Giáo án giảng dạy Môn Đại số Lớp 10 - Chương IV: Bất đẳng thức và bất phương trình

• Về kỹ năng: Vận dụng được tính chất của bất đẳng thức hoặc dùng phép biến đổi tương đương để chứng minh được một số bất đẳng thức đơn giản.. Biết vận dụng bất đẳng thức AM  GM vào việ[r]

Gi¸o ¸n gi¶ng d¹y  M«n §¹i sè  Líp 10 chương IV: bất đẳng thức và bất phương trình Đ1 bất đẳng thức (2 tiÕt) Môc tiªu Sau bµi nµy • Về kiến thức: Học sinh hiểu khái niệm bất đẳng thức và nắm các tính chất bất đẳng thức Hiểu bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân hai số (AMGM: Arithmetic means  Geometric means) Biết số bất đẳng thức chứa giá trị tuyệt đối th«ng dông • Về kỹ năng: Vận dụng tính chất bất đẳng thức dùng phép biến đổi tương đương để chứng minh số bất đẳng thức đơn giản Biết vận dụng bất đẳng thức AM  GM vào việc chứng minh bất đẳng thức tìm GTLN, GTNN biểu thức đơn giản Chứng minh số bất đẳng thức đơn giản có chứa giá trị tuyệt đối chuÈn bÞ cña gi¸o viªn vµ häc sinh Giáo viên: Chuẩn bị các ví dụ bất đẳng thức mà học sinh đã học THCS giúp học sinh dễ n¾m c¸c kiÕn thøc träng t©m Học sinh: Ôn tập lại các kiến thức bất đẳng thức đã học THCS dự kiến phương pháp dạy học Sử dụng phương pháp vấn đáp gợi mở có phối hợp với phân bậc hoạt động theo các nội dung ghi b¶ng tiÕn tr×nh bµi häc TiÕt PPCT: 27 - Ngµy 14/12/2006 Hoạt động a) Hướng đích H1: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng a) 3,25 < 4; b) 5  4 ; c)   H2: Chọn dấu thích hợp (=, <, >) điền vào ô vuông  để mệnh đề đúng a) 2 ; b) ; c)  2  ; d) a  với số a đã cho 3 B) Bµi míi Hoạt động   I- ôn tập bất đẳng thức Khái niệm bất đẳng thức Các mệnh đề dạng “a<b” “a>b” gọi là bất đẳng thức Ví dụ Khẳng định nào sau đây đúng với giá trị x? a) 2x > 5x; b) 4x > x; c) x3< x + 1; d) 3x  7x ; §¸p sè: c Bất đẳng thức hệ và bất đẳng thức tương đương • Nếu mệnh đề “a<b  c<d” đúng thì ta nói bất đẳng thức c<d là bất đẳng thức hệ bất đẳng thức a<b và viết: a<b  c<d VÝ dô Ta cã a < b vµ b<c  a<c Víi c tïy ý, ta cã a<b  a+c < b+c •Nếu bất đẳng thức a<b là hệ bất đẳng thức c < d và ngược lại thì ta nói hai bất đẳng thức tương đương với và viết a< b  c<d VÝ dô Chøng minh a<b  ab < Hoạt động giáo viên Hoạt động học sinh Ths Nguyễn Bá Thủy  Trường THPT Bắc Yên Thành Lop10.com 68 Gi¸o ¸n gi¶ng d¹y  M«n §¹i sè  Líp 10 • Gîi ý tr¶ lêi H1: Cộng b vào vế bất đẳng thức a<b ta bất đẳng thức hệ ab<0 • Gîi ý tr¶ lêi H2: Cộng b vào vế bất đẳng thức ab<0 ta bất đẳng thức hệ a<b VËy ta cã a<b  ab<0 H1: Chøng minh a < b  ab<0? H2: Chøng minh a b <  a<b? Tính chất bất đẳng thức Để chứng minh bất đẳng thức chúng ta có thể vận dụng các tính chất sau: a) a<b  a+c < b+c b) Víi c>0 ta cã: a<b  ac<bc c) Víi c<0 ta cã: a<b  ac>bc a  b d)  ac bd c  d a  b e) Víi a>0, c>0 ta cã:   ac  bd c  d f) Với n nguyên dương, ta có: a  b  a 2n 1  b 2n 1 ;0  a  b  a 2n  b 2n g) Víi a>0 ta cã: a  b  a  