“ Hệ thống các bài tập tôi cũng sắp xếp theo thứ tự từ dễ đến khó để phù hợp với sự tư duy của các em, song các bài toán, dạng toán này chủ yếu áp dụng cho đối tượng học sinh khá giỏi, đ[r]
(1)CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM MỤC LỤC
STT NỘI DUNG TRANG
1 10
Mục lục Tên sang kiến
Phần I : Mô tả giải pháp Cơ Sở lí luận vấn đề 2.Thực trạng vấn đề
3.Các biện pháp tiến hành để giải vấn đề Phần II :Tính giải pháp
Phần III: Hữu ích giải pháp
Phần IV: Khả phổ biến nhân rộng Tài liệu tham khảo
(2)Độc lập - Tự - Hạnh phúc
Gia Lộc, ngày … tháng năm 2012
Kính gửi: Hội đồng sáng kiến cấp Huyện
Họ tên tác giả: Phạm Lương Thiện Sinh ngày: 20 tháng 10 năm 1990 Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác: Tiểu học Đức Xương Trình độ chun mơn: Cao đẳng Sư phạm
PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN DÃY SỐ CÁCH ĐỀU
Trong hệ thống Giáo dục có bậc học coi móng bậc tiểu học Tiểu học cấp học tảng đặt sở ban đầu cho việc hình thành phát triển nhân cách người, đặt móng vững cho giáo dục phổ thơng cho tồn hệ thống giáo dục quốc dân Trong mơn học tiểu học mơn tốn mơn giữ vị trí vơ quan trọng
Để dạy học tốt Bộ GD ĐT nêu phương hướng công đổi giáo dục đào tạo là: Đổi chương trình SGK, đổi phương pháp học đổi đánh giá kết học tập học sinh Trong việc đổi phương pháp dạy học coi nội dung trọng yếu Đổi phương pháp dạy học theo hướng tích cực phải kích thích nhu cầu hứng thú học tập học sinh, trọng rèn luyện tự học, chủ động sáng tạo việc phát giải vấn đề Tuy nhiên mơn Tốn Tiểu học mảng kiến thức liên quan đến “ dãy số cách đều” thường khó tạo cho học sinh tâm lí “ tốn q sức với khả mình”
(3)bài dãy số cách đều, nghiên cứu xin đưa “Phương pháp giải số dạng toán liên quan đến dãy số cách đều” nhằm nâng cao chất lượng dạy học nội dung liên quan đến dãy số cách nói riêng mơn Tốn nói chung
PHẦN I : MÔ TẢ GIẢI PHÁP 1 Cơ sở lí luận vấn đề:
a Khái niệm dãy số cách đều:
Dãy số cách dãy số mà phần tử dãy có quan hệ chặt chẽ với Các phần tử dãy cách theo quy luật đinh mà ta thường gọi quy luật dãy số
b Bài toán dãy số cách đều:
Bài toán dãy số cách dạng tốn có liên quan đến dãy số cách Thông thường đề thường cho dãy yêu cầu người giải tìm quy luật dãy ( tức tìm khoảng cách phần tử dãy) Hoặc yêu cầu tìm phần tử vị trí dãy Cũng có tốn u cầu viết thêm phần tử dãy
c Vai trị Tốn dãy số cách tiểu học:
Ở tiểu học, toán dãy số cách có vị trí quan trọng đặc biệt Nó xuyên suốt từ lớp đến lớp Dạng toán giúp HS tiếp thu kiến thức dãy số cách có hệ thống Nắm phần kiến thức này, giúp HS có hứng thú học toán Ở lớp dưới, dạng toán đòi hỏi HS tư mức độ đơn giản, lên cao yêu cầu toán phức tạp
2 Thực trạng vấn đề. a Thuận lợi:
Trong q trình thực sáng kiến, tơi ln nhận quan tâm giúp đỡ sát Ban giám hiệu nhà trường tổ chuyên môn Bên cạnh đó, em học sinh ủng hộ tơi nhiều để tơi có điều kiện thực sáng kiến
b Khó khăn:
(4)mang tính hình thức, trí nhớ trực quan hình tượng
Bài tập vận dụng cịn ít, chưa liên tục Do q trình rèn luyện cho học sinh kĩ giải toán gặp nhiều khó khăn, hạn chế
Một số học sinh cịn lười suy nghĩ, chưa có ý thức vươn lên học tập Ở lớp 5, HS biết đến số toán liên quan đến dãy số cách mức độ đòi hỏi học sinh phải tư đa phần HS cảm thấy khó, khơng tự đề phương hướng làm bài, giải tốn, chưa tìm kết có tìm mang tính chất suy đốn
Để thấy hiệu sát thực sáng kiến chọn 15 học sinh lớp có trình độ giỏi làm khảo sát với đề sau:
Bài : Tìm quy luật viết số hạng dãy số cho tương ứng rồi viết thêm số
a, ; 6; 9; 12; b, 1; 5; 9; 13;
Bài Cho dãy số tự nhiên chẵn từ đến 102
a, Tìm trung bình cộng số dãy số b, Dãy số có tất chữ số ? Bài Cho dãy số lẻ liên tiếp : 1; 3; 5; 7; 9; ; x
Tìm x để số chữ số dãy gấp lần số số hạng Thang điểm sau :
Bài : điểm
Bài : ý a điểm , ý b, điểm Bài : điểm
Sau HS làm khảo sát, tơi chấm, tổng hợp thu kết sau: TSHS
KS
PHÂN LOẠI ĐIỂM
G K TB Y
15
TS Tỉ lệ TS Tỉ lệ TS Tỉ lệ TS Tỉ lệ
2 13% 27% 33% 27%
(5)em cảm thấy khó, chưa có tư cao Những em đạt điểm việc giải tập em giải tương đối hồn thiện tập Chỉ có em hoàn thành gần xong tập Căn vào đó, tơi nhận thấy em học sinh làm đòi hỏi tư em cịn lúng túng, làm thiếu xác Bởi tơi nghiên cứu vấn đề học sinh thường vướng mắc, gặp khó khăn việc giải toán liên quan đến dãy số cách để đưa số dạng phương pháp giải dạng
3 Các biện pháp tiến hành để giải vấn đề:
DẠNG : TÌM QUY LUẬT VIẾT DÃY SỐ CÁCH ĐỀU
Bài tập Tìm quy luật viết số hạng dãy số sau viết thêm số a, 0; 2; 4; 6; 8;
b, 1; 3; 5; 7; ; c, ; 12; 18 ; 24 ;
Phân tích : Bài tốn gồm yêu cầu? (2 yêu cầu: Tìm quy luật, viết thêm số nữa)
- Hai số tự nhiên liên tiếp dãy (kém) đơn vị? ( Câu a , b đơn vị, câu c đơn vị)
Vậy quy luật viết số dãy số ?
