Vieát phöông trình ñöôøng troøn (C) tieáp xuùc vôùi truïc hoaønh taïi ñieåm A vaø khoaûng caùch töø taâm cuûa (C) ñeán ñieåm B baèng 5 (TS.K.B2005).. Moät soá baøi taäp naâng [r]
(1)PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
Chủ đề : ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN I Các định nghĩa VTCP PVT đường thẳng:
1 VTCP đường thẳng :
alà VTCP đường thẳng ()
ñn
a có giá song song trùng với ( ) a
n VTPT đường thẳng ()
ñn
n có giá vng góc với ( ) n
* Chuù yù:
Nếu đường thẳng () có VTCP a( ; )a a1
có VTPT laø n ( a a2; )1
2 ( ; ) n a a
Nếu đường thẳng () có VTPT n( ; )A B
có VTCP a ( ; )B A
( ; )
a B A
* Nhận xét :
Đường thẳng ( ) đi qua hai điểm A, B ta chọn :AB(xB x yA; B yA)
làm VTCP ( ) .
Bài tập aùp duïng :
1 Cho đường thẳng ( ) đi qua hai điểm A(1;-2), B(-1;3) Tìm VTCP VTPT ( ) .
2: Cho tam giác ABC biết A( 1;2), (5;7), (4; 3) B C
Tìm VTCP VTPT đường cao tam giác Tìm VTCP VTPT đường trung trực tam giác
) (
n
a
a ()
a
n
(2)II Phương trình đường thẳng :
1 Phương trình tổng quát đường thẳng :
a Phương trình đường thẳng qua điểm M0(x0;y0) có VTPT n( ; )A B
laø:
n y
M(x ; y) ( ) : ( A x x 0)B y y( 0) 0 (*)
x O
M0(x0; y0)
b Phương trình tổng quát đường thẳng :
Định lý :Trong mặt phẳng (Oxy) Phương trình đường thẳng () có dạng :
Ax + By + C = với A2B2 0
Chú ý:
Từ phương trình ():Ax + By + C = ta suy :
1 VTPT () n( ; )A B
2 VTCP ()
( ; ) hay u ( ; )
u B A B A
3 M x y0( ; ) ( )0 Ax0 By C0 0
Cách tìm tọa độ M x y0( ; )0 Ta chọn x =xo ,thế vào phương trình Ax + By + C = tìm yo.
Mệnh đề (3) hiểu :
Điều kiện cần đủ để điểm nằm đường thẳng tọa độ điểm nghiệm phương trình đường thẳng
Bài tập áp dụng :
Bài 1: Viết phương trình tham số đường thẳng biết phương trình tổng qt 5x 2y 3
Bài 2: Viết phương trình tổng quát đường thẳng qua M(-1;2) song song ( ) : 2 x 3y 4
Bài 3: Viết phương trình tổng quát đường thẳng qua N(-1;2) vng góc ( ) : 2 x 3y 4
Bài 4: Cho hai điểm A(-1;2) B3;4) Tìm điểm C đường thẳng x-2y+1=0 cho tam giác ABC vuông C
) ; ( 0 x y M
) ; (A B n
x y
O
) ;
( B A
a
(3)2 Phương trình tham số phương trình tắc đường thẳng :
a Định lý : Trong mặt phẳng (Oxy) Đường thẳng () qua M0(x0;y0) nhận
( ; ) u a b làm VTCP có :
M(x ; y) a y
x O
Phương trình tắc :
0
1
( ) : x x y y
a a
Điều kiện : 0
a b
Chú ý:
0
( ) : ( )
t
x x a t
y y b t
Chú ý:Từ phương trình ():Ax + By + C = ta ln suy :
1 VTPT () n( ; )A B
2 VTCP () laø
( ; ) hay u ( ; )
u B A B A
Ghi nhớ:
Dữ kiện cần Dạng phương trình
Phương trình
tổng quát
Tọa độ điểm Mx yo; o thuộc đthẳng .
VTPT
( ; )
n A B của
o o 0
A x x B y y
Phương trình tham số
Tọa độ điểm Mx yo; o thuộc VTCP
( ; )
u a b
của
0 x x at y y bt Phương trình tham số :
0
( ) : x x at (t ) y y bt
C
Tọa độ M thuộc đường thẳng.
