ON DAI HOC BAT DANG THUC

M ặt khác, áp dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có:... T ìm giá tr ị lớn nhất của biểu[r]

Bài tập bất đẳng thức,GTLN,GTNN Gv : Đỗ Gia Phước

1/ Cho số dương x, y, z thoả mãn : x +3y+5z 3 Chứng minh rằng: 625 4

 z

xy +15 4

 x

yz +5zx 81y4 4  45 5xyz. Giải

Bất đẳng thức  42

x

x  + 2

9

y

y  + 2

25 25

z

z   45

VT       )2 

5

2 ( ) (

z y x z y x

3

2

) (

36 )

5 (

z y x z

y

x

Đặt t =

)

(x y z

ta cã

3 )

5 (

3

3  

  



    x y z z

y

x t 

§iỊu kiƯn < t 1 XÐt hµm sè f(t)= 9t+ t

36 36 36

36t 27t 36 t 27

t t

     =45

DÊu b»ng x¶y khi: t=1 hay x=1; y=

; z=

2/ Cho số dương tùy ý x,y,z CMR:

2    2    2 

x x x

x y z x y z x y z

Giải:

Ta có:    

1 1 1

2

1

2

1

2 4

1

2

x y z x y x z x y x z

x x x

x y z x y x z

y y y x y y z x z

VT

x y z x y y z x y y z x z

z z z

x y z x z y z

 

    

        



 

    

      



       

          

           



 



   

     

Dấu “=” xảy x=y=z

3/ Cho số dương x,y,z thõa mãn: xyz=1 CMR:

2 2

3

1 1 1 2

x y z

y  z  x 

  

Giải:

Bài tập bất đẳng thức,GTLN,GTNN Gv : Đỗ Gia Phước

2

2

1

1

9

1 ( ) 3( ) 3

( )

1 4 4

1

1

x y

x y

xyz

y z x y z x y z

y VT x y z

z

z x

z x

 

  

 

 

       

         

 

 

  

 

Dấu “=” xảy x=y=z=1

4/ Chứng minh với số tự nhiên n ( với n  2), ta có: ln2n > ln(n-1).ln(n+1) Giải

 Với n = BĐT cần chứng minh

 Xét n > ln(n – 1) > BĐT tương đương với: ln ln( 1)

ln( 1) ln

n n

n n

 

 (1)

Hàm số f(x) = ln ln( 1)

x

x , với x > hàm nghịch biến, nên với n > f(n) > f(n+1)

 ln ln( 1)

ln( 1) ln

n n

n n

 

 BĐT (1) chứng minh

5/ Cho số không âm tùy ý x,y,z thõa mãn: x+y+z=0 CMR: 4 x  4 y  4 z 3 Giải:

Đặt:

 

1 1

3 6 6

(1)

1 18 4

, , 0

4 à : 2 2 2 3 (1)

1 4

ó : 2 1 1 3 2 3. 3.

3 3. 3 3

x y z

a

a b c

b V a b c

abc c

Ta c a a a a a VT a b c

abc

 



 

       

 

  

 

 

             

 

 

Dấu “=” xảy x=y=z=0

6/ Cho tam giác ABC với cạnh a, b, c Chứng minh rằng: 3 2 2 2

3 ( ) ( ) ( )

Bài tập bất đẳng thức,GTLN,GTNN Gv : Đỗ Gia Phước

Do cos cos cos

A B C

7/ Cho số dương x,y,z thõa mãn điều kiện: xyz=1 Chứng minh rằng:

2 2

3 3

x y z

P

x y y z y z z x z x x y

   

     

Giải:

2

3 2

3 3 3 3

2 2 2 2

3 3 3

2 2 2 2 2 2

3 3 3

2 2 2

ì :

à :

2

x x

V

x y y z x xy y

x y x y y z z x

M x y

x xy y x xy y y yz z z zx x

x y z y z x

x xy y y yz z z zx x x xy y y yz z z zx x

x y y z z x

P

x xy y y yz z z zx x V



   

   

     

       

     

           

  

   

     

3 2 2

2 2 2

3

3

2

1

ì : ( ) :

3

2 ( ) 2

3

x y x xy y x xy y

x y m

x xy y x xy y x xy y

x y x y

P x y z xyz P

x xy y

    

  

     

 

         

 

8/ Cho x,y,z số thực dương Chứng minh : P = 3 3 3 3

2 2

4(x y ) 4(y z ) 4(z x ) 2( x y z)

y z x

        12

Giải

Ta có: 4(x3+y3)(x+y)3 , với x,y>0

Thật vậy: 4(x3+y3)(x+y)3 4(x2-xy+y2)(x+y)2 (vì x+y>0)

3x2+3y2-6xy0 (x-y)20 Tương tự: 4(x3+z3)(x+z)3

4(y3+z3)(y+z)3

Ta có 3 2 2 2

3 ( ) ( ) ( )

a b c  abca b c b c a c a b

2 2 2 2 2 3

2 2

3

cos cos cos

2

a b c b c a c a b

ab bc ca

A B C

     

   

   

Mặt khác

2 2 2 2

cos cos cos (cos cos ).1 (cos cos sin sin )

1

[(cos cos ) ]+ [sin A+sin B]- cos cos

2 2

A B C A B A B A B

A B A sB

     

Bài tập bất đẳng thức,GTLN,GTNN Gv : Đỗ Gia Phước

3 3 3

34(x y ) 34(x z ) 34(y z ) 2(x y z) 63xyz

          Mặt khác:

3

2 2

1

2( x y z)

y  z  x  xyz

3 3

6( ) 12

P xyz

xyz

    Dấu ‘=’ xảy

2 2

1

x y z

x y z

x y z

y z x

xyz xyz 

    

      

 

  

Vậy P12, dấu ‘=’ xảy x = y = z =1 9/ Cho số thực a,b,c tùy ý Chứng minh rằng:

2 2 2 (*)

1 1 1

a c a b b c

a c a b b c

  

 

     

Giải:

Đặt:

 

tan

tan (*) sin( ) sin( ) sin( )

tan

ì : sin( ) sin ( ) ( ) ) sin( ) os( ) os( ) sin( )

sin( ) os( ) os( ) sin( ) sin( ) sin( )

a b c

V c c

c c



      



             

           

  

       

   

          

         

 Điều phải chứng minh

10/ Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn xyz=1 Chứng minh 1 1

1 1

xy y z z x Gii

Đặt x=a3 y=b3 z=c3 x, y, z >0 abc=1.Ta có

a3 + b3=(a+b)(a2+b2-ab)(a+b)ab, a+b>0 vµ a2+b2-abab

 a3 + b3+1 (a+b)ab+abc=ab(a+b+c)>0



 

3

1

a  b 1ab a b c T¬ng tù ta cã 3  

1

c bc a b c

b      ,

 

3

1

a ca a b c

c      Céng theo vÕ ta cã

1 1

1 1

xy  y z  z x = 3

1

a  b 1+ 3 c

b   + 3

1 a

Bài tập bất đẳng thức,GTLN,GTNN Gv : Đỗ Gia Phước 

 

1 1

a b c ab bc ca

 

 

 

   =  

1

1

a b c c a b  DÊu b»ng x¶y x=y=z=1

11/ Cho số thực a,b,c,d thõa mãn: a2 +b2=1; c – d =3 Chứng minh:

4 F ac bd cd   Giải:

Gọi:

   

 

2

2 2 2 2

2 2

; ( ) : ; :

ó : ( ) ( ) 2

( ) 2( )

A a b A C x y v B c d B d x y

Ta c AB a c b d a b c d ac bd

a b c d ac bd cd F

       

         

         

Vì AB nhỏ A,B thuộc đường vng góc với d kẽ từ O

2

3 2 22 12

1

2

22 12 11

10

4 4

AB Min OB OA AB

F F F

 

       

  

       

12/ Cho: a c 0;bc Chứng minh:

c a c(  ) c b c(  ) ab Giải:

Gọi:

 

 

, ,

: ( ) ( )

a c b c a c b c b

b a c c b a c c a

Do a b a b c a c c b c ab

     

     

     

 

 

   

13/ Cho số a,b,c,d thõa mãn: a+2b=9;c+2d=4 CMR:

2 2 2 2

12 52 2 20

a  ab  b  a c b d  ac bd c d  c d  Giải:

Chọn A(a;b) B(c;d) ta có: M(6;4) N(2;-4) và:

   

1

2

2

( ) :

( ) :

ó : 12 52

A d x y

B d x y

Ta c a a b b a b AM

   

 

   



Bài tập bất đẳng thức,GTLN,GTNN Gv : Đỗ Gia Phước    

   

2

2 2

2

2

2

4 20

a c b d ac bd a c b d AB

c d c d c d BN

         

        

Mà : AM ABBN MN  (62)2 (44)2 4

15/ Cho a, b, c, d số dương Chứng minh rằng:

abcd a4 b4 c4 abcd b4 c4 d4 abcd c4 d4 a4 abcd d4 a4 b4 abcd

1 1 1

   

           

Giải

a4b42a b (1); b2 4c42b c (2); c2 4a42c a (3)2

 a4b4c4abc a b c(   )a4b4c4abcdabc a b c d(    )

(4) abc a b c d a4 b4 c4 abcd

1

( )

 

     

 đpcm

               

2 2 3

2 2

3 3

2

3 3

3

3 , , 0

3 1 1 1

1

ó : ì :

ó :

8

x y z

a a b c

b ab bc ca abc

a b c

c

a b c a b c

Ta c VT

a bc b ca c ab a abc b abc c abc

a a a

V

a abc a ab bc ca a b a c

a b c

VT

a b a c b c b a c a c b

a a b a c a

Ta c

a b a c

   

 

     

 

     



     

     

 

     

   

     

 

  

 

      

3

3

3

64

3

;

4

3

2 ( )

8 4

a

b c

b c

b c b a c a c b

a b a c b c a b c

VT a b c VT VP dpcm



 

   

      

 

         

 

16/ Cho a, b, c số thực không âm thỏa mãn a  b c Chứng minh rằng:

27

ab bc ca abc Giải

Ta có ab bc ca  2abca b c(  ) (1 )  a bca(1a) (1 )  a bc Đặt t= bc ta có

2

( ) (1 )

0

4

b c a

t bc  

    Xét hs f(t) = a(1- a) + (1 – 2a)t đoạn 0;(1 )2

a

  

 

 

Có f(0) = a(1 – a)

2

( )

4 27

a a

  

2

(1 ) 1

(2 )

4 27 3 27

a

f    a a  

   

 

với a  0;1

Vậy

27

Bài tập bất đẳng thức,GTLN,GTNN Gv : Đỗ Gia Phước

17/ Cho bốn số dương a, b, c, d thoả mãn a + b + c + d =

Chứng minh rằng: a b c d

b c2 c d2 d a2 a b2

1 1 1 1 

Giải

Sử dụng bất đẳng thức Cô–si:

2

a ab c ab c ab c ab c ab abc

a a a a a

b c

1+b c b c

2

2

(1 )

(1)

2 4

2



          



Dấu = xảy b = c =

 

2

bc d

b bc d bc d bc d bc bcd

b b b b b

c d

1+c d c d

2

2

1

(2)

2 4

2



          



 

2

cd a

c cd a cd a cd a cd cda

c c c c c

d a

1+d a d a

2

2

1

(3)

2 4

2



          



 

2

da b

d da b da b da b da dab

d d d d d

a b

1+a b a b

2

2

1

(4)

2 4

2



          



Từ (1), (2), (3), (4) suy ra:

a b c d ab bc cd da abc bcd cda dab

b c2 c d2 d a2 a b2 4

1 1

     

     

   

Mặt khác:

 ab bc cd da a c b d  a c b d

2

4

    

        

 

Dấu "=" xảy  a+c = b+d  abc bcd cda dab ab c d  cd b a  a b c d c d b a

2

2

                  

   

 abc bcd cda dab a b c d  a b c d a b c d 

4

   

          

 

a b c d abc bcd cda dab

2

4

    

      

 

Dấu "=" xảy  a = b = c = d =

Vậy ta có: a b c d

b c2 c d2 d a2 a b2

4

4

4

1 1 1 1   

a b c d

b c2 c d2 d a2 a b2

1 1

    

     đpcm

Dấu "=" xảy a = b = c = d =

18/ CMR: Với tam giác ABC ta có:

1 os os os

2 2 3 3

A A A

c c c

A A A

  

  

Giải: Xét hàm số:

2

cos 1

2

x

Bài tập bất đẳng thức,GTLN,GTNN Gv : Đỗ Gia Phước ' sin '' cos 0; ;

2 y  x x v y   x  x o  

  Ta thấy y’ đồng biến ta có: y > Vậy ta có:

2

cos

2 x x  Áp dụng cho góc A/2, B/2 , C/2 ta có:

2 2

cos ; cos ; cos

2 8

A A B B C C

     

2

1 1

2 ( )

8

18 144

3

8

A B C

VT A B C

A B C A B C

 

 

 

 

         

 

 



   

19/ Cho x, y, z số dương Chứng minh: 3x2y4z xy3 yz5 zx

Giải

Áp dụng BĐT Cô–si, ta có: 1  ; 3  ;5 

2 xy  xy yz  xy zx  xy đpcm

20/ Cho x, y, z số dương Chứng minh: 3x2y4z xy3 yz5 zx

Giải

Áp dụng BĐT Cô–si: 1  ; 3  ;5 

2 xy  xy yz  xy zx  xy  đpcm

79/ Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn xyz=1 Chứng minh 1 1

1 1

xy  y z z x  Giài

Đặt x=a3 y=b3 z=c3 x, y, z >0 vµ abc=1.Ta cã

a3 + b3=(a+b)(a2+b2-ab)(a+b)ab, a+b>0 vµ a2+b2-abab  a3 + b3+1 (a+b)ab+abc=ab(a+b+c)>0