(câu a, câu b là: Hai số tự nhiên liên tiếp dãy (kém) đơn vị, câu c: Hai số tự nhiên liên tiếp dãy (kém) đơn vị)
Bài giải ( cách ) a, Nhận xét :
0 + = ; + = ; + = ; + = ;
Quy luật: Hai số tự nhiên liên tiếp dãy (kém) đơn vị Dãy số viết thêm số : , 0; 2; 4; 6; 8; 10 ; 12 ; 14; 16; 18 b, Nhận xét :
1 + = 3; +2 = 5; + = 7; + = 9;
Quy luật : Hai số tự nhiên liên tiếp dãy (kém) đơn vị Dãy số viết thêm số :1; 3; 5; ; ; 11 ; 13 ; 15 ; 17 ; 19 c, Nhận xét :
6 + = 12; 12 + = 18 ; 18 + = 24;
(6)Tương tự, em tìm quy luật khác để viết dãy số tự nhiên câu a? GV gợi ý cho học sinh (tìm mối quan hệ số hạng số vị trí, khoảng cách) Ở cho học sinh thảo luận nhóm để tìm quy luật khác để viết dãy số Khi hỏi em trình bày (ở tơi trình bày quy luật cịn viết thêm số hạng giống trình bày cách 1) Nội dung sau : Bài giải ( cách )
a, Nhận xét: = – 2; = - ; = - 2; = – 2; Quy luật : Mỗi số hạng = số vị trí khoảng cách -
Tương tự :
câu b , Quy luật : Mỗi số hạng = số vị trí khoảng cách - câu c, Quy luật : Mỗi số hạng = số vị trí khoảng cách
Từ tập giúp học sinh đưa nhận xét cách tìm quy luật viết số dãy số cách sau :
Trước tiên cần dựa vào số mà đưa để tìm quy luật. Ở tơi xin trình bày quy luật điển hình để tập trung phục vụ cho em làm dạng sau dãy số cách đều:
Cách 1: Quy luật : Mỗi số hạng = số hạng liền trước + a ( a khoảng cách số liên tiếp dãy ) Cách 2: Quy luật : Mỗi số hạng = số vị trí khoảng cách
Để phát huy tính tích cực chủ động lĩnh hội kiến thức học sinh , cho em thi tự đặt đề toán dạng “ Tìm quy luật dãy số cách đều” tự giải tốn Các em tham gia tích cực thu nhiều kết khả quan Sau tơi xin trình bày số đề toán em xây dựng:
Bài Tìm quy luật viết số hạng dãy số sau: a, ; 2; 3; 4; ; 97 ; 98; 99
b,3 ; ; ; 12; 15 ; c.10 ; 20 ; 30 ; 40 ;
Bài 2: Nêu quy luật viết số hạng dãy số sau viết thêm số nữa vào dãy số
a, 4; ; 12; 16; 20 ; b ; ; ; 7; 9; 11;
(7)đó xây dựng từ số hạng mà đưa ra, đồng thời dựa vào số chỉ vị trí, khoảng cách số hạng dãy Khi học sinh tìm các quy luật cách nhanh chóng.
