[r]
(1)1
Chương
Phần I: LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LÔGARIT I Lũy thừa:
1 Định nghĩa:
• n = 123 ( ∈ , ∈ *)
n thừa số
a a a a a R n N a1 a a
• = ∀ ∈R,a0 = ∀ ≠1 a { }
1
( , 1, / )
n n
a n Z n a R
a
− +
• = ∈ ≥ ∈ • amn = n ma (a>0; ,m n N∈ )
( )
1
0; , m
n
m n m n
a a m n N
a a
−
• = = > ∈
2k x
• xác định x≥0 (k ∈ ) `
2k+1 x
• xác định ∀x ∈ (k \ ∈ ) `
2 Các tính chất : Tất loại lũy thừa có tính chất tương tự sau (chỉ khác điều kiện):Cho a> 0;b >0 m n R, ∈ Ta có:
m n m n
a a a +
• = • (am n) =( )an m =am n
m
m n n
a
a a
−
• =
( )
n n
a b a b
• = n a n ann
b b
⎛ ⎞ • ⎜ ⎟ =
⎝ ⎠
VD : Cho a,b số dương Rút gọn biểu thức sau
1 2
/ a b :
a a
b a
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
− + −
⎜ ⎟ ⎜
⎜ ⎟ ⎝ ⎠
⎝ ⎠ b ⎟ b/
1 4 4
a a b b
a a b b
−
2
−
− − −
− + c/ ( )
2
3 a +3 b a⎛⎜ +b3 −3 ab⎞⎟
⎝ ⎠
Giải
( ) ( )
( )
2
2
1 2
2
2
1
/ a b : a : b a
a a b a b
b a b b a b b
−
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
− + − = − − = =
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ −
b/ ( )
( )
( )
( )
1
1
2
4
4 2
1 1 1
2
4 2
1
1
1
a a b b
a a b b
a a
a a b b a a b b
− −
− −
− −
− − − = − = + + =
− + − −
2 +
c/ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 3 3
3 a + b a⎜⎛ +b3 −3 ab⎞⎟ = a+ b ⎡ a − a b3 + b ⎤ = a + b =a
⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎝ ⎠ +b
(2)a/
1
3 : 2 3 a 3 b
a b b a ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + ⎜ + + ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ b/
3 2
1
4
3 :
a b a
a b
b a a b
⎡⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎤ ⎛ ⎞ ⎢⎜ ⎟ +⎜ ⎟ ⎥ + ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎥ ⎝ ⎠ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦
⎟ c/
2 2 4 a a a a + ⎛ − ⎞ + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
Giải
a/
1 1 1 1
3 3 3 3 1
1 3 3
3 3
1 2 1 1 1 3 3 3 3 3
:
2
a b a b a b a b
a b a b
a b
b a
a b a b a b a b
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ + ⎜ + + ⎟= = = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ + + + + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
3 2
1 1 1 2
3 2
4 4 4
3 3 1
3
3
2 4
1
/ a b a : a b a : a : a b
b a b a b a b
a b b ab
b a a b b a ab a b
⎡ ⎤ ⎡⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + ⎛ ⎞ ⎢ ⎥ ⎢⎜ ⎟ +⎜ ⎟ ⎥ ⎜ + ⎟= ⎜ ⎟+ ⎜ + ⎟= + ⎜ + ⎟= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎢⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎥ ⎝ ⎠ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ⎜ + ⎟ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ( ) 2 2 2
2 :
2
4
/
2 :
4 4 4 a a a a c a a a a a a a a ↔ ≥ ⎧ + = + =
= ⎨− ↔ < ⎩
⎛ − ⎞ + +
⎜ ⎟
⎝ ⎠
VD : Đơn giản biểu thức :
a/
2 2.
