = có nghiệm phân biệt y D’ = b2 – 3ac > I y’ = có nghiệm kép D’ = b2 – 3ac = x a<0 y I x (11) y’ = vô nghiệm D’ = b2 – 3ac < y y I I x x Hàm số trùng phương y ax bx c (a 0) : Tập xác định D = R Đồ thị luôn nhận trục tung làm trục đối xứng Các dạng đồ thị: a > 0a < 0y’ = có nghiệm phân biệt y ab < y’ = có 10nghiệm x ab > y Hàm số biến y y x x y x ax b (c 0, ad bc 0) cx d : d R \ c Tập xác định D = d a y c và tiệm cận ngang là c Giao điểm Đồ thị có tiệm cận đứng là hai tiệm cận là tâm đối xứng đồ thị hàm số Các dạng đồ thị: x (12) y y 0 x ad – bc > Hàm số hữu tỷ y x ad – bc < ax bx c (a.a ' 0, tử không chia hết cho mẫu) a' x b' : b' R \ a' Tập xác định D = x Đồ thị có tiệm cận đứng là là tâm đối xứng đồ thị hàm số Các dạng đồ thị: b' a ' và tiệm cận xiên Giao điểm hai tiệm cận a.a > a.a < y = có nghiệm phân biệt y = vô nghiệm y y x Baøi 1.Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số: a) y x x x b) y x x x c) y x 3x x (13) x3 x2 3 d) y ( x 1) (4 x ) e) Baøi 2.Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số: y a) y x x b) y x x 2 d) y ( x 1) ( x 1) e) y x x Baøi 3.Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số: x 1 2x 1 y y x 2 x a) b) 2x 3x y y 2x x d) e) Baøi 4.Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số: x2 x 1 y x 1 a) x d) Baøi 5.Vẽ đồ thị các hàm số: y x a) y x x x 1 y x d) x2 x y x b) f) y x x x c) y x4 3x2 2 f) y x x c) f) y y 3 x x x 2x 1 x2 x y x 1 c) x2 y 1 x e) f) b) y x 3x c) y x x y e) x2 x x1 y x2 2x x 1 x 3x y x 2 f) (14) VII MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ SỰ TƯƠNG GIAO CỦA CÁC ĐỒ THỊ Cho hai đồ thị (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x) Để tìm hoành độ giao điểm (C1) và (C2) ta giải phương trình: f(x) = g(x) (*) (gọi là phương trình hoành độ giao điểm) Số nghiệm phương trình (*) số giao điểm hai đồ thị Baøi 3.Tìm toạ độ giao điểm các đồ thị các hàm số sau: x2 3x y 2x 2 y y 4 x x x y x y x x y x 2 a) b) c) Baøi 4.Biện luận theo m số giao điểm các đồ thị các hàm số sau: x3 x2 2x y 2x 1 y y x3 3x 13 y m x x 2 y 2 x m y m( x 2) 12 a) b) c) Baøi 5.Tìm m để đồ thị các hàm số: ( x 2)2 y ; y mx x 2 a) cắt hai điểm phân biệt x 3x m ; y 2 x m x b) cắt hai điểm phân biệt mx x m y ; y mx x c) cắt hai điểm có hoành độ trái dấu mx x m y x d) cắt trục hoành hai điểm phân biệt có hoành độ dương Baøi 6.Tìm m để đồ thị các hàm số: y a) y x x mx 2m; y x cắt ba điểm phân biệt b) y mx 3mx (1 2m) x cắt trục hoành ba điểm phân biệt 2 c) y ( x 1)( x mx m 3) cắt trục hoành ba điểm phân biệt 2 d) y x x x 2m 1; y 2 x x cắt ba điểm phân biệt 2 e) y x x m x 3m; y 2 x cắt ba điểm phân biệt Baøi 7.Tìm m để đồ thị các hàm số: a) y x x 1; y m cắt bốn điểm phân biệt b) y x m(m 1) x m cắt trục hoành bốn điểm phân biệt 2 c) y x (2m 3) x m 3m cắt trục hoành bốn điểm phân biệt Baøi 8.Tìm m để đồ thị các hàm số: 3x y ; y x 2m x a) cắt hai điểm phân biệt A, B Khi đó tìm m để đoạn AB ngắn (15) 4x ; y x m 2 x b) cắt hai điểm phân biệt A, B Khi đó tìm m để đoạn AB ngắn y Baøi 9.Tìm m để đồ thị hàm số y x 3mx 6mx cắt trục hoành ba điểm có hoành độ lập thành cấp số cộng BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ Cơ sở phương pháp: Xét phương trình: f(x) = g(x) (1) Số nghiệm phương trình (1) = Số giao điểm (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x) Nghiệm