Đang tải... (xem toàn văn)
ViÖc khai th¸c vµ sö dông s¸ng t¹o bÊt đẳng thức I giúp học sinh rèn luyện t duy và hình thành phơng pháp chứng minh cũng nh cách thức để hình thành bất đẳng thức mới từ bất đẳng thức đã[r]
(1)A TÝnh chÊt luü thõa bËc hai: Ngay từ lớp học sinh đã biết nhận xét dấu số có luỹ thừa chẵn nắm đợc tính chất luỹ thừa bậc hai “Bình phơng hay luỹ thừa bậc hai số không âm” A2 ≥ a (*) DÊu “=” x¶y a = Lớp học sinh đã đợc làm quen với đẳng thức: (A - B)2 = A2 – 2AB + B2 NÕu sö dông tÝnh chÊt (*) th× (A - B)2 ≥ A,B (I) ViÖc khai th¸c vµ sö dông s¸ng t¹o bÊt đẳng thức (I) giúp học sinh rèn luyện t và hình thành phơng pháp chứng minh nh cách thức để hình thành bất đẳng thức từ bất đẳng thức đã biết Từ bất đẳng thức (I): (a – b)2 ≥ a2 + b2 ≥ 2ab a b + b a ≥2 (II) ë c¶ B§T (I), (II), (III) dÊu “=” x¶y b (a + b)2 ≥ 4ab (III) a = B Khai th¸c tÝnh chÊt luü thõa bËc hai I/.Khai thác bất đẳng thức (I): (a – b)2 ≥ Từ bất đẳng thức (I) ta có thể đổi biến đặt A = ay; B = bx đó (I) trở thành: (ay – bx )2 ≥ a, b, x, y DÊu “=” x¶y ay = bx Khai triển và biến đổi: a x = b y a2y2 – 2axby + b2x2 ≥ a2y2 + b2x2 ≥ 2axby a2y2 + b2x2 +a2x2 + b2y2 ≥ a2x2 + 2axby + b2y2 (a2 + b2)(x2 + y2) ≥ (ax + by)2 Nh vËy ta cã bµi to¸n: 1.Bµi to¸n 1: Chøng minh r»ng : (a2 + b2)(x2 + y2) ≥ (ax + by)2 (Bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho số a, b, và x, y) Để khắc sâu các phơng pháp chứng minh bất đẳng thức ta chứng minh bài toán b»ng nhiÒu c¸ch - Phơng pháp 1: Dùng định nghĩa : A > B A – B > + LËp hiÖu A – B + Chøng tá A – B > (2) + KÕt luËn A > B + C¸ch : XÐt hiÖu : (a + b )(x2 + y2) – (ax + by)2 = a2x2 + a2y2 + b2x2 + b2y2 - a2x2- b2y2 – 2axby 2 = a2y2 - 2axby + b2x2 = (ay - bx)2 ≥ luôn đúng a, b, x, y VËy (a2 + b2)(x2 + y2) ≥ (ax + by)2 DÊu “=” x¶y - Ph¬ng ph¸p : + C¸ch : Ta cã a x = b y Phép biến đổi tơng đơng + Biến đổi A > B A1 > B1 A2 > B2 … (*) + VËy A > B (a2 + b2)(x2 + y2) ≥ (ax + by)2 a2x2 + a2y2 + b2x2 + b2y2 ≥ a2x2+ 2·by + b2y2 a2y2 - 2axby + b2x2 ≥ (ay – bx)2 ≥ DÊu “=” x¶y luôn đúng a, b, x, y a x = b y Bất đẳng thức cuối cùng là đúng VËy (a2 + b2)(x2 + y2) ≥ (ax + by)2 - Phơng pháp : Sử dụng