DẠNG : TÍNH SỐ CÁC SỐ HẠNG CỦA DÃY SỐ CÁCH ĐỀU Bước : Xây dựng công thức:
Để xây dựng công thức tơi đưa ví dụ đơn giản sau: VD1 : Cho dãy số sau :
1; ; 3; 4; 5; ;7 ; ;
- Em xác định quy luật dãy? (hai số đứng liền (kém) đơn vị) Ta nói khoảng cách số liền dãy
Từ tơi giúp cho học sinh khái quát: Hai số liền dãy số cách ( ) x đơn vị x khoảng cách
Dãy số có số hạng? HS đếm dễ dàng phát hiện: Dãy số có số hạng
VD : Xác định số số hạng dãy số sau : a, 1; ; 3; 4; 5; ;7 ; ; ;10 ; 11; 12
b, ; 3; 5;7 ;9 c, 1; 4;7; 10
d, ; 3; 5;7 ;9 111;113
HS đếm dễ dàng trả lời được: a,có 12 số hạng ; b,có số hạng; c, có số hạng Cịn câu d tạo vấn đề cần giải học sinh Từ , tơi kẻ bảng hướng dẫn học sinh thiết lập công thức sau:
Dãy số Khoảng cách Số số hạng Nhận xét
1;2 ;3; 4; 5; ,9 9 = (9-1) : +
1;2 ; 3; 4, 11,12 12 12 = (12-1) : +
1 ; 3; 5; ; 5 = (9-1) : +
1; ; 7; 10 4 = (10-1) : +
Từ cách tính số số hạng dãy số đơn giản , HS dễ dàng đưa cơng thức tìm số số hạng dãy số cách đều:
(8)Từ ví dụ mang tính cụ thể, trực quan HS tự chiếm lĩnh tri thức đưa cơng thức tính Do HS làm tập mang tính khái quát, tư câu d ( kết 57 số hạng) tập minh hoạ phần thực hành luyện tập sau:
Bước 2: HS thực hành làm số tập: Bài Cho dãy số : 2; 5; 8; 11, 95; 98 ; 101 Tính xem dãy số có số hạng ?
GV hướng dẫn HS theo câu hỏi sau :
+ Bài toán cho biết ? ( Cho dãy số : 2; 5; 8; 11, 95 ; 98 ; 101 )
+2 số hạng liên tiếp dãy ( ) đơn vị ? Vì ? HS trả lời: ( + = , + = , + = 11, ,98 + = 101 Nên : Hai số đứng liền (kém) đơn vị)
+Vậy dãy số cách có khoảng cách ? ( ) +Số lớn dãy số bao nhiêu? (101)
+Số bé dãy số bao nhiêu? (2)
Từ em muốn tính xem dãy số có số hạng ta làm nào? ( Dựa vào công thức:
Số số hạng = ( số hạng lớn – số hạng bé ) : khoảng cách + 1 Em tìm số số hạng dãy số)
Bài giải ( áp dụng công thức vừa xây dựng ) Nhận xét : + = 5; + = 8; + = 11; ;98 + = 101 Quy luật : Hai số đứng liền (kém) đơn vị
Số số hạng dãy : (101 - ) : + = 34 ( số ) Đáp số : 34 số
Lưu ý : Cần hướng dẫn học sinh dãy số cách có :
- Khoảng cách 3; số lớn : 101; số bé :
Phương pháp giải dạng tìm số số hạng dãy số cách : Bước : Nhận xét dãy số
Bước : Nêu quy luật
Bước : Tìm số số hạng theo công thức:
Số số hạng = ( số hạng lớn – số hạng bé ) : khoảng cách + 1
(9)- Em tìm quy luật khác viết dãy số trên? (mỗi số hạng = số vị trí - 1) - Muốn tìm xem dãy số có số hạng trước tiên ta phải tìm ? ( tìm số vị trí số 101)
- Tìm số vị trí số 101 cách nào? Gọi số vị trí số 101 n, ta có :
n -1 = 101 n = 101 +1 n = 102 n = 102 : n = 34
Từ ta có cách giải thứ sau :
Bài giải ( Cách 2)
Nhận xét : = – 1; = – 1; = - 1; 11 = – 1; Quy luật : Mỗi số hạng dãy số vị trí nhân với trừ (số hạng = số vị trí – 1)
Gọi số vị trí số 101( số cuối dãy) n, ta có : n - = 101
n = 101 +1 n = 102 n = 102 : n = 34
Vậy số hạng cuối dãy đứng vị trí thứ 34 hay dãy số có 34 số hạng
Đáp số: 34 số hạng
Ngồi cách tốn cịn có cách Tơi hướng dẫn sau :
+ Ngoài quy luật viết dãy số trên, bạn tìm quy luật khác để viết dãy số? GV gợi ý: lấy số hạng chia cho khoảng cách (Các số hạng dãy chia cho dư thương số vị trí đơn vị)
+ Muốn tìm số số hạng dãy ta phải làm nào? ( Tìm vị trí số 101) + Số vị trí số 101 ? ( 34 Số 101 chia cho 33 dư nên số vị trí 101 : 33 + = 34)
(10)Ta có giải cách sau :
Bài giải (Cách 3) Nhận xét :
: = ( dư ); : = ( dư ); : = ( dư ); 98 : = 32 ( dư ) ; 101 : = 33 ( dư )
Quy luật : Các số hạng dãy chia cho dư thương số vị trí đơn vị
Số 101 chia cho 33 dư nên số vị trí 101 : 33 + = 34 Vậy dãy số có 34 số hạng
Lưu ý : Để tìm quy luật em dựa vào mối quan hệ số hạng, khoảng cách, số vị trí Qua ví dụ khoảng cách nên dãy số có quy luật sau:
- số liền ( ) đơn vị
- Mỗi số hạng dãy số vị trí nhân với trừ
