Đang tải... (xem toàn văn)
Tìm trên mặt phẳng tọa độ tập hợp tất cả các điểm mà từ đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến đến đồ x2 − 2 x + 2 thị hàm số y = và hai tiếp tuyến này vuông góc với nhau.[r]
(1)ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG 2011 ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN-TIN MÔN: TOÁN- KHỐI A Thời gian làm bài: 180 phút ( không kể thời gian giao đề ) - PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm) Câu I ( điểm) Cho hàm số y = x + (1 − 2m) x + (2 − m) x + m + (1) m là tham số Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số (1) với m=2 Tìm tham số m để đồ thị hàm số (1) có tiếp tuyến tạo với đường thẳng d: x + y + = góc α , biết cos α = 26 Câu II (2 điểm) 2x log 21 −4 ≤ 4− x 2 Giải bất phương trình: sin x.(2 cos x + 1) + = cos x + cos x − cos x Giải phương trình: Câu III (1 điểm) Tính tích phân: I = ∫ (1 + x +1 + 2x ) dx Câu IV(1 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh A, AB = a Gọi I là trung điểm BC, hình chiếu vuông góc H S lên mặt đáy (ABC) thỏa mãn: IA = −2 IH , góc SC và mặt đáy (ABC) 60 Hãy tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ trung điểm K SB tới (SAH) Câu V(1 điểm) Cho x, y, z là ba số thực dương thay đổi và thỏa mãn: x + y + z ≤ xyz Hãy tìm giá trị lớn biểu thức: x y z + + x + yz y + zx z + xy P= PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm): Thí sinh chọn làm hai phần ( phần A phần B ) A Theo chương trình chuẩn: Câu VI.a (2 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC biết A(3;0), đường cao từ đỉnh B có phương trình x + y + = , trung tuyến từ đỉnh C có phương trình: 2x-y-2=0 Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(-1;1;0), B(0;0;-2) và C(1;1;1) Hãy viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A và B, đồng thời khoảng cách từ C tới mặt phẳng (P) Câu VII.a (1 điểm) 10 ( ) Cho khai triển: (1 + x ) x + x + B Theo chương trình nâng cao: Câu VI.b (2 điểm) = a + a1 x + a x + + a14 x 14 Hãy tìm giá trị a6 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC biết A(1;-1), B(2;1), diện tích 11 và trọng tâm G thuộc đường thẳng d: x + y − = Tìm tọa độ đỉnh C 2.Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P) x + y − z + = ,đường thẳng d: x − y −1 z −1 = = −3 −1 Gọi I là giao điểm d và (P) Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm (P), vuông góc với d và cách I khoảng Câu VII.b (1 điểm) z +i Giải phương trình: = i− z - WWW.MATHVN.COM Lop12.net (2) ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI -ĐÁP ÁN –THANG ĐIỂM ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2011 MÔN:TOÁN, Khối A PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH Câu I(2đ) ý Nội dung 1(1đ) Khảo sát hàm số m = Khi m = 2, hàm số trở thành: y = x3 − 3x + a) TXĐ: R b) SBT •Giới hạn: lim y = −∞; lim y = +∞ x →−∞ Điểm 0,25 x →+∞ •Chiều biến thiên: Có y’ = 3x2 − 6x; y’=0 ⇔ x =0, x =2 x +∞ −∞ y’ + − + +∞ y −∞ Hàm số ĐB trên các khoảng (−∞ ; 0) và (2 ; +∞), nghịch biến trên (0 ; 2) •Hàm số đạt cực đại x = 0, yCĐ = y(0) = 4; y Hàm số đạt cực tiểu x = 2, yCT = y(2) = c) Đồ thị: Qua (-1 ;0) Tâm đối xứng:I(1 ; 2) I 0,25 0,25 0,25 -1 x 