phương trình (1) là hoành độ giao điểm (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x) Để biện luận số nghiệm phương trình F(x, m) = (*) đồ thị ta biến đổi (*) các dạng sau: Dạng 1: F(x, m) = f(x) = m (1) y Khi đó (1) có thể xem là phương trình hoành độ (C) c giao điểm hai đường: (d) : y = m m A c (C): y = f(x) yCĐ c c c d: y = m d là đường thẳng cùng phương với trục hoành xA x Dựa vào đồ thị (C) ta biện luận số giao điểm yCT (C) và d Từ đó suy số nghiệm (1) c Dạng 2: F(x, m) = f(x) = g(m) (2) Thực tương tự trên, có thể đặt g(m) = k Biện luận theo k, sau đó biện luận theo m Chú ý: Nếu F(x, m) = có nghiệm thoả điều kiện: x thì ta vẽ đồ thị (C): y = f(x) với x Nếu có đặt ẩn số phụ thì ta tìm điều kiện ẩn số phụ, sau đó biện luận theo m VẤN ĐỀ 1: Biện luận số nghiệm phương trình đồ thị Baøi 1.Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm phương trình: 3 a) y x x 1; x x m 0 3 b) y x x 1; x x m 0 3 3 c) y x x 1; x 3x m 2m 0 d) y x x 1; x x m 0 x4 y x 2; x x 2m 0 4 2 e) f) y x x 2; x x m 0 Baøi 2.Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm phương trình: x 5x y ; x (m 5) x 3m 0 x a) x2 4x y ; 2x b) x 2(m 2) x 3m 0 (16) c) y x2 1 ; x (m 1) x x 0 x2 2x ; x 2(m 1) x 4(m 1) 0 x d) Baøi 3.Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm phương trình: 2x2 y ; 2sin2 2m cos m 0 (0 ) 2x a) y x 3x y ; cos 2 (m 3) cos 2m 0 (0 ) x b) Baøi 4.Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số Từ đồ thị (C) hãy suy đồ thị (T) Dùng đồ thị (T) biện luận theo m số nghiệm phương trình: a) b) (C ) : y x 3x x 3x x x ; (T ) : y ; 2m 0 x x1 x (C ) : y x 5x x 5x x 5x ; (T ) : y ; m 0 x x x 3 c) (C ) : y x x 6; (T ) : y x x ; x x m 0 3 2 d) (C ) : y 2 x x 12 x 4; (T ) : y 2 x x 12 x 4; x x 12 x m 0 x 2 y f (x) x Baøi 5.Cho hàm số a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) vuông góc với đường thẳng x 3y 0 c) Dùng đồ thị (C), biện luận số nghiệm phương trình: 3x (m 2) x m 0 x 1 x Baøi 6.Cho hàm số a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số y f ( x) b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) vuông góc với đường thẳng x y 0 c) Dùng đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm phương trình: x (m 1) x m 0 x2 y f (x) x Baøi 7.Cho hàm số a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) qua điểm A(0; 1) c) Dùng đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm phương trình: (1 m) x (1 m) x 0 VẤN ĐỀ 2: Biện luận số nghiệm phương trình bậc ba đồ thị Baøi 1.Tìm m để các phương trình sau có nghiệm: a) x 3(m 1) x 6mx 0 b) x x 3(1 m) x 3m 0 (17) c) x 3mx 6(m 1) x 3m 12 0 3 d) x x 3(m 4) x 4m 0 e) x 3(m 1) x 6(m 2) x m 0 f) x 3mx 2m 0 Baøi 2.Tìm m để các phương trình sau có nghiệm: 2 a) x (m 1) x (2m 3m 2)x 2m(2m 1) 0 b) x 3mx 2m 0 3 c) x (2m 1)x (3m 1) x (m 1) 0 d) x x 3(1 m) x 3m 0 Baøi 3.Tìm m để các phương trình sau có nghiệm phân biệt: 2 a) x 3mx 3(m 1) x (m 1) 0 c) x 3(m 1) x 6(m 2) x m 0 b) x x 3(m 4) x 4m 0 x x m 0 d) 3 SỰ TIẾP XÚC CỦA HAI ĐƯỜNG TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG CONG VẤN ĐỀ 1: Lập phương trình tiếp tuyến đường cong (C): y = f(x) M x ;y Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến (C): y =f(x) điểm 0 : Nếu cho x0 thì tìm y0 = f(x0) Nếu cho y0 thì tìm x0 là nghiệm phương trình f(x) = y0 Tính y = f (x) Suy y(x0) = f (x0) Phương trình tiếp tuyến là: y – y0 = f (x0).