Sau đây là một số bài tập để các bạn tự kiểm tra kiến thức của mình trong việc vận dụng bất đẳng thức tam thức bậc ( α ) vào chứng minh các bất đẳng thức cũng như tìm GTLN - GTNN của biể[r]
(1)ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ——————————
NGUYỄN VĂN DŨNG
ỨNG DỤNG TAM THỨC BẬC (α) ĐỂ CHỨNG MINH VÀ SÁNG TÁC BẤT ĐẲNG THỨC
TIỂU LUẬN
CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC
Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
Giáo viên giảng dạy
GS.TSKH NGUYỄN VĂN MẬU
(2)1
Lời nói đầu
Bất đẳng thức có vị trí quan trọng tốn học khơng đối tượng để nghiên cứu mà cịn đóng vai trị công cụ đắc lực mô hình tốn học liên tục mơ hình tốn học rời rạc lý thuyết phương trình, lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết biểu diễn
Trong hầu hết kỳ thi học sinh giỏi toán quốc gia, thi Olympic Toán khu vực quốc tế, thi Olympic Toán sinh viên trường đại học, thi tuyển sinh vào trường Đại học - Cao đẳng tốn liên quan đến bất đẳng thức hay đề cập thường thuộc vào loại khó khó Các tốn ước lượng tính giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức có nhiều liên quan đến bất đẳng thức
Bất đẳng thức tam thức bậc (α) mở rộng tự nhiên từ bất đẳng thức Cauchy dạng sơ đẳng "x2+ 1≥2x,∀x∈R", ứng dụng việc chứng minh sáng tác
các bất đẳng thức lại kết đẹp Chính lý mà chọn đề tài
Bài tiểu luận"Ứng dụng tam thức bậc (α) để chứng minh sáng tác bất đẳng thức"
gồm phần mở đầu chương Chương 1.Kiến thức sở
Chương chủ yếu trình bày bất đẳng thức tam thức bậc (α) đồng thời tác giả chứng minh bất đẳng thức
Chương 2.Bài toán áp dụng
Chương vận dụng bất đẳng thức tam thức bậc (α) để chứng minh số bất đẳng thức nói kỹ thuật sáng tác số bất đẳng thức tương đương
Chương 3.Bài tập tự luyện
Chương đưa số tập để bạn đọc tự kiểm tra kiến thức tiếp thu trình bày chương chương
(3)2
Mục lục
Lời nói đầu
1 Kiến thức sở
1.1 Bất đẳng thức bậc 1.2 Bất đẳng thức tam thức bậc (α)
2 Bài toán áp dụng
3 Bài tập tự luyện 10
Kết luận 11
(4)3
Chương 1
Kiến thức sở
1.1 Bất đẳng thức bậc bản
Định lý 1.1 Với số thực x ta ln có
x2≥0,∀x∈R (1.1)
Dấu đẳng thức xẩy x =
Nhận xét 1.1 Bất đẳng thức (1.1)là bất đẳng thức quan trong chương trình đại số bậc trung học phổ thông Bây thay x (1.1)bởi x - ta có kết sau
Định lý 1.2 Với số thực x ta ln có
x2+ 1≥2x,∀x∈R (1.2)
Dấu đẳng thức xẩy x =
1.2 Bất đẳng thức tam thức bậc (α)
Định lý 1.3 Choα >1, ta có bất đẳng thức
xα+α−1≥αx,∀x∈R+ (1.3)
Dấu đẳng thức xẩy x =
Chứng minh Xét hàm sốf(x) =xα+α−1−αx, x >0 Ta cóf(1) = vàf0(x) =αxα−1−α=α(xα−1−1)
Suy raf0(x) = 0⇐⇒x= 1vàx= cực tiểu củaf(x)trênR+ nênf(x)≥f(1) = 0
hayxα+α−1≥αx,∀x∈R+
Nhận xét 1.2 Trong trường hợpα∈N, ta dùng bất đẳng thức Cauchy để chứng minh (1.3)
Nhận xét 1.3 Bất đẳng thức (1.3)chính bất đẳng thức Bernoulli quen biết
