DE THI THU DAI HOC CAO DANG NAM 2010 Mon thiTOAN Khoi A

Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.[r]

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH(7 điểm). Câu I ( điểm)

Cho hàm số y=x3+(1−2m)x2+(2−m

)x+m+2 (1) m tham số Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) với m=2

2 Tìm tham số m để đồ thị hàm số (1) có tiếp tuyến tạo với đường thẳng d: x+y+7=0 góc α , biết cosα=

√26 Câu II(2 điểm)

1 Giải bất phương trình: √log1 2

(42− xx )−4≤√5

2 Giải phương trình: √3 sin2x.(2 cosx+1)+2=cos 3x+cos 2x −3 cosx Câu III(1 điểm)

Tính tích phân: I ¿∫

x+1

(1+√1+2x)2dx Câu IV(1 điểm)

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân đỉnh A, AB ¿a√2 Gọi I trung điểm

BC, hình chiếu vng góc H S lên mặt đáy (ABC) thỏa mãn: ⃗IA=−2⃗IH , góc SC mặt đáy (ABC) 600 .Hãy tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ trung điểm K SB tới (SAH).

Câu V(1 điểm)

Cho x, y, z ba số thực dương thay đổi thỏa mãn: x2

+y2+z2≤xyz Hãy tìm giá trị lớn biểu thức: P= x

x2+yz+ y y2+zx+

z z2+xy

PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm): Thí sinh chỉ chọn làm hai phần ( phần A phần B ). A.Theo chương trình chuẩn:

Câu VI.a(2 điểm)

1 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC biết A(3;0), đường cao từ đỉnh B có phương trình x+y+1=0 , trung tuyến từ đỉnh C có phương trình: 2x-y-2=0 Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(-1;1;0), B(0;0;-2) C(1;1;1) Hãy viết

phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A B, đồng thời khoảng cách từ C tới mặt phẳng (P) √3 Câu VII.a (1 điểm)

Cho khai triển: (1+2x)10(x2

+x+1)2=a0+a1x+a2x2

+ +a14x14 Hãy tìm giá trị a6 B Theo chương trình nâng cao:

Câu VI.b (2 điểm)

1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC biết A(1;-1), B(2;1), diện tích 5,5 trọng tâm G thuộc đường thẳng d: 3x+y −4=0 Tìm tọa độ đỉnh C

2.Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P) x+y − z+1=0 ,đường thẳng d: x −2 =

y −1 −1 =

z −1 −3 Gọi I giao điểm d (P) Viết phương trình đường thẳng Δ nằm (P), vng góc với d cách I khoảng 3√2

Câu VII.b (1 điểm)

TRƯỜNG THPT ĐỒNG QUAN

ĐÁP ÁN –THANG ĐIỂM

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2010 MƠN:TỐN, Khối A

TRƯỜNG THPT ĐỒNG QUAN

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2010 Mơn thi: TỐN, Khối A Thời gian làm 180 phút, không kể thời gian phát đề.

Giải phương trình ( ẩn z) tập số phức: (z+i i− z)

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH.

Câu ý Nội dung Điểm

I(2đ) 1(1đ) Khảo sát hàm số m = 2

Khi m = 2, hàm số trở thành: y = x3 3x

❑2 +

a) TXĐ: R

b) SBT

•Giới hạn: xlim  y ; limx y 0,25

•Chiều biến thiên:

Có y’ = 3x2 6x; y’=0  x =0, x =2

x  +

y’ +  +

y



4

0

+

Hàm số ĐB khoảng ( ; 0) (2 ; +), nghịch biến (0 ; 2)

0,25

•Hàm số đạt cực đại x = 0, yCĐ = y(0) = 4;

Hàm số đạt cực tiểu x = 2, yCT = y(2) =

0,25

c) Đồ thị: Qua (-1 ;0)

Tâm đối xứng:I(1 ; 2)

0,25

2(1đ) Tìm m

Gọi k hệ số góc tiếp tuyến ⇒ tiếp tuyến có véctơ pháp ⃗n1=(k ;−1)

d: có véctơ pháp ⃗n2=(1;1)

Ta có

cosα=|⃗n1.⃗n2| |⃗n1||n⃗2|⇔

1 √26=

|k −1|

√2√k2+1⇔12k

−26k+12=0⇔ k1=3

2 ¿ k2=2

3 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿

0,5

Yêu cầu toán thỏa mãn  hai phương trình: y❑=k1 (1)

và y❑=k

2 (2) có nghiệm x

0,25

4 y

I -1

1



3x2+2(1−2m)x+2− m=3 ¿

3x2+2(1−2m)x+2− m=2 ¿

¿ ¿ ¿



Δ❑1≥0

¿ Δ❑2≥0

¿ ¿ ¿ ¿



8m2−2m −1≥0 ¿

4m2− m−3≥0 ¿ ¿ ¿ ¿



m≤ −1 4;m ≥

1 ¿ m≤ −3

4;m≥1 ¿ ¿ ¿ ¿

 m≤ −1

4 m≥

1

0,25

II(2đ) 1(1đ) Giải bất phương trình

Bpt

⇔ log1

2 2x

4− x−4≥0 log1

2 2x

4− x≤9 ⇔ −3≤log1

2 2x

4− x≤−2(1) ¿

¿ 2≤log1

2 2x

4− x≤3(2) ¿

¿{ ¿ ¿ ¿

0,25

Giải (1): (1)