b; a  b  a  b VÝ dô Trong c¸c sè sau sè nµo nhá nhÊt (víi x>3) 3 x A  ; B   1; C   1; D x x x Hoạt động giáo viên Hoạt động học sinh • Gîi ý tr¶ lêi H1: So s¸nh theo tõng cÆp • Gîi ý tr¶ lêi H2: H2: So s¸nh A vµ D? V× x>3 nªn A<1, D>1  A<D • Gîi ý tr¶ lêi H3: C<B H3: So s¸nh B vµ C? • Gîi ý tr¶ lêi H4: C<A H4: So s¸nh A vµ C? Vậy C   là số bé các số đã x cho • Chú ý Ta còn gặp các mệnh đề dạng a ≤ b a ≥ b Các mệnh đề dạng này gọi là các bất đẳng thức Để phân biệt ta gọi chúng là các bất đẳng thức không ngặt còn các bất đẳng thức dạng a<b a>b gọi là các bất đẳng thức ngặt Các tính chất trên đúng với các bất đẳng thức không ngặt H1: Phương pháp xác định số nhỏ nhất? VÝ dô Chøng minh r»ng: a  b  c  ab  bc  ca §¼ng thøc x¶y nµo? Hoạt động giáo viên H1: Phương pháp chứng minh? H2: Thùc hiÖn phÐp chøng minh? Hoạt động học sinh • Gîi ý tr¶ lêi H1: Biến đổi dạng A  B2  • Gîi ý tr¶ lêi H2: Ta cã: a  b  c  ab  bc  ca  a  2ab  b  b  2bc  c  c  2ca  a   a  b   b  c   c  a   Bất đẳng thức trên luôn đúng, ta có đpcm §¼ng thøc x¶y  a = b = c Ths Nguyễn Bá Thủy  Trường THPT Bắc Yên Thành Lop10.com 2 69 Gi¸o ¸n gi¶ng d¹y  M«n §¹i sè  Líp 10 VÝ dô Cho hµm sè f (x)  (x  3)(5  x) víi 3  x  Xác định x cho f(x) đạt gí trị lớn Hoạt động giáo viên Hoạt động học sinh • Gîi ý tr¶ lêi H1: Ta cã Ta cã: f (x)  (x  3)(5  x)   x  2x  15 H2: Biến đổi f(x) thành tổng (hiệu) các bình • Gợi ý trả lời H2: phương? Từ đó tìm GTNN f(x)? f(x)   x  2x  1 16  16  x  1  16 H1: Khai triÓn f(x) thµnh ®a thøc? §¼ng thøc x¶y  x  =  x = Vậy hàm số đạt giá trị lớn x = và giá trị lớn đó 16 Hoạt động Hướng dẫn học bài nhà: • Nắm vững các tính chất bất đẳng thức • Em đã biết cách chứng minh bất đẳng thức nào? Bµi tËp vÒ nhµ: 1, 2,  SGK Rót kinh nghiÖm vµ bæ sung: Ths Nguyễn Bá Thủy  Trường THPT Bắc Yên Thành Lop10.com 70 Gi¸o ¸n gi¶ng d¹y  M«n §¹i sè  Líp 10 TiÕt PPCT: 28 - Ngµy 14/12/2006 A) Bµi cò H1: Phát biểu các tính chất bất đẳng thức? B) Bµi míi Hoạt động II– bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân (AMGM, Bất đẳng thức côsi) Bất đẳng thức Côsi ab (1) §¼ng thøc x¶y vµ chØ a = b Chøng minh: §Þnh lÝ Víi mäi a, b ≥0 ta cã ab  Hoạt động giáo viên Hoạt động học sinh H1: (1) tương đương với bất đẳng thức nào? • Gîi ý tr¶ lêi H1: Ta cã (1)  a  b  ab   H2: Vậy đẳng thức xảy nào? đúng a, b ≥0 • Gîi ý tr¶ lêi H2: Khi  a  b  a  b  a  b C¸c hÖ qu¶ Hệ Tổng số dương với nghịch đảo nó lớn a   2, a  a Hoạt động giáo viên Hoạt động học sinh H1: áp dụng bất đẳng thức AMGM ta có • Gợi ý trả lời H1: Ta có ®iÒu g×? 