 

3

1

a  b 1ab a b c Tương tù ta cã

 

3

1

c bc a b c

b      , 3  

1

a ca a b c

c     

Céng theo vÕ ta cã

1 1

1 1

xy  y z  z x = 3

1

a  b 1+ 3 c

b   + 3

1 a

Bài tập bất đẳng thức,GTLN,GTNN Gv : Đỗ Gia Phước 

 

1 1

a b c ab bc ca

 

 

 

   =  

1

1 a b c c a b  DÊu b»ng x¶y x=y=z=1

21/Chứng minh a b c  ab bc ca a b c

a b b c c a

2 2 1

2

       

  

với số dương a b c; ;

Giải

Ta có:

2 1

2

a ab ab

a a a ab

a b  a b   ab   (1)

Tương tự:

1

b

b bc

bc   (2),

2

1

c

c ca

ca  (3)

Cộng (1), (2), (3), ta có:  

2 2 1

2

a b c

ab bc ca a b c

a b b c ca      22/ Cho a,b,c ba số thực dương Chứng minh:

 3 3

3 3

1 1

2

b c c a a b

a b c

a b c a b c

  

   

         

   

Giải

* Ta cm với a, b > có a3 + b3  a2b + ab2 (*)

Thật vậy: (*)  (a + b)(a2 -ab + b2) - ab(a + b)   (a + b)(a - b)2  Đẳng thức xẩy a = b

* Từ (*)  a3 + b3  ab(a + b) ;b3 + c3  bc(b + c) ; c3 + a3  ca(c + a)  2(a3 + b3 + c3 )  ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) (1)

* Áp dụng BĐT co si cho số dương ta có: 13

a +

1

a +

1

a  3

3 3

1 1

a b c =

3

abc (2)

* Nhân vế với vế (1) (2) ta BĐT cần cm.Đẳng thức xẩy a = b = c

23/ Cho số thực a, b, c thỏa mãn : 0a1; 0b1; 0 c Chứng minh rằng:

a b c

abc a b c

1 1

1

 

      

 

 

Giải

Vì 0a1,0b1 nên a1b10ab a b   1 a b ab

1

   

ab a b

1 1

1 (1)

   

Tương tự :

bc b c ca c a

1 1 1

1 (2), (3)

     

Cộng BĐT (1), (2), (3) vế theo vế ta được:

ab bc ca a b c

1 1 1

2  (4)

      

 

Bài tập bất đẳng thức,GTLN,GTNN Gv : Đỗ Gia Phước 10

a b c a b c a b c

abc ab bc ca a b c

1 1 1 1

1

   

               

   

   

a b c

a b c a b c

1 1 1

2  

         

 

Cũng theo BĐT Cơ–si ta có : a b c

a b c

1 1

9

 

     

 

Do đó: a b c

abc a b c a b c

1 1 1 1

1 3

 

           

 

 

(đpcm) Dấu "=" xảy a = b = c =

24/ / Cho số thực x , y thuộc đoạn 2; 4 Chứng minh rằng:

  1

2

x y

x y

 

     

 

Giải

Gọi A x y 1 x y

x y y x

   

       

   

Đặt t x y

 A f t( ) t t

   

Với  

2

1

, 2; 1 ;

2

4

x

x

x y t

y y

  

  

       

   

  Ta có:

2

2

1 1

( ) ; ( ) ;

2

  

         

   t

f t f t t

t t

1 9

(2) ; (1) 4

2 2

f    f  f    A

  (đpcm)

25/ Cho số dương a b c ab bc ca, , :   3

Chứng minh rằng: 21 21 21

1a b c(  )1b c( a)1c a( b) abc Giải

Áp dụng BĐT Cauchy cho số dương ta có:3ab bc ca  3 (3 abc)2 abc1

Suy ra:

2

1 ( ) ( ) ( 1

1 ( )

) (1)

         

 

 a b c abc a b c a ab b

a b c a

c ca a

Tương tự ta có: 21 (2), 21 (3) 1b c( a)3b 1c a b(  )3c Cộng (1), (2) (3) theo vế với vế ta có:

2 2

1 1 1 1

( )

1 ( ) ( ) ( ) 3

ab bc ca

a b c b c a c a b c b c abc abc

 

      

     

Dấu “=” xảy abc1,ab bc ca 3 ab c 1, ( , ,a b c0)

26/ Cho x, y, z0 x2 y2z2 3 C/m :

3 3

2 2

3 2

1 1

x y z

y z x

  

  

Bài tập bất đẳng thức,GTLN,GTNN Gv : Đỗ Gia Phước 11 Ta có: VT + =

3 3

2 2

2 2

( ) ( ) ( )

1 1

x y z

y z x

y z x

    

  

3

2

6

( )

4 2

x x y

VT

y y



    

 

3

2

1

( )

4

2

y y z

z z



  

 

3

2

1

( )

4

2

z z x

x x



  

 

6 6

3 3

6

3 3

4 16 16 16

x y z

VT    

2 2

6

3

( )

2 2 2

VT x y z

     

6

9 3

2 2 2 2

2

VT VP

       (đpcm)

( Dấu xảy x = y = z = 1)

27/ Cho a, b, c số thực không âm thỏa mãn a  b c Chứng minh rằng:

27 ab bc ca   abc

Giải

Cách 1: Ta có ab bc ca  2abca b c(  ) (1 )  a bca(1a) (1 )  a bc Đặt tbcthì ta có

2

( ) (1 )

0

4

b c a

t bc  

   

Xét hàm số: f t ( )  a(1a) (1 )  a t đoạn a

2

(1 )

0;

  

 

 

 

Có:

2

( )

(0) (1 )

4 27

 

   a a  

f a a

2

(1 ) 1

(2 )

4 27 3 27

a

f    a a  

   

 

với a  0;1

Vậy:

27

ab bc ca abc Dấu "=" xảy  a b c

3

  

Cách 2: Ta có a2a2(b c )2(a b c a b c  )(   ) (1 )(1 )  c  b (1) Tương tự: b2(1 )(1 ) a  c (2), c2(1 )(1 ) a  b (3)

Từ (1), (2), (3)  abc(1 )(1 )(1 ) a  b  c = 2( a b c  ) 4( ab bc ca  ) 8 abc  ab bc ca 9abc

4



    ab bc ca 2abc abc

4



   

Mặt khác a b c  33abc  abc

27

 Do đó: ab bc ca abc

1

1 7

27

4 27



    

Dấu "=" xảy  a b c

3

Bài tập bất đẳng thức,GTLN,GTNN Gv : Đỗ Gia Phước 12 28/ Cho a, b,c0 : abc1 Chứng minh rằng:

1 1

1 a b 1b c 1c a 1

Giải

Ta có:

    

     

 

2

3

3 3 3

3 3 3 3 3 3

3

3 3

3 3

a b a b a ab b ab a b

a b ab a b ab a b abc ab a b c

1 c

a b ab a b c a b c

      

           

  

     

29 / Cho số thực không âm a, b Chứng minh rằng: a2 b b2 a   2a  1 2b

4 2

      

      

      

      

Giải

Ta có: a b a a b a a a b a b

2

2 1 1

2 2

3

4

 

          

        Tương tự: b2 a a b

2

3

    

Ta chứng minh a b a b

2

1 1

2 (2

2 2

    

    

    

     (*)

Thật vậy, (*)  a2 b2 ab a b 4ab a b

4

2 

         (a b )20 Dấu "=" xảy  a b

2

 

30/ Cho số thực dương a, b, c thay đổi thỏa mãn a b c 1   Chứng minh rằng:

2

2

2

 

  

  



b a

a c a c

c b c b

b a

Giải

Ta có: a b a b c b a b a

b c b c b c

2 (1 )

    

  

  

Tương tự, BĐT trơt thành: a b a b c b c a c

b c c a a b

  

     

   

a b b c c a

b c c a a b

  

  

  

Theo BĐT Cơ–si ta có: a b b c c a a b b c c a

b c c a a b b c c a a b

3

3

     

   

     

Dấu "=" xảy  a b c

3

  

31/ Cho số thực dương x, y, z thoả mãn: x x y z(   ) 3 yz Chứng minh: (xy)3(xz)33(xy x z y z)(  )(  ) 5( y z )3

Giải

Bài tập bất đẳng thức,GTLN,GTNN Gv : Đỗ Gia Phước 13

 x y x z x y x z

y z y z y z y z

2 2

2

         

   

     

   

     

(*) Đặt u x y v x z

y z, y z

 

 

  (u, v > 0) Từ (*)  u v u v

2  2 (  )2  u2v2uv1 (1)

Khi ta có: BĐT  x y x z x y x z

y z y z y z y z

3

3

           

  

       

   

       

 u3v33uv5

 (u v u )( 2uv v 2) 3 uv5  u v 3uv5 (2) (do (1)) Mặt khác từ (1) ta có: uv 1 (u v )21 (3)

(u v)2 3uv 3(u v)2

       (u v )24  u v 2 (4) Từ (3) (4) ta suy điều cần chứng minh (2)

32/ Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = Chứng minh rằng:

3 3

4 4

3 (1 )(1 )(1 )(1 )(1 )(1 )

a b c

b c c a a b

Giải

Áp dụng BĐT Cơ–si ta có:

3 3

1 1 1

; ;

(1 )(1 ) 8 (1 )(1 ) 8 (1 )(1 ) 8

     

        

     

a b c a b c a b c a b c

b c c a a b



3 3 3 33 3 3

(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) 4  

      

     

a b c a b c abc

b c c a a b

Dấu "=" xảy  a = b = c =

33/ Cho x,y số thực thỏa mãn điều kiện x2+xy+y2  Chứng minh rằng: –4 3– x2–xy–3y24 3

Giải

Đặt A = 2

 

x xy y , B = 2

3

 

x xy y

 Nếu y = B =

x   B 

 Nếu y  đặt t = x

y ta B = A

2 2

2 2

3

   



   

x xy y t t

A

x xy y t t

Xét phương trình:

2

3  

   t t

m

t t  (m–1)t

+ (m+1)t + m + = (1) (1) có nghiệm  m =  = (m+1)2 – 4(m–1)(m+3) 



3  

 m 

3   Vì  A  nên –3–4 3 B  –3+4

34/ Cho x, y, z số dương thoả mãn: 1 1

x yz  Chứng minh rằng:

1 1

1 2zyz x2yz xy2z

Bài tập bất đẳng thức,GTLN,GTNN Gv : Đỗ Gia Phước 14 Áp dụng BĐT Côsi: (  )(11)41 1



x y

x y x y x y

Ta có: 1 1 1 1

2 16

   

        

       

x y x x y x z x y x z

Tương tự cho hai số hạng lại Cộng vế với vế ta đpcm 35/ Cho: 2

1   

a b c Chứng minh: abc2(1   a b c abacbc)0 Giải

Từ gt  a21 + a  Tương tự, + b  0, + c 

 (1a)(1b)(1c)0 1   a b c abac bc abc0 (a)

Mặt khác 2 1(1 )2 0

2

a b c    a b c abacbc   a b c  (b) Cộng (a) (b)  đpcm

36/ Gọi a, b, c ba cạnh tam giác có chu vi Chứng minh rằng:

52 2

2

27a b c  abc Giải

Vì a + b + c = nên độ dài cạnh nhỏ

Áp dụng bất đẳng thức Cô-Si cho ba số dương: – a, – b, – c – (a + b + c) 3 (13 a)(1b)(1c) > (1 )(1 )(1 ) 0

27

  a b c  28

1 27

 abbccaabc 2 2 56 27   ab bc ca abc

2 2 56

2 ( ) ( )

27

  a b c  a b c  abc  52 2

2

27

 a b c  abc

Dấu đẳng thức xảy a = b = c = 37/ Chứng minh rằng:

2

cos ,

2

     

x x

e x x x R

Giải

Xét hàm số:

2

( ) cos ,

2  x   x 

f x e x x x R

( ) sin   x  

f x e x x ( ) x 1 cos 0, 

f x e x x R

f (x) hàm số đồng biến f (x) = 0 có tối đa nghiệm Kiểm tra thấy x = nghiệm f (x)=0

Dựa vào BBT f(x) f x( )0, x R

2

cos ,

2

 x   x  

e x x x R

38/ Cho a, b, c ba số dương Chứng minh rằng:

3 3

 

  

     

ab bc ca a b c

a b c b c a c a b

Giải

Sử dụng BĐT: (   )1119  111  

 

x y z

x y z x y z x y z

Ta có: 1 1

3 ( ) ( )

 

     

         

ab

ab ab

a b c a c b c b a c b c b

Bài tập bất đẳng thức,GTLN,GTNN Gv : Đỗ Gia Phước 15

3 3

      

 

       

          

ab bc ca a b c bc ca ca ab ab bc a b c

a b c b c a c a b a b b c a c

39/ Cho x, y số thực thoả mãn điều kiện: 2   

x xy y

Chứng minh : 2

(4 3) 3   x xy y  

Giải

Đặt A = 2

 

x xy y , B = 2

3  

x xy y

 Nếu y = A = B = x2  B   Nếu y ≠ 0, ta đặt z x

ykhi đó:

2 2

2 2

3

1

   

 

   

x xy y z z

B A A

x xy y z z

Xét phương trình:    

2

2

3

1

1  

         

z z

m m z m z m

z z (a)

(a) có nghiệm 

 2   

1

3 48 48

0

3

  

 

    

  

       





m m

m m m m

Vì  A    3 3B  3 Đây điều phải chứng minh 40/ Cho a, b, c ba cạnh tam giác Chứng minh bất đẳng thức:

(  ) (  ) (  )     

ab bc ca a b c

c c a a a b b b c c a a b b c

Giải

Ta có BĐT   1  1  10         

a b b c c a

c a c a b a b c b

 1 1 1

1 1

     

     

     

     

  

b c a

c c a a b b

a b c

(1)

Đặt: xa0; yb0;z c0 x y z 1

b c a Khi :

(1)  1 2 2 2

0

1 1

  

            

  

x y z

x y z xy yz zx x y z

y z x (*)

Vì 2 1 2 3  

3

          

x y z x y z xyz x y z x y z ( theo BĐT Cô–si)

Và xy2yz2zx2 33xyz3 3 (theo BĐT Cơ–si) Do đó: (*) Vậy (1) CM.