Nhận xét 1.4 Trong áp dụng, đặc biệt dạng toán xác định giá trị lớn nhỏ nhất, bất đẳng thức Bernoulli dạng (1.3)chỉ sử dụng trường hợp đảm bảo dấu đẳng thức xẩy khix=
Đối với trường hợp dấu đẳng thức xẩy khix=x0>0 cho trước, ta phải sử dụng
(5)Nguyễn Văn Dũng * PPTSC 2011-2013 Tiểu luận môn Bất đẳng thức
Định lý 1.4 Cho trướcx0>0 vàα >1khi ta có bất đẳng thức x
x0 α
+α−1≥αx x0
,∀x∈R+ (1.4)
Dấu đẳng thức xẩy x=x0
Nhận xét 1.5 Việc chứng minh bất đẳng thức (1.4)xin dành cho độc giả
Nhận xét 1.6 Bất đẳng thức (1.4)cịn viết dạng sau
xα≥xα0 +α.xα−0 1(x−x0),∀x, x0∈R+, α >1 (1.5)
Dấu đẳng thức xẩy x=x0
(6)5
Chương 2
Bài toán áp dụng
Bài toán 2.1 Cho a, b, c số thực dương Chứng minh
a b + b c
+c
a > a b + b c+ c a (2.1)
Giải.Trước hết áp dụng bất đẳng thức (1.3), ta có bất đẳng thức
t3+ 2>3t, ∀t >0 (2.2) Bây áp dụng bất đẳng thức (2.2) ta có kết sau
a
b
3
+ 2>3a
b (2.3a)
b
c
3
+ 2>3b
c (2.3b)
c
a
3
+ 2>3c
a (2.3c)
mặt khác theo bất đẳng thức Cauchy, ta có a b + b c+ c a
>3.2 (2.3d)
Cộng vế với vế (2.3a),(2.3b),(2.3c),(2.3d) rút gọn ta có điều phải chứng minh
Bài toán 2.2 Cho a, b, c số thực dương Chứng minh
a b + b c
+c
a
3
>ab
2
+
b
c
2
+c
a
2
(2.4)
Nhận xét 2.1 Ta thấy vế trái bất đẳng thức (2.4) có bậc cịn vế phải có bậc nên ta khơng sử dụng bất đẳng thức (1.3)để chứng minh vế phải bất đẳng thức
(1.3)có bậc
Nhận xét 2.2 Để giải toán trước hết ta phải đưa vế phải (2.4)về bậc sau tương tự toán Muốn ta sử dụng phép đặt ẩn phụ x=a2, y=b2, z=c2
Giải
Đặtx=a2, y=b2, z=c2thì bất đẳng thức (2.4) tương đương với bất đẳng thức x
y
3
+y
z
3 +z
x
3 >x
y + y z +
z
(7)Nguyễn Văn Dũng * PPTSC 2011-2013 Tiểu luận môn Bất đẳng thức
Bây áp dụng bất đẳng thức (1.3) ta có bất đẳng thức sau
t
3 +1
2 >
2t, ∀t >0 (2.6) Và áp dụng bất đẳng thức (2.6) bất đẳng thức Cauchy ta có bất đẳng thức sau
x y +1 > x y (2.7a) y z +1
2 > y z (2.7b) z x +1
2 > z x (2.7c) x y + y z + z x
>3.1
2 (2.7d)
Cộng vế với vế bất đẳng thức (2.7a), (2.7b), (2.7c), (2.7d) ta có điều phải chứng minh
Nhận xét 2.3 Như gặp bất thức có vế phải bậc khác ta cần phải dùng phép đặt ẩn phụ để đưa vế phải bậc sau sử dụng bất đẳng thức (1.3)
Bài toán 2.3 Cho a, b, c số thực dương Chứng minh
a b 2012 + b c 2012
+c
a
2012
>ab
1978
+
b
c
1978
+c
a
1978
(2.8)
Nhận xét 2.4 Hồn tồn tương tự tốn 2, ta có giải tốn cách kết hợp phương pháp đặt ẩn phụ sử dụng bất đẳng thức (1.3)
Giải
Đặtx=a1978, y=b1978, z=c1978, bất đẳng thức (2.8) tương đương với bất đẳng thức x
y
1006 989
+y
z
1006 989 +z
x
1006 989 > x
y + y z+
z
x, ∀x, y, z >0 (2.9)
Áp dụng bất đẳng thức (1.3), ta có bất đẳng thức
t
1006 989 + 17
989 > 1006
989 t, ∀t >0 (2.10) Và áp dụng bất đẳng thức (2.10) bất đẳng thức Cauchy ta có bất đẳng thức sau
x
y
1006 989 + 17
989 > 1006 989 x y (2.11a) y z 1006 989 + 17
