cd : bat dang thuc

Bất đẳng thức Các toán tìm giá trị lớn , nhỏ CHUYÊN ĐỀ : Bài 1:Cho a,b,c độ dài ba cạnh tam giác CMR: ab + bc + ca ≤ a2 +b2 +c2 < 2.(ab + bc + ca) Giải: Ta có: 2 a2 +b2 +c2 - ab + bc + ca = ( a − b) + (b − c ) + (c − a ) ≥ Đẳng thức xảy a = b = c Vậy: ab + bc + ca ≤ a2 +b2 +c2 Lại có: a < b + c ⇒ a2 < a.(b + c) (1) Tương tự: b2 < b.(a + c) (2) ,c2 < c.(b + a) (3) Cộng (1),(2),(3) theo vế ta được: [ ] a2 +b2 +c2 < a.(b + c) + b.(a + c) + c.(b + a) = 2.(ab + bc + ca) Bài 2:Giả sử x > z ; y > z ; z > 0.CMR: z.( x − z ) + z.( y − z ) ≤ xy (1) Giải: x = z + m Đặt:  (m,n,z > 0) y = z + n Khi (1) trở thành: zm + zn ≤ ( z + m).( z + n)  m ⇔ m + n ≤ 1 + .( n + z ) (2) z  Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:  m   m z = 1 + .(n + z ) ≥  n + z z    ( n+ m )  m ⇔ 1 + .(n + z ) ≥ n + m z  Vậy (2) đúng, tức (1) (đpcm) ( ) 4 Bài 3:Cho xy > x + y = 1.CMR: x + y + Giải:  xy > ⇒ x, y > Từ giả thiết  x + y = > Ta có: ≥ xy = x + y ≥ xy ⇒ Lại có: ( 1 ≥ xy ⇒ ≥ 4(1) xy [ ) ] x + y = 4.(12 + 12 ).( x + y ) ≥ 4.( x + y ) = (12 + 12 ).( x + y ) ≥ [ 2 ] ( ) ≥ ( x + y) = Suy ra: 8.(x + y4) ≥ (2) Từ (1) (2) suy ra: x + y + ≥ + = xy Ta có đpcm Bài 4:Cho ba số phân biệt a,b,c.CMR:Có ba số sau số dương: x = (a + b + c)2 - 9ab ; y = (a + b + c)2 - 9cb ; z = (a + b + c)2 - 9ac Giải: Ta có: x + y + z = (a + b + c)2 - 9.(ab + bc + ca) = 3.(a2 + b2 +c2- ab - bc - ca) = 2 = (a − b) + (b − c) + (c − a ) > (Do a ≠ b ≠ c ≠ a) Vậy ba số x,y,z có số dương [ ] a + b ≥ 1 4 Bài 5: Nếu  a + b ≥ ab > Giải: Hoàn toàn tương tự ( )( ) ( )( ) Bài 6:CMR: x 10 + y 10 x + y ≥ x + y x + y Giải: Ta có: x 10 + y 10 x + y ≥ x + y x + y ⇔ x 12 + y 12 + x y x + y ≥ x12 + y 12 + x y x + y ⇔ x y x8 + y8 ≥ x y x4 + y ⇔ x y x8 + y8 − x6 y − x y ≥ ( ⇔ x2 y2 )( ( ( ( x ( x ( ) )( ) ( x ) ( ) ( ) − y2 x6 − y6 ≥ )( ) ) ) ( ) ) ⇔ x2 y2 − y2 + x2 y2 + y4 ≥ Bất đẳng thức cuối đúng.Vậy ta có đpcm Bài 7:CMR: Nếu a,b,c số đôi khác a + b + c < : P = a3 + b3 + c3 - 3abc < Giải: Có: P = a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c).(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca) < Bài 8:CMR: A = 1 1 + + + < với n ∈ Ν, n > 25 (2n + 1) Giải: Dễ dàng biến đổi tương đương chứng minh được:  1 1 <  + 2  2n.(2n + 1) (2n + 1).(2n + 2)  (2n + 1) Áp dụng ta có:  1 1 1 A <  + + + + =  2.3 3.4 4.5 (2n + 1).