Dấu "=" xảy  x = y = z  a = b = c Khi tam giác ABC tam giác 41/ Cho a b c, , số dương thoả mãn: 2

3   

a b c Chứng minh bất đẳng thức:

2 2

1 1 4

7 7

    

     

a b b c c a a b c

Giải

Áp dụng bất đẳng thức 11 ( 0, 0)  x y

x y x y

Ta có: 1 ; 1 ; 1

2 2

     

         

a b b c a b c b c c a a b c c a a b a+b+c

Mặt khác:

2 2

2 2

1 2

2 4 2

Bài tập bất đẳng thức,GTLN,GTNN Gv : Đỗ Gia Phước 16

2 2

2( 1) ( 1) ( 1)  a  b  c 

Tương tự: 2

1 2

;

2b c ab 7 2c a bc 7

Từ suy 1 24 24 24

7 7

    

     

a b b c c a a b c

Đẳng thức xảy a = b = c =

42/ Cho số thực a, b, c, d thoả mãn: a2b2 1; c – d =

Chứng minh:

4     

F ac bd cd

Giải

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki giả thiết ta có:

2 2 2

( )( ) ( )

         

F a b c d cd d d d d f d

Ta có

2

2

3 2( )

2 ( ) (2 3)

2

  

  

 

d

f d d

d d

Dựa vào BBT (chú ý:

2

2

3 2( )

2 0

  

  

d

d d

), ta suy được: ( ) ( 3)

2

   

f d f

Dấu "=" xảy ; ; 3;

2

2

     

a b c d

43/ Cho x, y, z số dương thoả mãn x2y2z2 1 Chứng minh:

P = x y z

y2 z2 z2 x2 x2 y2

3

  

  

Giải

Từ giả thiết x2y2z2 1 0x y z, , 1

 Áp dụng BĐT Cô–si cho số dương: 2x2,1x2.1x2 ta được:

x x x

x x

2 2

2 2

3

2 (1 ) (1 )

2 (1 )

3

   

   32x2(1 x2 2)

 

 x(1 x2)

3

   x x

x

2

3

1  

x

x

y z

2

2

3

 

(1)

 Tương tự ta có: y y

z x

2

2

3

 

(2), z z

x y

2

2

3

 

(3)

 Từ (1), (2), (3)  x y z x y z

y z z x x y

2 2

2 2 2

3 3

( )

2

     

  

Dấu "=" xảy  x y z

3

Bài tập bất đẳng thức,GTLN,GTNN Gv : Đỗ Gia Phước 17

44/ Cho a, b, c số dương thoả mãn: a2b2c2 3 Chứng minh bất đẳng thức:

a b b c c a a2 b2 c2

1 1 4

7 7

    

     

Giải

Áp dụng bất đẳng thức 11 ( 0, 0)  x y

x y x y Ta có:

1 1 1

; ;

2 2

     

         

a b b c a b c b c c a a b c c a a b a+b+c

Mặt khác: 2

2 2

1 2

2 4 2

2a b c 2a b c 4a 7 a b c   a b c

2

2( 1) ( 1) ( 1)  a  b  c 

Tương tự: 22 ; 22

2b c ab 7 2c a bc 7 Từ suy ra: 1 24 24 24

7 7

    

     

a b b c c a a b c

Đẳng thức xảy a = b = c =

45/ Cho x, y, z số dương thoả mãn: x2y2z2xyz Chứng minh bất đẳng thức:

x y z

x2 yz y2 xz z2 xy

1

  

  

Giải

 Từ giả thiết  x y z

yz xz xy 1 xyz x y z xy yz zx

2 2

      

x y z

1 1

1

    Chú ý: Với a, b > 0, ta có:

a b a b

4 1

 



 x x

yz x yz

x yz x

x

2

1 1

4

 

    

   

(1)

Tương tự: y y

y xz

y2 xz

1

 

   

  

(2), z z

z xy

z2 xy

1

 

   

  

(3)

Từ (1), (2), (3)  x y z x y z

x y z yz xz xy

x2 yz y2 xz z2 xy

1 1

4

 

         

    

 1(1 1)

4  2

Dấu "=" xảy 

x y z xyz

x y z

x yz y xz z xy

2 2

2 ; ;

   

   

   



 xy z 3

46/ Cho x, y, z số dương thoả mãn: x2y2z2 xyz Chứng minh bất đẳng thức:

x y z

x2 yz y2 xz z2 xy

1

  

  

Bài tập bất đẳng thức,GTLN,GTNN Gv : Đỗ Gia Phước 18  Từ giả thiết  x y z

yz xz xy 1 xyz x y z xy yz zx

2 2

      

x y z

1 1

1

    Chú ý: Với a, b > 0, ta có:

a b a b

4 1

 



 x x

yz x yz

x yz x

x

2

1 1

4

 

    

   

(1)

Tương tự: y y

y xz

y2 xz

1

 

   

  

(2), z z

z xy

z2 xy

1

 

   

  

(3)

Từ (1), (2), (3)  x y z x y z

x y z yz xz xy

x2 yz y2 xz z2 xy

1 1

4

 

         

    

 1(1 1)

4  2

Dấu "=" xảy 

x y z xyz

x y z

x yz y xz z xy

2 2

2 ; ;

   

   

   



 xy z 3

47/ Cho số dương x, y, z thoả mãn: x2y2z21 Chứng minh:

x y z

y2 z2 z2 x2 x2 y2

3

  

  

Giải

Ta có x x

y2z2 1x2

Ta cần chứng minh: x x x

2

3

1 

Thật vậy, áp dụng BĐT Cơ–si ta có:

  x x x

x x x x x

2

2 2

2

2 2 2 1

2 (1 )(1 )

3 27

     

      

 

 x(1 x2) 3

   x x

x

2

3

1 

 x x

y z

2

2

3

 

(1)

Tương tự: y y

x z

2

2

3

 

(2), z z

x y

2

2

3

 

(3)

Do đó: x y z x y z 

y z x z x y

2 2

2 2 2

3 3

2

     

  

Dấu "=" xảy  x y z

3

  

48/ Cho x , y , z ba số thực thỏa mãn : 5x  5y5z1 Chứng minh :

x y z

x y z y z x z x y

25 25 25

5 5  5 5 5 5 



x y z

5 5

4

  Giải

Bài tập bất đẳng thức,GTLN,GTNN Gv : Đỗ Gia Phước 19

BĐT      

  

2 2

4

a b c a b c

a bc b ca c ab (*)

Ta có: (*)      

  

3 3

2 2 4

a b c a b c

a abc b abc c abc

     

     

3 3

( )( ) ( )( ) ( )( )

a b c a b c

a b a c b c b a c a c b

Áp dụng BĐT Cơ-si, ta có:     

 

3 3

( )( ) 8

a a b a c

a

a b a c (1)

 

  

 

3 3

( )( ) 8

b b c b a

b

b c b a ( 2)

    

 

3 3

( )( ) 8

c c a c b

c

c a c b ( 3)

Cộng vế với vế bất đẳng thức (1), (2), (3) suy điều phải chứng minh 49 / Cho a, b, c số thực dương thoả mãn abc3.Chứng minh rằng:

3(a2b2c2)4abc13 Giài Đặt

2 ; 13

) (

3 ) , ,

(a b c a2 b2 c2 abc t b c

f       

*Trước hết ta chưng minh: f(a,b,c) f(a,t,t):Thật Do vai trò a,b,c nên ta giả thiết abc

3

3    

 a a b c hay a1

f(a,b,c) f(a,t,t) 3(a2 b2 c2)4abc 133(a2 t2 t2)4at2 13 = 3(b2 c2 2t2)4a(bct2)

= 

  



 

 

   



 

 

2

2

4 ) (

4 ) (

3 b c b c a bc b c =

2

) (

) (

c b a c b

  

=

2 ) )(

(

   a b c

a1

50/ Cho số dương a b c ab bc ca, , :   3

Chứng minh rằng: 21 21 21

1a b c(  )1b c( a)1c a b(  )abc Giài

Áp dụng BĐT Cauchy cho số dương ta có: 3

3ab bc ca  3 (abc) abc1

Suy ra:

2

1 ( ) ( ) ( 1

1 ( )

) (1)

         

 

 a b c abc a b c a ab b

a b c a

c ca a

Tương tự ta có: 21 (2), 21 (3) 1b c( a)3b 1c a b(  )3c Cộng (1), (2) (3) theo vế với vế ta có:

2 2

1 1 1 1

( )

1 ( ) ( ) ( ) 3

ab bc ca

a b c b c a c a b c b c abc abc

 

      

Bài tập bất đẳng thức,GTLN,GTNN Gv : Đỗ Gia Phước 20 Dấu “=” xảy abc1,ab bc ca   3 abc1, ( , ,a b c0)

51/ Cho x, y, z số dương thỏa mãn 1

xyz CMR:

1 1

1 2xyzx2yzxy2z

Giài

+Ta có : 1 1

2xyz 2.( xyz);

1 1

2 2( )

x yz yxz ;

1 1

2 2( )

xy z zyx

+ Lại có : 1 1( 1); xy4 xy 1 1( 1);

yz4 y z 1 1( 1);

xz4 xz cộng BĐT ta đpcm

52 / Cho a,b,c số dương thỏa mãn a + b + c = Chứng minh rằng: a b b c c a

ab c bc a ca b

  

  

  

Giài

*Biến đổi 1

1 (1 )(1 )

a b c c

ab c ab b a a b

  

 

     

*Từ 1

(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )

c b a

VT

a b c a c b

  

  

     

Do a,b,c dương a+b+c=1 nên a,b,c thuộc khoảng (0;1) => 1-a,1-b,1-c dương *áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta

3

1 1

3

(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )

c b a

VT

a b c a c b

  



      =3 (đpcm)

Đẳng thức xảy a b c  

53/ Cho x, y, z số dương thỏa mãn 1

xyz CMR:

1 1

1 2xyzx2yzxy2z

Giải

1 1

2xyz4 2.( xyz);

1 1

2 2( )

x yz yxz ;

1 1

2 2( )

xy z zyx

+ Lại có : 1 1( 1); xy4 x y

1 1 ( ); yz yz

1 1 ( ); xz4 xz cộng BĐT ta đpcm

54/ Cho số dương a b c ab bc ca, , :   3

Chứng minh rằng: 21 21 21

1a b c(  )1b c( a)1c a b(  ) abc Giải

Bài tập bất đẳng thức,GTLN,GTNN Gv : Đỗ Gia Phước 21

Suy ra:

2

1 ( ) ( ) ( 1

1 ( )

) (1)

         

 

 a b c abc a b c a ab b

a b c a

c ca a

Tương tự ta có: 21 (2), 21 (3) 1b c( a)3b 1c a b(  )3c Cộng (1), (2) (3) theo vế với vế ta có:

2 2

1 1 1 1

( )

1 ( ) ( ) ( ) 3

ab bc ca

a b c b c a c a b c b c abc abc

 

      

      

Dấu “=” xảy abc1,ab bc ca 3 ab c 1, ( , ,a b c0) 55/ Cho x , y , z ba số thực thỏa mãn : 5-x + 5-y +5-z = Chứng minh

    

  

25 25 25

25 5 5

x y z

x y z y z x z x y 

 

5 5

4

x y z

Giải

Đặt 5x = a , 5y =b , 5z = c Từ giả thiết ta có : ab + bc + ca = abc Bất đẳng thức cần chứng minh có dạng :

2 2

4

a b c a b c

a bc b ca c ab

 

  

   ( *)

( *) 

3 3

2 2

4

a b c a b c

a abc b abc c abc

 

  

  



3 3

( )( ) ( )( ) ( )( )

a b c a b c

a b a c b c b a c a c b

 

  

     

Ta có

3

3

( )( ) 8

a a b a c

a a b a c

 

  

  ( 1) ( Bất đẳng thức Cô si)

Tương tự

3

3

( )( ) 8

b b c b a

b b c b a

 

  

  ( 2)

3

3

( )( ) 8

c c a c b

c c a c b

 

  

  ( 3)

Cộng vế với vế bất đẳng thức ( 1) , ( 2) , (3) suy điều phải chứng minh

56/ Cho số thực dương a,b,c thay đổi thoả mãn: a+b+c=1 Chứng minh :

2 2

2

a b b c c a

b c c a a b

  

  

  

Giải

Ta cã :VT =

2 2

( a b c ) ( b c a ) A B

b c caa b  b c caa b  

 

3

1 1

3 ( ) ( ) ( )

2

1 1

3 ( )( )( )3

2

3

A a b b c c a

a b b c c a

a b b c c a

a b b c c a A

 

          

  

 

    

  

 

2 2

2

1 ( ) ( )( )

1

1

2

a b c

a b c a b b c c a

a b b c c a

B B

          

  

Bài tập bất đẳng thức,GTLN,GTNN Gv : Đỗ Gia Phước 22

Từ tacó VT

2 VP

   

Dấu đẳng thức xảy a=b=c=1/3

57/ Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn xyz=1 Chứng minh

1 1

1 1

xy  y z  z x  Giải

Đặt x=a3 y=b3 z=c3 x, y, z >0 vµ abc=1.Ta cã

a3 + b3=(a+b)(a2+b2-ab)(a+b)ab, a+b>0 vµ a2+b2-abab

 a3 + b3+1 (a+b)ab+abc=ab(a+b+c)>0 

 

