Chuyen de hinh hoc khong gian

Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng:.. a..[r]

A NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ:

1 Viết phương trình tổng quát mặt phẳng:

a Loại : Viết phương trình mặt phẳng ( ) vectơ pháp tuyến n( ; ; )A B C 

và điểm 0( ; ; )0 0

M x y z thuộc ( ) :

- Pt ( ) có dạng: A x x(  0)B y y(  0)C z z(  0) 0 - Khai triển, rút gọn đưa dạng tổng quát:

0

Ax By Cz D với D(Ax0By0Cz0)

b Loại : Viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa ba điểm M, N, P khơng thẳng hàng - Tìm VTPT ( ) : n MN MP

                             - Mặt phẳng ( ) : qua điểm M

có VTPT n 

c Loại : Viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa điểm M x y z0( ; ; )0 0 song song với mặt phẳng ( ) : Ax By Cz D

- Pt ( ) có dạng: Ax By Cz D' 0 (D' D) (1) - Thay tọa độ M0 vào (1) ta tìm D’

d Loại : Viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa hai điểm M, N vng góc với mp( ) :

Ax By Cz D

- Tìm VTPT ( ) : n MN n 



 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

- Mặt phẳng ( ) : qua điểm M có VTPT n



e Loại : viết phương trình mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB: - Tìm tọa độ trung điểm I AB

- Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB mp: qua I

có VTPT n AB  

* CÁC VD:

 VD1: Viết ptmp ( ) qua điểm M(2;0;1) nhận n(1;1;1) 

làm VTPT Giải

ptmp ( ) có dạng: 1.(x 2) 1.( y 0) 1.( z1) 0  x y z   0

 VD2: Viết ptmp ( ) qua ba điểm: P(1;-2;3); Q(2;0;1); R(-1;1;-2) Giải

M N n



n  



(loại 1)

(loại 1)

- Ta có: PQ(1; 2; 2)



( 2;3; 5)

PR  



( 4;9;7)

n PQ PR

     

 

- Mp ( ) : qua Q(2;0;1)

có VTPT n  ( 4;9;7) 

có pt: 4(x 2) 9( y 0) 7( z1) 0 4x 9y 7z

    

 VD3: Viết phương trình mp ( ) qua điểm: P(1;-2;3) song song với mp ( ) : 2x 3y z  5

Giải - Ptmp ( ) có dạng: 2x 3y z D  0 (D5) - Do P( ) nên: 2.1 3.( 2) 3   D0

11

D  

Vậy ptmp ( ) :2x 3y z 11 0

 VD4: Viết phương trình mp ( ) qua hai điểm: O(0;0;0); A(0;2;0) vng góc với mp ( ) : 2x3y 4z 0

Giải - Ta có: OA(0;2;0)



n (2;3; 4) 

 n OA n   ( 8;0; 4) 

                           

- Mp ( ) : qua O(0;0;0)

có VTPT n  ( 8;0; 4) 

có pt: 8(x 0) 0( y 0) 4( z 0) 0 2x z

  

 VD5: Cho hai điểm A(2;3;-4) B(4;-1;0) Viết phương trình mp trung trực đoạn thẳng AB

Giải - Gọi I trung điểm đoạn AB

Ta có: I(3;1;-2)

- Mp trung trực đoạn AB mp: qua I

có VTPT n AB ( 8;0; 4)  

có pt: 2(x 3) 4( y1) 4( z2) 0  x 2y2z 3

Bài 1: Viết ptmp trường hợp sau:

a ( ) qua điểm M(1;1;1) nhận n (2;0;1) 

làm VTPT

b ( ) qua điểm A(1;0;0) song song với giá vectơ : u(0;1;1) 

; v ( 1;0; 2) 

c ( ) qua ba điểm M(1;1;1); N(4;3;2); P(5;2;1)

Bài 2: Viết ptmp trung trực đoạn thẳng AB với A(1;-2;4) B(3;6;2) Bài 3: Cho tứ giác có đỉnh là: A(5;1;3); B(1;6;2); C(5;0;4); D(4;0;6)

a Hãy viết ptmp (ABC)

b Hãy viết ptmp ( ) qua D song song mp (ABC)