- Các số hạng dãy chia cho dư thương số vị trí đơn vị Bài tập vận dụng
Bài Cho dãy số : 50 ; 53; 56; 59; 257; 260 Tính xem dãy số có số hạng Phân tích đề tốn :
- Tìm quy luật dãy số trên? (Hai số đứng liền (kém) đơn vị)
- Vậy khoảng cách số liên tiếp dãy bao nhiêu? (là 3) - Số hạng bé dãy số số ? (số 50 )
- Số hạng lớn dãy số số ? (số 260 )
Từ em sử dụng cơng thức vừa xây dựng để tìm kết Bài giải ( Cách 1)
Nhận xét : 50 + = 53; 53 + = 58; 58 + = 61; 254 + = 257; 257 +3 = 260 Quy luật : Hai số đứng liền ( ) đơn vị
Số số hạng dãy : (260 - 50 ) : + = 71 ( số ) Vậy dãy số có 71 số hạng
(11)Em tìm quy luật khác để viết dãy số ? (mỗi số hạng = số vị trí + 47)
Từ em phải tìm nữa? ( tìm số vị trí số 260 )
Vị trí số 260 bao nhiêu? ( 71 Số vị trí số 260 n Ta có: n + 47 = 260
n = 260 - 47 n = 213
n = 213 : n = 71
Bài giải ( Cách )
Quy luật : số hạng = số vị trí + 47 ( khoảng cách ) Số vị trí số 260 n Ta có :
n + 47 = 260 n = 260 - 47 n = 213
n = 213 : n = 71
Vậy số hạng cuối dãy đứng vị trí thứ 71 hay dãy số có 71 số hạng
Tuy nhiên , 50 : = 16 ( dư ), 50 : = 17 ( dư ) nhưng không sử dụng tương tự cách phần ví dụ minh hoạ 16 số tương đối xa so vơí số vị trí
Vậy tốn có quy luật dãy số tương ứng với cách giải là:
- Quy luật: Hai số đứng liền (kém) đơn vị. - Quy luật: số hạng = số vị trí + 47
Bài
a, Có số tự nhiên chẵn có hai chữ số b, , Có số tự nhiên lẻ có ba chữ số Phân tích
- Bài toán chưa cho cụ thể số hạng dãy số Ta cần tìm cụ thể dãy số
- Em liệt kê số tự nhiên chẵn có chữ số ?
(12)- Em có nhận xét dãy số này?: ( Đây dãy số cách có:
+ Khoảng cách + Số hạng nhỏ 10 + Số hạng lớn 98
- Em tìm quy luật viết số hạng dãy? + Hai số hạng liền nhau đơn vị + Mỗi số hạng = số vị trí +
+ Mỗi số hạng : = số vị trí +
Từ quy luật làm để tìm số số hạng dãy số trên?
- Có cách :
+ Cách : dựa vào công thức :
Số số hạng = ( số hạng lớn - số hạng bé ): khoảng cách + + Cách 2, cách 3: Tìm số vị trí số 98
- Hướng dẫn tương tự câu b
Từ hướng dẫn tơi u cầu em nhà làm
Hướng dẫn giải :
Cách 1 : số số hạng = ( 98 - 10 ) : + = 45 ( số ) Cách 2 : số hạng = số vị trí +
Do số vị trí số hạng 98 : (98 - ) : = 45 Cách 3 : NX : số hạng : = số vị trí +
Số vị trí số 98 : 98 : - = 45 Vậy dãy số có 45 số hạng
b, Tương tự :
Dãy số : 101; 103; 997; 999 có : ( 999 - 101 ) : + = 450 ( số )
Đáp số : 450 số
Qua trình dạy học nhận thấy HS thường mắc số sai lầm sau : Sai lầm : Bài toán yêu cầu tìm số số hạng học sinh lại trả lời số hạng là (chẳng hạn số hạng 45 số)
Khắc phục : Giúp học sinh nhận biết, phân biệt rõ số hạng số số hạng
Tóm lại : Để giúp học sinh làm tốt dạng toán này, GV cần hướng dẫn học sinh có kĩ sau:
(13)cách, số hạng bé nhất, số hạng lớn dãy số) + Tìm quy luật viết dãy số
+ Tìm số số hạng dãy số phù hợp với quy luật dãy
Trên xin đưa quy luật viết dãy số điển hình Từ có tương ứng cách tìm số số hạng dãy Tuy nhiên hướng dẫn em nên sử dụng cách (cách sử dụng cơng thức ) thường sử dụng đối vơí tất tập dạng Còn cách cách liên quan đến số vị trí, khoảng cách, số dư, áp dụng với số toán không phù hợp VD như bài tập vừa trình bày.
DẠNG : TÌM SỐ HẠNG THỨ X CỦA DÃY SỐ CÁCH ĐỀU
Bước : Xây dựng cơng thức Phân tích :
Dạng ta có cơng thức :
Số số hạng = ( số hạng lớn – số hạng bé ) : khoảng cách + 1
- Giả sử dãy số cách có x số hạng (x nhỏ số lớn
nhất dãy) Khi số hạng thứ x số hạng nào?(lớn dãy)
- Do ta có cơng thức nào?
( x = ( số hạng thứ x - số hạng bé ) : khoảng cách + 1)
Suy : số hạng thứ x = ( x - 1) khoảng cách + số hạng bé
Đây cơng thức tìm số hạng thứ x dãy số cách xây dựng sở có từ công thức dạng
Bước : Hướng dẫn học sinh thực hành luyện tập
Bài :
Người ta viết dãy số tự nhiên gồm 30 số lẻ liên tiếp kể từ Hỏi số hạng thứ 30 số ?