3

1

a  b 1ab a b c T¬ng tù ta cã

 

3

1

c bc a b c

b      , 3  

1

a ca a b c

c     

Céng theo vÕ ta cã

1 1

1 1

xy  y z  z x = 3

1

a  b 1+ 3 c

b   + 3

1 a

c  



 

1 1

a b c ab bc ca

 

 

 

   

=

  

1

1 a b c c a b   DÊu b»ng x¶y x=y=z=1

58/ Cho a, b,c0 : abc1 Chứng minh rằng: 1 1 a b 1b c 1c a 1 Giải

    

     

 

2

3

3 3 3

3 3 3 3 3 3

3

3 3

3 3

a b a b a ab b ab a b

a b ab a b ab a b abc ab a b c

1 c

a b ab a b c a b c

      

           

  

     

Tương tự

59/ Cho a,b,c số dương thỏa mãn a + b + c = Chứng minh rằng:

a b b c c a

ab c bc a ca b

  

  

  

Giải

Biến đổi 1

1 (1 )(1 )

a b c c

ab c ab b a a b

  

 

     

*Từ 1

(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )

c b a

VT

a b c a c b

  

  

Bài tập bất đẳng thức,GTLN,GTNN Gv : Đỗ Gia Phước 23 Do a,b,c dương a+b+c=1 nên a,b,c thuộc khoảng (0;1) => 1-a,1-b,1-c dương *áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta

3

1 1

3

(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )

c b a

VT

a b c a c b

  



      =3 (đpcm)

Đẳng thức xảy a b c  

60/ Chứng minh  

2 2

1

a b c

ab bc ca a b c

a b b c ca      với số dương a b c; ; Giải

Ta có:

1 2

a ab ab

a a a ab

a b  a b   ab   (1)

Tương tự:

1

b

b bc

bc  (2),

1

c

c ca

ca  (3)

Cộng (1), (2), (3), ta có:  

2 2

1

a b c

ab bc ca a b c

a b b c ca      61/ Cho số thực dương a,b,c thay đổi thoả mãn: a+b+c=1 Chứng minh :

2 2

2

a b b c c a

b c c a a b

  

  

  

Giải

Ta cã :VT =

2 2

( a b c ) ( b c a ) A B

b c caa b  b c caab  

 

3

1 1

3 ( ) ( ) ( )

2

1 1

3 ( )( )( )3

2

3

A a b b c c a

a b b c c a

a b b c c a

a b b c c a A

 

          

  

 

    

  

 

2 2

2

1 ( ) ( )( )

1

1

2

a b c

a b c a b b c c a

a b b c c a

B B

          

  

   

Từ tacó VT

2 VP

Bài tập bất đẳng thức,GTLN,GTNN Gv : Đỗ Gia Phước 24

62/ Cho ba số thực thỏa mãn ,Chứng minh rằng:

Giải

Thay vào ta suy BĐT chứng minh, dấu đẳng thức xảy a = b = c =  BĐT cần chứng minh tương đương với

 Nhận xét: Do nên số thực dương  Xét : A = với x,y >

 Chia tử mẫu cho đặt t = ta A = với t >  Xét hàm số f(t) = (0;+ )

 Ta có : f’(t) =  Bảng biên thiên:

t +

f’(t) - +

f(t)

1

 Dựa vao bảng biến thiên ta có f(t) với t >

 Từ A = với x,y > 0; dấu xảy t = nên x = y  Do vai trò nên BĐT cần chứng minh tương đương

Bài tập bất đẳng thức,GTLN,GTNN Gv : Đỗ Gia Phước 25 63/ Cho x , y , z ba số thực thỏa mãn : 5-x + 5-y +5-z = Chứng minh     

  

25 25 25

25 5 5 5 5 5

x y z

x y z y z x z x y 

 

5 5

4

x y z

Giài

Đặt 5x = a , 5y =b , 5z = c Từ giả thiết ta có : ab + bc + ca = abc Bất đẳng thức cần chứng minh có dạng :

2 2

4

a b c a b c

a bc b ca c ab

 

  

   ( *)

( *) 

3 3

2 2

4

a b c a b c

a abc b abc c abc

 

  

  



3 3

( )( ) ( )( ) ( )( )

a b c a b c

a b a c b c b a c a c b

 

  

     

Ta có

3

3

( )( ) 8

a a b a c

a a b a c

 

  

  ( 1) ( Bất đẳng thức Cô si)

Tương tự

3

3

( )( ) 8

b b c b a

b b c b a

 

  

  ( 2)

3

3

( )( ) 8

c c a c b

c c a c b

 

  

  ( 3)

Cộng vế với vế cỏc bất đẳng thức ( 1) , ( 2) , (3) suy điều phải chứng minh 64/ Cho số thực dương a,b,c thay đổi thoả mãn: a+b+c=1

Chứng minh :

2 2

2

a b b c c a

b c c a a b

  

  

  

Giài Ta cã :VT =

2 2

( a b c ) ( b c a ) A B

b c caa b  b c caab  

 

3

1 1

3 ( ) ( ) ( )

2

1 1

3 ( )( )( )3

2

3

A a b b c c a

a b b c c a

a b b c c a

a b b c c a A

 

          

  

 

    

  

 

2 2

2

1 ( ) ( )( )

1

1

2

a b c

a b c a b b c c a

a b b c c a

B B

          

  

   

Từ tacó VT

2 VP

   

Dấu đẳng thức xảy a=b=c=1/3

65/ Cho a0;b0 ab1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức : 2

2 1

M

b b a

a   

 Giải

Cho a0;b0 ab1 Tìm giá trị nhỏ 2

2

1

M a b

a b

Bài tập bất đẳng thức,GTLN,GTNN Gv : Đỗ Gia Phước 26 Ta có

ab ab b

a ab b

a b

a

M ( 2) 212 2122  

 

 

 

   

 

 

 (dấu "=" xẩy a=b)

Theo Cô-si

4

2

1ab ab ab Đặt t=ab ta có 0;1

tD     Do M f t( ) 2t 2,

t

   tD

2

2

( ) 2( 1) 0,

f t t

t t

      

      

4 ;

t ( ) 17

4

D f t f

 

   

  Vậy 17

2

M  đạt

ab

66/ Cho x; y số thực thoả mãn x2 + y2 + xy = 1 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = 5xy – 3y2

Giải

2

2

5xy 3y P

x xy y  

 

Với y =  P =

Với y ≠ đặt x = ty; ta có: 2

5

( 5)

1 t

P Pt P t P

t t 

      

  (1)

+ P = 0 phương trình ( 1) có nghiệm t = 3/5 + P≠ phương trình ( 1) có nghiệm ’ = - P2 – 22P + 25   - 25/3 ≤ P≤

Từ suy maxP , minP

67/Cho x, y, z 0thoả mãn x + y + z > Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

 

3 3

3

16

x y z

P

x y z   

  Giải

Trước hết ta có:  

3

3

4

x y

x y   (biến đổi tương đương)  xy 2 xy0

Đặt x + y + z = a Khi      

3 3

3 3

3

64 64

4P x y z a z z t 64t

a a

   

    

(với t = z

a, 0 t 1)

Xét hàm số f(t) = (1 – t)3 + 64t3 với t0;1 Có

 2  

2

'( ) 64 , '( ) 0;1

9

f t   t  t  f t   t 

  ; Lập bảng biến thiên

 

 0;1

64 inf

81

t

M t



   GTNN P 16

81 đạt x = y = 4z >

68/ Cho x, y, z số thực dương lớn thoả mãn điều kiện xy + yz + zx  2xyz Tìm giá trị lớn biểu thức A = (x - 1)(y - 1)(z - 1)

Giải

Ta có xy yz xz 2xyz 1

x y z

Bài tập bất đẳng thức,GTLN,GTNN Gv : Đỗ Gia Phước 27

1 1 1 ( 1)( 1)

1 y z y z (1)

x y z y z yz

   

      

Tương tự ta có 1 1 x z (x 1)(z 1) (2)

y x z x z xz

   

      

1 1 1 ( 1)( 1)

1 x y x y (3)

y x y x y xy

   

      

Nhân vế với vế (1), (2), (3) ta ( 1)( 1)( 1) x y z  Amax =

1

8x yz

69/ Cho ba số thực a, b, c lớn có tích abc = Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

1 1

1 1

  

  

P

a b c

Giải

Ta chứng minh: 1 1a1b1 ab

1 1

1a1 ab 1b1 ab≥

2

( ) ( 1)

0 (1 )(1 )(1 )

 

 

  

b a ab

a b ab (đúng) Dấu "=" xảy  a = b

Xét

3

1 1

1a1b1c1 abc

2

1

 

 ab  abc 12 4

4

1

 



 a b c abc

 P

3 1

 

 abc Vậy P nhỏ a = b = c =

70/ Xét số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

2 2

x (y z) y (z x) z (x y) P

yz zx xz

  

  

Giải

Ta có :

2 2 2

x x y y z z

P

y z z x x y

      (*) Nhận thấy : x2 + y2 – xy  xy x, y   Do : x3 + y3 xy(x + y) x, y > hay

2

x y

x y

y  x   x, y > Tương tự, ta có :

2

y z

y z

z  y   y, z >

2

z x

z x

x  z   x, z >

Cộng vế ba bất đẳng thức vừa nhận trên, kết hợp với (*), ta được: P  2(x + y + z) = x, y, z > x + y + z = Hơn nữa, ta lại có P = x = y = z =

3 Vì vậy, minP =

71/ Cho x, y > x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức 2

2

1

P= x y

y x

   

 

   

 

 

Bài tập bất đẳng thức,GTLN,GTNN Gv : Đỗ Gia Phước 28 +) Theo B ĐT Côsi ta có      

 

2

1

0<xy t (xy) 0;

4 16

+) Ta có P 2 (xy)2 2   t

(xy) t               / 2

1 t 1

P 0, t 0;

t t 16

+) Bảng biến thiên :

t 16

P’ -

P 289 16

+) Từ bbt ta có P 289 16

 1

16

t x y

72/ Cho a, b, c0 a2b2c23 Tìm giá trị nhỏ biểu thức

3 3

2 2

a b c

P

1 b c a

  

  

Giải

Ta có: P + =

2 2 2 1 a a c c c b b b a         1 2 2 2 b b a b a

P  

      1 2 2 2 c c b c b       1 2 2 2 a a c a c       6 16 16 16

3 a  b  c



6 2

3 2 8

9 ) ( 2 2     

P a b c

2 2 2 2 2

6    

 P

Để PMin a = b = c =

73/ Cho số dương x, y thoả mãn : 2 2

1

1 y y x

x y

x     

Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = 2

2 1

y y x

x   

Giải

+) Nhận xét: a, b, c, d ta có: (ab + cd)2≤ (a2 + c2).(b2 + d2), có “=” ad = bc (1)

+) Áp dụng (1) ta có (x2 + y2)2≤ (x2 + y2) (2 – (x2 + y2) ( Có thể sử dụng vec tơ chứng minh kết này)

 < x2 + y2 ≤

+) Áp dụng bđt Cơ si có A ≥ x2 + y2 +

y x 2

 ; đặt t = x

Bài tập bất đẳng thức,GTLN,GTNN Gv : Đỗ Gia Phước 29 f(t) = t +

t

4

với < t ≤ 1, lập bảng biến thiên hàm số Kết luận: Min A = đạt x = y =

2

74/ Cho a, b, c số dương thuộc khoảng 0; 6 a  b c 3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

2 2

1 1

P

6 a b c

  

  

Giải

Vẽ đường trịn tâm O đường kính AB

Do 0a 6, đường tròn ta lấy điểm M cho

AMaMB 6a Gọi C điểm nửa cung trịn chứa điểm M COAB

(Chú ý tam giác MAB CAB vng M C) Ta có: 2SAMBAM.MBHM.ABCO.AB (Vì MHOC)

2

a a

2

   

2

1 a

3 a

 



(1) Dấu đẳng thức xảy a Hoàn toàn tương tự ta có:

2

1 b

3

6 b

 

(2)

2

1 c

3 c

 

(3) Cộng (1) , (2) (3) vế theo vế ta được:

2 2

1 1 a b c 3

3

3

6 a b c

 

    

  

Vậy Pmin  đạt a = b = c =

75/ Xét số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

2 2

x (y z) y (z x) z (x y) P

yz zx xz

  

  

Giải

Ta có :

2 2 2

x x y y z z

P

y z z x x y

      (*) Nhận thấy : x2 + y2 – xy  xy x, y   Do : x3 + y3 xy(x + y) x, y > hay

2

x y

x y

y  x   x, y > Tương tự, ta có :

2

y z

y z

z  y   y, z >

2

z x

z x

x  z   x, z >

Cộng vế ba bất đẳng thức vừa nhận trên, kết hợp với (*), ta được: P  2(x + y + z) = x, y, z > x + y + z = Hơn nữa, ta lại có P = x = y = z =

3 Vì vậy, minP =

76/ Cho x, y, z số thực dương lớn thoả mãn điều kiện

xy + yz + zx  2xyz Tìm giá trị lớn biểu thức A = (x - 1)(y - 1)(z - 1) Giải

Ta có xy yz xz 2xyz 1 x y z

       nên

A B

C M a

O H

2

Bài tập bất đẳng thức,GTLN,GTNN Gv : Đỗ Gia Phước 30

1 1 1 ( 1)( 1)

1 y z y z (1)

x y z y z yz

   

      

Tương tự ta có 1 1 x z (x 1)(z 1) (2)

y x z x z xz

   

      

1 1 1 ( 1)( 1)