(4)Phương trình chính tắc
Tọa độ điểm Mx yo; o thuộc VTCP
( ; )
u a b
của
o o
x x y y
a b
3 Các dạng khác phương trình đường thẳng :
a Phương trình đường thẳng qua hai điểm A(xA;yA) B(xB;yB) :
( ) :
A A
B A B A
x x y y AB
x x y y
(AB x x) : A (AB y y) : A
BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Cho tam giác ABC biết A(1;-1), B(-2;1), C1;5) Viết phương trình ba cạnh tam giác
b Phương trình đường thẳng qua điểm M0(x0;y0) có hệ số góc k:
y Định nghĩa: Trong mp(Oxy) cho đường thẳng Gọi ( , )Ox k tg gọi hệ số
goùc
củađường thẳng
x α
O
Định lý 1: Phương trình đường thẳng qua M x y0( ; )0 có hệ số góc k :
y - y = k(x - x )0 0 (1)
Chú ý 1: Phương trình (1) khơng có chứa phương trình đường thẳng qua M0 vng góc Ox nên sử dụng ta cần để ý xét thêm đường thẳng qua M0 vuông góc Ox x = x0
Chú ý 2: Nếu đường thẳng có phương trình y ax b hệ số góc đường thẳng k a
) ; (x y M
x y
O x0
(5)Định lý 2: Gọi k1, k2 hệ số góc hai đường thẳng 1, ta có :
1//2 k1 k2
1 k 1k2 1
BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Viết phương trình đường thẳng qua A(-1;2) vng góc với đường thẳng x 3y 4
c Phương trình đt qua điểm song song vng góc với đt cho trước: Kiến thức thường sử dụng:
i Phương trình đường thẳng ( ) //( ): Ax+By+C=0 có dạng: Ax+By+m =01 ĐK: (m1C) ii Phương trình đường thẳng ( ) ( ): Ax+By+C=0 có dạng: Bx-Ay+m =01
Chú ý: m m1; 2 xác định điểm có tọa độ biết nằm 1;
Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn:
x a+
y b=1
Dạng toán
Bài toán: Cho điểm Mx y0; 0 và đường thẳng ( ) : ax by c 0.Tìm hình chiếu vuơng gĩc của
M lên ( )
Phương pháp:
0
: 2
1
Bx Ay m
x y
O x0
1
M
0 : 1
Ax By C
0
:
1
1
m
B
y
A
x x
y
O
0
x
0
:
1
C
B
y
A
x
1
M
d
(6) Bước 1:Viết phương trình tổng quát đường thẳng (d) qua M vng góc .Khi đó ta có :
( ; ) ( ; )
ud n a b nd b a .
Bước 2:Gọi H = (d) ,tọa độ H nghiệm hệ phương trình:
d
Giải pt tìm tọa độ H H điểm cần tìm.
VD : Cho điểm M(2;-3) đường thẳng ( ) : 2 x y 1 0 .Tìm hình chiếu vng góc M lên ( ) .
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Viết phương trình tổng qt đường thẳng qua M(-1;2) song song ( ) : 2 x 3y 4
Bài 2: Viết phương trình tổng qt đường thẳng qua N(-1;2) vng góc ( ) : 2 x 3y 4
Bài 3: Cho tam giác ABC biết A( 1; 2), (5;7), (4; 3) B C
Viết phương trình đường cao tam giác Viết phương trình đường trung trực tam giác Bài 4: Cho tamgiác ABC với A(1;-1) ; B(-2;1); C(3;5).