2(1đ) Tìm m Gọi k là hệ số góc tiếp tuyến ⇒ tiếp tuyến có véctơ pháp n1 = (k ;−1) d: có véctơ pháp n2 = (1;1) k1 = Ta có cos α = ⇔ = ⇔ 12k − 26k + 12 = ⇔ 26 k +1 k = n1 n2 Yêu cầu bài toán thỏa mãn ⇔ ít hai phương trình: y / = k1 (1) và y / = k (2) có nghiệm x có nghiệm 3x + 2(1 − 2m) x + − m = ∆/ ≥ ⇔ ⇔ / có nghiệm ∆ ≥ 3x + 2(1 − 2m) x + − m = n1 n2 0,5 k −1 Gv: Trần Quang Thuận - WWW.MATHVN.COM - Lop12.net Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952 0,25 (3) ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI -1 m ≤ − ; m ≥ 8m − 2m − ≥ ⇔ m ≤ − m ≥ ⇔ ⇔ 0,25 m ≤ − ; m ≥ 4m − m − ≥ II(2đ) 1(1đ) Giải bất phương trình 2x 2x − ≤ log − x ≤ −2(1) log − x − ≥ 0,25 Bpt ⇔ ⇔ x x log ≤9 2 ≤ log − x ≤ 3(2) 12 − x 3x − − x ≥ 2x 16 ≤8⇔ ⇔ ≤x≤ Giải (1): (1) ⇔ ≤ 0,25 4−x x − 16 ≤ − x 17 x − − x ≥ 4 2x Giải (2): (2) ⇔ ≤ ≤ ⇔ ⇔ ≤x≤ 0,25 4− x 17 9x − ≤ − x 4 16 Vậy bất phương trình có tập nghiệm ; ∪ ; 0,25 17 2(1đ) Giải PT lượng giác Pt ⇔ sin x(2 cos x + 1) = (cos x − cos x) + (cos x − 1) − (2 cos x + 1) 0,5 ⇔ sin x(2 cos x + 1) = −4 sin x cos x − sin x − (2 cos x + 1) ⇔ (2 cos x + 1)( sin x + sin x + 1) = • sin x + sin x + = ⇔ sin x − cos x = −2 ⇔ sin(2 x − ⇔x=− π π ) = −1 0,25 + kπ 2π x = + k 2π • cos x + = ⇔ (k ∈ Z ) x = − 2π + k 2π 2π 2π π Vậy phương trình có nghiệm: x = + k 2π ; x = − + k 2π và x = − + kπ 3 0,25 III(1đ) 1(1đ) Tính tích phân Gv: Trần Quang Thuận - WWW.MATHVN.COM - Lop12.net Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952 (4) ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI -4 x +1 I= ∫ dx + + 2x 0,25 dx t − 2t ⇒ dx = (t − 1)dt và x = •Đặt t = + + x ⇒ dt = + 2x Đổi cận x t •Ta có I = 4 2 (t − 2t + 2)(t − 1) t − 3t + 4t − 2 dt = ∫ dt = ∫ t − + − dt 0,5 2 ∫ 22 22 2 t t t t ( = t2 2 − 3t + ln t + 2 t = ln − IV (1đ) ) 0,25 Tính thể tích và khoảng cách S •Ta có IA = −2 IH ⇒ H thuộc tia đối tia IA và IA = 2IH BC = AB = 2a ; AI= a ; IH= AH = AI + IH = 0,25 IA a = 2 3a K A B I H C •Ta có HC = AC + AH − AC AH cos 45 ⇒ HC = ∧ a 0,25 ∧ Vì SH ⊥ ( ABC ) ⇒ ( SC ; ( ABC )) = SCH = 60 SH = HC tan 60 = • VS ABC = a 15 1 a 15 a 15 S ∆ABC SH = (a ) = 3 2 0,25 Gv: Trần Quang Thuận - WWW.MATHVN.COM - Lop12.net Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952 (5) ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI • BI ⊥ AH ⇒ BI ⊥ ( SAH ) BI ⊥ SH 0,25 d ( K ; ( SAH )) SK 1 a = = ⇒ d ( K ; ( SAH )) = d ( B; ( SAH ) = BI = d ( B; ( SAH )) SB 2 2 Tim giá trị lớn P Ta có V (1đ) x y z + + x + xy y + zx z + xy x y z Vì x; y; z > , Áp dụng BĐT Côsi ta có: P ≤ + + = 2 x yz y zx z xy P= = 0,25 2 + + yz zx xy 1 1 1 yz + zx + xy x + y + z + + + + + = ≤ y z z x x y xyz xyz 2 xyz = ≤ xyz ≤ Dấu xảy ⇔ x = y = z = Vậy MaxP = 0,5 0,25 PHẦN TỰ CHỌN: Câu VIa(2đ) ý Nội dung 1(1đ) Viết phương trình đường tròn… KH: d1 : x + y + = 0; d : x − y − = Điểm 0,25 d1 có véctơ pháp tuyến n1 = (1;1) và d có véctơ pháp tuyến n2 = (1;1) • AC qua điểm A( 3;0) và có véctơ phương n1 = (1;1) ⇒ phương trình AC: x − y − = x − y − = C = AC ∩ d ⇒ Tọa độ C là nghiệm hệ: ⇒ C (−1;−4) 2 x − y − = xB + y B ; ) ( M là trung điểm AB) 2 xB + yB + = Ta có B thuộc d1 và M thuộc d nên ta có: ⇒ B(−1;0) yB x B + − − = • Gọi