1 x y x y (3)

y x y x y xy

   

      

Nhân vế với vế (1), (2), (3) ta ( 1)( 1)( 1)

x y z  Amax =

1

8x yz

77/ Với số thực x, y thỏa điều kiện  2

2 x y xy1 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức

4

2

x y

P xy

 

 Giải

Đặt txy Ta có: 2 2 

xy  x y  xy   xyxy 

Và 2 2 

3

xy  xy  xy  xyxy ĐK: 1

5 t

  

Suy :  

 

2

2 2 2

2 7 2 1

2

x y x y t t

P

xy t

    

 

 

Do đó:  

 

2

2

'

2

t t P

t   



, P'0 t 0( ),th t 1(kth)

1

5 15

P P  

     

1

4

P  KL: GTLN

4 GTNN

15( HSLT đoạn 1

; 

 

 

 )

78/ Với số thực dương x y z; ; thỏa điều kiện xy z Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P x y z 1

x y z

 

       

 

Giải

Áp dụng BĐT Cô-si : 18x 12

x

  (1) Dấu xảy

x Tương tự: 18y 12

y

  (2) 18z 12 z

  (3)

Mà: 17xyz 17 (4) Cộng (1),(2),(3),(4), ta có: P19

19

3

P x yz KL: GTNN P 19

79/ Cho a, b, c0 a2b2c23 Tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức

3 3

2 2

1 1

a b c

P

b c a

  

  

Bài tập bất đẳng thức,GTLN,GTNN Gv : Đỗ Gia Phước 31

Ta có: P + =

2 2 2 1 a a c c c b b b a         1 2 2 2 b b a b a

P  

      1 2 2 2 c c b c b       1 2 2 2 a a c a c       6 16 16 16

3 a  b  c



6 2

3 2 8

9 ) ( 2 2     

P a b c

2 2 2 2 2

6    

 P

Để PMin a = b = c =

80/ Cho x0,y0,x y1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức

1 x y T x y     Giải

Đặt 2

cos ; sin 0;

2 x a y a a  

 

  

2 3

sin cos sin cos

cos sin cos sin

sin cos sina.cos sin cos

a a a a

a a a a

T

a a a a a

       Đặt

sin cos sin sin cos

4

t t a a a  a a 

 

Với

2

a  t

    

Khi  

2

3

t t

T f t

t      ;          2

' 1; 2

1 t

f t t f t f

t

  

      

 Vậy

1;    

min 2

t

f t f



 

 

2

xy Hay minT xy 81/ Cho số thực x, y, z thỏa mãn: x2 + y2 + z2 =

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức: P = x3 + y3 + z3 – 3xyz Giải

Ta có

2 2

2 2

2 2

2

( )( )

( )

( )

2

2 ( ) ( )

( ) ( )

2

P x y z x y z xy yz zx

x y z x y z

P x y z x y z

x y z x y z

P x y z x y z

                                                

+) Đặt x +y + z = t, t  6(Bunhiacovxki), ta được: ( ) 3

2

P t  t t

+) P t'( )0  t 2, P( 6) = 0; P( 2) 2 2; P( 2)2

Bài tập bất đẳng thức,GTLN,GTNN Gv : Đỗ Gia Phước 32 82/ Cho a, b, c số thực thoả mãn a  b c Tìm giá trị nhỏ biểu thức

4a 9b 16c 9a 16b 4c 16a 4b c

M         

Giải

Cho a, b, c thoả a  b c Tìm GTNN 4a 9b 16c 9a 16b 4c 16a 4b c

M         

Đặt u2 ;3 ; 4a b c,v2 ;3 ; 4c a b, w2 ;3 ; 4b c aM  u  v  w

  2  2 2

w 2a 2b 2c 3a 3b 3c 4a 4b 4c M  u   v          Theo cô – si có 222b2c 3 23 a b c  6 Tương tự …

Vậy M 3 29 Dấu xảy abc1

83/ Cho x,y,z thoả mãn số thực: x2xy y2 1.Tìm giá trị lớn ,nhỏ biểu thức 1 2 4      y x y x P Giải

Tõ gi¶ thiÕt suy ra: xy xy y x xy xy xy y xy x 3 ) ( 2 2           

Từ ta có

3

 

 xy

Măt khác x2xyy21x2y2 1xy

nên x4y4x2y22xy1 đăt t=xy Vởy toán trở thành tìm GTLN,GTNN cña

; 2 ) (          t t t t t f P TÝnh                 ) ( 6 ) ( ) ( ' 2 l t t t t f

Do hàm số liên tục ;1

nên so sánh giá trị )

1 (

f ,f( 62),f(1) cho kÕt qu¶: MaxP f( 62)62 6,

15 11 ) ( minP f   84/ Cho a, b, c0 2

3

a b c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức

3 3

2 2

1 1

a b c

P

b c a

  

  

Ta có: P + =

2 2 2 1 a a c c c b b b a         1 2 2 2 b b a b a

P  

      1 2 2 2 c c b c b       1 2 2 2 a a c a c       6 16 16 16

3 a  b  c

Bài tập bất đẳng thức,GTLN,GTNN Gv : Đỗ Gia Phước 33

6 2

3 2 8

9 ) (

2 2

3

2

   



P a b c

2 2

3 2

9 2

3 2

9

6    

 P Để PMin a = b = c =

85/ Cho số thực x, y, z thỏa mãn: x2 + y2 + z2 =

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức: P = x3 + y3 + z3 – 3xyz Giài

+) Ta có

2 2

2 2

2 2

2

( )( )

( )

( )

2

2 ( ) ( )

( ) ( )

2

P x y z x y z xy yz zx

x y z x y z

P x y z x y z

x y z x y z

P x y z x y z

       

      

       

 

        

          

   

+) Đặt x +y + z = t, t  6(Bunhiacovxki), ta được: ( ) 3

P t  t t

+) P t'( )0  t 2, P( 6) = 0; P( 2) 2 2; P( 2)2

+) KL: MaxP2 2;MinP 2

86/ Cho : a2b2c2 65 Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số :



  

 

 



 )

2 , (

sin sin

2 x c x x 

b a y

Giải

a b c  x x  x x

y2 2 2 12sin2 sin22 6512sin2 sin22

Đặt f(x) = 12sin2xsin22x12sin2x4sin2x.(1sin2x) f(x) = 4sin4x6sin2x1, Đặt sin2xt , t0,1 g(t) =

4

) ( ; ) (

6

42   /   /   

 t t g t t g t t

BBT

M

Max g(t)

3

3 sin 4

13 

   



 khit x x

2 13

5 13

13 65

  



 y

y dấu “=” xảy

3  

x

c x b

x a

2 sin sin





hay

c b

a

3

6



 t f

f/ f

0

3

0

+ -

4 13

1

Bài tập bất đẳng thức,GTLN,GTNN Gv : Đỗ Gia Phước 34 Thay vào :

      

 

 

   

     

    

 

15 30

15 30 65

2 2

c b a

c b a c

b

a

87/ Cho tam gi¸c nhän ABC , tìm giá trị bé biểu thức: S cos3A2cosAcos2Bcos2C

Giài C

B A

A

S cos3 2cos cos2 cos2 =cos3A2cosA2cos(BC)cos(BC) cos3A2cosA1cos(BC)

Vì cosA0,1cos(BC)0nên S cos3A, dấu xÈy cos(BC)1 hay

1800 A C

B   Nh­ng cos3A1, dÊu b»ng xÈy

180

3A hay A =

60 Tóm lại : S có giá trị bé -1 ABC tam giác

88/ Cho x,y,z ba số thực dương có tổng 3.Tìm giá trị nhỏ biểu thức

2 2

3( )

P x y z  xyz Giải

 

2

3 ( ) 2( )

3 2( )

27 ( ) ( 3)

P x y z xy yz zx xyz

xy yz zx xyz x y z yz x

 

       

    

    

2

3

( )

27 (3 ) ( 3)

2

( 15 27 27)

2

y z

x x x

x x x



    

    

Xét hàm số

( ) 15 27 27

f x  x  x  x , với 0<x<3

,( ) 3 30 27 0

9

x

f x x x

x         

 

x  

y’ + -

y

14

Từ bảng biến thiên suy MinP=7 x yz1

89/ Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn: x2 + y2 + z2 Tìm giá trị nhỏ biểu

thức: 1

1 1

P

xy yz zx

  

  

Giải

Ta có: (1 ) (1 ) (1 ) 1

1 1

xy yz zx

xy yz zx

 

        

  

Bài tập bất đẳng thức,GTLN,GTNN Gv : Đỗ Gia Phước 35

2 2

9

3

P

xy yz zx x y z

  

     



6 P 

Vậy GTNN Pmin =

2 x = y = z

90/ Cho a, b, c số thực thoả mãn a  b c Tìm giá trị nhỏ biểu thứcM  4a9b16c  9a16b4c  16a4b9 c

Giài Cho a, b, c thoả a  b c Tìm GTNN

4a 9b 16c 9a 16b 4c 16a 4b c

M         

Đặt u2 ;3 ; 4a b c,v2 ;3 ; 4c a b, w2 ;3 ; 4b c aM  u  v  w

  2  2 2

w 2a 2b 2c 3a 3b 3c 4a 4b 4c M  u   v          Theo – si có 222b2c 3 23 a b c  6 Tương tự … Vậy M 3 29 Dấu xảy abc1

91/ Cho x, y số thực dương thỏa mãn x + y = Tìm giá trị nhỏ cña biểu

thức: 2

2

1

P x y

y x

  

    

 

 

Giải

Ta biến đổi  2 2 ) (

1

xy xy

P  

Do   

 

 ,

y x

y x

nên

4

2

1x y xy   xy Đặt t xy 2, điều kiện t

16 0t Khi biểu thức  

t t t

f

P 2 1

  1;

'

2

t t t

f   ta thấy f' t 0 với       

16 ;

t , suy hàm số f(t) nghịch biến nửa khoảng 

    

16 ;

Suy giá trị nhỏ biểu thức P là:

 

16 289 16

1

min

] 16

1 ; (

        



f t f P

t

92/ Cho a,b, c dương a2+b2+c2=3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức

3 3

2 3 3 3

a b c

P

b c a

  

Bài tập bất đẳng thức,GTLN,GTNN Gv : Đỗ Gia Phước 36 Giài

Ta có:

3

3

2

3

3

16 64

2 3

a a b a a

b b        (1)

3

3

2

3

3

16 64

2 3

b b c c c

c c        (2)

3

3

2

3

3

16 64

2 3

c c a c c

a a



   

 

(3) Lấy (1)+(2)+(3) ta được:

 

2 2

2 2

9

16

a b c

P     a b c (4) Vì a2+b2+c2=3

Từ (4)

2

P

  giá trị nhỏ

P a=b=c=1

93/ Cho x, y, z số dương thoả mãn xyz = Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

9 9 9

6 3 6 3 6 3

x y y z z x

P

x x y y y y z z z z x x

  

  

     

Giải

Có x, y, z >0, Đặt: a = x3 , b = y3, c = z3 (a, b, c >0; abc=1)đc:

3 3 3

2 2 2

a b b c c a

P

a ab b b bc c c ca a

  

  

     

3 2

2 ( ) 2

a b a ab b

a b

a ab b a ab b

  

 

    mà

2

2

1 a ab b a ab b  



  (Biến đổi tương đương)

2

2

1

( ) ( )

3

a ab b

a b a b

a ab b  

   

  Tương tự:

3 3

2 2

1

( ); ( )

3

b c c a

b c c a

b bc c c ca a

 

   

   

=> 2( ) 2.3 2

3

P a b c  abc  (BĐT Côsi) => P2,P2 a = b = c = 1x = y = z = Vậy: minP = x = y =z =1

94/ Cho a, b, c ba số dương thoả mãn : a + b + c =

4 Tìm giá trị nhỏ biểu thức 3 3 3 a c c b b a P       Giài

áp dụng Bất đẳng thức Cơsi cho ba số dương ta có

z y x z y x xyz xyz z y x ) z y x ( 3                   (*)

áp dụng (*) ta có

3

3

3

3 a 3b b 3c c 3a

Bài tập bất đẳng thức,GTLN,GTNN Gv : Đỗ Gia Phước 37

áp d ụng Bất đẳng thức Cơsi cho ba số dương ta có   

   

   

3

3

3

a 3b 1

a 3b 1.1 a 3b

3

b 3c 1

b 3c 1.1 b 3c

3

c 3a 1

c 3a 1.1 c 3a

3

  

    

  

    

  

    

Suy 3a 3b 3b 3c 3c 3a 4 a b c  6

3

           4.3

3

 

   

 

Do P3 Dấu = xảy

3

a b c

a b c

4

4

a 3b b 3c c 3a



   

    

       

Vậy P đạt giá trị nhỏ abc1/4

95/ Cho x,y  R x, y > Tìm giá trị nhỏ    

3 2

( 1)( 1)

x y x y

P

x y

  



 

Giài Đặt t = x + y ; t > Áp dụng BĐT 4xy  (x + y)2 ta có

2

4 t xy

(3 2)

1

t t xy t P

xy t

  



  Do 3t - >

2

4 t xy

   nên ta có

3

2

(3 2)

2

4

t t t t

t P

t t

t   

 

  

Xét hàm số

2

2

4

( ) ; '( ) ;

2 ( 2)

t t t

f t f t

t t



 

  f’(t) =  t = v t =

t + f’(t) - +

f(t)

+  +

8 Do P =

(2;min) f t( ) = f(4) = đạt

4

4

x y x

xy y

  

 



 

 

 

96/ Cho x, y, z số thực dương lớn thoả mãn điều kiện 1

x y z Tìm giá trị lớn biểu thức A = (x - 1)(y - 1)(z - 1)

Giài Ta có 1

x y z nên

1 1 1 ( 1)( 1)