Hướng dẫn học sinh tìm hiểu đề :
+ Bài tốn cho biết ? (dãy số tự nhiên gồm 30 số lẻ liên tiếp kể từ 1) + Bài tốn hỏi ? (số hạng thứ 30 số nào? )
Để giúp học sinh hiểu sâu nhắc : số hạng thứ 30 nghĩa số hạng vị trí thứ 30
Hướng dẫn học sinh suy nghĩ tìm cách giải
(14)Từ muốn tìm số hạng thứ 30 dãy làm nào? (Gọi số hạng thứ 30 x Ta có :
( x - ) : + = 30 ( x - ) : = 30 - ( x - ) : = 29 x - = 29 x - = 58 x = 59
vậy ta có giải sau :
Bài giải ( Cách 1 )( Áp dụng công thức ) Hai số lẻ liên tiếp (kém) đơn vị
Gọi số hạng thứ 30 x; ta có : ( x - ) : + = 30
( x - ) : = 30 - ( x - ) : = 29 x - = 29 x - = 58 x = 59
Vậy số hạng thứ 30 dãy số 59
Từ tơi giúp học sinh đưa phương pháp giải dạng tìm số hạng thứ x dãy số cách theo bước sau:
Bước : Tìm quy luật dãy số cách (khoảng cách) Bước 2: Gọi số hạng thứ x.
Bước : áp dụng công thức xây dựng
x =( số hạng thứ x – số hạng bé ) : khoảng cách + 1. Từ ta tìm số hạng thứ x.
Để phát huy tính tích cực học sinh, cho học sinh thảo luận nhóm để tìm số cách làm khác Gv gợi ý cho học sinh: liệt kê số hạng của dãy, tìm quy luật dãy số từ tìm kết Khi hỏi em nêu thêm nhiều cách Sau nội dung cách:
(15)Liệt kê tất 30 số lẻ liên tiếp kể từ ta có dãy số sau :
1 ; 3; 5; 7; 9; 11; 13; 15; 17; 19; 21; 23; 25; 27; 29; 31; 33; 35; 37; 39; 41; 43; 45; 47; 49; 51; 53; 55; 57; 59;
Số lẻ thứ 30 số 59
Cách
Nếu viết thêm 30 số chẵn liên cách xen kẽ số lẻ số chẵn để tạo thành dãy số tự nhiên liên tiếp dãy có:
30 + 30 = 60 ( số )
Dãy số tự nhiên có số hạng số hạng cuối 60 1; 2; 3; ;59; 60
Vậy số lẻ thứ 30 số 59
Để giúp học sinh chọn cách làm phù hợp, hướng dẫn học sinh bằng các câu hỏi sau:
+ Như để giải tốn trên, em sử dụng cách ? HS trả lời : - Áp dụng công thức xây dựng
- Liệt kê số hạng dãy số (viết thêm số hạng vào dãy số để tạo thành dãy số phù hợp )
-Từ quy luật dãy số để tìm số hạng cần tìm
Em có nhận xét cách làm đó? ( Cách cách sử dụng phù hợp với dãy số có số hạng khoảng cách số hạng nhỏ, Cách1 áp dụng với tập dạng này)
Do tơi hướng em sử dụng cách khuyến khích em sử dụng cách khác
Tóm lại : Để học sinh học tốt dạng tập GV cần hướng dẫn cho HS kĩ năng:
+ HS cần phải có kiến thức dạng tìm số số hạng dãy số để làm tiền đề Khi có cơng thức xây dựng dạng bài“ Tìm số số hạng dãy số”HS dễ dàng khai triển để có cơng thức dạng tập mà cơ sở em hiểu chất tốn bước xây dựng cơng thức tơi trình bày. Vậy HS tự chiếm lĩnh tri thức, tự xây dựng công thức mà khơng có sự áp đặt hay học thuộc cách máy móc Từ HS tích cực có hứng thú học tập hơn.
(16)Bài 1:
Người ta đánh số trang truyện dãy số tự nhiên liên tiếp Hỏi phải dùng tất lượt chữ số để đánh số trang truyện ? Biết truyện dày 2005 trang
Phân tích : Người ta đánh số trang truyện dãy số tự nhiên liên tiếp Mà truyện dày 2005 trang nên phải dùng 2005 số để đánh số trang Số trang tạo thành dãy số tự nhiên liên tiếp: 1; ; 2004 ; 2005;
Muốn tìm số chữ số dãy ta phải chia dãy số thành dãy số có chữ số, có chữ số, cố chữ số, có chữ số Tìm số số hạng dãy số Từ tìm số chữ số dãy, cộng số chữ số dãy số lại ta tổng số chữ số dãy số hay tổng số chữ số cần sử dụng để đánh số trang truyện
Bài giải
Từ trang1 đến trang cần số có chữ số nên số chữ số cần dùng là: = ( chữ số )
Từ trang 10 đến trang 99 có số trang có chữ số : ( 99 - 10 ) : + = 90 ( trang )
Từ trang 100 đến trang 999 có số trang có chữ số : ( 999 - 100 ) : + = 900( trang )
Từ trang 1000 đến trang 2005 có số trang có chữ số : ( 2005 - 1000) : + = 1006 ( trang )
Cần dùng số chữ số để đánh số trang truyện : + 90 + 900 + 1006 = 6913 ( chữ số ) Đáp số : 6913 chữ số
Từ cách làm giúp HS đưa phương pháp tìm số chữ số dãy số cách sau:
Bước 1 : Chia dãy số thành dãy số (dãy số có chữ số, dãy số có chữ số, dãy số có chữ số ,dãy số có chữ số )
Bước 2:Tính số số hạng dãy( Ta áp dụng cách làm dạng 2 sử dụng công thức:
(17)Bước 3 : Tính số chữ số dãy, cụ thể :
Dãy số có n chữ số có a số hạng số chữ số dãy là: n x a ( chữ số )
Bứơc 4 : Tính tổng số chữ số dãy số thành phần Kết chính là số chữ số dãy
Bài tập áp dụng
Bài tập : Người ta dùng số tự nhiên để đánh số trang truyện trang Hỏi phải dùng tất chữ số để đánh số trang truyện dày 400 trang
Đáp số : 1092 chữ số Bài : Một sách có 284 trang Hỏi để đánh số thứ tự trang sách ta phải dùng lần chữ số in ?