a a
−
⎛ ⎞ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ b/
2 4
:
aπ a a π c/ ( )
3
a d/ a 2..a1,3:3 a3
e/ 2 25
Giải
a/ ( )
2
2
2. 2
a a a a a
a − − − − ⎛ ⎞ = = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
2 =a
b/
1 2
4
: a
a a a a a a
a
π π π
π
= = =
c/ ( )a 3 =a 3 =a3 d/
2 1,3
2 1,3 1,3
: a a
a a a a
a
= =
1
1 5 5
3
1 3 3 5
5 2 2 2 2 5 10
/ 2 2 2 2 2 2
e ⎧⎡ ⎤ ⎫ ⎡ ⎤ ⎪ ⎛ ⎞ ⎪ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎢ ⎥ =⎨⎢⎜ ⎟ ⎥ ⎬=⎢⎜ ⎟ ⎥ =⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪⎢⎣ ⎥⎦ ⎪ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ =
Bài 1: Tính biểu thức sau:
0.75 1.5
1
0.75
1
27 ( ) 25
16
1
(81) ( ) ( )
125 32 A B − − − − = + − = + −
3
7 4 5
7
( 2) ( ) ( ) ( )
8 14
( 18) ( 50) ( 25) ( 4) ( 27)
C D = − − − − − − = − − − 4 6
125 ( 16) ( 4) ( 20) ( 8) ( 25) ( 3) ( 15)
9 ( 5) ( 6) E F − − = − − − − − = − − 3
(3)3
5 2 23
M :
5 5
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠⎟ ⎝ ⎠
1
3
-0,25 1
R 625
27 32
− −
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= +⎜ ⎟ −⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Bài 2: Tính biểu thức sau:
3
5
3
4 ( ) A
3
=
3
2
3
243 12 B
( ) 18 27
=
Bài 3: Rút gọn biểu thức: ( Cho a;b số dương)
1
2
2
1
4 2
1 1
4 2
(1 b b) : ( )
A a b
a a
a a b b
B
a a b b
− −
= − + −
− −
= −
− +
4 3 3 4
1
3
6
( )
( )
a a a
C
a a a
a b b a
D
a b
−
− + =
+ + =
+
2
3 3 1 3
2 2
1 1
2 2
b a b b
E a
a a a b
−
⎛ ⎞ ⎛
−
⎜ ⎟ ⎜
=⎜ + ⎟ ⎜ +
⎜ ⎟ ⎜ −
⎝ ⎠ ⎝
⎞ ⎟ ⎟⎟ ⎠
0.5 0.5 0.5
0.5 0.5
2
2 1
a a a
F
a a a a
⎛ + − ⎞ +1
=⎜ − ⎟
+ + −
⎝ ⎠
Bài : Chứng minh:
a/ 3+ − 3− =2 b/ 7 2+ +3 7 2− =2 c/ 39+ 80 + 39− 80 =3 Bài : Tính:
A= 20+ + 20− B = 20 14 2+ + 20 14 2− C = 26 15 3+ + 26 15 3− D= 7 3− + 7 3+
E = 310 3+ + 310 3− F = 2+ + 2−
3 So Sánh :
VD : Hãy so sánh cặp số sau :
a/ 21,7 ∨ 20,8 ; ta có⎨⎧1, 0,8a = >>2 ⇒ 21,7 > 20,8
(4)b/
1,7 0,8
1 1
2 2
⎛ ⎞ ∨ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ; ta có
1,7 0,8
1,7 0,8
1
1 2 2
0 a
2 > ⎧
⎪ ⇒⎛ ⎞ <⎛ ⎞ ⎨ < = < ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎪⎩
1,2
1, 2
3
3 2 2
0 a
2
⎧ <
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎪ ⇒ >
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎨ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
< = < ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪
⎩ c/
1,2
3
2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
∨
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ; ta có
15 15
3 15 15
5
30 30 243.10
30 20
20 20 8.10
⎧ = =
⎪ ⇒ >
⎨
= =
⎪⎩ d/ 30 ∨ 20
; ta có
3 12
4 12
3
4 12
3 12
5 125
7
7 2401
⎧ = =
⎪ ⇒ >
⎨
= =
⎪⎩ e/ 5 ∨ 7 ; ta có
f/ 17 ∨ 28 ; ta có
6
3
3
17 17 4913
17 28
28 28 784
⎧ = =