1 y z y z (1)

x y z y z yz

   

Bài tập bất đẳng thức,GTLN,GTNN Gv : Đỗ Gia Phước 38 Tương tự ta có 1 1 x z (x 1)(z 1) (2)

y x z x z xz

   

      

1 1 1 ( 1)( 1)

1 x y x y (3)

y x y x y xy

   

      

Nhân vế với vế (1), (2), (3) ta ( 1)( 1)( 1)

x y z  Amax =

1

8x yz

97/ Cho x, y, z 0thoả mãn x+y+z > Tìm giá trị nhỏ biểu thức

 

3 3

3

16

x y z

P

x y z   

  Giải

Trước hết ta có:  

3

3

4

x y

x y   (biến đổi tương đương)  xy 2 xy0

Đặt x + y + z = a Khi      

3 3

3 3

3

64 64

4P x y z a z z t 64t

a a

   

    

(với t = z

a, 0 t 1)

Xét hàm số f(t) = (1 – t)3 + 64t3 với t0;1 Có

 2  

2

'( ) 64 , '( ) 0;1

9

f t   t  t  f t   t 

 

Lập bảng biến thiên

 

 0;1

64 inf

81

t

M t



   GTNN P 16

81 đạt x = y = 4z >

98/ Cho x, y, z số dương thoả mãn xyz = Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

9 9 9

6 3 6 3 6 3

x y y z z x

P

x x y y y y z z z z x x

  

  

     

Giài

Có x, y, z >0, Đặt: a = x3 , b = y3, c = z3 (a, b, c >0; abc=1)đc:

3 3 3

2 2 2

a b b c c a

P

a ab b b bc c c ca a

  

  

     

3 2

2 ( ) 2

a b a ab b

a b

a ab b a ab b

  

 

    mà

2

2

1 a ab b a ab b  



  (Biến đổi tương đương)

2

2

1

( ) ( )

3 a ab b

a b a b

a ab b  

   

 

Tương tự:

3 3

2 2

1

( ); ( )

3

b c c a

b c c a

b bc c c ca a

 

   

   

=> 2( ) 2.3 2

3

Bài tập bất đẳng thức,GTLN,GTNN Gv : Đỗ Gia Phước 39

99/ Cho x0,y0,x y1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức

1

x y

T

x y

 

 

Giài

Đặt 2

c o s ; s i n ;

2

x  a y  a  a   

 

  

2 3 sin cos 1 sin co s

cos sin cos sin

sin cos s ina.cos sin cos

a a a a

a a a a

T

a a a a a

 



   

Đặt sin co s 2 sin s in co s

4

t

t a  a  a    a a  

 

Với 0 1 2

2

a  t

    

Khi  

2

3

t t

T f t

t

 

 



;

 

      

4 2

3

' 1; 2

1 t

f t t f t f

t

  

      

 

Vậy

1;    

min 2

t

f t f

  

 

2

x y Hay minT  x y 100/ Cho x,y,z ba số thực dương có tổng 3.Tìm giá trị nhỏ biểu thức 2

3( )

P x y z  xyz Giài Ta có:

 

3 ( ) 2( )

3 2( )

27 ( ) ( 3)

P x y z xy yz zx xyz

xy yz zx xyz x y z yz x

 

       

    

    

2

3

( )

27 (3 ) ( 3)

2

( 15 27 27)

2

y z

x x x

x x x



    

    

Xét hàm số f x( ) x315x227x27

, với 0<x<3

,( ) 3 30 27 0

9

x

f x x x

x         

 

x 



y’ + -

y

14

Bài tập bất đẳng thức,GTLN,GTNN Gv : Đỗ Gia Phước 40 101/ Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn abcacb Hãy tìm giá trị lớn biểu

thức: 2 2       c b a P Giải

* Điều kiện

ac c a b b c a abc       

1 ac1 a,b,c0 Đặt a tanA,ctanC với A C  k ;kZ

2

,   Ta btanAC

(1) trở thành

 

 

 

  C C

C C C A A C C A A P 2 2 2 2 cos sin C 2A 2sin cos 2C 2A cos -cos2A cos cos 2cos tan tan tan                 

Do đó:

3 10 sin 10 sin sin 2            

 C C C

P

Dấu đẳng thức xảy khi:  

              sin sin sin sin C C A C A C Từ tan

sinC   C từ sin2AC1cos2AC0được

2 tanA

Vậy 

           ; ; 2 10

.xP a b c

Ma

102/ Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn: x2 + y2 + z2 Tìm giá trị nhỏ

biểu thức: 1

1 1

P

xy yz zx

  

  

Giài

Ta có:   1

(1 ) (1 ) (1 )

1 1

x y y z z x

x y y z z x

 

         

  

 

2 2

9

3

P

xy yz zx x y z

  

     



6

P 

Vậy GTNN Pmin =

2 x = y = z

Bài tập bất đẳng thức,GTLN,GTNN Gv : Đỗ Gia Phước 41

    

     

 

2

3

3 3 3

3 3 3 3 3 3

3

3 3

3 3

a b a b a ab b ab a b

a b ab a b ab a b abc ab a b c

1 c

a b ab a b c a b c

      

           

  

     

Tương tự

104/ Cho x, y, z 0thoả mãn x+y+z > Tìm giá trị nhỏ biểu thức

 

3 3

3

16

x y z

P

x y z   

 

Giài Trước hết ta có:  

3

3

4

x y

x y   (biến đổi tương đương)  xy 2 xy0

Đặt x + y + z = a Khi      

3 3

3 3

3

64 64

4P x y z a z z t 64t

a a

   

    

(với t = z

a, 0 t 1)

Xét hàm số f(t) = (1 – t)3 + 64t3 với t0;1 Có

 2  

2

'( ) 64 , '( ) 0;1

9

f t   t  t  f t   t 

 

Lập bảng biến thiên

 

 0;1

64 inf

81

t

M t



   GTNN P 16

81 đạt x = y = 4z >

105/ Cho x;y;z số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức :

 3  3  3

2 2

4 4 x y z

F x y y z x z

y z x

 

          

 

Giải Ta cã

3 3

2

x y xy   

   

3

4 x y x y

   

+)  

2 2

2 2( x y z )

VT x y z

y z x

     

+) VT 63 xyz 63 12 xyz

   KQ : F=12

106/ Cho số thực x, y Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

P = x2y24y4 x2y24y4 x4

Giải

Ta có: P = x2(2y)2 x2(y2)2  x4

Xét a( ;2x y b),( ,x y2)

Ta có: a b  a b  x2(2y)2  x2(y2)2  4x2162 x24

Bài tập bất đẳng thức,GTLN,GTNN Gv : Đỗ Gia Phước 42

2 3x2(3 1)(4 x2)  x24 3x Dấu "=" xảy  x

3

 Do đó: P  3x  4x  34 2 4 Dấu "=" xảy  x ,y

3

  Vậy MinP = 4 x ,y

3

 

107/ Với số thực x, y thỏa điều kiện 2x2y2xy1 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức:

4

2

x y

P xy

 

 Giải

Đặt txy Ta có: xy 2x y2 2xy 4xy xy

5

        

Và xy 2x y2 2xy 4xy xy

3

      

Suy :  

 

x y x y t t

P

xy t

2

2 2 2 7 2 1

2

    

 

  Điều kiện: t

1

5

  

Do đó:  

 

t t

P

t

2

2

'

2

  



, P t thoả

t loại

0 ( )

'

1 ( )

    

  

P P

5 15

   

  

       

P 0

 Kết luận: Max P =

4 Min P = 15

108/ Với số thực dương x y z; ; thỏa điều kiện x y z 1   Tìm giá trị nhỏ biểu thức:        

 

P x y z

x y z

1 1

2

Giải

Áp dụng BĐT Cơ-si ta có: x  x

2

18 12 (1) Dấu xảy x1

3

Tương tự: y  y

2

18 12 (2) z  z

2

18 12 (3)

Mà: 17x y z   17 (4) Cộng (1),(2),(3),(4), ta có: P 19  Dấu "=" xảy  xy z

3 Vậy GTNN P 19 xy z

109/ Tìm giá trị nhỏ hàm số: f x x x x x

x x

4

2

4 8

( )

2

   



  Giải

Bài tập bất đẳng thức,GTLN,GTNN Gv : Đỗ Gia Phước 43 Ta có: f x x x

x x

2

2

1

( ) 2

2

    

  ( BĐT Cô –si) Dấu "=" xảy  x2– 2x  2 1  x1

Vậy: f(x) = đạt x = 1

110/ Cho ba số thực không âm a, b, c thỏa mãn: a2009 + b2009 + c2009 = Tìm giá trị lớn biểu thức: P = a4 + b4 + c4

Giải

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2005 số số a2009 ta có:

2009

2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009

2005

1 1   a a a a 2009 a a a a 2009.a (1)

Tương tự: 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2005

1 1   b b b b 2009 b b b b 2009.b (2) 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009

2005

1 1   c c c c 2009 c c c c 2009.c (3) Từ (1), (2), (3) ta được: 2009 2009 2009 4

60154(a b c )2009(a b c )

 4

60272009(a b c ) Từ suy 4    

P a b c

Mặt khác a = b = c = P = nên giá trị lớn P =

111/ Cho số thực x y z, , (0;1) xyyzzx1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 2 2 2

1 1

  

  

x y z

P

x y z

Giải

Vì

0x  1 x 0 Áp dụng BĐT Cơsi ta có:

2 2

2 2

3

2 (1 ) (1 )

2 (1 ) (1 )

3 3

   

 x x x  x x  x x

2

3

1

 



x

x x

Tương tự: 2

2

3 3

;

1  1 

y z

y z

y z

Khi đó: 3 2 3 3

( ) ( )

2 2

      

P x y z xy yz zx

3

2

P  xy z

112/ Cho x,y,z thoả mãn số thực: x2xy y2 1.Tìm giá trị lớn ,nhỏ biểu thức

1

2

4

 

  

y x

y x P

Giài Tõ gi¶ thiÕt suy ra:

xy xy

y x

xy xy xy y xy x

3

) (

2

2 2

    

     

Từ ta có

3



xy

Măt khác x2xyy21 x2y2 1xy

nên x4y4x2y22xy1 đăt t=xy Vởy toán trở thành tìm GTLN,GTNN

3 ;

2 )

(

2

   

   

 t

Bài tập bất đẳng thức,GTLN,GTNN Gv : Đỗ Gia Phước 44 TÝnh                 ) ( 6 ) ( ) ( ' 2 l t t t t f

Do hàm số liên tục ;1

nên so sánh giá trÞ cđa )

1 (

f ,f( 62),f(1) cho kÕt qu¶: 6 ) (     f MaxP , 15 11 ) ( minP  f  

113/ Cho x, y hai số dương thay đổi thoả điều kiện 4(x + y) – = Tìm giá trị nhỏ biểu thức S =

4 

x y

Giải

Ta có: 4(x + y) =  4y = – 4x  S =

4  x y =

20 15 (5 )

 

x

x x , với < x <

Dựa vào BBT  MinS = đạt x = 1, y =

114/ Cho : a2b2c2 65 Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số :

          ) , ( sin sin

2 x c x x 

b a y

Giài

y2a2b2c212sin2xsin22x6512sin2xsin22x

Đặt f(x) = 12sin2xsin22x12sin2x4sin2x.(1sin2x) f(x) = 4sin4x6sin2x1, Đặt sin2xt , t0,1 g(t) = ) ( ; ) (

42   /   /   

 t t g t t g t t

BBT M Max g(t) sin 4

13 

   



 khit x x

13 13 13 65      y

y dấu “=” xảy

3  

x

hay Thay vào :

                            15 30 15 30 65 2 c b a c b a c b a

115/ Cho x,y  R x, y > Tìm giá trị nhỏ    

3 2

( 1)( 1)

x y x y

P x y       Giải

Đặt t = x + y ; t > Áp dụng BĐT 4xy  (x + y)2 ta có

4 t xy

t f

f/ f

0

Bài tập bất đẳng thức,GTLN,GTNN Gv : Đỗ Gia Phước 45

3

(3 2)

1

t t xy t P

xy t

  



  Do 3t - >

2

4

t xy

   nên ta có

2

2

(3 2)

4

2

4

t t t t

t P

t t

t   

 

  

Xét hàm số

2

2

4

( ) ; '( ) ;

2 ( 2)

t t t

f t f t

t t



 

  f’(t) =  t = v t =

t + f’(t) - +

f(t)

+  +

8 Do P =

(2;min) f t( ) = f(4) = đạt

4

4

x y x

xy y

  

 



 

 

 

116/ Cho a, b, c số thực thoả mãn a  b c Tìm giá trị nhỏ biểu thứcM  4a9b16c  9a16b4c  16a4b9 c

Giải

Cho a, b, c thoả a  b c Tìm GTNN 4a 9b 16c 9a 16b 4c 16a 4b c

M         

Đặt u2 ;3 ; 4a b c,v2 ;3 ; 4c a b, w2 ;3 ; 4b c aM  u  v  w

  2  2 2

w 2a 2b 2c 3a 3b 3c 4a 4b 4c M  u   v          Theo cô – si có 222b2c 3 23 a b c  6 Tương tự …

Vậy M 3 29 Dấu xảy abc1

Bài tập bất đẳng thức,GTLN,GTNN Gv : Đỗ Gia Phước 46

Qua bảng biến thiên ta có : miny =

27 vµ maxy =

118/ Cho a, b, c0 2

3

a b c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức

3 3

2 2

1 1

a b c

P

b c a

  

  