a) Viết phương trình đường vng góc kẻ từ A đến trung tuyến BK tam giác ABC b) Tính diện tích tam giác ABK
III Vị trí tương đối hai đường thẳng :
Trong mp(Oxy) cho hai đường thẳng :
1 1
2 2
( ) :
( ) :
A x B y C A x B y C
Vị trí tương đối ( ) ( )1 2 phụ thuộc vào số nghiệm hệ phương trình :
1 1
2 2
0 A x B y C A x B y C
hay
1 1
2 2
(1) A x B y C A x B y C
Chú ý: Nghiệm (x;y) hệ (1) tọa độ giao điểm M ( ) ( )1 2 Định lý 1:
1
1
1
Hệ (1) vô nghiệm ( )//( ) Hệ (1) có nghiệm ( ) cắt ( )
Hệ (1) có vô số nghiệm ( ) ( ) i ii iii
Định lý 2: Nếu A B C2; ;2 2 khác thì x x y O
caét x y O 1
(7)
1
1
2
1 1
1
2 2
1 1
1
2 2
A ( ) caét ( )
A A ( ) // ( )
A A ( ) ( )
A B i
B B C ii
B C B C iii
B C
BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1: Cho tam giác ABC có phương trình ba cạnh
( ) : 17 ( ) : 13 ( ) :
AB x y
AC x y
BC x y
Tìm toạ độ ba đỉnh A, B, C
Bài 2: Cho tamgiác ABC có đỉnh A(2;2) Lập phương trình cạnh tam giác ABC.Biết rằng đường thẳng 9x-3y-4=0 x+y-2=0 đường cao tam giác xuất phát từ B C
Bài 3: Tuỳ theo m, biện luận vị trí tương đối hai đường thẳng sau:
1
2
:
:
d mx y m d x my
Bài 4: Xét vị trí tương đối hai đường thẳng sau,và tìm tọa độ giao điểm (nếu cĩ):
1
2
:
:
d x y
d x y
BÀI TẬP AÙP DUÏNG:
Bài 1: Cho hai điểm A(-1;3), B(1;2) Viết phương trình tham số tắc đường thẳng qua A, B Bài 2: Các điểm P(2;3); Q(4;-1); R(-3;5) trung điểm cạnh tam giác Hãy lập phương trình tắc đường thẳng chứa cạnh tam giác
Bài 3: Các điểm A(2;3) đường thẳng ( ) : 2 x y 1 0 .Hãy lập phương trình đường thẳng ( ')
đối xứng ( ) qua M
Chủ đề :
KHOẢNG CÁCH VÀ GĨC
(8)Định lý : Trong mp(Oxy) cho hai đường thẳng :
1 1
2 2
( ) :
( ) :
A x B y C A x B y C
Gọi (00 900) góc ( ) ( )1 2 ta có :
1 2
2 2
1 2
cos
A A B B
A B A B
Hệ quả:
( ) ( ) 1 2 A1 2A B B1 0
II Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng :
Định lý 1: Trong mp(Oxy) cho hai đường thẳng ( ) : Ax By C 0 điểm M x y0( ; )0 Khoảng cách từ M0 đến đường thẳng ( ) tính cơng thức:
0
0 2 2
( ; ) Ax By C d M
A B
DẠNG 1:Tính Góc Giữa Hai Đường Thẳng Phương pháp:
Để tìm góc hai đường thẳng
1 1
2 2
: a x
: a x
b y c b y c
ta thực bước sau:
Bước 1:Tìm tọa độ hai vec-tơ phương 1;
Bước 2:Thay vào công thức :
1 2
2 2
1 2
cos
a a b b a b a b . Bước 3:Sử dụng máy tính suy góc
Phân biệt góc hai đường thẳng góc hai vec-tơ phương chúng:
Góc hai đường thẳng Góc hai vec-tơ phương chúng
1
x y
O
2
x y
O
) (
0 M
(9)
1 2
2 2
1 2
cos
a a b b
a b a b
1 2
2 2
1 2
cos
a a b b a b a b
Có dấu GTTĐ Khơng có dấu GTTĐ
0
0 90 00 1800
DẠNG :Tính Khoảng Cách Từ Một Điểm Đến Một Đường Thẳng Phương pháp:
Để tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng góc hai đường thẳng : ax by c 0 ta thực bước sau:
Bước 1: Xem đường thẳng cho dạng ,chuyển dạng tổng quát Bước 2: Khoảng cách từ M0 đến đường thẳng ( ) tính cơng thức:
0
0 2 2
( ; ) ax by c d M
a b
DẠNG :Tính Khoảng Cách Giữa Hai Đường Thẳng Song Song ta sử dung công thức:
1 1
2 2
: a x
: a x
b y c b y c
1; 2 12 22
c c
d
a b
Dạng toán thường gặp :
+Tính độ dài đường cao tam giác biết tọa độ đỉnh tam giác