1 a   a  a a H2: §¼ng thøc x¶y nµo? • Gîi ý tr¶ lêi H2: §¼ng thøc x¶y vµ chØ a   a  (V× a>0) a Hệ Nếu x, y cùng dương và có tổng không đổi thì tích xy lớn và x = y Hoạt động giáo viên H1: Theo bất đẳng thức Côsi thì xy≤? H2: §¼ng thøc x¶y nµo? Hoạt động học sinh • Gîi ý tr¶ lêi H1: x  y  xy S  , đó xy  Ta cã xy  2 • Gîi ý tr¶ lêi H2: §¼ng thøc x¶y vµ chØ x = y ý nghÜa h×nh häc: Trong tÊt c¶ c¸c h×nh ch÷ nhËt cã cïng chu vi, h×nh vu«ng cã diÖn tÝch lín nhÊt Hệ Nếu x, y cùng dương và có tích không đổi thì tổng x+y nhỏ và x = y ý nghÜa h×nh häc: Trong tÊt c¶ c¸c h×nh ch÷ nhËt cã cïng diÖn tÝch, h×nh vu«ng cã chu vi nhá nhÊt 1 1 Ví dụ Cho a, b là các số thực dương Chứng minh: a  b     a b Khi nào đẳng thức xảy ra? Ths Nguyễn Bá Thủy  Trường THPT Bắc Yên Thành Lop10.com 71 Gi¸o ¸n gi¶ng d¹y  M«n §¹i sè  Líp 10 Hoạt động giáo viên Hoạt động học sinh H1: Sử dụng bất đẳng thức Côsi, chứng • Gợi ý trả lời H1: 1 minh bất đẳng thức? V× a>0 vµ b>0 nªn  0,  a b áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có: a  b  ab  1 a  b  ab  Nhân vế với vế hai bất đẳng thức cùng chiÒu trªn ta cã ®pcm H2: Khi nào đẳng thức xảy ra? • Gîi ý tr¶ lêi H2: §¼ng thøc x¶y vµ chØ ta cã: a  b a  b     1 1 a  b  (a  b)  a  b      Hoạt động III Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối Hoạt động giáo viên Hoạt động học sinh H1: Nhắc lại định nghĩa giá trị tuyệt đối • Gợi ý trả lời H1: mét sè thùc? A nÕu A  A  -A nÕu A<0 H2: Tính giá trị tuyệt đối các số thực sau: • Gîi ý tr¶ lêi H2:  3,7; 0; 1 3,  3, 7;  0;   3 Từ định nghĩa giá trị tuyệt đối, ta có các tính chất: 1) x  0, x  x, x   x , x A 2) Víi a>0 ta cã: a) x  a  a  x  a b) x  a  x  a hoÆc x  a 3) a  b  a  b  a  b VÝ dô Cho x[2; 0] Chøng minh r»ng x  a  Hoạt động giáo viên H1: x[2; 0]  x+1? H2: KÕt luËn vÒ x  ? Hoạt động học sinh • Gîi ý tr¶ lêi H1: x  2;0  2  x   1  x   • Gîi ý tr¶ lêi H2: Suy x   Hoạt động Hướng dẫn học bài nhà: • Bất đẳng thức AMGM (Bất đẳng thức côsi)? • Các tính chất bất đẳng thức giá trị tuyệt đối? Bµi tËp vÒ nhµ: 4, 5, 6- SGK Rót kinh nghiÖm vµ bæ sung: Ths Nguyễn Bá Thủy  Trường THPT Bắc Yên Thành Lop10.com 72 Gi¸o ¸n gi¶ng d¹y  M«n §¹i sè  Líp 10 Đ2 bất phương trình và hệ bất phương trình ẩn (3 tiÕt) Môc tiªu Sau bµi nµy • Về kiến thức: Học sinh biết khái niệm bất phương trình, nghiệm bất phương trình, hệ bất phương trình, nghiệm hệ bất phương trình Biết khái niệm hai bất phương trình tương đương, các phép biến đổi tương đương các bất phương trình • Về kỹ năng: Nêu điều kiện xác định bất phương trình Nhận biết hai bất phương trình tương đương các trường hợp đơn giản Vận dụng các phép biến đổi tương đương để đưa bất phương trình đã cho dạng đơn giản chuÈn bÞ cña gi¸o viªn vµ häc sinh Giáo viên: Chuẩn bị các ví dụ bất phương trình mà học sinh đã học THCS giúp học sinh dễ n¾m c¸c kiÕn thøc träng t©m Học sinh: Ôn tập lại các kiến thức bất phương trình đã học THCS dự kiến phương pháp dạy học Sử dụng phương pháp vấn đáp gợi mở có phối hợp với phân bậc hoạt động theo các nội dung ghi b¶ng tiÕn tr×nh bµi häc TiÕt PPCT: 31 - Ngµy 08/01/2007 Hoạt động A) Hướng đích H1: Lấy vài thí dụ bất phương trình? Nghiệm? B) Bµi míi Hoạt động I- khái niệm bất phương trình ẩn Bất phương trình ẩn