Đáp số : 744chữ số Bài : Cần đánh số trang sách :
a, Có 48 trang b, Có 120 trang
Thì phải dùng chữ số ?
Đáp số : a, 87 chữ số ; b, 152 chữ số
Tóm lại : Để giải tốt tập dạng GV cần rèn cho học sinh kĩ năng phân tích đề toán, hiểu khái niệm “số”, “ chữ số”, “số chữ số” khi làm Phân tích dãy số thành dãy số nhỏ loại (cùngcó 1 chữ số, có chữ số, ) Từ tính số chữ số dãy số nhỏ cùng loại cộng lại
DẠNG TÌM CHỮ SỐ THỨ X CỦA DÃY SỐ CÁCH ĐỀU Để đưa phương pháp giải tập đưa tập mẫu sau : Bài 1:
Khi viết số chẵn liên tiếp từ đến m phải dùng 5449 lượt chữ số Hỏi chữ số cuối dãy chữ số ?
Phân tích : Bài tốn coi toán ngược với toán minh hoạ dạng Muốn biết chữ số cuối dãy ta cần dự đốn xem dãy số có loại số (có chữ số, cố chữ số, có chữ số ) Từ tìm số hạng cuối dãy
(18)số) Vì sao? ( tổng số chữ số có chữ số đến số có chữ số là: + 45 + 450 = 1445 ( chữ số ), tổng số chữ số có chữ số đến số có chữ số là: 1445 + 450 = 3245( chữ số ) , 1445 < 5449 < 3245 )
Bài giải ( Cách 1)
2 số chẵn liên tiếp ( ) đơn vị
Các số chẵn có chữ số :(8 - ) : + = ( số ) nên có : = ( lượt chữ số )
Các số chẵn có 2chữ số :(98 - 10 ): + = 45( số ) nên có : 45 = 90 ( lượt chữ số )
Các số chẵn có 3chữ số : (998 - 100 ) : + = 450 (số ) nên có : 450 = 1350 ( lượt chữ số )
Số lượt chữ số lại để viết số chẵn có chữ số : 5449 - ( + 90 + 1350 ) = 4004 ( lượt chữ số )
4004 lượt chữ số viết số lượng số có chữ số 4004 : = 1001 ( số )
Ta có dãy số có chữ số sau : 1000 ; 1002 ; 1004 ; ; m 1001 số
Số số hạng = ( số lớn - số bé ) : khoảng cách + ta có : ( m - 1000 ) : + = 1001
( m - 1000 ) : = 1001 - ( m - 1000 ) : = 1000 m - 1000 = 1000 m – 1000 = 2000 m = 3000
Vậy chữ số cuối dãy chữ số hàng đơn vị số 3000 Ngoài dựa vào phần đầu cách ta có nhiều cách khác để tìm ra số hạng cuối dãy tìm chữ số cuối dãy số sau:
Bài giải (Cách 2)
Phần đầu cách
Như tính đến chữ số thứ 5449 viết 1001 số có chữ số 1000
(19)1001 - = 1000 ( khoảng cách ) Số hạng cuối số hạng : 1000=2000 (đơn vị)
Số hạng cuối dãy : 2000 + 1000 = 3000
Vậy chữ số cuối dãy chữ số hàng đơn vị số 3000
Trong cách làm nhận thấy đa phần em hiểu cách hơn. Do tơi hướng dẫn em trọng tâm đến cách cịn cách khác tơi khuyến khích em làm.