Bài 4: Viết ptmp ( ) qua góc tọa độ O song song mp ( ) : x y 2z 0

Bài 5: Lập ptmp ( ) qua hai điểm A(0;1;0); B(2;3;1) vng góc với mp ( ) :

2

x y z 

2 Vị trí tương đối hai mp:

1 1

( ) : A x B y C z D   0

2 2

( ) : A x B y C z D   0 Xét VTPT: n ( ; ; )A B C1 1



2 2

( ; ; )

n  A B C



i ( ) cắt ( )  A B C1: 1: A B C2: 2: ii

1 1

2 2

( ) //( ) A B C D

A B C D

     

iii

1 1

2 2

( ) ( ) A B C D

A B C D

      

Đặc biệt: ( ) ( )    A A1 2B B1 2C C1 0 * CÁC VD:

 VD6: Xét vị trí tương đối cặp mp cho pt sau: a ( ) :1 x2y3z 4

1

( ) : x5y z  0 b ( ) :2 x y z   5

2

( ) : 2 x2y2z 6 c ( ) :3 x2y3z 1

3

( ) : 3 x6y9z 3

Giải a Ta có: n1 (1; 2;3)



1 (1;5; 1)

n  



c ( ) ( )3  3

 VD7: Xác định giá trị m để cặp mp sau vng góc: ( ) : 2 x my 2mz 0

( ) : 6 x y z  10 0

Giải Ta có: n (2; ; )m m



(6; 1; 1)

n   



( ) ( )    2.6m.( 1) ( 1) 0  m  

4

m  

 VD8: Xác định vị trí m n để cặp mặt sau song song: ( ) : 2 x my 3z 0

( ) : nx 8y 6z 2 Giải

Ta có:

2

( ) //( )

8

m n

     

 

3 12 24

n m

   

  

4

n m

   

  * CÁC BÀI TẬP ỨNG DỤNG:

Bài 6: Xét vị trí tương đối cặp mp cho pt sau: a ( ) : 31 x 2y 3z 5

2

( ) : 9 x 6y 9z 0 b ( ) :3 x 2y z  3

4

( ) : x 2y z  3 c ( ) :5 x y 2z 0

6

( ) :10 x10y20z 40 0

Bài 7: Xác định giá trị A, B để hai mp sau song song với nhau: ( ) : Ax y 3z 2

( ) : 2 x By 6z 7 3 Tính khoảng cách:

a Loại : Để tính khoảng cách từ M x y z0( ; ; )0 0 đến mp ( ) : Ax By Cz D   0, ta dùng công thức:

0 0

0 2 2 2

( , ( )) Ax By Cz D

d M

A B C

    

 

b Loại : Tính khoảng cách hai mp song song:

1 1

( ) : A x B y C z D   0

2 2

( ) : A x B y C z D   0

- Chọn M( )

- Ta có: d(( ),( ))  d M( ,( )) * CÁC VD

 VD9: Cho hai điểm A(1;-1;2);

B(3;4;1) mp: ( ) : x2y2z10 0 Tính khoảng cách từ A, B đến mp ( )

Giải

- 2

1 10 ( ,( ))

3 2

d A      

 

- 2

3 10

( ,( ))

1 2

d B          VD10: Cho hai mp:

( ) : x2y2z11 0 ( ) : x2y2z 2 Tính khoảng cách hai mp song song ( ) ( )

Giải - Lấy M(0;0; 1) ( )  

- Ta có: 2

0 2.0 2.( 1) 11

(( ),( )) ( ,( ))

1 2

d   d M       

  * CÁC BÀI TẬP ỨNG DỤNG

Bài 8: Tính khoảng cách từ điểm M(1;2;0) đến mp sau: a ( ) : x2y 2z 1

b ( ) : 3 x4z25 0 c ( ) : z 5

Bài 9: Tìm trục Oz điểm M cách điểm A(2;3;4) mp ( ) : 2 x3y z 17 0 Bài 10: Tìm tập hợp điểm cách mp:

( ) : 3 x y 4z 2 ( ) : x y 4z 8

4 Viết pt tham số pt tắc đường thẳng Δ: - Xác định điểm cố định M x y z0( ; ; )0 0 0   - Xác định VTPT u( ; ; )a a a1 2 3



của Δ - PTTS PT tắc Δ có dạng:

0

0

0

:

x x a t

y y a t

z z a t

  



       