⇔4≤ 2x

4− x≤8⇔ 3x −8

4− x ≥0 5x −16

4− x ≤0 ⇔8

3≤ x ≤ 16

5 ¿{

0,25

Giải (2): (2)

⇔1 8≤

2x 4− x≤

1 4⇔ 17x −4

4− x ≥0 9x −4

4− x ≤0 ⇔

17 ≤ x ≤ ¿{

0,25

Vậy bất phương trình có tập nghiệm [

17 ; 9]∪[

8 3;

16

5 ] 0,25

2(1đ) Giải PT lượng giác

Pt ⇔√3 sin 2x(2 cosx+1)=(cos 3x −cosx)+(cos 2x −1)−(2 cosx+1) ⇔√3 sin 2x(2 cosx+1)=−4 sin2xcosx −2 sin2x −(2cosx+1)

⇔(2 cosx+1)(√3 sin 2x+2 sin2x+1)=0

0,5

• √3 sin2x+2sin2x+1=0⇔√3 sin 2x −cos 2x=−2⇔sin(2x −π 6)=−1

⇔x=−π 6+kπ

0,25

•

2 cosx+1=0⇔ x=2π

3 +k2π ¿ x=−2π

3 +k2π ¿ (k∈Z)

¿ ¿ ¿

Vậy phương trình có nghiệm: x=2π

3 +k2π ; x=− 2π

3 +k2π x=−π

6+kπ (k Z¿

0,25

III(1đ) 1(1đ) Tính tích phân.

I ¿∫

x+1

(1+√1+2x)2dx

•Đặt t=1+√1+2x⇒dt=dx

√1+2x⇒dx=(t −1)dt x= t2−2t

2

Đổi cận

x

t

IV

•Ta có I =

(t2−2t

+2)(t −1)

t2 dt=

1 2∫2

4

t3−3t2

+4t −2 t2 dt=¿

1 2∫2

4

(t −3+4 t −

2 t2)dt

2∫2

¿

=

2(

t2

2−3t+4 ln|t|+

t)∨¿

0,5

= ln 2−1

4 0,25

(1đ) Tính thể tích khoảng cách

•Ta có ⃗IA=−2⃗IH⇒ H thuộc tia đối tia IA IA = 2IH

BC = AB √2 ¿2a ; AI= a ; IH= IA =

a

AH = AI + IH = 32a

0,25

•Ta có HC2=AC2+AH2−2 AC AH cos 450⇒HC=a√5

Vì SH⊥(ABC)⇒ (SC;(ABC❑ ))=SCH❑ =600 SH=HC tan600=a√15

2

0,25

•

a√2¿2a√15

2 =

a3√15 VS ABC=

1

3SΔABC SH=

1 2¿

0,25

•

BI⊥AH BI⊥SH

} ⇒BI⊥(SAH)

Ta có

B ;(SAH)=1 2BI=

a d(K ;(SAH))

d(B ;(SAH))= SK SB =

1

2⇒d(K ;(SAH))= 2d¿

0,25 B

A

S

K

I

V (1đ) Tim giá trị lớn P

P= x

x2+xy+ y y2+zx+

z z2+xy

Vì x ; y ; z>0 , Áp dụng BĐT Cơsi ta có: P≤ x 2√x2yz+

y 2√y2zx+

z 2√z2xy =

¿1

4( √yz+

2 √zx+

2

√xy)

0,25

1 4(

1 y+

1 z+

1 z+

1 x+

1 x+

1 y)=

1 2(

yz+zx+xy

xyz )≤

1 2(

x2+y2+z2

xyz )

1 2(

xyz xyz)=

1

2 0,5

Dấu xảy ⇔x=y=z=3 Vậy MaxP =

2

0,25

PHẦN TỰ CHỌN:

Câu ý Nội dung Điểm

VIa(2đ) 1(1đ) Viết phương trình đường trịn…

KH: d1:x+y+1=0; d2:2x − y −2=0

d1 có véctơ pháp tuyến ⃗n1=(1;1) d2 có véctơ pháp tuyến

⃗

n2=(1;1)

• AC qua điểm A( 3;0) có véctơ phương ⃗n1=(1;1) ⇒ phương trình AC: x − y −3=0

C=AC∩ d2⇒ Tọa độ C nghiệm hệ:

¿ x − y −3=0 2x − y −2=0 ⇒C(−1;−4)

¿{ ¿

0,25

• Gọi B(xB; yB) ⇒ M(

xB+3 ;

yB

2 ) ( M trung điểm AB)

Ta có B thuộc d1 M thuộc d2 nên ta có:

¿

xB+yB+1=0

xB+3− yB

2 −2=0

⇒B(−1;0) ¿{

¿

0,25

• Gọi phương trình đường trịn qua A, B, C có dạng:

x2+y2+2 ax+2 by+c=0 Thay tọa độ ba điểm A, B, C vào pt đường trịn ta

có

¿ 6a+c=−9 −2a+c=−1 −2a −8b+c=−17

⇔ ¿a=−1

b=2 c=−3

¿{ { ¿

⇒ Pt đường tròn qua A, B, C là:

x2+y2−2x+4y −3=0 Tâm I(1;-2) bán kính R = 2√2

2(1đ) Viết phương trình mặt phẳng (P)

•Gọi ⃗n=(a ; b ; c)≠O⃗ véctơ pháp tuyến (P)

Vì (P) qua A(-1 ;1 ;0)  pt (P):a(x+1)+b(y-1)+cz=0

Mà (P) qua B(0;0;-2) a-b-2c=0  b = a-2c

Ta có PT (P):ax+(a-2c)y+cz+2c =0

0,25

• d(C;(P)) =

a −2c¿2+c2 ¿ a2+¿

√¿ √3⇔|2a+c¿ |

⇔ a=c

¿ a=7c

¿ ¿ ¿ ¿ ¿

0,5

•TH1: a=c ta chọn a=c=1  Pt (P): x-y+z+2=0

TH2: a=7c ta chọn a =7; c = Pt (P):7x+5y+z+2=0

0,25

VII.a (1 đ) Tìm hệ số khai triển

• Ta có

2x+1¿2+3 x2+x+1=1 4¿

1+2x¿10 1+2x¿12+

16¿ 1+2x¿14+3

8¿ x2+x+1¿2=

16 ¿ (1+2x)10¿

• Trong khai triển (1+2x)14 hệ số x6 là: 26C 14

Trong khai triển (1+2x)12 hệ số x6 là: 26C12

Trong khai triển (1+2x)10 hệ số x6 là: 26C10

6 0,5

• Vậy hệ số a6= 16

6C 14

+3 82

6C 12

+ 16

6C 10

=41748 0,25

VI.b(2đ) 1(1đ) Tìm tọa độ điểm C

• Gọi tọa độ điểm C(xC; yC)⇒G(1+xC ;

yC

3 ) Vì G thuộc d ⇒3(1+xC

3 )+ yC

3 −4=0⇒ yC=−3xC+3⇒C(xC;−3xC+3)

•Đường thẳng AB qua A có véctơ phương ⃗AB=(1;2)

⇒ptAB:2x − y −3=0

0,25

• SΔABC=1

2AB d(C ;AB)= 11

2 ⇔d(C ;AB)= 11 √5⇔

|2xC+3xC−3−3|

√5 =

11 √5 ⇔|5xC−6|=11⇔

xC=−1 ¿ xC=

17 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿

0,5

• TH1: xC=−1⇒C(−1;6)

TH2: xC=17 ⇒C(

17 ;−

36 )

0,25

2(1đ) Viết phương trình đường thẳng

• (P) có véc tơ pháp tuyến ⃗n(P)=(1;1;−1) d có véc tơ phương

⃗

.u=(1;−1;−3)

I=d ∩(P)⇒I(1;2;4)

• Δ⊂(P); Δ⊥d⇒Δ có véc tơ phương ⃗uΔ=[⃗n(P);u⃗]=(−4;2;−2)

¿2(−2;1;−1)

0,25

Phương trình (Q): −2(x −1)+(y −2)−(z −4)=0⇔−2x+y − z+4=0

Gọi d1=(P)∩(Q)⇒d1 có vécto phương

[⃗n(P);⃗n(Q)]=(0;3;3)=3(0;1;1) d1 qua I

⇒ptd1: x=1 y=2+t z=4+t

¿{ {

Ta có H∈d1⇒H(1;2+t ;4+t)⇒⃗IH=(0;t ;t)

•

IH=3√2⇔√2t2=3√2⇔ t=3

¿ t=−3

¿ ¿ ¿ ¿ ¿

0,5

• TH1: t=3⇒H(1;5;7)⇒ptΔ:x −1 −2 =

y −5

1 =

z −7 −1

TH2: t=−3⇒H(1;−1;1)⇒ptΔ:x −1 −2 =

y+1 =

z −1 −1

0,25 VII.b đ Giải phương trình tập số phức.

ĐK: z ≠ i

• Đặt w=z+i

i− z ta có phương trình: w

=1⇔(w −1)(w2+w+1)=0 ⇔

w=1 ¿ w2+w+1=0

¿ w=1

¿ w=−1+i√3

2 ¿ w=−1− i√3

2 ¿ ¿ ¿ ⇔¿

¿ ¿ ¿

0,5

• Với w=1⇒ z+i

• Với w=−1+i√3

2 ⇒

z+i i − z=

−1+i√3

2 ⇔(1+i√3)z=−√3−3i⇔z=−√3

• Với w=−1− i√3

2 ⇒

z+i i − z=

−1− i√3

2 ⇔(1−i√3)z=√3−3i⇔z=√3

Vậy pt có ba nghiệm z=0; z=√3 z=−√3

0,5

-Hết