⎪ ⇒ >
⎨
= =
⎪⎩
Bài : So sánh cặp số sau : a/ 7− ∨ 7−
b/ 52 ∨ 53 c/ 75 ∨ 53
d/ 10 ∨ 101,4
e/
3 2
2
5
⎛ ⎞ ∨ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠5 f/
3,14
1
4
π
⎛ ⎞ ∨ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
g/ ( 3− 2)3 ∨ ( 3− 2)4 h/
5
6
0,7 ∨ 0,73 k/ 310 ∨ 50 l/ 5 ∨ 4 m/ ( )3,1 7,2 ∨ ( )4,3 7,2 n/
2,3 2,3
1
11 11
− −
⎛ ⎞ ∨ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ o/
3
4
1
2
− −
⎛ ⎞ ∨ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠3
−
p/ 2300 ∨ 3200 q/ 3−500 ∨ 5 300 Bài : Chứng minh : 20 +303 >
Bài : So sánh số sau với số 1: a/ 2−3 b/
4
2
3 c/
8
5
−
⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
BTVN: Đơn giản biểu thức sau ( với giả thiết chúng có nghĩa )
( ) (( )) ( )
1 2 3
1
2
3
:
y x y x x y xy y
D x y
x xy y x x y
−
x y −
−
⎡ + + + − ⎤
⎢ ⎥
= + +
+ + −
⎢ ⎥
⎣ ⎦
(5)5
II.Hàm số lũy thừa: 1/ Định nghĩa : y x= α (α∈R)
được gọi hàm số lũy thừa 2/ Đạo hàm hàm số lũy thừa:
( )xα / =α.xα−1 (x>0, α∈R) ; ( )uα / =α.uα−1.u/ (u>0, α∈R) Chú ý : tập xác định hàm số lũy thừa tùy thuộc vào số mũ α
α
Bài 10 : Tìm tập xác định hàm số sau a/ y=(x2 −3x 4− )−3 b/ ( )
1
2 7
y= x + −x c/ y=(2x−5)−54
d/ ( )
8
y= −5 x e/ y= 312 x+ f/ y= x2 −7x 8− III Lôgarit:
III Lôgarit: log ba α aα b ( 0; 1; 0)
dn
a a b
= ⇔ = > ≠ >
Các tính chất :
• log 0a = • logaa =1
• loga ab =b • alogaα =α
• log ( ) loga b b1 = ab1+logab2 1 2
log ( ) loga b ab log b b
• = − a
• loga bα =α.loga b
1
log n log
a b ab
n
• =
Đặc biệt : loga N2 =2.loga N
• logcb=log logca ab
log log
log c a
c b b
a
• =
(
1
log
log
a
b
b b
a
• = ≠ ) log k 1loga ( 0)
a N k N α
• = ≠
Công thức đặc biệt: alogbc =clogba
(6)a/ 125
1 1log 4
log log
81 − 25 49
⎛ ⎞
+ ⎜
⎝ ⎟⎠ b/
2
1lo g 3 lo g 5 lo g 2
1 + + +
c/
7 3
1
log log log 4
72 49⎛⎜ − +5− ⎞⎟
⎝ ⎠ d/ 36log 56 +101 l o g 2− −3log 369
Giải
a/ ( )
3
9 9 3
125 7
1 1 1
log log 8 log 2 4 log 4 2 log 2 2 log 2
4 4 2
81 − 25 49 ⎛⎜⎝ − ⎞⎟⎠
⎛ ⎞ ⎡ ⎤
+ = +
⎜ ⎟ ⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎝ ⎠
=
1 log
1 log 3 log
3 4
4
−
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ = +
⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎟⎠
⎝ ⎠ =19
b/ ( )
1
log 3log 2 log 5 log log 5
1 log 2
16 + + + = + + + =16.25 3.2+ = 592
c/ ( )
7
5 7
1
log log log 4 log 2log 6 2log 4
2
72 49 72 72 18 4,5
36 16
− − − −
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ = + = + = +
⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎟⎠
⎝ ⎠
d/ 36log 56 +101 lg 2− −3log 369 =6log 256 +10log5 = 25 30+ = VD : Tính giá trị biểu thức sau :
9 9
A log 15 log 18 log 10= + −
1 1
3 3
1
B 2log log 400 3log 45
= − +
36
1
C log log
2
= − 1 ( 3 2 )
4