B( x B ; y B ) ⇒ M ( 0,25 • Gọi phương trình đường tròn qua A, B, C có dạng: x + y + 2ax + 2by + c = Thay tọa độ ba điểm A, B, C vào pt đường tròn ta có: Gv: Trần Quang Thuận - WWW.MATHVN.COM - Lop12.net Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952 (6) ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI -0,5 6a + c = −9 a = −1 ⇔ b = ⇒ Pt đường tròn qua A, B, C là: − a + c = −1 − 2a − 8b + c = −17 c = −3 x + y − x + y − = Tâm I(1;-2) bán kính R = 2 2(1đ) Viết phương trình mặt phẳng (P) •Gọi n = (a; b; c) ≠ O là véctơ pháp tuyến (P) Vì (P) qua A(-1 ;1 ;0) ⇒ pt (P):a(x+1)+b(y-1)+cz=0 0,25 Mà (P) qua B(0;0;-2) ⇒a-b-2c=0 ⇒ b = a-2c Ta có PT (P):ax+(a-2c)y+cz+2c =0 • d(C;(P)) = 3⇔ 2a + c 2 a + ( a − 2c ) + c = ⇔ 2a − 16ac + 14c = 0,5 a = c ⇔ a = 7c •TH1: a = c ta chọn a = c = ⇒ Pt (P): x-y+z+2=0 0,25 TH2: a = 7c ta chọn a =7; c = ⇒Pt (P):7x+5y+z+2=0 VII.a (1 đ) Tìm hệ số khai triển (2 x + 1) + nên 4 (1 + x )10 ( x + x + 1) = (1 + x)14 + (1 + x)12 + (1 + x)10 16 16 14 6 • Trong khai triển (1 + x ) hệ số x là: C14 • Ta có x + x + = 0,25 12 Trong khai triển (1 + x ) hệ số x là: C126 10 6 10 Trong khai triển (1 + x ) hệ số x là: C 6 6 C14 + C12 + C106 = 41748 16 16 1(1đ) Tìm tọa độ điểm C x y • Gọi tọa độ điểm C ( xC ; y C ) ⇒ G (1 + C ; C ) Vì G thuộc d 3 x y ⇒ 31 + C + C − = ⇒ y C = −3xC + ⇒ C ( xC ;−3xC + 3) • Vậy hệ số a = VI.b(2đ) 0,5 0,25 0,25 •Đường thẳng AB qua A và có véctơ phương AB = (1;2) Gv: Trần Quang Thuận - WWW.MATHVN.COM - Lop12.net Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952 (7) ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI -⇒ ptAB : x − y − = xC + 3xC − − 11 11 11 AB.d (C ; AB ) = ⇔ d (C ; AB) = ⇔ = 2 5 xC = −1 ⇔ xC − = 11 ⇔ xC = 17 • S ∆ABC = • TH1: xC = −1 ⇒ C (−1;6) 17 17 36 ⇒ C ( ;− ) TH2: xC = 5 2(1đ) Viết phương trình đường thẳng 0,5 0,25 • (P) có véc tơ pháp tuyến n( P ) = (1;1;−1) và d có véc tơ phương u = (1;−1;−3) I = d ∩ ( P) ⇒ I (1;2;4) 0,25 [ ] • vì ∆ ⊂ ( P); ∆ ⊥ d ⇒ ∆ có véc tơ phương u ∆ = n( P ) ; u = (−4;2;−2) = 2(−2;1;−1) • Gọi H là hình chiếu I trên ∆ ⇒ H ∈ mp (Q) qua I và vuông góc ∆ Phương trình (Q): − 2( x − 1) + ( y − 2) − ( z − 4) = ⇔ −2 x + y − z + = Gọi d1 = ( P) ∩ (Q) ⇒ d1 có vécto phương x = n( P ) ; n( Q ) = (0;3;3) = 3(0;1;1) và d1 qua I ⇒ ptd1 : y = + t z = + t [ ] Ta có H ∈ d1 ⇒ H (1;2 + t ;4 + t ) ⇒ IH = (0; t ; t ) 0,5 t = • IH = ⇔ 2t = ⇔ t = −3 x −1 y − z − = = −2 −1 x −1 y +1 z −1 TH2: t = −3 ⇒ H (1;−1;1) ⇒ pt∆ : = = −1 −2 Giải phương trình trên tập số phức ĐK: z ≠ i • TH1: t = ⇒ H (1;5;7) ⇒ pt∆ : VII.b 1đ • Đặt w = 0,25 z+i ta có phương trình: w = ⇔ ( w − 1)( w + w + 1) = i−z 0,5 Gv: Trần Quang Thuận - WWW.MATHVN.COM - Lop12.net Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952 (8) ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI - w = w = −1+ i ⇔ ⇔ w = w + w + = w = − − i z+i • Với w = ⇒ =1⇔ z = i−z −1+ i z + i −1+ i = ⇔ (1 + i ) z = − − 3i ⇔ z = − • Với w = ⇒ i−z 0,5 −1− i z + i −1− i = ⇔ (1 − i ) z = − 3i ⇔ z = • Với w = ⇒ i−z Vậy pt có ba nghiệm z = 0; z = và z = − - Gv: Trần Quang Thuận - WWW.MATHVN.COM - Lop12.net Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952 (9) ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG 2011 ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN-TIN MÔN: TOÁN- KHỐI A Thời gian làm bài: 180 phút ( không kể thời gian giao đề ) - A PHẦN CHUNG CHO MỌI THÍ SINH Câu I (2 điểm) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = x4 – 4x2 + Tìm m để phương trình x − x + = log m có đúng nghiệm Câu II (2 điểm) Giải bất phương trình: ( x ) ( −1 + ) x +1 − x+ ≤0 Giải phương trình: x − ( x + 2) x − = x − Câu III (2 điểm) e x −1 + tan( x − 1) − 1 Tính giới hạn sau: lim x →1 x −1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi , ∠BAD = α Hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt đáy, hai mặt bên còn lại hợp với đáy góc β Cạnh SA = a Tính diện tích xung quanh và thể tích khối chóp S.ABCD Câu IV (1 điểm) Cho tam giác ABC với các cạnh là a, b, c Chứng minh rằng: a + b3 + c + 3abc ≥ a (b + c ) + b(c + a ) + c(a + b ) B PHẦN TỰ CHỌN: Mỗi thí sinh chọn câu Va Vb Câu Va (3 điểm) Chương trình Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng ∆ : x + y − = và hai điểm A(1; 0), B(3; - 4) Hãy tìm trên đường thẳng ∆ điểm M cho MA + 3MB nhỏ x = 1− t x = t Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng: d1 : y = 2t và d : y = + 3t z = −2 + t z = 1− t Lập phương trình đường thẳng qua M(1; 0; 1) và cắt d1 và d2 Tìm số phức z thỏa mãn: z + z = Câu Vb (3 điểm) Chương trình nâng cao Trong mặt phẳng tọa độ cho hai đường tròn (C1): x2 + y2 = 13 và (C2): (x - 6)2 + y2 = 25 cắt A(2; 3) Viết phương trình đường thẳng qua A và cắt (C1), (C2) theo hai dây cung có độ dài x = 1− t x = t Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng: d1 : y = 2t và d : y = + 3t z = −2 + t z = 1− t Lập phương trình mặt cầu có đường kính là đoạn vuông góc chung d1 và d2 Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z + + 2i = , tìm số phức z có modun nhỏ - WWW.MATHVN.COM Lop12.net (10) ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI -ĐÁP ÁN –THANG ĐIỂM ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2011 MÔN:TOÁN, Khối A Câu ý Nội dung Điểm 1 TXĐ D = Giới hạn : lim y = +∞ I x →±∞ Sự biến thiên : y’ = 4x3 - 8x y’ = ⇔ x = 0, x = ± 025 Bảng biến thiên 025 x y’ y − −∞ +∞ - 0 + - + +∞ +∞ -1 -1 ( )( Hàm số đồng biến trên các khoảng − 2; , 025 ) 2; +∞ và nghịch biến trên các khoảng ( −∞; − ) , ( 0; ) Hàm số đạt cực đại x = 0, yCD = Hàm số đạt cực tiểu x = ± , yCT= -1 Đồ thị 025 Đồ thị hàm số y = x − x + Số nghiệm phương trình x − x + = log m số giao điểm đồ thị hàm số y = x − x + và đường thẳng y = log2m Vậy phương trình có nghiệm và log2m = < log m < hay m = 2<m<9 Gv: Trần Quang Thuận - WWW.MATHVN.COM Lop12.net Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952 (11) ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI -2 II x x −1 + Viết lại bất phương trình dạng + − 2 ≤ 2 x 025 x +1 −1 , t > đó Đặt t = = t Bất phương trình có dạng t + − 2 ≤ ⇔ t − 2t + ≤ t ⇔ −1 ≤ t ≤ + 025 025 x +1 ⇔ − ≤ ≤ + ⇔ log +1 ( − 1) ≤ x ≤ log +1 025 ( + 1) Điều kiện : x ≥ Phương trình tương đương với x − x( x − − 1) − x − − 2( x − 1) = 2 Đặt y = x − 1, y ≥ Khi đó (*) có dạng : x – x(y - 1) – 2y – 2y = ⇔ ( x − y )( x + y + 1) = ⇔ x − y = 0(do x + y + ≠ 