Bất phương trình ẩn x là mệnh đề chứa biến dạng: f(x) < g(x) (f(x) ≤ g(x)) (1) đó f(x) và g(x) là biểu thức x Ta gọi f(x) và g(x) là vế trái và vế phải bất phương trình (1) Số thực x0 cho f(x0)<g(x0) (f(x0)≤g(x0)) là mệnh đề đúng gọi là nghiệm bất phương trình (1) Giải bất phương trình là tìm tập nghiệm nó, tập nghiệm rỗng thì ta nói bất phương trình v« nghiÖm • Chú ý Bất phương trình (1) có thể viết: g(x)>f(x) (hoặc g(x) ≥ f(x)) Ví dụ Cho bất phương trình 2x +1 ≤ a) Trong các số 2; 3; 3,5;  số nào là nghiệm, số nào không là nghiệm bất phương trình trªn? b) Giải bất phương trình đó và biểu diễn tập nghiệm nó trên trục số Hoạt động giáo viên Hoạt động học sinh H1: 2 có là nghiệm bất phương trình • Gợi ý trả lời H1: Thay giá trị x =2 vào bất phương trình ta có: kh«ng? V× sao? 2.(2)+1=3<5 Vậy 2 là nghiệm bất phương trình đã cho H2: Tương tự, kiểm tra các giá trị còn lại? • Gîi ý tr¶ lêi H2: Tương tự, ta có: 3; 3,5;  không phải là nghiệm bất phương trình Điều kiện bất phương trình Tương tự phương trình, ta gọi các điều kiện ẩn số x để f(x) và g(x) có nghĩa là điều kiện xác định (hay gọi tắt là điều kiện) bất phương trình (1) Ví dụ Tìm điều kiện các phương trình sau: Ths Nguyễn Bá Thủy  Trường THPT Bắc Yên Thành Lop10.com 73 Gi¸o ¸n gi¶ng d¹y  M«n §¹i sè  Líp 10 a) Hoạt động giáo viên Hoạt động học sinh • Gîi ý tr¶ lêi H1: So s¸nh theo tõng cÆp • Gîi ý tr¶ lêi H2: H2: So s¸nh A vµ D? V× x>3 nªn A<1, D>1  A<D • Gîi ý tr¶ lêi H3: C<B H3: So s¸nh B vµ C? • Gîi ý tr¶ lêi H4: C<A H4: So s¸nh A vµ C? Vậy C   là số bé các số đã x cho • Chú ý Ta còn gặp các mệnh đề dạng a ≤ b a ≥ b Các mệnh đề dạng này gọi là các bất đẳng thức Để phân biệt ta gọi chúng là các bất đẳng thức không ngặt còn các bất đẳng thức dạng a<b a>b gọi là các bất đẳng thức ngặt Các tính chất trên đúng với các bất đẳng thức không ngặt H1: Phương pháp xác định số nhỏ nhất? VÝ dô Chøng minh r»ng: a  b  c  ab  bc  ca §¼ng thøc x¶y nµo? Hoạt động giáo viên H1: Phương pháp chứng minh? H2: Thùc hiÖn phÐp chøng minh? Hoạt động học sinh • Gîi ý tr¶ lêi H1: Biến đổi dạng A  B2  • Gîi ý tr¶ lêi H2: Ta cã: a  b  c  ab  bc  ca  a  2ab  b  b  2bc  c  c  2ca  a   a  b   b  c   c  a   Bất đẳng thức trên luôn đúng, ta có đpcm §¼ng thøc x¶y  a = b = c 2 VÝ dô Cho hµm sè f (x)  (x  3)(5  x) víi 3  x  Xác định x cho f(x) đạt gí trị lớn Hoạt động giáo viên Hoạt động học sinh • Gîi ý tr¶ lêi H1: Ta cã Ta cã: f (x)  (x  3)(5  x)   x  2x  15 H2: Biến đổi f(x) thành tổng (hiệu) các bình • Gợi ý trả lời H2: phương? Từ đó tìm GTNN f(x)? f(x)   x  2x  1 16  16  x  1  16 H1: Khai triÓn f(x) thµnh ®a thøc? §¼ng thøc x¶y  x  =  x = Vậy hàm số đạt giá trị lớn x = và giá trị lớn đó 16 Hoạt động Hướng dẫn học bài nhà: • Nắm vững các tính chất bất đẳng thức • Em đã biết cách chứng minh bất đẳng thức nào? Bµi tËp vÒ nhµ: 1, 2,  SGK Rót kinh nghiÖm vµ bæ sung: Ths Nguyễn Bá Thủy  Trường