Giải

Ta có: P + =

2 2 2 1 a a c c c b b b a         1 2 2 2 b b a b a

P  

      1 2 2 2 c c b c b       1 2 2 2 a a c a c       6 16 16 16

3 a  b  c



6 2

3 2 8

9 ) ( 2 2     

P a b c

2 2 2 2 2

6    

 P

Để PMin a = b = c =

119/ Với số thực x, y thỏa điều kiện 2x2y2xy1 Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ biểu thức

4 x y P xy   Gii

Đặt t = cos2x 1 t 1 th× sin2x = 1 t

2  +

  1 3  3

f ' t 4t t 8t t

2

 

     

 

     2

1

2t t 4t 2t t t           =   

3t 7t 4t

2

Bảng biến thiên t

f’(t) f(t)

-1 1/3

Bài tập bất đẳng thức,GTLN,GTNN Gv : Đỗ Gia Phước 47

KL: GTLN

4 GTNN

15( HSLT đoạn 1

; 

 

 

 ) 120/ Cho số dương tùy ý a,b,c:

Tìm Min: 3 3 3 3

2 2

4( ) 4( ) 4( ) a b c

A a b b c c a

b c a

 

          

 

Giải:

 

3 3 3

3 3

2 2

3 3 3

3 3 3 3

3 3

3

2 2 3

4( ) 4( ) 4( )

ì :4( ) ( ) 4( )

4( ) 4( ) 4( )

1

à 6 12 12

a b c

A a b b c c a

b c a

V a b ab a b ab

a b b c c a ab bc ca abc

a b c

V A abc Min A

b c a abc abc

 

          

 

    

         

 

 

        

   

   

Dấu “=” xảy a=b=c=1

121/ Cho a, b, c ba số dương thoả mãn : a + b + c =

4 Tìm giá trị nhỏ biểu thức

3

3 3

1

1

1

a c c b b a P

    



Giải

áp dụng Bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta có

z y x

9 z

1 y x xyz

3 xyz z y x ) z y x (

3

       

   

 

  

 (*)

¸p dơng (*) ta cã

3

3

3

3 a 3b b 3c c 3a

9 a

3 c

1 c b

1 b

3 a

1 P

           

áp dụng Bất đẳng thức Cơsi cho ba số dương ta có

Đặt txy Ta có: 2 2 

xy  x y  xy   xyxy 

Và 2 2 

3

xy  xy  xy  xyxy ĐK: 1

5 t

  

Suy :  

 

2

2 2 2

2 7 2 1

2

x y x y t t

P

xy t

    

 

 

Do đó:  

 

2

2

'

2

t t P

t   



, P'0 t 0,t 1( )L

1

5 15

P P  

     

1

4

Bài tập bất đẳng thức,GTLN,GTNN Gv : Đỗ Gia Phước 48

   

   

   

3

3

3

a 3b 1

a 3b 1.1 a 3b

3

b 3c 1

b 3c 1.1 b 3c

3

c 3a 1

c 3a 1.1 c 3a

3

  

    

  

    

  

    

Suy 3a 3b 3b 3c 3c 3a 4 a b c  6

3

           4.3

3

 

   

 

Do P3

DÊu = x¶y

3

a b c

a b c

4

4

a 3b b 3c c 3a



   

    

       

Vậy P đạt giá trị nhỏ abc1/4

122/ Cho số dương tùy ý x,y,z Tìm Min của:

1

2 2

x y z

P x y z

yz zx xy

     

         

 

   

Giải:

Ta có:

 

2 2 2 2 2 2

2 2

2 2

2

3

2

1

2 2

1 1 1

ì : ( )

2 2 ( )

3 9

3 ( )

2 ( ) 2

x y z x y z x y z x y z

P x y z

xyz xyz xyz xyz xyz

V x y z xyz V

xyz xyz xyz xyz

P xyz MinP

xyz

 

     

           

 

 

        

 

    

Dấu “=” xảy x=y=z=1 123/ cho tam giác nhọn ABC , tìm giá trÞ bÐ nhÊt cđa biĨu thøc: S cos3A2cosAcos2Bcos2C

Giải

C B

A A

S cos3 2cos cos2 cos2 =cos3A2cosA2cos(BC)cos(BC) cos3A2cosA1cos(BC)

V× cosA0,1cos(BC)0nªn S cos3A, dÊu b»ng xÈy cos(BC)1 hay

1800 A C

B   Nh­ng cos3A1, dÊu b»ng xÈy

180

3A hay A =

60 Tóm lại : S có giá trị bé -1 ABC tam giác

124/ Xét số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

2 2

x (y z) y (z x) z (x y) P

yz zx xz

  

  

Giải

Ta có :

2 2 2

x x y y z z

P

y z z x x y

Bài tập bất đẳng thức,GTLN,GTNN Gv : Đỗ Gia Phước 49 Do : x3 + y3 xy(x + y) x, y > hay

2

x y

x y

y  x   x, y > Tương tự, ta có :

2

y z

y z

z  y   y, z >

2

z x

z x

x  z   x, z > Cộng vế ba bất đẳng thức vừa nhận trên, kết hợp với (*), ta được:

P  2(x + y + z) = x, y, z > x + y + z = Hơn nữa, ta lại có P = x = y = z =

3 Vì vậy, minP =

125/ Cho x, y, z > x + y + z ≤ xyz Tìm giá trị lớn biểu

thức 2 2 2

2 2

P

x yz y zx z xy

  

  

Giải

Từ giả thiết ta có xyz ≥ x + y + z ≥ 33 xyz  (xyz)3≥ 27.xyz  xyz ≥ 3 3 Áp dụng BĐT Cauchy ta có

x2 + yz + yz ≥ 3 (3 xyz)2 ; y2 + zx + zx ≥ 3 (3 xyz)2 ; z2 + xy + xy ≥ 3 (3 xyz)2 Từ ta có P

2 2 2

3 3 3

1 1 1

3 (xyz) (xyz) (xyz) (xyz) (3 3)

     

Từ ta có Max P =

3 đạt

x y z

x y z

x y z xyz   

    

   

126/ Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số f x( ) đoạn 1;1 biết :

2 '

3 (0)

4

9

( ) ( ) 12

2

f

f x f x x x x

    

   

 

Giải

(2)  

6

( )

3

3

f x

x x x c

     mà (0)

4

f  c

Do 3

( ) 3( )

4

f x  x  x  x 

Xét  

( ) 0;1

4

g t t  t  t t

Suy

3

3

3

m inf ( )

4

9

max ( )

4

x x

f x x

  

   

Bài tập bất đẳng thức,GTLN,GTNN Gv : Đỗ Gia Phước 50 2 2 2

1 1

x y z

P

x y z

  

  

Giải:

Đặt

 

2 2

3

tan

tan tan tan

1

2 2

tan t anA tan tan

2 1 tan 1 tan 1 tan

2 2

tan

ì : ó : t anA tan tan t anA tan tan t anA tan tan

3 t anA tan tan t anA tan tan 3

2

A x

A B C

B

y P B C

A B C

C z

V Trong ABC ta c B C B C B C

B C B C P

    

       



   

   

    

      

Dấu “=” xảy A=B=C=600 hay x y  z

128/ Cho x, y, z số thực dương lớn thoả mãn điều kiện : xy + yz + zx  2xyz

Tìm giá trị lớn biểu thức A = (x - 1)(y - 1)(z - 1) Giải:

Ta có: xy + yz + zx  2xyz 1

x y z

    Đặt:

       

   

1 , , 0

1 1

1 1 1 1 1

1 1

1 1

1

2

1 1 ( 1)( 1)

1

2 ;

1 ( 1)( 1) ( 1)( 1)

1

8

1 1 1

1

1 1 ax

8

x a a b c

y b

a b c

z c a b c

b c bc

a b c b c

ca ab

b c a c a b

abc

abc

a b c a b c

x y z M A

 

  

     

        

          

   

       

   

    

 

     

   

     

      

129/ Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số:

4 2

2

2 1

1

x x x

y

x x

    



   

Bài tập bất đẳng thức,GTLN,GTNN Gv : Đỗ Gia Phước 51

 

 

2

2 2

2

2 2 2

2

2

,

1

;

2

1

1 ( 1)

: 2

2

2; ax (0) 1

0 '

4 lim

4

3

2 t

a b

a x ab a b

y

a b

a b

b x

t a b a b

Coi t a b t t

y t

t M y y

t y

y t

y t

t 

      



 

 

   

  

 

           

      



 

     

 

 

    

     

     

 

 

Vậy hàm số đạt Max=1 không đạt Min 130/ Tìm Min của:

2 2

x y z

H

y z z x x y

  

  

Trong đó:

2 2 2

, ,

2010

x y z

x y y z z x

   

     

 

Giải:

Đặt:

2

2

2

2 2 2

2 2

2 2 2

2 2 2 2 2

2 2

2 2

, , 2010

ó :

2( ); 2( ); 2( )

2( ) 2( ) 2( )

à : ; ;

2 2

1 2

a x y

a b c

b y z

a b c

c z x

Theo Bunhiacopxki ta c

x y x y y z y z z x z x

x y z

H

y z z x x y

a b c a b c a b c

V x y z

a b c

H

b

  

 

 

  

 

   



  



        

   

  

      

  

   

2 2 2

2

2 2 2

1 1 ( )

( ) 2( ) ì : ( ) ê :

3 2

1 ( ) 1 1 ( )

.( ) 2( ) 2( )

3

2 2

2010 1005 2 2 2

a b c a b c

c a

a b c

a b c a b c V a b c n n

a b c

a b c a b c

H a b c a b c a b c

a b c

a b c

      

 

 

 

     

             

 

 

         

               

   

 

 

    1005 224450

2

Min H  xyz

131/ Tìm Min, Max của:

  

2

2 3 2 12

xy A

x y x x y



  

Bài tập bất đẳng thức,GTLN,GTNN Gv : Đỗ Gia Phước 52

    

 

  

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

ó : :

3 1 12

1 12

1

1 3 1 1 12 1 3 1 1 12 12

1 12 1

: 12 ( 1) ( )

3 12

1

'( ) ( ) (

3

y

Ta c A Coi t

x

x y

y x

t t

t A

t t

t t

t t

t u

Coi u t u A f u

t u

u

f u A f u f

u

 

 

    

 

              

   

 

   

         

 

 

  

      

 

  

     

 

1

3) ax

6 18

à : lim ( ) 0

u

M A

V f u MinA



  

  

132/ Cho số thực thõa mãn: x2 + y2 + z2 =1

Tìm Min, Max của: P(x yz) ( xy yzzx) Giải:

Đặt:

2 2

2

3( ) 3;

1

à ( ) '( ) 3;

2

ax (1)

ó :

( 3) ( 1)

t x y z t x y z t

t t t

V P t f t f t t

M P f

Qua BBT ta c

MinP f

 

           

   

 

         

 

 

  

    

 

133/Cho số dương x,y thõa mãn: x+y=5/4 Tìm Min của:

4 A

x y

 

Giải:

Ta có:

 2

5 16

16 4 60

4 4 ( ) (5 )

4

4 , 16 16 16

: : ( )

5 5

0

16 16

'( ) 5 (1)

4

3

y y

y x y

A

xy y y y y

a y a b a b

Coi V A f a

b y a b ab b a a a

a

f a MinA f

a a

a  

 

  

 

  

  

      

 

    

 

  

         

   



Bài tập bất đẳng thức,GTLN,GTNN Gv : Đỗ Gia Phước 53 134/ Cho x, y, z 0thoả mãn x + y + z > Tìm giá trị nhỏ biểu thức

 

3 3

3

16

x y z

P

x y z   

  Giải

Trước hết ta có:  

3

3

4

x y

x y   (biến đổi tương đương)  xy 2 xy0

Đặt x + y + z = a Khi      

3 3

3 3

3

64 64

4P x y z a z z t 64t

a a

   

    

(với t = z

a, 0 t 1)

Xét hàm số f(t) = (1 – t)3 + 64t3 với t0;1 Có

 2  

2

'( ) 64 , '( ) 0;1

9

f t   t  t  f t   t 

 

Lập bảng biến thiên    0;1

64 inf

81

t

M t



   GTNN P 16

81 đạt x = y = 4z >

135/ Cho số khơng âm tùy ý x,y thõa mãn x+y=1: Tìm Min, Max của:

1

x y

S

y x

 

 

Giải:

Ta có:

2

2

2

( ) ( ) 2

1 ( )

( ) 1 2

à : : 0; ( )

4 4 2

1

inS ( )

6

'

( 2)

ax (0)

x y x y x y xy

S

y x xy x y xy

x y t

M xy Coi t xy t v S f t

t t

M f

S t

M S f

   

   

     

   

           

 

  

 

 

    

 

 



136/ Cho x0,y0,x y1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức

1

x y

T

x y

 

 

Giải

Đặt 2

cos ; sin 0;

2 x a y a a   

 

  

2 3

sin cos sin cos

cos sin cos sin

sin cos sina.cos sin cos

a a a a

a a a a

T

a a a a a

 



Bài tập bất đẳng thức,GTLN,GTNN Gv : Đỗ Gia Phước 54

Đặt sin cos 2 sin sin cos

4

t t a a a  a a 

 

Với

2

a  t

    

Khi  

3

3

t t

T f t

t

 

 

 ;

 

      

4 2

3

' 1; 2

1

t

f t t f t f

t

  

      

 Vậy

1;    

min 2

t

f t f



   

2

x y Hay minT

xy

137/ Biết ( ; )x y nghiệm bất phương trình:5x25y25x15y 8 Hãy tìm giá trị lớn biểu thức Fx3y

Giải

Thay x F3yvào bpt ta được: 50y230Fy5F25F 8

Vì bpt ln tồn y nên y 0  25F2250F 4000  2 F 8 Vậy GTLN F x3y

138/ Cho x, y, z số dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 3 3 3 3

3

2 2

x y z

P 4(x y ) 4(x z ) 4(z x )

y z x

 

          

 

 