bất đẳng thức đã biết + C¸ch : Ta cã (ay - bx)2 ≥ a2y2– 2aybx + b2x2 ≥ a2x2 + a2y2 + b2x2 + b2y2 ≥ a2x2+ 2·by + b2y2(céng vÕ a2x2, b2y2) (a2 + b2)(x2 + y2) ≥ (ax + by)2 - Ph¬ng ph¸p : Ph¬ng ph¸p ph¶n chøng + Gi¶ sö cã ®iÒu tr¸i víi kÕt luËn + Suy điều mâu thuẫn với giả thiết điều đã biết + Giả sử sai – kết luận đúng + C¸ch 4: Gi¶ sö (a2 + b2)(x2 + y2) < (ax + by)2 a2x2 + a2y2 + b2x2 + b2y2 < a2x2+ 2·by + b2y2 a2y2– 2aybx + b2x2 < (ay - bx)2 < V« lý VËy (a2 + b2)(x2 + y2) ≥ (ax + by)2 Bèn ph¬ng ph¸p trªn thÓ hiÖn c¸ch gi¶i bµi to¸n lµ ph¬ng ph¸p th«ng thờng để chứng minh bất đẳng thức Khai thác tiếp tục bất đẳng thức (I) ta có: (ay - bx)2 ≥ (3) (az - cx)2 ≥ (ay - bx)2 + (az - cx)2 + (cy - bz)2 ≥ (cy - bz)2 ≥ Khai triển, chuyển vế cộng vào vế BĐT : a 2x2 + b2y2 + c2z2 ta đợc: a2x2+a2y2+a2z2+b2x2+b2y2+b2z2+c2x2+c2y2+c2z2≥a2x2+b2y2+c2z2+2axby+2axcz+2bycz (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) ≥ (ax + by +cz)2 2.Bµi to¸n : CMR : (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) ≥ (ax + by +cz)2 ( B§T Bunhiac«pxki cho bé sè a, b, c vµ x, y, z) Gi¶i XÐt hiÖu : (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) - (ax + by +cz)2 =a2x2+a2y2+a2z2+b2x2+b2y2+b2z2+c2x2+c2y2+c2z2- a2x2- b2y2- c2z2-2abxy-2acxz-2bcyz =(a2y2-2abxy+b2x2)+(a2z2–2acxz+c2x2)+(b2z2-2bcyz+ c2y2) =(ay - bx)2+ (az - cx)2+ (cy - bz)2 ≥ DÊu “=” x¶y a b c = = x y z B»ng c¸ch lµm t¬ng tù ta cã thÓ ph¸t triÓn bµi to¸n B§T Bunhiac«pxki tæng qu¸t: (a21 + a22 +…+ a2n)(x21 + x22 +…+ x2n) ≥ (a1x1 + a2x2 +…+ anxn )2 DÊu “=” x¶y a1 a2 a = = = n x1 x2 xn Để ý a và x là số nghịch đảo thì ax = (x = a ) Từ bài toán ta có thể đặt bài toán: 3.Bµi to¸n 3: Cho ba sè a, b, c lµ sè d¬ng Chøng minh r»ng: (a + b + c)( + + )≥9 a b c Gi¶i Theo bµi to¸n (B§T Bunhiac«pxki): (a + b + c)( (a + b + c)( 1 1 + + ) ≥ (√ a + √ b + √c ) a b c √a √b √c 1 + + ) ≥ 32 = a b c DÊu “=” x¶y a = b = c Từ bất đẳng thức (x+ y+ z)( + + )≥ x y z Đặt a + b = X; b + c = Y; c + a = Z ta đợc BĐT: + + )≥ a+b b+c c+ a a b c + + +3) ≥ b+c a+c b+a 2(a + b + c)( ( (4) a b c + + ≥ b+c a+c b+a Bài toán tìm đợc: 4.Bµi to¸n 4: Cho a, b, c lµ sè d¬ng CMR: a + b + c ≥ b+c