THPT Bắc Yên Thành Lop10.com 74 Gi¸o ¸n gi¶ng d¹y  M«n §¹i sè  Líp 10 TiÕt PPCT: 32 - Ngµy 08/01/2007 A) Bµi cò H1: Phát biểu các tính chất bất đẳng thức? B) Bµi míi Hoạt động II– bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân (AMGM, Bất đẳng thức côsi) Bất đẳng thức Côsi ab (1) §¼ng thøc x¶y vµ chØ a = b Chøng minh: §Þnh lÝ Víi mäi a, b ≥0 ta cã ab  Hoạt động giáo viên Hoạt động học sinh H1: (1) tương đương với bất đẳng thức nào? • Gîi ý tr¶ lêi H1: Ta cã (1)  a  b  ab   H2: Vậy đẳng thức xảy nào? đúng a, b ≥0 • Gîi ý tr¶ lêi H2: Khi  a  b  a  b  a  b C¸c hÖ qu¶ Hệ Tổng số dương với nghịch đảo nó lớn a   2, a  a Hoạt động giáo viên Hoạt động học sinh H1: áp dụng bất đẳng thức AMGM ta có • Gợi ý trả lời H1: Ta có ®iÒu g×? 1 a   a  a a H2: §¼ng thøc x¶y nµo? • Gîi ý tr¶ lêi H2: §¼ng thøc x¶y vµ chØ a   a  (V× a>0) a Hệ Nếu x, y cùng dương và có tổng không đổi thì tích xy lớn và x = y Hoạt động giáo viên H1: Theo bất đẳng thức Côsi thì xy≤? H2: §¼ng thøc x¶y nµo? Hoạt động học sinh • Gîi ý tr¶ lêi H1: x  y  xy S  , đó xy  Ta cã xy  2 • Gîi ý tr¶ lêi H2: §¼ng thøc x¶y vµ chØ x = y ý nghÜa h×nh häc: Trong tÊt c¶ c¸c h×nh ch÷ nhËt cã cïng chu vi, h×nh vu«ng cã diÖn tÝch lín nhÊt Hệ Nếu x, y cùng dương và có tích không đổi thì tổng x+y nhỏ và x = y ý nghÜa h×nh häc: Trong tÊt c¶ c¸c h×nh ch÷ nhËt cã cïng diÖn tÝch, h×nh vu«ng cã chu vi nhá nhÊt 1 1 Ví dụ Cho a, b là các số thực dương Chứng minh: a  b     a b Khi nào đẳng thức xảy ra? Ths Nguyễn Bá Thủy  Trường THPT Bắc Yên Thành Lop10.com 75 Gi¸o ¸n gi¶ng d¹y  M«n §¹i sè  Líp 10 Hoạt động giáo viên Hoạt động học sinh H1: Sử dụng bất đẳng thức Côsi, chứng • Gợi ý trả lời H1: 1 minh bất đẳng thức? V× a>0 vµ b>0 nªn  0,  a b áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có: a  b  ab  1 a  b  ab  Nhân vế với vế hai bất đẳng thức cùng chiÒu trªn ta cã ®pcm H2: Khi nào đẳng thức xảy ra? • Gîi ý tr¶ lêi H2: §¼ng thøc x¶y vµ chØ ta cã: a  b a  b     1 1 a  b  (a  b)  a  b      Hoạt động III Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối Hoạt động giáo viên Hoạt động học sinh H1: Nhắc lại định nghĩa giá trị tuyệt đối • Gợi ý trả lời H1: mét sè thùc? A nÕu A  A  -A nÕu A<0 H2: Tính giá trị tuyệt đối các số thực sau: • Gîi ý tr¶ lêi H2:  3,7; 0; 1 3,  3, 7;  0;   3 Từ định nghĩa giá trị tuyệt đối, ta có các tính chất: 1) x  0, x  x, x   x , x A 2) Víi a>0 ta cã: a) x  a  a  x  a b) x  a  x  a hoÆc x  a 3) a  b  a  b  a  b VÝ dô Cho x[2; 0] Chøng minh r»ng x  a  Hoạt động giáo viên H1: x[2; 0]  x+1? H2: KÕt luËn vÒ x  ? Hoạt động học sinh • Gîi ý tr¶ lêi H1: x  2;0  2  x   1  x   • Gîi ý tr¶ lêi H2: Suy x   Hoạt động Hướng dẫn học bài nhà: • Bất đẳng thức AMGM (Bất đẳng thức côsi)? • Các tính chất bất đẳng thức giá trị tuyệt đối? Bµi tËp vÒ nhµ: 4, 5, 6- SGK Rót kinh nghiÖm vµ bæ sung: Ths Nguyễn Bá Thủy  Trường THPT Bắc Yên Thành Lop10.com 76