Đặc biệt, sau khi giải bài xong và tìm được giá trị của x thì ta phải so sánh với điều kiện trên rồi kết luận thỏa mãn hay không thỏa mãn.[r]
(1)Bài 2: CĂN THỨC BẬC HAI VÀ HẰNG ĐẲNG THỨC
A A
1 Căn thức bậc hai
Nếu hình chữ nhật ABCD có đường chéo AC = cm cạnh
BC = x (cm) cạnh AB = √25−x2 (cm) Giải thích, lại có kết đó?
Giải: Ta có: ABCD hình chữ nhật nên B ¿
=90o hay Δ ABC vuông B. Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vng ABC, ta có:
AB2=AC2−CB2⇒AB=√AC2−CB2=√52−x2=√25−x2
Vậy: √25−x2 đợc gọi thức bậc hai 25 - x2, 25 - x2 biểu thức lấy
Tổng quát: Với A biểu thức đại số, ngời ta gọi √A thức bậc hai A, A đợc gọi biểu thức lấy hay biểu thức dới dấu
√A xác định ( hay có nghĩa) A lấy giá trị không âm.
VD: Với giá trị x thức sau xác định (có nghĩa)? a) 3x b) √
2
x2 c) √
−5
x2+6 d) √ 4
x+3 Giải: a) 3x xác định 3x ≥ tức x ≥
b) √
2
x2 có nghĩa
x2≥0
Do x2≥0 nên
2
x2≥0 x≠0 (
x2 có nghĩa).
c) Ta thấy x2≥0 nên x2+6>0 Do −5
x2+6<0 với x.
Vậy không tồn x để √ −5
x2+6 có nghĩa.
d) √
4
x+3 có nghĩa
4
x+3≥0 . Do > nên
4
x+3≥0 x+3>0⇔x>−3
Chú ý:Vì x + mẫu số nên khơng phép lấy x+3≥0 có thêm dấu = biểu thức
4
x+3 khơng có nghĩa.
Bài tập: Với giá trị x thức sau có nghĩa?
a) √−2x+3 b) √1+x2 c) √5−2x 2 Hằng đẳng thức A2 A .
* Định lý:Víi mäi sè a, ta cã: √a2 = |a|
(2)a) 122 b) ( 7)
Giải: a) 122 = |12| = 12 b) ( 7) = |−7| = 7.
VD2: Rút gọn: a) ( 1) b) √(2−√5)
2
Giải: a) ( 1) 2= 1 = 1 (vì 2>1)
Vậy ( 1) 2 = 1 .
b) √(2−√5)
2
=|2−√5|=−(2−√5)=√5−2 (vì √5>2 ).
Vậy √(2−√5)
2
= √5−2 .
VD3: Rút gọn: a) √(x−2)2 với x≥2 b) √a6 với a < 0. Giải: a) (x 2) x x 2 (vì x ≥ 2).
b)
6 3
a (a ) a .
Vì a < nên a3 < 0, |a3| = −a3.
Vậy a6 = −a3 (với a < 0).
VD4: Tìm x, biết:
a) √x2=7 b) √9x
=|−12|
c)√9x
2
=2x+1
Chú ý: Ở phương trình trên, ta thấy vế trái ( VT ) thức bậc hai nên hiển nhiên
VT≥0 mà VT = VP (vế phải) ⇒VP≥0 Vì vậy, q trình giải phương trình nếu VP có chứa biến hay ẩn x phải đặt điều kiện VP≥0 , từ suy điều kiện ẩn x. Đặc biệt, sau giải xong tìm giá trị x ta phải so sánh với điều kiện kết luận thỏa mãn hay không thỏa mãn Cuối kết luận nghiệm phương trình
Giải : a) Ta có : √
x2=7⇔|x|=7⇔[ x=7
x=−7
Vậy giá trị cần tìm : x1 = , x2 = -7
b) Ta có : √
9x2=|−12|⇔|3x|=12⇔[ 3x=12
3x=−12⇔[
x=4
x=−4
Vậy giá trị cần tìm là: x1 = , x2 = - 4.
c)Điều kiện: 2x+1≥0⇔2x≥−1⇔x≥ −1
2
Ta có:
√9x2=2x+1⇔√(3x)2=2x+1⇔|3x|=2x+1 ⇔[3x=2x+1
3x=−(2x+1)⇔[
3x−2x=1 3x+2x=−1⇔[
x=1
5x=−1⇔[
x=1 x=−1
5
Vậy giá trị cần tìm là: x1 = , x2 =
−1
5 .
(3)VD5: Chứng minh: a) 9+4√5=(√5+2)
2
b) √9−4√5−√5=−2
Giải: a) Biến đổi vế phải: (√5+2)2=(√5)2+2 √5 2+22=5+4√5+4=9+4√5 Ta có vế phải vế trái Vậy đẳng thức xảy ra.
b)Biến đổi: 9−4√5=(√5)2+22−2.2√5=(√5−2)2 Khi vế trái: √9−4√5−√5=√(√5−2)
2
−√5=|√5−2|−√5=√5−2−√5=−2 (vì
√5>2 ).