+Viết phương trình đường thẳng song song cách đường thẳng ax+by+c= khoảng h cho trước
+Viết phương trình đường thẳng qua A cách C B
Góc hai đường thẳng Góc hai vec-tơ phương chúng
1 2
2 2
1 2
cos
a a b b a b a b
1 2
2 2
1 2
cos
a a b b a b a b
Có dấu GTTĐ Khơng có dấu GTTĐ
0
0 90 00 1800
Chủ đề :
(10)I Phương trình đường trịn: Phương trình tắc:
Định lý : Trong mp(Oxy) Phương trình đường trịn (C) tâm I(a;b), bán kính R :
( ) : (C x a )2(y b )2 R2 (1)
Phương trình (1) gọi phương trình tắc đường trịn Đặc biệt: Khi I O ( ) :C x2y2 R2 (hay: y R2 x2 ) Phương trình tổng quát:
Định lý : Trong mp(Oxy) Phương trình : x2 y2 2ax 2by c 0 với a2b2 c0 phương
trình đường trịn (C) có tâm I(a;b), bán kính R a2b2 c
Dạng tốn: Viết phương trình tiếp tuyến đường tròn:
D
ạng 1: Tiếp tuyến M nhận IM ( ; )A B
làm vtpt nên phương trình có dạng: A x x( 0)B y y( 0) 0
D
ạng 2: Tiếp tuyến song song vng góc với đường thẳng d cho trước :
Sử dụng gt:
( ) //(d): Ax+By+C=0 phương trình đường thẳng ( )có dạng: Ax+By+m =0
ĐK: (m1C)
( ) (d): Ax+By+C=0 phương trình đường thẳng ( )có dạng: Bx-Ay+m =0
Sử dụng điều kiện : tiếp xúc đường tròn tâm I (a;b) ,bán kính R d I ; R
Giải tìm m ,phương trình tiếp tuyến cần tìm Dạng 3:Tiếp tuyến qua A x y0; 0 Phương pháp:
+Gọi k hệ số góc tiếp tuyến cần tìm
+Do tiếp tuyến qua A x y0; 0nên phương trình tiếp tuyến có dạng:
0
0 0 0 0 0 0
y - y = k(x - x ) y = kx - kx y kx - y - kx y x
y
O
) ; (a b I
R a b
) ; (x y M
(C) I(a;b)
) (
) ;
( 0
(11)Sử dụng điều kiện :tiếp xúc đường tròn tâm I (a;b) ,bán kính R d I ; R
BAØI TẬP ỨNG DỤNG:
Bài 1: Viết phương trình đường trịn đường kính AB biết A(1;3), B(3:-5)
Bài 2: Viết phương trình đường trịn có tâm I(-1;2) tiếp xúc đường thẳng ( ) : 3 x 4y 2
Bài 3: Xác định tâm bán kính đường trịn ( ) :C x2y22x 4y 20 0
Bài 4: Viết phương trình đường trịn (C) qua ba điểm A(3;3), B(1;1),C(5;1) Bài 5: Cho phương trình : x2y24mx 2my2m 3 0 (1)
Bài 6: Định m để phương trình (1) phương trình đường tròn (Cm)
Xét đường tròn (C) qua ba điểm A(-1;2), B(2;0), C(-3;1) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) A BAØI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1: Lập phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác có ba đỉnh A(1;1); B(-1;2); C(0;-1). Bài 2: Lập phương trình đường trịn nội tiếp tam giác có ba đỉnh A(-1;7); B(4;-3); C(-4;1). Bài 3: Lập phương trình đường trịn qua điểm A(-1;1) B(1;-3) có tâm nằm đường
thaúng (d):2x - y + =
Bài 4: Lập phương trình đường tròn qua điểm A(-1;-2) tiếp xúc với đường thẳng (d): 7x-y-5=0 điểm M(1;2)
Bài 5: Lập phương trình đường trịn có tâm nằm đường thẳng 2x+y=0 tiếp xúc với đường thẳng x-7y+10=0 điểm A(4;2)
Bài 6: Viết phương trình đường trịn có tâm nằm đường thẳng 4x +3y - = tiếp xúc với hai đường thẳng : x + y + = 7x - y + =
Bài 7: Viết phương trình đường trịn qua điểm A(2;-1) tiếp xúc với hai trục tọa độ Ox,Oy. Bài 8: Cho đường tròn (C):(x-1)2 +(y-2)2=4 đường thẳng (d):x-y-1=0 Viết phương trình đường trịn (C') đối xứng với đường trịn (C) qua đường thẳng (d) Tìm toạ độ giao điểm (C) (C').