Bài Cho dãy số : ; ; ;8 1994 ; 1996 a, Dãy số có chữ số
b, Tìm chữ số thứ 2000 dãy
Phân tích : Dãy số dãy số cách có khoảng cách Do muốn tính xem dãy số có chữ số ta làm ? ( Phân tách dãy số thành dãy số nhỏ loại số, tính số chữ số dãy số nhỏ loại cộng kết lại)
Muốn biết chữ số thứ 2000 dãy ta cần phải tìm chữ số chứa chữ số thứ 2000 dãy Để tìm ta cần dự đốn xem số thuộc dãy số ? Từ hướng dẫn tơi u cầu HS thảo luận nhóm để tìm cách giải sau :
Bài giải
a,Các số chẵn có chữ số từ số là: (8 - ) : + = ( số ) Các số chẵn có 2chữ số là: (98 - 10 ): + = 45( số )
Các số chẵn có 3chữ số là: (998 - 100 ) : + = 450 (số )
Từ 1000 đến 1996 có : ( 1996 - 1000 ) : + = 499 ( số chẵn có chữ số ) Vậy dãy số có :
1 + 45 + 450 + 499 = 3440 ( chữ số ) b, Theo câu a từ đến 998 có :
1 + 45 + 450 = 1444 ( chữ số ) Do cịn lại :
2000 - 1444 = 556 ( chữ số )
Dùng 556 chữ số để viết số chẵn có chữ số từ 1000 trở lên ta : 556 : = 139 ( số )
(20)Gọi số chẵn có chữ số thứ 139 x, ta có : (x - 1000) : + = 139
(x - 1000) : = 138 x - 1000 = 138 x x – 1000 = 276 x = 1276
Vậy dãy số chẵn từ đến 1276 gồm 2000 chữ số
Suy chữ số thứ 2000 dãy hàng đơn vị số 1276 Bài : Cho dãy số : ; 2; 3; ; 1991 ; 1992
a, Dãy số có chữ số ? b, Tìm chữ số thứ 3000 dãy số
Tôi hướng dẫn học sinh làm sau : Bài giải
a, Từ đến có : ( - ) : + = ( số có chữ số ) Từ 10 đến 99 có : ( 99 - 10 ) : + = 90 ( số có chữ số ) Từ 100 đến 999 có : ( 999 - 100) : + = 900 ( số có chữ số ) Từ 1000 đến 1992 có : ( 1992 - 1000 ) : + = 993 ( số có chữ số ) Vậy dãy số có :
1 + 90 + 900 + 993 = 6861 ( chữ số ) b, Từ đến 999 có :
1 + 90 + 900 = 2889 ( chữ số )
Do cịn : 3000 - 2889 = 111(chữ số số có chữ số)
Vì 111: = 27 (dư 3) nên có 27 số có chữ số viết (còn dư chữ số nữa)
Số tự nhiên nhỏ có chữ số : 1000 Số tự nhiên có chữ số thứ 27 x , ta có : ( x - 1000 ) : + = 27
x - 1000 = 26 x = 1026
27 số có chữ số :
1000 ; 1001 ; 1025 ; 1026
(21)1027)
Như tơi vừa trình bày tốn với khác biệt bài toán cho tương ứng trường hợp cụ thể dạng :
Trường hợp : Tìm chữ số cuối dãy số
Trường hợp : Tìm chữ số dãy số ( trường hợp chia hết). Trường hợp 3: Tìm chữ số dãy số trường hợp chia có dư
Trong trường hợp coi trường hợp đặc biệt trường hợp Từ tơi đưa phương pháp chung sau:
Bước 1:
Dãy số có loại số (số có 1chữ số, chữ số, có chữ số )
Bước 2 : Xem chữ số cần tìm thuộc dãy số nào?
Bước 3 : Tìm số chứa chữ số cần tìm kết luận
PHẦN II : TÍNH MỚI CỦA GIẢI PHÁP
Trên trình bày số dạng tập " liên quan đến dãy số cách " Với cách phân tích, tổng hợp kiến thức em nắm cách giải tốn có tư lơgic, phát triển khả sáng tạo trình giải tập dạng khó phương pháp hợp lí tốn địi hỏi tư nhiều Qua trình dạy học thực nghiệm để thấy kết sát thực em chọn 15 HS tiếp tiếp tục khảo sát với Đề :
Bài 1:
Tìm quy luật viét số dãy số cho tương ứng viết thêm số nữa:
a, ; 3; 5; 7; ; b , ; 14 ; 21 ; 28 ; c, ; 7; 11 ; 15 ;
(22)Tìm trung bình cộng tất số tự nhiên chẵn từ đến 98 Bài 3
Cho dãy số : ; 4; ; ; 190
a, Hỏi dãy số có chữ số ? b, Tìm chữ số thứ 200 dãy
Bài 4 Cho dãy số lẻ liên tiếp ; 3; 5; 7; ; x
Tìm x để số chữ số dãy gấp lần số số hạng dãy Thang điểm sau :
Bài 1: điểm Bài 2: điểm Bài 3: điểm Bài 4: điểm
Tôi thu kết sau: TSHS
KS
PHÂN LOẠI ĐIỂM
G K TB Y
15
TS Tỉ lệ TS Tỉ lệ TS Tỉ lệ TS Tỉ lệ
10 67% 20% 13% 0
Như kết cho thấy có chuyển biến rõ rệt Số lượng học sinh biết giải dạng nâng cao dãy số cách tăng Đặc biệt lượng học sinh làm đạt điểm tốt cao nhiều so với chưa áp dụng giải pháp thực nghiệm Khơng cịn đạt điểm yếu
PHẦN III: HỮU ÍCH CỦA GIẢI PHÁP
(23)hợp lí cho Sau dạng giáo viên nên chốt kiến thức cho học sinh để em dễ dàng làm tập tương tự
Bài tập giáo viên đưa cần có hệ thống từ dễ đến khó sau liên quan đến kiến thức trước để vừa phát triển tư duy, vừa củng cố kiến thức cho học sinh.Như dạng tốn tơi nêu học sinh cần nắm được:
DẠNG : TÌM QUY LUẬT VIẾT DÃY SỐ CÁCH ĐỀU
Quy luật: Hai số tự nhiên liên tiếp dãy (kém) n đơn vị DẠNG : TÍNH SỐ CÁC SỐ HẠNG CỦA DÃY SỐ CÁCH ĐỀU
Số số hạng = ( số hạng lớn – số hạng bé ) : khoảng cách +
DẠNG : TÌM SỐ HẠNG THỨ X CỦA DÃY SỐ CÁCH ĐỀU
Số số hạng = ( số hạng lớn – số hạng bé ) : khoảng cách + x =( số hạng thứ x – số hạng bé ) : khoảng cách +
DẠNG : TÍNH SỐ CHỮ SỐ CỦA DÃY SỐ CÁCH ĐỀU
Bước 1 : Chia dãy số thành dãy số (dãy số có chữ số, dãy số có chữ số, dãy số có chữ số ,dãy số có chữ số )
Bước 2:Tính số số hạng dãy( Ta áp dụng cách làm dạng sử dụng cơng thức:
Số số hạng = ( số lớn – số bé ): khoảng cách +
Bước 3 : Tính số chữ số dãy, cụ thể :
Dãy số có n chữ số có a số hạng số chữ số dãy là: n x a ( chữ số )
Bứơc 4 : Tính tổng số chữ số dãy số thành phần Kết số chữ số dãy
DẠNG TÌM CHỮ SỐ THỨ X CỦA DÃY SỐ CÁCH ĐỀU Số số hạng = ( số lớn - số bé ) : khoảng cách +
Bước 1: Dãy số có loại số (số có 1chữ số, chữ số, có chữ số )
Bước 2 : Xem chữ số cần tìm thuộc dãy số nào?