0) (*) 025 025 ⇒ x = x −1 ⇔ x2 − 4x + = 05 ⇔x=2 III e x −1 + tan( x − 1) − e x −1 − + tan( x − 1) 3 = lim ( x + x + 1) x →1 x →1 x −1 x −1 e x −1 − 3 tan( x − 1) 3 = lim ( x + x + 1) + lim ( x + x + 1)( x + 1) x →1 x − x →1 x2 − lim = lim( x + x + 1) + lim( x + x + 1)( x + 1) = x →1 x →1 025 05 025 Kẻ đường cao SI tam giác SBC Khi đó AI ⊥ BC Gv: Trần Quang Thuận - WWW.MATHVN.COM Lop12.net Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952 (12) ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI -(Định lí đường vuông góc) đó ∠SIA = β S 025 AI = a.cot β , AB = AD = S ABCD = AB AD.sin α = a cot β a , SI = sin α sin β a cot β sin α 025 A VS ABCD = a cot β 3sin α 025 Sxq = SSAB + SSAD SSBC + SSCD a cot β (1 + ) = sin α sin β B I IV C 025 a + b3 + c + 3abc ≥ a(b + c ) + b(c + a ) + c(a + b ) a + b2 − c2 b2 + c2 − a2 c2 + a2 − b2 ⇔ + + ≤ 2ab 2bc 2ca ⇔ cos A + cos B + cos C ≤ Mặt khác cos A + cos B + cos C = (cos A + cos B).1 − (cos A cos B − sin A sin B) 1 ≤ [(cos A + cos B)2 + 12 ]+ [sin A+sin B]-cos A cos sB = 2 Do đó cos A + cos B + cos C ≤ Ta có Va 025 025 05 1 Gọi I là trung điểm AB, J là trung điểm IB Khi đó I(1 ; -2), J( ; −3 ) Ta có : MA + 3MB = ( MA + MB) + 2MB = 2MI + 2MB = 4MJ Vì MA + 3MB nhỏ M là hình chiếu vuông góc J trên đường thẳng ∆ 025 Đường thẳng JM qua J và vuông góc với ∆ có phương trình : 2x – y – = −2 x= x + y − = 19 −2 Tọa độ điểm M là nghiệm hệ ⇔ M( ; ) 19 5 2 x − y − = y = 025 025 025 Gv: Trần Quang Thuận - WWW.MATHVN.COM Lop12.net Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952 (13) ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI - Đường thẳng d1 qua A(1; 0; -2) và có vecto phương là u1 = (−1; 2;1) , đường thẳng d2 qua B(0; 1; 1) và có vecto phương là u2 = (1;3; −1) Gọi (α ), ( β ) là các mặt phẳng qua M và chứa d1 và d2 Đường thẳng cần tìm chính là giao tuyến hai mặt phẳng (α ) và ( β ) Ta có MA = (0;0; −3), MB = (−1;1;0) n1 = MA; u1 = (2;1; 0), n2 = − MB; u2 = (1;1; 4) là các vecto pháp tuyến (α ) và ( β ) 3 Đường giao tuyến (α ) và ( β ) có vectơ phương u = n1; n2 = (4; −8;1) và qua I M(1;0;1) nên có phương trình x= + 4t, y = 8t, z = + t 025 025 025 025 Gọi z = x + y.i Khi đó z = x – y + 2xy.i, z = x − yi 025 z + z = ⇔ x − y + x + 2( x − 1) yi = 025 2 x − y + 2x = ⇔ ⇔ ( x = 1; y = ± 3), ( x = 0; y = 0), ( x = −2; y = 0) 2( x − 1) y = Vậy có số phức thỏa mãn z = 0, z = - và z = ± 3i 2 Vb Gọi giao điểm thứ hai đường thẳng cần tìm với (C1) và (C2) là M và N Gọi M(x; y) ∈ (C1 ) ⇒ x + y = 13 (1) Vì A là trung điểm MN nên N(4 – x; – y) Do N ∈ (C2 ) ⇒ (2 + x)2 + (6 − y ) = 25 (2) x + y = 13 Từ (1) và (2) ta có hệ 2 (2 + x) + (6 − y ) = 25 −17 −17 Giải hệ ta (x = ; y = 3) ( loại) và (x = ; y = ) Vậy M( ; ) 5 5 Đường thẳng cần tìm qua A và M có phương trình : x – 3y + = 025 025 025 025 025 025 Gọi M (1- t ; 2t ; -2 + t) ∈ d1 , N(t’ ; 1+3t’ 1- t’) ∈ d Đường thẳng d1 có vecto phương là u1 = (−1; 2;1) , đường thẳng d2 có vecto phương là u2 = (1;3; −1) MN = (t '+ t − 1;3t '− 2t + 1; −t '− t + 3) MN là đoạn vuông góc chung d1 và d2 t'= MN u1 = 2t '− 3t + = ⇔ ⇔ O 11 t ' − t − = MN u = t = 025 025 Gv: Trần Quang Thuận - WWW.MATHVN.COM