Giải

Với x, y, z > ta có 3

4(x y )(xy) Dấu "=" xảy  x = y

Tương tự ta có: 3

4(y z )(yz) Dấu "=" xảy  y = z

3

4(z x )(zx) Dấu "=" xảy  z = x  34(x3y3)34(y3z3)34(z3x3)2(xyz)63xyz

Ta lại có 2 2 2

3

6 2   

 

x y z

y z x xyz Dấu "=" xảy  x = y = z

Vậy 3

1

6  12

   

 

 

P xyz

xyz Dấu "=" xảy 

1   

  

xyz

x y z x = y = z =

Vậy minP = 12 x = y = z =

139/ Cho số a, b, c > thoả mãn: a + b + c =1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

a b c

T

a b c

1 1

  

  

Giải

1 (1 ) (1 ) (1 )

1 1

     

  

  

a b c

T

a b c =

 

1 1

1 1

1 1

 

       

    

 a b c a b c

Ta có: 1

1a 1b 1c  1a 1 b 1c ; 0 1a 1 b 1c (Bunhia)

 6

2

  

T Dấu "=" xảy  a = b = c =

Bài tập bất đẳng thức,GTLN,GTNN Gv : Đỗ Gia Phước 55

140/ Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn abca c b Hãy tìm giá trị lớn biểu

thức: 22 22 23

1 1

  

  

P

a b c

Giải

Điều kiện

1      



a c

abc a c b b

ac ac1 a b c, , 0

Đặt atan ,A ctanC với , ; 

   

A C k k Z Ta btanA C  (3) trở thành: 22 2 23

tan tan ( ) tan

  

   

P

A A C C

2 2

2

2cos cos ( ) 3cos cos cos(2 ) 3cos 2sin(2 ).sin 3cos

       

  

A A C C A A C C

A C C C

Do đó:

2

2 10 10

2 sin 3sin sin

3 3

 

       

 

P C C C

Dấu đẳng thức xảy khi:

1 sin

3 sin(2 ) sin(2 ).sin 

  

  



  



C

A C

A C C

Từ sin tan

3

  

C C Từ sin(2A C )  1 cos(2A C )0 tan 2 

A

Vậy max 10 2; 2;

3

 

     

 

P a b c

141/ Cho a, b, c ba số dương thoả mãn : a + b + c =

4 Tìm giá trị nhỏ biểu

thức 3 3 3

3 3

  

  

P

a b b c c a

Giải

Áp dụng Bất đẳng thức Cơsi cho ba số dương ta có

3

1 1 1

(   )   3  9     

 

x y z xyz

x y z xyz x y z x y z (*)

Áp dụng (*) ta có

3 3 3

1 1

3 3 3

   

       

P

a b b c c a a b b c c a

Áp dụng Bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta có :

   

   

   

3

3

3

3 1

3 1.1

3

3 1

3 1.1

3

3 1

3 1.1

3

  

    

  

    

  

    

a b

a b a b

b c

b c b c

c a

c a c a

Suy ra: 3  

3 3

3

          

a b b c c a a b c 4.3

3

 

   

 

Do P3 Dấu = xảy

3

1

4

3 3



   

    

       

a b c

a b c

Bài tập bất đẳng thức,GTLN,GTNN Gv : Đỗ Gia Phước 56 Vậy P đạt giá trị nhỏ

4   

a b c

142/ Cho x, y, z số thực dương lớn thoả mãn điều kiện 1

x y z Tìm giá trị lớn biểu thức A = (x - 1)(y - 1)(z - 1)

Giải

Ta có 1 x y z nên

1 1 1 ( 1)( 1)

1 y z y z (1)

x y z y z yz

   

      

Tương tự ta có 1 1 x z (x 1)(z 1) (2)

y x z x z xz

   

      

1 1 1 ( 1)( 1)

1 x y x y (3)

y x y x y xy

   

      

Nhân vế với vế (1), (2), (3) ta ( 1)( 1)( 1)

x y z 

vậy Amax =

1

8x yz

143/ Cho a, b, c ba số thực dương thỏa mãn abc = Tìm giá trị lớn biểu thức

2 2 2

1 1

2 3

  

     

P

a b b c c a

Giải

Ta có a2+b2  2ab, b2+  2b  2 12 2 2 12 1

2 3 22

       

a b a b b ab b

Tương tự 2 12 1 , 2 12 1

2 32 32

       

b c bc c c a ca a

1 1 1 1

2 1 1

      

           

   

   

   

ab b

P

ab b bc c ca a ab b b ab ab b

1 

P a = b = c = Vậy P đạt giá trị lớn

2 a = b = c = 144/ Tìm giá trị nhỏ hàm số: y = 2 cos

sin (2cos sin )

x

x x x với < x   Giải

Với 

 x 0tanx sinx0,cosx0, cosxsinx0



2

3

2 2

2

cos

1 tan tan cos

sin cos sin tan (2 tan ) tan tan

cos cos

 

  

  

x

x x

x y

x x x x x x x

x x

Đặt: ttan ; 0x  t 

2

( ) ;

2 

   



t

y f t t

t t

4

2 2 2

3 ( 4) ( 1)( 4)

( ) ( ) ( 1)

(2 ) (2 ) (2 )

      

          

  

t t t t t t t t t t

f t f t t t

Bài tập bất đẳng thức,GTLN,GTNN Gv : Đỗ Gia Phước 57  Từ BBT ta có: ( )

4      

f t t x Vậy:

0;

2

4





     

 

miny khi x

145/ Cho tam giác ABC Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

P =

2

2

1 tan

2

1 tan

  

 

  

  



A B

tan

C +

2

2

1 tan

2

1 tan

   

 

   

   



B C

tan

A +

2

2

1 tan

2

1 tan

  

 

  

  



C A

tan B

Giải

P =

cos cos cos

2 2

cos cos cos cos cos cos

2 2 2

 

C A B

B A B C C A =

sin sin sin

2 2

cos cos cos cos cos cos

2 2 2

  

     

     

     

A B B C A C

B A B C C A

= tan tan tan

2 2

 

 

 

 

A B C

≥ Vậy minP = A = B = C =

3 

146/ Với số thực dương a; b; c thoả mãn điều kiện a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

3 3

2 2

(1 ) (1 ) (1 )

  

  

a b c

P

a b c

Giải

Áp dụng BĐT Cơ-si ta có:

3

2

8 2

( ) ( )

( ) ( )

        

 

a a a b c

b c b c a

b c b c

Dấu " = " xảy  2a = b + c Tương tự:

3

2

6 2 2

;

( ) ( )

   

 

 

b b c a c c a b

c a a b

Suy ra:

4

  a b c

P Dấu xảy  a = b = c =

3 Kết luận: minP = 147/ Cho x, y, z số dương thoả mãn 1 2009

x y z Tìm giá trị lớn biểu

thức: P = 1

2x y zx2yzxy2z Giải

Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si, ta có: 4ab ≤ (a + b)2

4

a b

a b ab



 



1 1

4

 

   

a b Dấu "=" xảy  a = b

Ta có: 1 1 1 1 1 1

2x y z 2x y z 2x y z x 2y 2z

 

     

            

         

Tương tự: 1 1

2 2

x y z x y z

 

    

   

1 1 1

2 2

x y z x y z

 

    

   

Vậy 1

2xyzx2yz xy2z

1 1 2009

4 x y z

 

    

Bài tập bất đẳng thức,GTLN,GTNN Gv : Đỗ Gia Phước 58 Vậy MaxP = 2009

4 x = y = z = 12 2009

148/ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức A 5sin3x9sin2x4 Giải

Đặt tsinx với t  1,1 ta có   

A t t

Xét hàm số ( )5 9 4

f t t t với t  1,1 Ta có

( ) 15 18 (5 6)

    

f t t t t t

6 ( ) 0

5      

f t t t (loại); f( 1)  10, (1)f 0, (0)f 4 Vậy 10 f t( )4 Suy 0A f t( )10

Vậy GTLN A 10 đạt sin 2 

         

t x x k

GTNN A đạt sin 2 

      

t x x k

149/ Cho x,y  R x, y > Tìm giá trị nhỏ    

3 2

( 1)( 1)

x y x y

P

x y

  



 

Giải

Đặt t = x + y ; t > Áp dụng BĐT 4xy  (x + y)2 ta có

4 t xy

(3 2)

1

t t xy t P

xy t

  



  Do 3t - >

2

4 t xy

   nên ta có

3

2

(3 2)

4

2

4

t t t t

t P

t t

t   

 

  

Xét hàm số

2

2

4

( ) ; '( ) ;

2 ( 2)

t t t

f t f t

t t



 

  f’(t) =  t = v t =

t + f’(t) - +

f(t)

+  +

8

Do P =

(2;min) f t( ) = f(4) = đạt

4

4

x y x

xy y

  

 



 

 

 

150/ Cho ba số thực a, b, c lớn có tích abc = Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

1 1

1 1

  

  

P

a b c

Giải

Ta chứng minh: 1 1a1b1 ab

1 1

Bài tập bất đẳng thức,GTLN,GTNN Gv : Đỗ Gia Phước 59

2

( ) ( 1)

0 (1 )(1 )(1 )

 

 

  

b a ab

a b ab (đúng) Dấu "=" xảy  a = b

Xét

3

1 1

1a1b1c1 abc

2

1

 

 ab  abc 12 4

4

1

 



 a b c abc

 P

3

3 1

 

 abc Vậy P nhỏ a = b = c =

151/ Cho a,b, c dương a2+b2+c2=3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức

3 3

2 2

3 3

a b c

P

b c a

  

  

Giải

Ta có:

3

3

2

3

3

16 64

2 3

a a b a a

b b



   

 

(1)

3

3

2

3

3

16 64

2 3

b b c c c

c c



   

 

(2)

3

3

2

3

3

16 64

2 3

c c a c c

a a



   

 

(3) Lấy (1)+(2)+(3) ta được:

 

2 2

2 2

9

16

a b c

P     a b c (4) Vì a2+b2+c2=3

Từ (4)

2

P

  giá trị nhỏ

P a=b=c=1

152/ Cho a, b, c cạnh tam giác có chu vi Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

3 3

( ) ( ) ( )

3 3

     

 a b c  b c a  c a b

P

c a b

Giải

Áp dụng BĐT Cô-si cho số dương

3

( )

,

3

 

a b c c

c

1

3 ta được:

3

( ) ( )

3 3 3

   

         

a b c c a b c c

a b c a b

c c (1)

Tương tự:

3

( )

3 3

 

   

b c a a

b c

a (2),

3

( )

3 3

 

   

c a b b

c a

b (3)

Cộng (1), (2) (3) ta suy P 1 minP1 ab c

153/ Cho x y hai số dương thoả mãn x y 2  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P =

x y x y

x y

x y

3 2

2

3

2

 

  

Giải

Áp dụng BĐT Cô-si cho số dương

3

( )

,

3

 

a b c c

c

1

Bài tập bất đẳng thức,GTLN,GTNN Gv : Đỗ Gia Phước 60

3

( ) ( )

3 3 3

   

         

a b c c a b c c

a b c a b

c c (1)

Tương tự:

3

( )

3 3

 

   

b c a a

b c

a (2),

3

( )

3 3

 

   

c a b b

c a

b (3)

Cộng (1), (2) (3) ta suy P 1 minP1 ab c

154/ Cho x, y hai số thực thoả mãn x2xy y 22 Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức: M = x22xy3y2

Giải

 Nếu y = M = x2 =  Nếu y  đặt t x y

 , ta được: M = x xy y

x xy y

2

2

2

2  

 

= t t

t t 2    

Xét phương trình: t t m

t t 2     

 (m1)t2(m2)t m  3 (1) (1) có nghiệm m =  = (m2)24(m1)(m3) 0

 2( 13 1) m 2( 13 1)

3

 

  

Kết luận: 4( 13 1) M 4( 13 1)

3

 

  

155/ Cho a, b, c ba số dương thoả mãn : a + b + c =

4 Tìm giá trị nhỏ biểu thức

3 3 3 3 a c c b b a P       Giải

áp dụng Bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta có

z y x z y x xyz xyz z y x ) z y x ( 3                   (*)

áp dụng (*) ta có 3 3 3 3 3 3

a c c b b a a c c b b a P            

áp dụng Bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta có

            3

a 3b 1

a 3b 1.1 a 3b

3

b 3c 1

b 3c 1.1 b 3c

3

c 3a 1

c 3a 1.1 c 3a

3                        

Suy 3a 3b 3b 3c 3c 3a 4 a b c  6

3

           4.3

3

 

   

 

Do P3

Dấu = xảy

3

a b c

a b c

4

4

a 3b b 3c c 3a

                 

Bài tập bất đẳng thức,GTLN,GTNN Gv : Đỗ Gia Phước 61 156/ Cho x, y, z là số dương thoả mãn:

x y z

1 1

2010

   Tìm giá trị lớn biểu thức: P =

x y z x y z x y z

1 1

2    2    2

Giải

 Chú ý: Với a, b > 0, ta có:

a b a b

4 1

 



 P 

x y x z y x y z z x z y

1 1 1 1

4

 

    

 

     

 

=

x y y z z x

1 1

2

 

 

 

  

 



x y z

1 1

4

 

 

 

 

= 1005

2

Dấu "=" xảy  x y z

670

   Vậy MinP = 1005

2

157/ Cho số dương x, y, z thoả mãn: xyz = 8 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = log22x 1 log22y 1 log22z1

Giải

Đặt alog2 x b, log2y c, log2z  a b c  log (2 xyz) log 3 2   P = log22x 1 log22 y 1 log22z1 = a2 1 b2 1 c21

Đặt m ( ;1),a n( ;1),b p( ;1)c

Khi đó: P = m  n  p  m n   p = (a b c  )2(1 1)  =