989 > 1006 989 y z (2.11b) z x 1006 989 + 17
989 > 1006 989 z x (2.11c) 17 989 x y + y z + z x
>3 17
989 (2.11d)
(8)Nguyễn Văn Dũng * PPTSC 2011-2013 Tiểu luận môn Bất đẳng thức
Nhận xét 2.5 Cả toán trường hợp riêng toán tổng quát sau đây, dựa vào toán sáng tác nhiều tập tương tự
Bài toán 2.4 Cho a, b, c,α, β số thực dương α > β Chứng minh
a b α + b c α
+c
a
α
>ab
β +
b
c
β
+c
a
β
(2.12)
Nhận xét 2.6 Việc chứng minh toán dành cho độc giả, độc giả tự đề chứng minh tập
Bài tốn 2.5 Cho a, b, c cạnh tam giác có chu vi 1, tìm giá trị lớn biểu thứcM =a23 +b23 +c23
Giải
Đặtx=a23, y=b23, z=c23, ta suy raa=x32, b=y32, c=z32 vàx23 +y32 +z32 = 1; x, y, z >0
Khi tốn trở thành tìm GTLN củaM =x+y+zvới điều kiệnx32+y 2+z
3
2 = 1; x, y, z >0
Bây ta chứng minh bất đẳng thức
t32 +1
6 >
3
√
9
2 t, ∀t >0, (2.13) dấu xẩy khit= √319
Áp dụng bất đẳng thức (2.13), ta có bất đẳng thức sau
x32 +1
6 >
3
√
9
2 x (2.14a)
y32 +1
6 >
3
√
9
2 y (2.14b)
z32 +1
6 >
3
√
9
2 z (2.14c)
Cộng vế với vế bất đẳng thức (2.14a), (2.14b), (2.14c), ta được:x32+y32+z32+1
2 >
3
√
9
2 (x+y+z) hayM 6√3
3, dấu xẩy chix=y=z= √31
9 VậymaxM =√3
3 đạt khia=b=c=1
Nhận xét 2.7 Việc chứng minh bất đẳng thức (2.13)tương tự chứng minh bất đẳng thức (1.4)
Bài toán 2.6 Cho x, y, z số thực thỏa điều kiệnx>3, x+y>5, x+y+z= Chứng minh rằngx2+y2+z2
>14
Giải Trước hết hiển nhiên ta có bất đẳng thức
t2>2at−a2, ∀t (2.15) Áp dụng bất đẳng thức (2.15), ta bất đẳng thức:
x2
>6x−9, y2
>4x−4, z2
>2z−1 Từ kết này, ta suy ra:x2+y2+z2
>6x+ 4y+ 2z−14 Hayx2+y2+z2
>2 [(x−3) + (y−2) + (z−1)] + [(x−3) + (y−2)] + 2(x−3) + 14>14 Suy ra:x2+y2+z2>14
Dấu đẳng thức xẩy ra⇐⇒x= 3, y= 2, z=
(9)Nguyễn Văn Dũng * PPTSC 2011-2013 Tiểu luận môn Bất đẳng thức
Nhận xét 2.8 Ta chuyển u cầu tốn dạng tìm giá trị nhỏ biểu thức M =x2+y2+z2 với điều kiệnx
>3, x+y>5, x+y+z=
Nhận xét 2.9 Bài toán 2.6 trường hợp riêng toán tổng quát sau
Bài toán 2.7 Choa > b > c >0và số thực x, y, z thỏa mãn điều kiệnx>c, x+y>b, x+y+z=
a.Tìm giá trị nhỏ biểu thứcM =x2+y2+z2.
Nhận xét 2.10 Bây ta xét toán ngược toán 2.9 sau
Bài toán 2.8 Cho số thực x>y >z>0 thỏa mãn điều kiện x63, x+y65, x+y+z= Chứng minh rằngx2+y2+z2614
GiảiTrước hết hiển nhiên ta có bất đẳng thức
a2≥b2+ 2b(a−b), ∀a, b (2.16) Áp dụng bất đẳng thức (2.16), ta bất đẳng thức:
9>x2+ 2x(3−x), 4>y2+ 2y(2−y), 1>z2+ 2z(1−z), ∀x, y, z (2.17) Từ kết (2.17), ta suy ra:x2+y2+z2
614−2 [x(3−x) +y(2−y) +z(1−z)] Hay
x2+y2+z2614−2 [z(3−x+ 2−y+ 1−z) + (y−z)(3−x+ 2−y) + (x−y)(3−x)] (2.18) Bây kết hợp (2.18) với giả thiết ta suy ra:x2+y2+z2
614 Dấu đẳng thức xẩy ra⇐⇒x= 3, y= 2, z=
Nhận xét 2.11 Bài toán 2.8 trường hợp riêng toán tổng quát sau
Bài toán 2.9 Cho số thực x>y >z>0 thỏa mãn điều kiệnx6a, x+y 6b, x+y+z=c Tìm giá trị lớn biểu thứcM =x2+y2+z2 trong đóa < b < c.