0 0

1

:x x y y z z

a a a

  

  

* CÁC VD:

 VD11: Viết PTTS PTCT đường thẳng Δ qua hai điểm A(1;2;3); B(3;5;7)

Giải

Do Δ qua hai điểm A, B nên Δ có VTCP là: (2;3; 4)

u AB



 

- PTTS

1

:

3 x t y t z t             - PTCT

1

:

2

x y z

  

* CÁC BÀI TẬP ỨNG DỤNG

Bài tập 11: Viết PTTS, PTCT Δ trường hợp sau: a Δ qua điểm A(1;2;3) có VTPT u(3;3;1)



b Δ qua điểm B(1;0;-1) vng góc với mp ( ) : 2x y z   9 c Δ qua hai điểm C(1;-1;1) D(2;1;4)

Bài 12: Viết pt đường thẳng Δ nằm mp ( ) : y2z0 cắt đường thẳng:

1

1 :

4

x t

d y t

z t          ' ' 2

:

4

x t

d y t

z          

5 Vị trí tương đối đường thẳng Δ1 Δ2 không gian:

Cho đt:

0

1

0

:

x x a t

y y a t

z z a t

  



      

 1:

   

0 0

1

( ; ; ) ( ; ; )

M x y z

u  a a a



' ' '

0

' ' '

2

' ' '

0

:

x x a t

y y a t

z z a t

            :    ' ' ' '

0 0

' ' '

2

( ; ; ) ( ; ; )

M x y z

u  a a a

 PHƯƠNG PHÁP: Tính m u 1 u2

                                          i 2 // m M             ii 2 m M            

iii Δ1 cắt Δ2 '0

m m M M

          

Đặc biệt: Δ1 Δ2 chéo  m M M '0 0 



* CÁC VD:

đi qua có VTPT

đi qua có VTPT

2

u 2 '

 VD12: Xét vị trí tương đối đường thẳng

1

:

2

x y z

  

lần lượt với đường thẳng sau:

a

3

:

4

x y z

d     

b

4

:

6

x y z

d     

c

3

:

4

x y z

d     

d

1

:

3 2

x y z

d     

Giải

Ta có: :  



0(1; 1;5) (2;3;1) M u    a :

d 

 1 (3;2;6) (4;6; 2) M u  

Ta có: m u u  1(0;0;0)O

                                                       

Ta thấy:

3

2 M

  

    

Vậy:  d1 b //d2 c Δ cắt d3

d Δ d4 chéo

* CÁC BÀI TẬP ỨNG DỤNG Bài 13: Cho đường thẳng:

1

:

2 1

x y z

d    

 ' : x t

d y t

z t          

a Xét vị trí tương đối d d’ b Tìm giao điểm có d d’

Bài 14: Tìm a để hai đường thẳng sau song song:

:

x t

d y at

z t           ' ' ' ' : 2 x t

d y a t

z t            6 Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng:

Cho đt

0

1

0

:

x x a t

y y a t

z z a t

  



      

 mp ( ) : Ax By Cz D   0 * CÁCH 1:

i/

//( )

( )

n u M





 



  

  

 

ii/ Δ nằm (α)

( )

n u

M 

 

  

  

 

iii/ Δ cắt (α)  n u  0 Đặc biệt  ( )  n k u

 

* CÁCH 2:

- Viết

0

0

0

:

x x a t

d y y a t

z z a t

  



  

  

 (1) - Thay x, y, z (1) vào ptmp (α), ta được:

0

( ) ( ) ( )

A x a t B y a t C z a t D

0

mt l

   (*) i/ (*) VN  //( )

ii/ (*) có nghiệm t t 0 Δ cắt (α) iii/ (*) có vơ số nghiệm  nằm (α)

Đặc biệt: ( ; ; )A B C k a a a( ; ; )1   ( ) * CÁC VD

 VD13: Xét vị trí tương đối đường

1

:

3

x t

y t

z t

   

      

 lấn lượt với mp sau: a ( ) :1 x y z   2

b ( ) : 42 x8y2z 0 c ( ) :3 x y 2z 5 d ( ) : 24 x 2y4z10 0

Giải a Δ cắt (α1)

b  ( )2 c //( )3

d Δ nằm mp (α4)

 VD14: Cho đt

1

:

2 1

x y z

d    

và ( ) : x2y z 1 0

Chứng minh d cắt (α) tìm tọa độ giao điểm Giải

- PTTS

1

:

x t

d y t

z t

   

  

 

 (1) - Thay (1) vào ptmp (α), ta được:

3

t

- Thay

t

vào (1):

7 3

x y z

    

   

   Vậy d cắt (α)

7 ( ; ; )

3 3

M  

7 Tính khoảng cách

a Loại : khoảng cách từ điểm A x y z( ;A A; )A đến đường thẳng

0 0

1

: x x y y z z

a a a

  

  

* CÁCH 1:

- Viết ptmp ( ) : 

 - Tìm H  ( )

- Tính d A( , ) AH * CÁCH 2:

- Lấy M0  - Tính m M A u 

                                         

-( , ) m

d A

u

 





b Loại : khoảng cách đt

0 0

1

: x x y y z z

a a a

  

  

và mp ( ) : Ax By Cz D   0 song song với Δ - Lấy M x y z0( ; ; )0 0  

- Tính d( ,( ))  d M( 0,( ))

c Loại : khoảng cách đt chéo nhau chứa A

vuông góc với Δ

Δ

H A α

A

M H

u

Δ

0 0

1

:x x y y z z

a a a

  

  

' ' '

' 0

' ' '

1

:x x y y z z

a a a

  

  

- Lập ptmp ( ) : 



- Lấy M x y z'0( ;'0 '0; '0) ' - Tính d( , )  ' d M( '0,( )) * CÁC VD:

 VD15: Tính khoảng cách từ điểm A(1;2;1) đến đường thẳng

2 1

:

1 2

x y z

  

 Giải :

 



0( 2;1; 1) (1; 2; 2)

M u

 

 

 Ta có: M A0 (3;1; 2)



0 ( 6;8;5)

m M A u     

  

Vậy:

5 ( , )

3

m d A

u

  

 

 VD16: Cho mp ( ) : 3 x 2y z  5

1

:

2

x y z

  

a Chứng tỏ: //( )

b Tính khoảng cách Δ α Giải

a Ta có: n (3; 2; 1)  

:  



0(1;7;3) (2;1; 4)

M u

n u

 

 

(1)

Thay tọa độ M0 vào ptmp (α), ta được: 3.1 – 2.7 – + = -9 ≠ 0

M

   (2) Từ (1) (2), ta có: Δ // (α)

b

9 ( ,( )) ( ,( ))

14

d   d M  

 VD17: Tính khoảng cách hai đt: chứa A

song song Δ’

đi qua có VTPT

đi qua có VTPT

Δ Δ ’

α

M ’ H

1

:

1

x t

y t

z

   

   

 

 và

': 2

1 1

x y z

  

 Giải

-:  



0(1; 1;1) (2; 1;0)

M u

   

-':

 

 '

0(2; 2;3) ( 1;1;1)

M u

   

- Lập ptmp (α) chứa Δ song song Δ’

2

x y z  

-' '

0

6 ( , ) ( ,( ))

2

d   d M   * CÁC BÀI TẬP ƯNG DỤNG

Bài 15: Cho

3 1

:

2

x y z

  

và ( ) : 2 x 2y z  3 a Chứng minh: Δ // (α)

b Tính khoảng cách Δ (α)

Bài 16: Cho đt:

1

:

2

x y z

  



': 2

4

x y z

  

 

a Xét vị trí tương đối Δ Δ’ b Tính khoảng cách Δ Δ’ Bài 17: Cho mp ( ) : 2 x y z   0

a Viết ptmp (β) qua O song song với (α)

b Viết PTTS đt qua gốc tọa độ vng góc (α) c Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến mp (α)

Bài 18: Cho đt:

1

:

2

x y z

d     



và

7

: 2

1

x t

d y t

z t

  



  

   

a Chứng ming d1 d2 nằm mp (α) b Viết pt mp (α)

Bài 19: Trong không gian Oxyz, cho điểm A(-4;-2;4) đt

:

1

x t

d y t

z t

  



  

   

Viết ptđt Δ qua điểm A, cắt vuông góc với d qua

Bài 20: Cho mp ( ) : 2 x y z  1 0 đt

1

:

2

x y z

d    



B LỜI KẾT

Người thực hiện