D log log 4.log 3= Giải
3
9 9 9
15.18
log 15 log 18 log 10 log log log
10 2
A= + − = = = =
2
3
1 1 1
3 3 3
1 36.45
2log log 400 3log 45 log log log
2 20
B= − + = ⎛⎜ ⎞⎟= = − =
⎝ ⎠ −
36 6
6
1 1
log log log log log 2.3
2 2
C = − = + = =
2
( ) ( ) ( )
1 4 2
4
1
log log 4.log log log 3.log log log log
2
D = = − = − = − = −
Bài 10 : Tính
a)log 273 b)
log c)
3
1
1 lo g
8 d)
log
(7)7
Bài 11 : Rút gọn biểu thức:
8 8
3
7 7
) log 12 log 15 log 20
) log 36 log 14 3log 21
2
1
) lg lg 4 lg
8
27
) lg 72 lg lg 128
256
a A b B
c C
d D
= − +
= − −
= + +
= − +
2 3
9
2
4
5
log log
log log 27
) log log 2
1
) log log
25
) 4 9
) 27 4
e E f F g G h H
7 9
= =
= +
= +
Bài 12 : Rút gọn biểu thức:
a) 3
1
lo g lo g lo g
8 1
A = + −
b) 5 2008
1
log log log
2 5
B = + −
c)
1
1
log log log 16
2
1 a a
a C
a
+ −
⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
−
d) D = 31 log 4+ + 42 log 3− + 53 log 4−
2
1 5
2
1 2 2 5
1
2 log
3
2
9
3
3
27 log
9
) log log
log 2
4
) log 16 log 27
log log
e A
g A
+
= − +
= − +
−
6
5
9
log lg log 36
4
2
log log
4 log log log 27
36 10
)
log log
25 49
)
3
h A g A
−
+ −
+ −
=
+ −
=
+ + 25
BTVN: Tính:
a log10100 b log28 c log 27 d
3
27
log
e
1 81
log f 3 3
27
log g 1
2
1 16
log h 1
5
25
log
i 3 243
3
log j 2
2 128
2
log k 3log35 l 3log94
m
3
2
1
log
−
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠ n 5
3
5log o ( )3 log34 p
3
2
1
log −
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
BTVN: Tính: a ( )
1 9 5log 3
b
6
13
2
1 27
log log −
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠ c
1
3
(8)d ( ) 16
1 33 4log 3
e
6
16
25
1 125
log log −
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
f ( )
2
3 27 2
1
27
4 5
4 3 3 5
log
log log log
− +
4
4 8 53
log + log + log
16 g 16
h
1
3
9log +121log811 i ( )
3
1
1
2
3
1
3
16
27
log log
log
− +
BTVN: Tính:
2
6
3
1 1
3 3
1 log 12 log
log
2log log 400 3log 45
2
A B
= − +
= − +
3
5 5
4
2
1
log 36 log 10 3log 15
log log 81 log 27
C D
= − −
= + −
VD : Tính giá trị biểu thức sau : A= loga a3 a a5
2
3
loga
B = a a a a log1 343
a
a a a C
a a
=
Giải
1
3 5 1 37
log log
2 10
a a
A= a a a = ⎛⎜a + + ⎞⎟ = + +
⎝ ⎠ =
1
3
1
1
2
3 5
3
27
log log 1
10 10
a a
B a a a a a
⎛ ⎞
+⎜ + + ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎜ ⎟
= = ⎜ ⎟= +⎜ ⎟ =
⎝ ⎠
⎜ ⎟
⎝ ⎠
+
3
5 33 5 3
1 4 1
2
34 91
log log
15 60
a a
a a a a
C
a a a
+ + +
⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎜ ⎟
= = − ⎜ ⎟= −⎜ − ⎟
⎝ ⎠
⎜ ⎟
⎝ ⎠
= −
VD : Tính A= log 166 Biết : log 2712 = x
Giải
6
log 16
A= Từ :
12
3
log 27 3
log 27 log
log 12 log
x
x x
x x
3−
= ⇔ = = ⇒ = − =
+
3
3 log
2 x x
−
⇔ = (*) Do đó :
4
3
6
3
log 4log log 16
log log
A= = =
+
( )