Bài 9: Cho điểm M(6;2) đường tròn (C):x2y2 2x 4y0 Lập phương trình đường thẳng
(d) qua M cắt (C) hai điểm phân biệt A, B cho AB 10
Bài 10: Viết phương trình tiếp tuyến đường trịn (C):x2y2 2x 6y 9
1 Tiếp tuyến song song với đường thẳng x-y=0 Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng 3x-4y=0
Bài 11: Cho hai điểm A(2;0), B(6;4) Viết phương trình đường trịn (C) tiếp xúc với trục hồnh điểm A khoảng cách từ tâm (C) đến điểm B (TS.K.B2005)
(12)Baøi 1:Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC với A(10;5), B(3;2), C(6;-5) a/ Tìm tọa độ điểm D xác định hệ thức : AD=3AB−2AC
b/ Viết phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC tìm giao điểm đường tròn với đường thẳng y =
Giải:
a / AD=3AB−2AC
⇔
xD−10=3(3−10)−2(6−10)
yD−5=3(2−5)−2(−5−5)
¿{
⇔ xD=−3
yD=16
¿{
Vậy tọa độ điểm D(-3;16) b/
BA=(7;3) BC=(3;−7) BA BC=7 3+3(−7)=0
⇒ Tam giác ABC vuông B
Do B=900 nên đường tròn ( C ) ngọai tiếp tam giác ABC có tâm I trung điểm AC
Ta có: xI=xA+xC
2 =
10+6 =8
yI=yA+yC
2 =
5−5
2 =0
Đường trịn ( C) có tâm I(8;0) bán kính
10−8¿2+52
¿ ¿
R=IA=√¿
Vậy phương trình ( C) : x −8¿2+y2=29
¿
( C) cắt đường thẳng y = M(xM;5)
Ta có:
xM−8¿2+25=29
¿
⇔
¿
xM=10
¿
xM=6
¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿
(13)Baøi 2:Cho hai điểm A(1;6), B(-3; -4) Hãy tìm điểm M đường thẳng d: 2x–y–1= cho : MA + MB bé
Giải:
Ta có A, B phía d ( xem hình) Gọi C điểm đối xứng A qua D Với điểm M d ta có:
MA+MB = MC+MB BC
Dấu đẳng thức xảy M giao điểm d BC
Trước hết ta xét đường thẳng l qua A vng góc với d có phương trình: x + 2y – 13 =
Tọa độ hình chiếu H A d nghiệm hệ:
¿
x+2y −13=0 2x − y −1=0
⇔
¿x=3
y=5
¿{
¿
Vậy điểm H(3;5) Tọa độ điểm C :
¿
xC=2xH− xA=6−1=5
yC=2yH− yA=10−6=4
¿{
¿ Vậy C(5;4)
Phương trình đường thẳng BC là: x – y – = Tọa độ điểm M phải tìm nghiệm hệ:
¿
x − y −1=0 2x − y −1=0
⇔
¿x=0
y=−1
¿{
¿
Vậy điểm M(0; -1)
Baøi 3:Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy Cho hình thoi ABCD có tọa độ đỉnh A(0;3), B(5;3) Tâm I hình thoi nằm đường thẳng (d): x+y −2=0 Xác định tọa độ đỉnh C D ?