(2n + 2)  1 1 1  1  =  − + − + + − =  − <  2 3 2n + 2n +   2n +  Ta có đpcm Bài 9:CMR: Nếu: p,q > thì: Giải: Có: p2 + q2 − pq = p+q Ta có đpcm ( )( p2 + q2 ≥ p+q p − q p+ p+q pq pq + q ) ≥ 1 < − với số nguyên dương k >1.Từ suy ra: k −1 k k 1 1 + + + + < − với n >1 n n Giải: 1 1 = − Ta có: < (k − 1).k k − k k Áp dụng cho k = 2,3, ,n ta được: 1 1 1 1 1 1 + + + + < +  − + − + + −  = 2− n −1 n  n n 1 2 Bài 10:CMR: x2 + y2 − 2 ≥ Bài 11:Cho hai số x,y thỏa mãn: x > y xy = 1.CMR: x− y Giải: Ta có: x2 + y2 2 = x− y+ ≥ ( x − y ) = 2 ≥ x− y x− y x− y Ta có đpcm Bài 12:Cho tam giác ABC có cạnh thỏa mãn: a ≤ b ≤ c CMR: ( a + b + c ) ≤ 9bc Giải: Từ giả thiết ta có: 2b ≥ b + a > c ⇒ 4b − c > ⇒ (b − c).(4b − c) ≤ ⇒ 4b + c ≤ 5bc ⇒ ( 2b + c ) ≤ 9bc(1) Mà: (a + b + c)2 ≤ (2b + c)2 (2) Từ (1) (2) suy ra: (a + b + c)2 ≤ (2b + c)2 ≤ 9bc Ta có đpcm Bài 13: Cho < a,b,c < 2.CMR:Ba số a.(2-b) ; b.(2-c) ; c.(2-a) không đồng thời lớn Giải: Ta có: a.(2 − b).b(2 − c ).c (2 − a ) = a.(2 − a).b.(2 − b).c(2 − c) ≤ 2 2 a + 2−a b+ 2−b c+ 2−c ≤      = 2       Tích ba số nhỏ chúng đồng thời lớn Ta có đpcm Bài 14: Cho ba số a,b,c thỏa mãn: a > b > c > 0.CMR: b c < a +b − a −b a+c − a−c Giải: b c < Ta có: a +b − a −b a+c − a−c a+b + a−b a+c + a−c < 2 ⇔ a+b + a−b < a+c + a−c ⇔ ⇔ 2a + a − b < 2a + a − c ⇔ a2 − b2 < a2 − c2 ⇔ b2 > c2 Bất đẳng thức cuối Vậy ta có đpcm Bài 15:Cho số dương x,y,z thỏa mãn: x + y + z ≥ CMR: Giải: Áp dụng BĐT Cô Si: x3 x3 + xy ≥ xy = x (1) y y x3 y3 z + + ≥ y z x y3 z3 + yz ≥ y (2) + xz ≥ 2z (3) z x Cộng (1),(2),(3) theo vế ta có: x3 y3 z3 + xy + + yz + + zx ≥ 2.( x + y + z ) y z x Suy ra: x3 y3 z + + ≥ 2.( x + y + z ) − ( xy + yz + zx ) ≥ ( x + y + z ) ≥ y z x Vậy ta có đpcm Tương tự: ... thỏa mãn: x > y xy = 1.CMR: x− y Giải: Ta c : x2 + y2 2 = x− y+ ≥ ( x − y ) = 2 ≥ x− y x− y x− y Ta có đpcm Bài 12:Cho tam giác ABC có cạnh thỏa mãn: a ≤ b ≤ c CMR: ( a + b + c ) ≤ 9bc Giải: Từ... +  Ta có đpcm Bài 9:CMR: Nếu: p,q > th : Giải: C : p2 + q2 − pq = p+q Ta có đpcm ( )( p2 + q2 ≥ p+q p − q p+ p+q pq pq + q ) ≥ 1 < − với số nguyên dương k >1.Từ suy ra: k −1 k k 1 1 + + +... đúng.Vậy ta có đpcm Bài 7:CMR: Nếu a,b,c số đôi khác a + b + c < : P = a3 + b3 + c3 - 3abc < Giải: C : P = a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c).(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca) < Bài 8:CMR: A = 1 1 + + +