Lop12.net Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952 (14) ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI -Do đó M( −2 14 −3 14 ; ; ), N( ; ; ) 5 5 5 Mặt cầu đường kính MN có bán kính R = (x − MN 14 −1 = và tâm I( ; ; ) có phương trình 2 10 10 025 14 1 ) + ( y − ) + ( z + )2 = 10 10 025 Gọi z = x + yi, M(x ; y ) là điểm biểu diễn số phức z z + + 2i = ⇔ ( x + 1) + ( y + 2)2 = Đường tròn (C) : ( x + 1) + ( y + 2) = có tâm (-1;-2) Đường thẳng OI có phương trình y = 2x Số phức z thỏa mãn điều kiện và có môdun nhỏ và điểm Biểu diễn nó thuộc (C) và gần gốc tọa độ O nhất, đó chính là hai giao điểm đường thẳng OI và (C) 025 025 Khi đó tọa độ nó thỏa x = −1 − y = 2x mãn hệ ⇔ 2 ( x + 1) + ( y + 2) = y = −2 − Chon z = −1 + x = −1 + , y = −2 + 5 025 + i ( −2 + ) 5 025 ============================== Gv: Trần Quang Thuận - WWW.MATHVN.COM Lop12.net Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952 (15) KHOA TOÁN-TIN MÔN: TOÁN- KHỐI A Thời gian làm bài: 180 phút ( không kể thời gian giao đề ) A PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm ) Câu I: (2,0 điểm) Cho hàm số: y = 2x -1 (C) x -1 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) Gọi I là giao điểm hai tiệm cận, M là điểm bất kì trên (C), tiếp tuyến (C) M cắt các tiệm cận A, B Chứng minh diện tích tam giác IAB không đổi M thay đổi trên (C) Câu II: (2,0 điểm) sin x.sin x + cos3 x.cos 3x =pö pö æ æ tan ç x - ÷ tan ç x + ÷ 6ø 3ø è è 3 Giải phương trình + - x é (1 + x ) - (1 - x ) ù = + - x êë úû Giải phương trình ò ( ) Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân I = x ln x + x + dx Câu IV (1,0 điểm) Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có AB = AD = a , AA ' = a , góc BAD 600 Gọi M, N là trung điểm cạnh A’D’ và A’B’ Chứng minh AC’ vuông góc với mặt phẳng (BDMN) và tính thể tích khối đa diện AA’BDMN theo a Câu V (1,0 điểm) Chứng minh với số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = , ta có: a - 2a + a b5 - 2b3 + b c5 - 2c + c + + £ b2 + c2 c2 + a a + b2 B PHẦN RIÊNG (3,0 ĐIỂM):Thí sinh làm hai phần (phần A B) I Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích 12, tâm I là giao điểm hai đường thẳng: d1: x – y – = 0, d2: x + y – = Trung điểm cạnh là giao điểm d1 và tia Ox Tìm tọa độ các đỉnh hình chữ nhật Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I(1;1;1) và đường thẳng d: x - 14 y z + = = Viết phương -2 trình mặt cầu (S) tâm I và cắt d hai điểm A, B cho độ dài đoạn thẳng AB 16 n ö æ Câu VII.a (1,0 điểm) Tìm hệ số chứa x khai triển: ç x + ÷ , biết n là số nguyên dương thỏa mãn: 24 x ø è 2 23 2 n +1 n 6560 2C + Cn + Cn + + Cn = n +1 n +1 n II Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông có đỉnh là (-4; 8) và đường chéo có phương trình 7x – y + = Viết phương trình các cạnh hình vuông Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + y + z - = và hai điểm A(1;-3;0), B(5;-1;-2) Tìm tọa độ điểm M trên mặt phẳng (P) cho MA - MB đạt giá trị lớn ì1 ï log x - log y = Câu VII.b (1.0 điểm) Cho hệ phương trình í , (m Î R) Tìm m để hệ có nghiệm ï x + y - my = î Hết Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh: - WWW.MATHVN.COM Lop12.net (16) ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2011 Môn thi: TOÁN Câu I Đáp án Ý · TXĐ : D = R\ {1} · Sự biến thiên: y’ = -1 ( x - 1) Điểm 1,0 < 0, "x Î D 0,25 Hàm số nghịch biến trên: ( -¥;1) và (1; +¥ ) Giới hạn: lim = lim = ; tiệm cận ngang: y = x ®+¥ x ®-¥ lim+ = +¥, lim- = -¥ ; tiệm cận đứng: x = x ®1 x ®1 Bảng biến thiên: · Đồ thị: 0,25 0,25 Gọi M(m; 0,25 2m - ) m -1 Tiếp tuyến (C) M: y = 1,0 -1 ( m - 1) x - m) + ( 2m - m -1 2m ), B(2m-1; 2) m -1 2m IA = , IB = 2m - = m - -2 = m -1 m -1 S DIAB = IA.IB = A(1; 0,25 0,25 0,25 0,25 Vậy diện tích tam giác IAB không đổi M thay đổi trên (C) II p kp + pö pö pö æ æ æ æp ö Ta có tan ç x - ÷ tan ç x + ÷ = tan ç x - ÷ cot ç - x ÷ = -1 6ø 3ø 6ø è è è è6 ø Phương trình tương đương với: sin x.sin x + cos3 x.cos x = - cos2 x cos2 x - cos4 x + cos2 x cos2 x + cos4 x Û + = 2 2 Û ( cos2 x - cos2 x.cos4 x ) = 1 Û cos3 x = Û cos2 x = 1,0 Điều kiện: x ¹ 0,25 0,25 0,25 Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952 - WWW.MATHVN.COM Lop12.net (17) p é ê x = + kp ( loai ) p Ûê , k Î Z Vậy : x = - + kp ê x = - p + kp êë 0,25 1,0 Đk: -1 £ x £ Đặt u = (1 + x ) (1 - x)3 ; u,v ³ ,v= ìïu + v = Hệ thành: í 3 ïî + uv (u - v ) = + uv 1 + uv = ( + 2uv ) = ( u + v + 2uv ) = ( u + v ) 2 Ta có: 3 2 u + v = ( u - v ) ( u + v + vu ) = (u - v) ( + uv ) ìïu + v = 2 Þí 2 Þ u2 = 1+ ïîu - v = 2 Þx= 0,25 0,25 0,25 0,25 III 1,0 2x + ì ìïu = ln ( x + x + 1) ïïdu = x + x + dx Đặt í Þí ïv = x îïdv = xdx ïî 1 x3 + x x2 I = ln x + x + - ò dx 2 x + x +1 ( 0,25 ) 1 1 dx ln - ( x - x ) + ln( x + x + 1)10 - ò 2 4 x + x +1 = 0,25 3 ln - J 4 J =ò dx 1ö æ 3ö æ ÷ çx+ ÷ +ç 2ø è ø è 2 Đặt x + æ p pö = tan t , t Î ç - ; ÷ 2 è 2ø 0,25 p3 p J= p dx = ò Vậy I = IV p ln 12 0,25 Gọi O là tâm ABCD, S là điểm đối xứng với A qua A’ Þ M, N là trung điểm SD và SB AB = AD = a, góc BAD = 600 Þ D ABD Þ OA = SA = 2AA’ = a 3, CC ' = AA ' = a , AC = a 1,0 0,25 a Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952 - WWW.MATHVN.COM Lop12.net (18) AO SA = Þ DSAO ~ DACC ' AC CC ' Þ DACC ' ~ DAIO (I là giao điểm AC’ và SO) Þ SO ^ AC ' (1) Mặt khác BD ^ ( ACC ' A ') Þ BD ^ AC ' (2) Từ (1) và (2) Þ đpcm Þ VSABD a2 = a a 3= 0,25 VSA ' MN æ a ö a a2 = ç ÷ = 3è ø 32 VAA ' BDMN = VSABD - VSA ' MN V 7a = 32 0,25 Do a, b, c > và a + b + c = nên a, b, c Î ( 0;1) 2 0,25 1,0 2 a - 2a + a a ( a - 1) Ta có: = = -a3 + a 2 b +c 1- a ( ) ( ) ( 0,25 ) BĐT thành: - a + a + -b3 + b + -c3 + c £ Xét hàm số f ( x ) = - x + x, x Î ( 0;1) Ta có: Max f ( x ) = ( 0;1) 3 0,25 0,25 Þ đpcm Đẳng thức xảy Û a = b = c = Þ f ( a ) + f (b) + f (c) £ VI.a 0,25 1,0 æ 3ö è 3ø I ç ; ÷ , M ( 3;0 ) 0,25 Giả sử M là trung điểm cạnh AD Ta có: AB = 2IM = S ABCD = AB AD = 12 Þ AD = 2 AD qua M và vuông góc với d1 Þ AD: x + y – = Lại có MA = MB = ìï x + y - = ìx = ìx = Tọa độ A, D là nghiệm hệ: í Û í í 2 îy =1 î y = -1 ïî ( x - 3) + y = Chọn A(2 ; 1) Þ D ( 4; -1) Þ C ( 7; ) và B ( 5; ) 0,25 0,25 0,25 Gọi H là trung điểm đoạn AB Þ HA = IH2 = 17 IA2 = 81 Þ R = 1,0 0,25 0,25 0,25 ( C ) : ( x - 1) + ( y - 1) + ( z - 1) 0,25 2 = 81 VII.a 1,0 Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952 - WWW.MATHVN.COM Lop12.net (19) 2 23 2 n +1 n n Cn + Cn + + Cn = ò (1 + x ) dx n +1 Ta có: 2Cn0 + 3n +1 - 6560 Û = Û 3n +1 = 6561 Û n = n +1 n +1 ö k 14 -43k æ ç x + ÷ = å 2k C7 x xø è 14 - 3k Số hạng chứa x2 ứng với k thỏa: =2Ûk =7 21 Vậy hệ số cần tìm là: 0,25 0,25 VI.b Gọi A(-4; 8) Þ BD: 7x – y + = Þ AC: x + 7y – 31 = Gọi D là đường thẳng qua A có vtpt (a ; b) D: ax + by + 4a – 5b = 0, D hợp với AC góc 450 Þ a = 3, b = -4 a = 4, b = Þ AB: x - y + 32 = 0; AD : x + y + = 2 Þ BC : x + y - 24 = 0; CD : x - y + = Gọi I là tâm hình vuông Þ I( - ; ) Þ C ( 3; ) KL: 0,25 1,0 0,25 0,25 0,25 0,25 1,0 Ta có: A, B nằm khác phía so với (P).Gọi B’ là điểm đối xứng với B qua (P) Þ B’(-1; -3; 4) MA - MB = MA - MB ' £ AB ' Đẳng thức xảy M, A, B’ thẳng hàng Þ M là giao điểm (P) và AB’ ìx = 1+ t ï AB’: í y = -3 ï z = -2t î 0,25 0,25 0,25 M(-2; -3; 6) VII.b 0,25 Đk: x ¹ 0, y > ì1 ï log x - log y = ïìlog x = log3 y Ûí í ï x + y - my = ïî x + y - ay = î 0,25 1,0 0,25 ïì y = x ïì y = x , (1) Ûí Û í 2 ïî y + y = a, ( ) îï y + y - ay = Hệ có nghiệm (2) có nghiệm y > Ta có : f(y) = y + y >0 , " y > Do đó pt f(y) = a có nghiệm dương a>0 Vậy hệ có nghiệm a > 0,25 0,25 0,25 Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952 - WWW.MATHVN.COM Lop12.net (20) ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN-TIN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG 2011 Môn thi : TOÁN - khối A Thời gian làm bài : 180 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ THI THỬ I PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2,0 điểm) x −3 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số y = x +1 Viết phương trình đường thẳng d qua điểm I ( −1;1) và cắt đồ thị (C) hai điểm M, N cho I là trung điểm đoạn MN Câu II (2,0 điểm) Giải phương trình sin x ( cos x + 3) − cos3 x − 3 cos x + ( ) cos x − s inx − 3 = 3 x3 − y = xy Giải hệ phương trình x y = Câu III (2,0 điểm) Cho x, y là các số thực thoả mãn x + xy + y = ( ) Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn biểu thức: M = x + y − xy a2 b2 c2 + + + ab + bc + ca ≥ a + b + c với số dương a; b; c a+b b+c c+a Câu IV (1,0 điểm) Cho lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' có cạnh đáy là a và khoảng cách từ A a đến mặt phẳng (A’BC) Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' 2 Chứng minh ( ) II PHẦN RIÊNG(3,0 điểm): Tất thí sinh làm hai phần: A B A Theo chương trình Chuẩn Câu Va (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy) Lập phương trình đường thẳng qua M ( 2;1) và tạo với các trục tọa độ tam giác có diện tích Câu VI.a (2,0 điểm) Giải bất phương trình + log x + log ( x + ) > log ( − x ) Tìm m để hàm số y = x3 − 3(m + 1) x + 2(m + m + 2) x − 2m(m + 2) có cực đại và cực tiểu Viết phương trình đường thẳng qua điểm cực đại và cực tiểu đó B Theo chương trình Nâng cao 1 Câu Vb (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy) , cho điểm M 3; Viết phương trình chính 2 ( ) tắc elip qua điểm M và nhận F1 − 3;0 làm tiêu điểm Câu VI.b (2,0 điểm) y + x = x + y Giải hệ phương trình x y +1 2 = Tìm trên mặt phẳng tọa độ tập hợp tất các điểm mà từ đó có thể kẻ hai tiếp tuyến đến đồ x2 − x + thị hàm số y = và hai tiếp tuyến này vuông góc với x −1 HẾT - WWW.MATHVN.COM Lop12.net (21)