(14)
y0−3¿
x0−0¿
+¿ AI2=¿
y0−3¿2
x0−5¿2+¿ BI2=¿
3−3¿2=25 5−0¿2+¿ AB2=¿
Tam giác IAB vuông I I thuộc (d) nên ta có hệ phương trình
y0−3¿
=25
¿
x0+y0−2=0
¿
x0−5¿2+¿
y0−3¿2+¿ ¿
x02 +¿
⇔ x0=1
y0=1 ¿{
⇒I(1;1)
Gọi tọa độ điểm C(xC; yC) ,D(xD;yD),ta có
¿ 1=xC
2 1=yC+3
2 ¿{
¿
⇔ xC=2 yC=−1
¿{
¿ 1=xD+5
2 1=yD+3
2 ¿{
¿
⇔ xD=−3 yC=−1
¿{
Vậy tọa độ C(2;−1) D(−3;−1)
Baøi 4:Trong mặt phẳng tọa độ Oxy Hãy lập phương trình cạnh tam giác ABC Biết A( 1; ) hai đường trung tuyến phát xuất từ B C có phương trình :
x – y + = y – = Giải:
(15)¿
y −1=0
x −2y+1=0
¿{
¿
=> G ( ; ) Dựng hình bình hành BGCE
Tính E( ; - )
Phương trình đường thẳng ( EC )
x – 2y – = C nghiệm hệ phương trình :
¿
y −1=0
x −2y −3=0
¿{
¿
=> C ( 5; ) Phương trình đường thẳng ( EB ) : y + =
B nghiệm hệ phương trình :
¿
y+1=0
x −2y+1=0
¿{
¿
=> B ( - ; - ) Vậy : (AB) : x – y + =
( AC ) : x + 2y – = ( BC ) : x – 4y – =
Baøi 5:Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm I Gọi D trung điểm cạnh AB, E trọng tâm tam giác ADC Chứng minh AB = AC IE vng góc với CD
Giải:
Chọn hệ tọa độ Oxy cho O trùng với trung điểm BC, điểm A thuộc trục Oy ta có: + A(0 ; a), B(-c ; 0), C(c ; 0)
Suy D( −c
2 ;
a
2 ), E(
c
6 ;
a
2 )
Do AB = AC nên tâm I Oy => I(0 ; y0)
IA (0 ; a - y0), IC (c ; -y0)
IA = IC <=> IA2 =IC2
<=> (a - y0)2 = c2 + y02
<=> y0 = a
− c2
2a
Vậy I(0 ; a2− c2
2a )
Hệ số góc đường thẳng IE : k ¿ yE− yI
xE− xY
=3c
a
Hệ số góc củTa có: k k’ = -1
Vậy IE CDa đường thẳng CD là: k’ ¿yD− yC
xD− xC
=− a 3c
Bài 6:Cho đường trịn (C): x2 + y2 – 8x + 6y + 21 = đường thẳng d: x
(16)Giải:
Đường trịn (C) có tâm I(4, –3), bán kính R =
Tọa độ I(4, –3) thỏa phương trình (d): x + y – = Vậy I d
Vậy AI đường chéo hình vng ngoại tiếp đường trịn, có bán kính R = , x = x= tiếp tuyến (C ) nên
Hoặc A giao điểm đường (d) x = A(2, –1)
Hoặc A giao điểm đường (d) x = A(6, –5)
Khi A(2, –1) B(2, –5); C(6, –5); D(6, –1)
Khi A(6, –5) B(6, –1); C(2, –1); D(2, –5)
Baøi :Cho tam giác ABC ABC.Gọi D điểm đối xứng C qua AB.Vẽ đường tròn tâm D qua A, B; M điểm đường trịn (M A,M B) Chứng minh độ dài MA, MB, MC độ dài ba cạnh tam giác vng
Giải:
O
M(x0;y 0) B
D ^
> C
A
Chọn hệ trục Oxy cho Ox trùng với AB , chiều dương hướng từ A đến B,trục Oy đường trung trực đoạn AB
A(-1;0); B(1;0) ,C(0; 3) ,D(0;- 3)
Phương trình đường trịn tm D qua A, B l :x2 (y 3)2 4 (1) Giả sử M(a;b)l điểm đường trịn (1) Ta có :
2 2 (a 1) b
MA
2 2 (a 1) b
MB
2
2 ( 3)
a b
MC
1 )
3
( 2
2 2
MB a b a b b
MA
= ( 3) 2
2 a b
MC
M nằm đường tròn (1) nên : a2 (b 3)2 40
2
2 MB MC
(17) MA, MB, MC độ dài ba cạnh tam giác vuông.