Ta có vế trái vế phải Vậy đẳng thức xảy ra.
PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ (tiếp theo) Phương ph p 1: ĐẶT NHÂN TỬ CHUNG
VD:Ph©n tÝch B thành nhân tử :
B x y y x (x 0;y 0)
Giải: B=x√y−y√x⇒B=(√x)
2
√y−(√y)2√x=√x√y(√x−√y)
Bài tập:Ph©n tÝch đa thức sau thành nhân tử :
a) A=3√x−x b) Q = 3x + 12 √x y c) B=5y+10√y d) E = 10( √x - y) – 8y(y - √x ) e) F = √x ( √x - 2010) - √x + 2010 =
Phương pháp : DÙNG HẰNG ĐẲNG THỨC
1 a a.b b( a b)2 (a,b0) a a.b b( a b)2 (a,b0) a b ( a b).( a b) (a,b0)
4 a3 3a b3b a b3 ( a b)3 (a,b0) a3 3a b3b a b3 ( a b)3 (a,b0)
6 a ab b a3 b3 ( a b)(a abb) (a,b0) a a b b a3 b3 ( a b)(a ab b) (a,b0) a b c ab 2 ac 2 bc ( a b c)2 (a,b0) VD:Phân tích M thành nhân tử : M = a2
Giải: M = a2 =a
2
−(√2)2=(a−√2) (a+√2) Bài tập: Phân tích N, P thành nhân tử :
a) N=9a−1 ( a≥0 ) b) P=x+1+2√x(x≥0) Phương pháp 3: NHÓM CÁC HẠNG TỬ
(4)Giải:
D=a−2√a+1−b
⇒D=(√a)2−2.√a.1+1−(√b)2=(√a−1)2−(√b)2=(√a−1−√b)(√a−1+√b) Bài tập:Ph©n tÝch cỏc a thc sau thành nhân tử :
a) E=a√b−a+2√ab−b−b√a(a≥0,b≥0) b) F=−3x√y+x−2√xy+y+3y√x(x≥0, y≥0) c) G = x - 3 √x + √x y – 3y
LOẠI KHÁC VD1: Giải phương trình sau:
a) x2 – = 0 b) x2−2√11x+11=0
Giải: a) Ta có: x2 – = 0 ⇔x2−(√5)2=0 (x 5).(x 5) 0
x 5 0 x 5
x 5 0 x 5
Vậy phương trình có nghiệm x1=−√5, x2=√5 b) Ta có:
x2−2√11x+11=0⇔x2−2√11x+(√11)2=0⇔(x−√11)2=0⇔x−√11=0⇔x=√11
Vậy phương trình có nghiệm x 11
VD2: Biểu thức sau xác định với giá trị x? a) √x2−4 b) √
2+x
5−x
Giải: a) Ta có √x2−4=√(x−2)(x+2) nên √x2−4 xác định, tức √(x−2)(x+2) xác định (x−2) (x+2)≥0 nghĩa x thỏa mãn hai trường hợp sau:
-Trường hợp 1: {
x−2≥0 x+2≥0⇔{
x≥2
x≥−2⇒x≥2 .
-Trường hợp 2: {
x−2≤0 x+2≤0⇔{
x≤2
x≤−2⇒x≤−2 Vậy giá trị cần tìm là: x≥2 x≤−2 .
b)Ta có √
2+x
5−x xác định
2+x
5−x≥0 nghĩa x thỏa mãn hai trường hợp sau:
-Trường hợp 1: {
2+x≥0
5−x>0⇔{
x≥−2
5>x ⇒−2≤x<5 .
-Trường hợp 2: {
2+x≤0
5−x<0⇔{
x≤−2
(5)Vậy giá trị cần tìm là: −2≤x<5
Chú ý: Vì x – mẫu số nên không lấy dấu x - ≤ hay x – ≥ có thêm dấu = biểu thức
2+x
5−x khơng có nghĩa.
VD3: So sánh: a) √2+√3 b) √11−√3 2
Giải: a) Để so sánh √2+√3 , ta quy so sánh: 32 (√2+√3)2
Hay 5+2√2.√3 Hay + 2.2 5+2√2.√3
Vì 22=4 (√2.√3)2=(√2)2.(√3)2=2.3=6 nên 2<√2.√3 suy 2.2<2√2.√3
Vậy + 2.2 < 5+2√2.√3 , từ ta có: < √2+√3 . b)Ta thấy √11>√3 nên √11−√3>0 .
Do đó, để so sánh √11−√3 và , ta quy so sánh:
(√11−√3)2 22
Hay 14−2√11.√3 4 Hay 14−2√11.√3 14 - 2.5
Vì (√11.√3)2=(√11)2.(√3)2=11.3=33 52 = 25 nên √11.√3>5 suy −2√11.√3<−2.5
Vậy 14−2√11.√3 < 14 - 2.5 , từ ta có: √11−√3 < 2.