Bước 3 : Tìm số chứa chữ số cần tìm kết luận
(24)mạng
PHẦN IV: KHẢ NĂNG PHỔ BIẾN NHÂN RỘNG
Sau thời gian tìm tịi nghiên cứu, dã sưu tầm, tổng hợp phân dạng số toán dạng “ liên quan đến dãy số cách “ Hệ thống tập xếp theo thứ tự từ dễ đến khó để phù hợp với tư em, song toán, dạng toán chủ yếu áp dụng cho đối tượng học sinh giỏi, đặc biệt phù hợp cho học sinh tham gia giải toán qua mạng em gặp dạng nhiều vịng thi 14 ;15.Từ tơi đem nhân rộng áp dụng giảng dạy cho tổ khối nhà trường
Dạng tập tìm quy luật dãy số cách viết thêm vào dãy số dạng “cho trung bình cộng dãy số cách yêu cầu tìm số đó” tơi áp dụng vào dạy cho đối tượng học sinh đại trà
* Kết luận chung:
Xuất phát từ thực tế, chương trình Tiểu học đời với phương pháp dạy học lấy học sinh làm trung tâm, học sinh tự chiếm lĩnh tri thức giáo viên người hướng dẫn điều khiển hoạt động học tập học sinh Tơi theo hướng đó, đồng thời q trình dạy học tơi kết hợp hình thức trò chơi đố vui, thi đua khen thưởng, động viên khích lệ em tạo cho em khí hăng hái phát biểu, say mê học tập chủ động việc nắm giúp em hiểu sâu, nhớ lâu.Kết học tập em nâng lên rõ rệt thể thông qua điểm thi học sinh giỏi cấp trường
Với giúp đỡ tổ chuyên môn, Ban giám hiệu nhà trường, thực đổi phương pháp dạy học hướng dẫn học sinh học tốt dạng bài“ liên quan đến dãy số cách đều” Nhưng thời gian hạn chế kinh nghiệm chưa nhiều nên phần trình bày sáng kiến khơng thể tránh khỏi thiếu sót Tơi kính mong lãnh đạo cấp, tổ nghiệp vụ Phịng giáo dục huyện, bạn bè góp ý bảo thêm để sáng kiến tơi hồn thiện
(25)
Tằng Loỏng, ngày 10 tháng năm 2012 Người thực
Trần Thị Anh Nguyệt
TÀI LIỆU THAM KHẢO
STT TÊN TÀI LIỆU TÁC GIẢ NƠI XUẤT BẢN
1
2
Phương pháp giải toán Tiểu học
Toán phát triển tư lớp + Tạp chí nghiên cứu Giáo dục Chuyên san Báo Giáo dục Tiểu học – Vụ Tiểu học
Toán nâng cao lớp
- Đỗ Đình Hoan - Vũ Quốc Trung - Hà Sĩ Hồ
- Phạm Văn Hoàn - Vũ Dương Thụ
- Huỳnh Bảo Châu - Nguyễn Tiến
NXBGD -2006
NXB Đại học SP Hàn Nội
(26)MỤC LỤC Tên sang kiến
B Nội dung phương pháp giải
1 Thực trạng 2 Nguyên nhân
3 Vấn đề cần giải 4 Phương pháp tiến hành
Dạng Tìm quy luật viết dãy số cách đêu
Dạng Tính số số hạng dãy số cách Dạng Tìm số hạng thứ x dãy số cách Dạng Tìm số chữ số dãy số cách Dạng Tìm chữ số thứ x dãy số cách
Dạng Tính tổng số hạng dãy số cách Dạng Số chữ số gấp x lần số số hạng
Dạng Bài tốn trung bình cộng có liên quan đến dãy số cách đều
(27)6 Bài học kinh nghiệm
7 Vấn đề hạn chế , hướng tiếp tục nghiên cứu 8 Điều kiện áp dụng
C Kết luận chung
CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc
(28)Kính gửi: Hội đồng sáng kiến cấp Huyện
Họ tên tác giả: Trần Thị Ánh Nguyệt Sinh ngày: 09 tháng 02 năm 1976 Chức vụ: Phó Hiệu trưởng