Baøi 8:Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có diện tích S =
3
2, A(2; - 3), B(3; -2)
Trọng tâm G tam giác thuộc đường thẳng 3x – y – = Xác định toạ độ điểm C Giải:
Theo giả thiết SABC =
2 SGAB =
AB
=(1; 1) AB =
Từ suy khoảng cách từ G đến đường thẳng AB d =
1
Phương trình đường thẳng AB : x – y – =
Gọi G(x0; y0); d =
2 =
0
x y
x0 y0 1
Lại G thuộc đường thẳng 3x – y – = nên toạ độ G nghiệm hệ
0
3
x y
x y
G(1; - 5) G(2; -2).
Từ GA GB GC 0 suy C(-2; -10) C(1; -1).
Baøi :Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho ba điểm A(0;a),B(b;0) ,C (-b; 0) với a>0 ,b >0 1/.Viết phương trình đường tròn ( C ) tiếp xúc với đường thẳng AB B tiếp xúc với đường thẳng AC C
2/ Gọi M điểm đường tròn ( C ) d d d1, ,2 khoảng cách từ M đến
đường thẳng AB,AC,BC.Chứng minh d d1 d32 Giải:
a/-ABC cân A;tâm I ( C) thuoäc Oy ⇒I(0; y0)
, IB=(b ;− y
0),AB=(b ;− a) Do IB AB=0⇒b2+ay0=0⇒y0=−b
a (0,5d)
Mặc khác R2
=IB2=b2+y02=b2+b
a2 (0,5d)
Vậy pt ( C) y+
b2 a ¿
2
=b2+b
a2
x2+¿
(0,5d)
b/- Đương thẳng AB có pt: ax+by−ab=0
(18)Ta có :
d1=|ax0+by0−ab|
√a2 +b2
d2=
|ax0−by0+ab|
√a2+b2
d3=|y0|
(0,5d) Do y0+
b2
a ¿
2
=b2+b
a2
M(x0; y0)∈(C)⇔x02+¿
⇔a2x0
−a2b2+2 ab2y0=− a
y0
⇒d1d2=
|−b2y02−a2y02|
a2
+b2 =y0
=d32
Bài 10:Trong mặt phẳng 0xy cho đường trịn (C): x2+y2 -2x+4y+4 = 0.Gọi Δ là
đường thẳng song song đường thẳng (D):3x+4y-1 = chia đường tròn ( C) thành hai cung mà tỉ số độ dài 2.Tìm phương trình đường thẳng Δ
Giaûi:
B
A H
I
N M
Đường trịn (C ) có tâm I(1;-2); R=1 Δ // (D) nên Δ :3x+4y+C=0
Δ cắt ( C) A B ,đường thẳng qua I vng góc Δ H cắt ( C) M N giả sử độ dài cung AMB lần độ dài cung ANB suy góc AIB=1200
Tính IH= R.cos600 =
IH= 12 ↔ d(I ; Δ)=1 2↔
|3−8+C|
5 =
(19)Tìm được:
C1=152 ¿
C2=5 ¿
→
¿
Δ1:3x+4y+15 =0 ¿
Δ2=3x+4y+5 2=0 ¿
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
Baøi 11:Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, Cho tam giác ABC với A(2;0), C(-2;3) trọng
tâm G 121 ;1
Viết phương trình đường trịn nội tiếp tam giác ABC.
Giải:
Cho tam giác ABC có A(2;0), C(-2;3) G 121 ;1
B ;04
Phương trình cạnh AB : 3x + 4y - = AC : 4x + 3y - = BC : y =
Phương trình phân giác góc A : x + y -1 = Phương trình phân giác góc B : x + 3y - = Gọi I(x, y) tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC
tọa độ I nghiệm hệ phương trình
1
1 2
3
2
x x y
x y
y
Vậy phương trình đường trịn :
2
1 1 ( ) ( )
2
x y
Baøi 11:Trong mặt phẳng (Oxy) cho tam giác ABC với A(2,1) phương trình đường phân giác
trong B C là:
d1: x2y+1=0 d2: x+y+3=0
Viết phương trình cạnh BC
Giải:
Gọi A1, A2 điểm đối xứng A qua d1, d2 A1,A2 nằm BC
(20)Gọi H1 hình chiếu A d1 tọa độ H nghiệm hệ phương trình:
¿
x −2y+1=0 2x+y −3=0
⇒H(1,1)
¿{
¿
H1 trung điểm AA1 A1(0,3)
Tương tự gọi H2 hình chiếu A d2 H2(0,3)
H2 trung điểm AA2 A2(2,5)