(x – x0) Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến (C): y =f(x), biết có hệ số góc k cho trước Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm Gọi M(x0; y0) là tiếp điểm Tính f (x0) có hệ số góc k f (x0) = k (1) Giải phương trình (1), tìm x0 và tính y0 = f(x0) Từ đó viết phương trình Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc Phương trình đường thẳng có dạng: y = kx + m tiếp xúc với (C) và hệ phương trình sau có nghiệm: f ( x ) kx m f '( x ) k (*) Giải hệ (*), tìm m Từ đó viết phương trình Chú ý: Hệ số góc k tiếp tuyến có thể cho gián tiếp sau: + tạo với chiều dương trục hoành góc thì k = tan + song song với đường thẳng d: y = ax + b thì k = a + vuông góc với đường thẳng d: y = ax + b (a 0) thì k = a k a tan + tạo với đường thẳng d: y = ax + b góc thì ka Bài toán 3: Viết phương trình tiếp tuyến (C): y = f(x), biết qua điểm Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm Gọi M(x0; y0) là tiếp điểm Khi đó: y0 = f(x0), y0 = f (x0) Phương trình tiếp tuyến M: y – y0 = f (x0).(x – x0) A( x A ; y A ) qua nên: yA – y0 = f (x0).(xA – x0) (2) Giải phương trình (2), tìm x0 Từ đó viết phương trình A( x A ; y A ) (18) Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc A( x A ; y A ) Phương trình đường thẳng qua và có hệ số góc k: y – yA = k(x – xA) tiếp xúc với (C) và hệ phương trình sau có nghiệm: f ( x ) k ( x x A ) y A f '( x ) k Giải hệ (*), tìm x (suy k) Từ đó viết phương trình tiếp tuyến (*) Baøi 1.Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm ra: a) (C): y 3 x x x A(0; 1) b) (C): y x x B(1; 0) 3x y y x x C(1; –7) x D(0; 3) c) (C): d) (C): Baøi 2.Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm ra: x 3x y x a) (C): điểm A có xA = 3( x 2) x điểm B có yB = b) (C): x 1 y x các giao điểm (C) với trục hoành, trục tung c) (C): y d) (C): y 2 x x các giao điểm (C) với trục hoành, trục tung e) (C): y x x điểm uốn (C) y x 2x2 4 các giao điểm (C) với trục hoành f) (C): Baøi 3.Viết phương trình tiếp tuyến (C) các giao điểm (C) với đường ra: a) (C): y 2 x x x và d: y 7 x 2 b) (C): y 2 x x x và (P): y x x 3 c) (C): y 2 x x x và (C’): y x x x Baøi 4.Tính diện tích tam giác chắn hai trục toạ độ tiếp tuyến đồ thị (C) điểm ra: x 11 y x điểm A có xA = a) (C): b) (C): y x x 26 điểm B có xB = Baøi 5.Tìm m để tiếp tuyến đồ thị (C) điểm chắn hai trục toạ độ tam giác có diện tích S cho trước: 2x m y x điểm A có xA = và S = a) (C): b) (C): y x m( x 1) điểm C có xC = và S = Baøi 6.Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết có hệ số góc k ra: 2x y y x x x ; k = –3 a) (C): ; k = 12 b) (C): (19) x2 3x x ; k = –1 c) (C): d) (C): y x x ; k = Baøi 7.Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết song song với đường thẳng d cho trước: x3 2x y x 3x y y x x ; d: a) (C): ; d: y = 3x + b) (C): y x2 2x 3 y y x 3x x y x ; d: 2 ; d: y = –4x c) (C): d) (C): +1 Baøi 8.Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết vuông góc với đường thẳng d cho trước: x3 x 2x y x 3x y y x ; d: y x a) (C): ; d: b) (C): x2 x2 x y x ; d: y = –3x x ; d: x – c) (C): d) (C): Baøi 9.Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tạo với chiều dương trục Ox góc : x3 3x y x x 4; 600 (C ) : y ; 450 x a) (C): b) Baøi 10 Tìm m để tiếp tuyến (C) điểm vuông góc với đường thẳng d cho trước: x (2m 1) x m y x 1 a) (C): điểm A có xA = và d là tiệm cận xiên (C) y x mx x ; điểm B có xB = và d: x – 12y + = Tìm m để tiếp tuyến (C) điểm song song với đường thẳng d y b) (C): Baøi 11 cho trước: (3m 1) x m m y (m 0) x m (C): điểm A có yA = và d: y x 10 Baøi 12 Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết qua điểm ra: a) (C): y x x ; A(2; –4) c) (C): y x 2 x ; C(–6; 5) 2 b) (C): y x ; B(0; 4) x x 2 y x ; D(2; 2) d) VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hai đường tiếp xúc (NC) Baøi Tìm m để hai đường (C1), (C2) tiếp xúc nhau: a) (C1 ) : y x (3 m)x mx 2; (C2 ) : trục hoành b) (C1 ) : y x m( x 1) 1; (C2 ) : y x c) (C1 ) : y x x x 1; (C2 ) : y x m Baøi Tìm m để hai đường (C1), (C2) tiếp xúc nhau: a) (C1 ) : y x x 1; (C2 ) : y 2mx m b) (C1 ) : y ( x 1)2 ( x 1)2 ; (C2 ) : y 2 x m (20) c) d) (C1 ) : y (2m 1) x m ; (C2 ) : y x x (C1 ) : y x2 x 1 ; (C2 ) : y x m x VẤN ĐỀ 3: Lập phương trình tiếp tuyến chung hai đồ thị (C1): y = f(x) và C2): y = g(x) Baøi 1.Viết phương trình tiếp tuyến chung hai đồ thị: a) (C1 ) : y x x 6; (C2 ) : y x 5x 11 b) (C1 ) : y x x 6; (C2 ) : y x x 14 c) (C1 ) : y x x 6; (C2 ) : y x x 10 VẤN ĐỀ 4: Tìm điểm trên đồ thị (C): y = f(x) cho đó tiếp tuyến (C) song song vuông góc với đường thẳng d cho trước Baøi 1.Tìm các điểm trên đồ thị (C) mà tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng d cho trước: x 3x y y x x ; d: a) (C): b) (C): y x2 x x ; d là tiệm cận xiên (C) x2 x y x ; d là đường thẳng qua hai điểm cực đại, cực tiểu (C) c) (C): x2 x x d) (C): ; d: y = x Baøi 2.Tìm các điểm trên đồ thị (C) mà tiếp tuyến đó song song với đường thẳng d cho trước: x2 x 1 y x a) (C): y x x x 10 ; d: y 2 x b) (C): ; d: y = –x y VẤN ĐỀ 5: Tìm điểm trên đường thẳng d mà từ đó có thể vẽ 1, 2, 3, … tiếp tuyến với đồ thị (C): y = f(x) Baøi Tìm các điểm trên đồ thị (C) mà từ đó vẽ đúng tiếp tuyến với (C): 3 a) (C ) : y x x b) (C ) : y x 3x Baøi Tìm các điểm trên đường thẳng d mà từ đó vẽ đúng tiếp tuyến với (C): x2 x x 1 (C ) : y (C ) : y x ; d là trục hoành x ; d là trục tung a) b) c) (C ) : y x2 x x ; d: y = d) (C ) : y x 3x x ; d: x = x 3 x ; d: y = 2x + e) Baøi Tìm các điểm trên đường thẳng d mà từ đó vẽ ít tiếp tuyến với (C): (C ) : y (21) a) c) (C ) : y x2 x x ; d là trục tung (C ) : y b) 2x 1 x ; d: x = d) (C ) : y x 3x x ; d là trục tung (C ) : y 3x 4 x ; d: y = ĐIỂM ĐẶC BIỆT TRÊN ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ VẤN ĐỀ 1: Tìm điểm trên đồ thị (C): y = f(x) có toạ độ nguyên P( x ) y Q( x ) có toạ độ là số nguyên: Tìm các điểm trên đồ thị hàm số hữu tỉ P( x ) a y A( x ) Q( x ) thành dạng Q( x ) , với A(x) là đa thức, a là số nguyên Phân tích x Khi đó y Q(x) là ước số a Từ đó ta tìm các giá trị x nguyên để Q(x) là ước y số a Thử lại các giá trị tìm và kết luận Baøi 1.Tìm các điểm trên đồ thị (C) hàm số có toạ độ nguyên: x 2 x 10 x 2 y y y x 1 x 2 x a) b) c) d) y x2 x 1 x 2 e) y x2 2x x 1 f) y x x VẤN ĐỀ 2: Tìm cặp điểm trên đồ thị (C): y = f(x) đối xứng qua đường thẳng d: y = ax + b Baøi 1.Tìm trên đồ thị (C) hàm số hai điểm đối xứng qua đường thẳng d: x 4 (C ) : y ; d : x y 0 ( C ) : y x x ; d : x y x a) b) x2 x2 x ; d : y x (C ) : y ; d : y x x x c) d) Baøi 2.Cho đồ thị (C) và đường thẳng d Viết phương trình đồ thị (C) đối xứng với (C) qua đường thẳng d: (C ) : y (22) a) (C ) : y 3 x x 10 x 2; d : x b) (C ) : y x 3x ; d : x 2 x VẤN ĐỀ 3: Tìm cặp điểm trên đồ thị (C): y = f(x) đối xứng qua điểm I(a; b) Baøi 1.Tìm trên đồ thị (C) hàm số hai điểm đối xứng qua điểm I: a) (C ) : y x x x 2; I (2; 4) c) (C ) : y x x x 1; I O(0; 0) b) (C ) : y x2 x ; x 5 I 0; 2 (C ) : y x 4 ; x 1 I O(0; 0) d) VẤN ĐỀ 4: Khoảng cách Baøi 1.Cho đồ thị (C) và điểm A Tìm điểm M trên (C) cho AM nhỏ Chứng minh AM nhỏ thì đường thẳng AM vuông góc với tiếp tuyến (C) M a) (C ) : y x 1; A O(0; 0) b) (C ) : y x ; A(3; 0) A(9;1) c) (C ) : y 2 x 1; Baøi 2.Cho đồ thị (C) và đường thẳng d Tìm điểm M trên (C) cho khoảng cách từ M đến d là nhỏ x2 4x (C ) : y ; d : y x x 2 a) (C ) : y 2 x x x 1; d : y 2 x b) c) (C ) : y x x ; d : y 2( x 1) d) (C ) : y x 1 ; d : y x x VIII ÔN TẬP KHẢO SÁT HÀM SỐ Baøi 1.Cho hàm số: y x mx 4, a là tham số a) Khảo sát và vẽ đồ thị với m = b) Tìm các giá trị tham số m để phương trình sau có nghiệm nhất: x mx 0 ĐS: b) m < 3 Baøi 2.a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: y x x x b) Từ điểm trên đường thẳng x = ta kẻ bao nhiêu tiếp tuyến tới đồ thị hàm số? ĐS: b) tiếp tuyến Baøi 3.Cho hàm số: y x 3x (1) a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) b) Chứng minh m thay đổi, đường thẳng d cho phương trình: y m( x 1) luôn cắt đồ thị hàm số (1) điểm A cố định Hãy xác định các giá trị m để đường thẳng d cắt đồ thị hàm số (1) điểm A, B, C khác cho tiếp tuyến với đồ thị B và C vuông góc với (23) ĐS: b) A( 1; 2); m 2 (1) Baøi a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: y x x b) Với giá trị nào m thì phương trình sau có nghiệm phân biệt x x log4 m (2) ĐS: b) < m < 16 (1) Baøi Cho hàm số: y x x a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số b) Tìm điều kiện tham số m để đường thẳng y = m cắt đồ thị (C) hàm số điểm phân biệt c) Tìm m cho đồ thị (C) hàm số chắn trên đường thẳng y = m ba đoạn thẳng có độ dài m4 m ĐS: b) c) y x mx 2 (1) Baøi Cho hàm số: a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số m = 3 A 0; b) Viết phương trình tiếp tuyến qua tiếp xúc với (C) c) Xác định m để hàm số (1) có cực tiểu mà không có cực đại 3 y ; y 2 x 2 ĐS: b) c) m 3x y (H ) x Baøi Cho hàm số: a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số b) Với giá trị nào a, đường thẳng y = ax + không cắt đồ thị (H)? c) Qua điểm M(2 ; 3) viết phương trình tiếp với đồ thị (H) ĐS: b) –28 < a c) y = –28x + 59 x y (C ) x Baøi a) Khảo sát và vẽ đồ thị b) Tìm tất điểm trên đồ thị (C) cách hai điểm A(0; 0) và B(2; 2) ĐS: b) (2 ; 0), (0 ; 2) y x (C ) x Baøi Cho hàm số: a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) b) Tìm trên (C) các điểm cách hai trục tọa độ c) Tìm k để đường thẳng y = k cắt (C) hai điểm mà đó hai tiếp tuyến với (C) vuông góc với 1 M ; ĐS: b) 2 c) k y x (m 1) x 4m m x (m 1) Baøi 10 Cho hàm số: a) Khảo sát và vẽ đồ thị với m = (24) b) Tìm các giá trị m để hàm số xác định và đồng biến trên khoảng (0 ; +) 2 ĐS: b) m x2 2x x 1 Baøi 11 a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số: b) Gọi I là tâm đối xứng đồ thị (C) và M là điểm trên (C) Tiếp tuyến M với (C) cắt hai đường tiệm cận A và B Chứng minh