a+c b+a Gi¶i ¸p dông bµi to¸n tacã: 1 1 + √ b+ c + √c +a ) + + )≥ ( √ a+b a+b b+c c+ a √ a+b √b +c √ c+ a 1 2(a + b + c)( a+b + b+c + c+ a )≥ a b c ( b+c + a+c + b+a +3) ≥ a b c b+c + a+c + b+a ≥ (1) (a+b+c+b+c+a)( Ta tiÕp tôc khai th¸c bµi to¸n theo bíc sau: - Bíc : Nh©n vÕ cña (1) víi a+b+c > (a + b + c)( + + )≥ a+b b+c c+ a (a + b + c) - Bớc : Khai triển rút gọn vế trái sau đó chuyển vế ta đợc: a2 + b2 + c ≥ b+c a+c b+a a+b+ c §©y lµ néi dung cña bµi to¸n 5.Bµi to¸n : Cho a, b, c lµ sè d¬ng 2 a + b + c ≥ b+c a+c b+a CMR: a+b+ c Chứng minh bài toán ta có thể dẫn từ bài toán theo hớng khai thác để đến kết Nhng ta có thể giải độc lập nh sau: - Phơng pháp 1: áp dụng bất đẳng thức bài toán [( a ¿ +( √b+ c b ¿ +( √ b+ a c ¿ ][( √b+ a √ b+c )2+ ( √ a+c )2+ ( √ a+b a b c b+c + a+ c+ a+b ¿ √ √ √ ) ] ≥ √b+ c √ a+c √ a+b ¿ a2 b2 c2 2(a + b + c)( + + ) ≥ (a + b + c)2 b+c a+c b+a 2 a+b+ c a + b + c ≥ (®pcm) b+c c+ a b+a - Phơng pháp 2: áp dụng bất đẳng thức Cô si (5) a2 b+c + b+c ≥2 + c+ a ≥b b c+ a VËy √ c2 + b+a ≥ c b+a 2 a + b + c b+c c+ a b+a a2 b+ c = a b+ c a+b+ c ≥ (céng theo vÕ B§T trªn ) Ta tiÕn hµnh khai th¸c bµi to¸n b»ng c¸ch: +Trang bÞ thªm cho bµi to¸n ®iÒu kiÖn : abc = + ¸p dông B§T C« si cho sè d¬ng : a + b + c ≥ √3 abc = 3x1 = 6.Bµi to¸n 6: Cho a, b, c lµ sè d¬ng tho¶ m·n : abc = a2 + b2 + c b+c c+ a b+a CMR ≥ (2) Gi¶i Theo bµi to¸n 2 a + b + c b+c c+ a b+a ≥ a+b+ c a2 + b2 + c b+c c+ a b+a ≥ 3 ≥ √ abc = x = 2 Xem xÐt bµi to¸n ta nhËn thÊy: + Nếu đặt a = Khi đó : ;b= x x+y= a ;c= y z + = a+b b xyz abc = = = c(a + b) ab T¬ng tù : y + z = a(b + c) z + x= b(c + a) Do đó BĐT (2) a3 a(b+ c) x ( y+z) b3 b(a+ c) + + y (z + x ) c3 c( a+b) + + ≥ ≥ z (x + y ) 7.Bµi to¸n 7: Cho x, y, z lµ sè d¬ng tho¶ m·n : xyz = CMR : x ( y+z) + y (z+x) + ≥ z (x+ y) Gi¶i 2 (6) §Æt a = ;b= x ;c= y z abc = xyz = Ta cã : x+y = c(a+b) y+z = a(b+c) z+x = b(c+a) Do đó : x ( y+z) + y (z + x ) + z (x+ y) = 2 a + b + c b+c c+ a b+a ≥ (theo bµi to¸n 6) Nh từ tính chất luỹ thừa bậc hai ta đã khai thác đợc chùm bài toán từ dễ đến khó khó mặt khác rèn luyện t sáng tạo học sinh II/.Khai thác bất đẳng thức II §Æt a =x> b a b + b a ≥2 th× b = Ta cã bµi to¸n: a x Bµi to¸n 8: Cho sè d¬ng x ≥ x Khai th¸c bµi to¸n ta thÊy: x =1 x Chøng minh r»ng: x + Do đó ta dùng số dơng a, b, c, d thoả mãn : abcd=1 Khi đó: ab= cd (cd= ¿ ab Ta khám phá đợc bài toán mới: Bµi to¸n 9: Cho a, b, c, d lµ sè d¬ng tho¶ m·n abcd=1 CMR: ab + cd ≥ (hoÆc ac + bd ≥ 2; ad + bc ≥ 2) (Chứng minh bất đẳng thức này cần đa bài toán cách dùng điều kiện abcd=1) L¹i cã: a2 + b2 ≥ 2ab ; c2 + d2 ≥ 2cd Do đó : a2 + b2 + c2 + d2 ≥ 2ab + 2cd Liªn kÕt víi bµi to¸n ta cã: a2 + b2 + c2 + d2 ≥ 2(ab + cd) ≥ 10 Bµi to¸n 10: Cho a, b, c, d lµ sè d¬ng tho¶ m·n abcd=1 CMR: : a2 + b2 + c2 + d2 ≥ TiÕp tôc liªn kÕt bµi to¸n vµ 10 ta cã: 11 Bµi to¸n 11: Cho a, b, c, d lµ sè d¬ng tho¶ m·n abcd=1 (7) CMR: : a2 + b2 + c2 + d2 + ab + cd + ac + bd ≥ 10 Gi¶i Tõ ®iÒu kiÖn a b, c, d > vµ abcd=1 cd Ta cã: : ab = bc ; ad = ; ca = bd Do đó: (ab + cd) + (da + bc) + (ac + bd) ¿ + (bc + cd = (cd + ¿ bc + (bd + ¿ bd ≥ + + = (Bµi to¸n 9) Mµ a2 + b2 + c2 + d2 ≥ (bµi to¸n 10) a2 + b2 + c2 + d2 + ab + cd + ac + bd ≥ 10 → DÊu “=” x¶y a = b = c = d Vây từ bất đẳng thức (II) ta khai thác thành chùm BĐT (8 →11 ) III Khai thác bất đẳng thức III: (a + b)2 ≥ 4ab a, b Là bất đẳng thức đa mối quan hệ bình phơng1tổng với tích cuả chúng §Ó khai th¸c B§T (III) ta thªm ®iÒu kiÖn a,b lµ sè d¬ng Chia vế (III) cho ab(a + b) ta đợc: a+b ab a+b ≥ a ⇔ b + a+b ≥ 12 Bµi to¸n 12: Cho a,b lµ sè d¬ng a Chøng minh r»ng: + b a+b ≥ Gi¶i a + + b XÐt hiÖu VËy a b - a(a+ b)+ b( a+b)− ab = a+b ab(a+b) a+b ≥ DÊu “=” x¶y a=b Khai th¸c bµi to¸n 12 t¬ng tù nh c¸ch khai th¸c bµi to¸n Ta cã: a b c + ≥ + + b c a ≥ ≥ c2 + d2 ≥ a+b b+c c+ a Do đó cộng theo vế BĐT trên ta đợc: a+b + b+c + c+ a ≥ 13 Bµi to¸n 13: Cho a, b, c lµ sè d¬ng ¿ ¿ +¿ a +¿ b ¿ c a+b = (a − b)2 ≥ ab ( ¿ ) (8) CMR: a+b b+c + c+ a + ¿ ¿ ≤ +¿ a +¿ b ¿ c Gi¶i Theo bµi to¸n 12: a+b ≤ b+c ≤ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ≤ c+ a +¿ a ) b +¿ b ) c +¿ c ) a Céng theo vÕ cña B§T trªn: a+b + b+c + c+ a ¿ ¿ ≤ +¿ a +¿ b ¿ c DÊu “=” x¶y a=b=c Khai th¸c bµi to¸n 13 b»ng c¸ch : + §Æt a= x + y; b= y + z; c= z + x ¿ ¿ ¿ 1 =¿ ≤ ¿ b y+z ¿ 1 =¿ ≤ ¿ c z+x + Thªm ®iÒu kiÖn : +¿ x y =¿ a x+y ≤ x + ) y y + z ) 1 z + x ) + =4 z Ta hình thành bài toán 14 là BĐT đã là bài thi đại học khối A năm 2005 Điều nµy cµng chøng tá viÖc häc sinh n¾m ch¾c kiÕn thøc tõ líp díi lµ v« cïng quan träng 14 Bµi to¸n 14: Cho x, y, z lµ c¸c sè d¬ng tho¶ m·n: +¿ x x+ y+z CMR: + x +2 y + z + x + y +2 z y + =4 z ≤ (§¹i häc khèi A – n¨m 2005) Gi¶i - C¸ch Ta cã : x+ y+z + + ) z T¬ng tù: z = ( x+ y)+( x+z ) ≤ ( x+y + )≤ y+z 16 ( + x y (9) ≤ x +2 y + z 16 ( x + y + z + ) z ≤ x + y +2 z 16 ( x + y + z + ) z x +2 y + z + x + y +2 z ≤ 16 Céng theo vÕ B§T trªn: x+ y+z Mµ +¿ x VËy + y +¿ x .4( y + ) z + =4 z x+ y+z x +2 y + z + x + y +2 z + DÊu “=” x¶y x = y = z = ≤ - C¸ch 2: Ta cã 1 = x+ y+z x +( y + z ) ≤ ( + )≤ 2x y+z 8x + ( + )= 16 y z 1 + + 8x 16 y 16 z T¬ng tù: x +2 y + z 1 + + 16 x 8y 16 z ≤ ≤ x + y +2 z 1 + + 16 x 16 y 8z Céng theo vÕ c¸c B§T: VËy 1 1 + + ≤ ( x+ y+z x +2 y + z x + y +2 z x 1 + + ≤ x+ y+z x +2 y + z x + y +2 z + y + )=1 z Khai thác bài toán 14 cách đặt vào tam giác ta có: 15 Bµi to¸n 15: Xét tam giác ABC có: BC = a, CA = b, AB = c, chu vi a+b+c = 2p không đổi CMR: ab a+b+2 c + bc a+ b+c + ac c+2 b+ c ≤ p Gi¶i ¸p dông bµi to¸n 12 Ta cã: ab ab = ≤ ( ab + ab ) a+b+2 c a+c b+c (a+ c)+(b+c ) bc bc bc ≤ ( + ) a+ b+c a+b a+c ac ca ca ≤ ( + ) a+2 b+c b+a a+b Cộng theo vế BĐT ta đợc: (10) ab bc ac ab ab + + ≤ ( + a+b+2 c a+ b+c a+2 b+c a+c b+c ca + ca ) = (a + b + c) = 2p = p b+a a+b 4 2p Dấu “=” xảy Δ ABC có a = b =c = + bc + a+b bc a+c + TiÐp tôc khai th¸c b¶i to¸n tam gi¸c vÒ mèi quan hÖ gi÷a c¹nh cña tam gi¸c vµ chu vi cña nã ta cã: 16 Bµi to¸n 16 Trong Δ ABC có chu vi a + b +c = 2p ( a, b, c là độ dài cạnh ) CMR : p−a + p−b + p−c ≥2( + + ) a b c Gi¶i NhËn xÐt : p - a = a+b+ c -a= b+c − a > ( vì b + c > a bất đẳng thức tam giác ) T¬ng tù : p - b > ; p- c > MÆt kh¸c : p - a + p - b = 2p - a - b = c p-b+p-c=a p-c+p-a=b Do đó ta nghĩ đến việc dùng bất đẳng thức bài toán 12 nh sau: p−a + p−b ≥ ( p −a)+( p − b) p−b + p−c ≥ a p−c + p−a ≥ b = c + b Cộng theo vế bất đẳng thức ta có : p−a + + p−b p−c ≥2( a + ) c Dấu ‘=’ xảy Δ ABC Email: info@123doc.org Website: http://huynhvumt.violet.vn (11)