Nhận xét 2.12 Lời giải toán xin dành cho độc giả
Bài toán 2.10 Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh
a
b+c−a
2012
+
b
c+a−b
2012
+
c
a+b−c
2012
>3 (2.19)
GiảiTrước hết theo (1.3) ta có bất đẳng thức sau
t2012+ 2011>2012t, ∀t >0 (2.20) Dấu đẳng thức xẩy t =
Bây áp dụng (2.20) ta có bất đẳng thức sau
a
b+c−a
2012
+ 2011>2012 a
b+c−a (2.21a)
b
c+a−b
2012
+ 2011>2012 b
c+a−b (2.21b)
c
a+b−c
2012
+ 2011>2012 c
a+b−c (2.21c)
(10)Nguyễn Văn Dũng * PPTSC 2011-2013 Tiểu luận môn Bất đẳng thức
Bây ta chứng minh bất đẳng thức
a b+c−a+
b c+a−b+
c
a+b−c >3 (2.22)
Thật theo bất đẳng thức Cauchy, ta có
a b+c−a+
b c+a−b+
c
a+b−c >3
r abc
(b+c−a)(c+a−b)(a+b−c) = 33
s
abc
p
(a+b−c)(b+c−a).p(b+c−a)(c+a−b).p(c+a−b)(a+b−c)
>33
v u u t
abc a+b−c+b+c−a
2
b+c−a+c+a−b
2
c+a−b+a+b−c
2
= 3(đpcm) Từ (2.21), ta suy
2012
a
b+c−a+ b c+a−b +
c a+b−c
>3.2012 (2.23)
Cộng vế với vế bất đẳng thức (2.21a), (2.21b), (2.21c), (2.23) rút gọn ta điều phải chứng minh.
Nhận xét 2.13 Bài toán kết toán tổng quát sau
Bài toán 2.11 Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác,α, β >0 Chứng minh
a
b+c−a
α
+
b
c+a−b
α
+
c
a+b−c
α
>
a
b+c−a
β
+
b
c+a−b
β
+
c
a+b−c
β
(2.24)
Nhận xét 2.14 Việc chứng minh toán 2.11 xin dành cho độc giả
(11)10
Chương 3
Bài tập tự luyện
Sau số tập để bạn tự kiểm tra kiến thức việc vận dụng bất đẳng thức tam thức bậc (α) vào chứng minh bất đẳng thức tìm GTLN - GTNN biểu thức
Bài tập 3.1 Cho a, b, c số dương Chứng minh
a
b+c
3
+
b
c+a
3
+
c
a+b
3
> a
b+c+ b c+a+
c a+b
Bài tập 3.2 Cho a, b, c cạnh tam giác Chứng minh
a
b+c−a
3
+
b
c+a−b
3
+
c
a+b−c
3
>3
Bài tập 3.3 Cho a, b, c >0 thỏa mãn điều kiệna+b+c= 2012 Hãy tìm giá trị lớn biểu thức
M =a34 +b34 +c34
Bài tập 3.4 Cho a, b, c cạnh tam giác có chu vi 2012 Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức
M =a2012+b2012+c2012.
Bài tập 3.5 Cho a, b, c số thực thỏa điều kiện a>2, a+b>5, a+b+c = Chứng minh
a3+b3+c3
>99
Bài tập 3.6 Cho a, b, c số thực thỏa điều kiện a>2, a+b>9, a+b+c= 1945 Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức
M =a2012+b2012+c2012.
Bài tập 3.7 Cho a, b, c số thực thỏa điều kiệna>b>c>0, a65, a+b67, a+b+c= 10 Hãy tìm giá trị lớn biểu thức
(12)11
Kết luận
Xã hội giá trị tổng hòa mối quan hệ, phát triển cá nhân hay ngành nghề phải hướng đến phát triển chung xã hội Trong biến đổi vận động muôn màu xã hội, Tốn học đóng vai trị tảng để phát triển khoa học tự nhiên sợi dây logic để kết nối vấn đề xã hội Rèn luyện tư bất đẳng thức nói riêng tư Tốn học nói chung bước quan trọng học sinh việc chuẩn bị hành trang tư để bước vào kinh tế tri thức Các tốn tiểu luận chìa khóa giúp cho học sinh rèn luyện thêm tư bất đẳng thức thông qua dạng bất đẳng thức tam thức bậc (α)
Do thời gian vốn kiến thức bất đẳng thức hạn chế nên nơi dung cách trình bày hẳn khơng tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận ý kiến đóng góp bạn đọc
Hà nội, ngày 20 tháng năm 2012 Tác giả
(13)12
Tài liệu tham khảo