M là trung điểm đoạn AB và diện tích tam giác IAB không phụ thuộc vào vị trí điểm M trên (C) y ĐS: b) SIAB 2 x2 2x y x 1 (C ) x 1 x 1 Baøi 12 Cho hàm số: a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) b) Tìm trên đồ thị hàm số đã cho các điểm cho tiếp tuyến đó vuông góc với tiệm cận xiên nó 2 2 M1 ; ; ; M2 2 2 ĐS: b) x (m 1) x mx (Cm ) x m Baøi 13 Cho hàm số: a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số ứng với m = b) Chứng minh tích các khoảng cách từ điểm tùy ý thuộc đồ thị (C) (với m = câu trên) tới hai đường tiệm cận luôn số c) Với giá trị nào m thì hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu, đồng thời giá trị cực đại và giá trị cực tiểu cùng dấu y ĐS: b) c) m hay m x2 4x 1 y x 2 Baøi 14 a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: b) Tìm các điểm trên đồ thị có khoảng cách đến đường thẳng (D) : y + 3x + = là nhỏ 5 5 M1 ; ; M2 ; 2 2 ĐS: b) x mx x Baøi 15 Cho hàm số: với m là tham số a) Xác định m để tam giác tạo hai trục tọa độ và đường tiệm cận xiên đồ thị hàm số trên có diện tích b) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên m = –3 ĐS: a) m = –6 hay m = y x2 x 1 x Baøi 16 Cho hàm số: a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số trên b) Xác định m cho phương trình sau có nghiệm: y t (m 1)t 3t (m 1)t (25) ĐS: b) m hay m 2 2 2 Baøi 17 Cho hàm số: y x 3mx 3(1 m ) m m (1) (m là tham số) a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m = 3 b) Tìm k để phương trình x 3x k 3k 0 có nghiệm phân biệt c) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số (1) ĐS: b) k 3; k 0; k 2; c) y x m m 2 Baøi 18 Cho hàm số: y mx (m 9) x 10 (1) (m là tham số) a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m = b) Tìm m để hàm số (1) có ba điểm cực trị ĐS: b) m hay m (2m 1) x m2 (1) x Baøi 19 Cho hàm số: (m là tham số) a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số (1) ứng với m = –1 b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong (C) và hai trục tọa độ c) Tìm m để đồ thị hàm số (1) tiếp xúc với đường thẳng y = x S 1 ln ĐS: b) c) m y mx x m x Baøi 20 Cho hàm số: (1) (m là tham số) a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m = –1 b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành hai điểm phân biệt và hai điểm đó có hoành độ dương m ĐS: b) y Baøi 21 Cho hàm số: y x x m (1) (m là tham số) a) Tìm m để hàm số (1) có hai điểm phân biệt đối xứng qua gốc tọa độ b) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m = ĐS: a) m > x2 2x (1) x Baøi 22 a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số b) Tìm m để đường thẳng dm: y = mx + – 2m cắt đồ thị hàm số (1) hai điểm phân biệt ĐS: b) m > y x 3x y 2( x 1) Baøi 23 Cho hàm số: (1) a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) b) Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị điểm A, B cho AB = ĐS: b) m 1 (26) y x x x (1) Baøi 24 Cho hàm số: có đồ thị (C) a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) b) Viết phương trình tiếp tuyến D (C) điểm uốn và chứng minh D là tiếp tuyến (C) có hệ số góc nhỏ : y x ; k ĐS: b) Baøi 25 Cho hàm số: y x 3mx x (1) (với m là tham số) a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m = b) Tìm m để điểm uốn đồ thị hàm số (1) thuộc đường thẳng y = x + ĐS: b) m = hay m = hay m = –2 (27)