Phuong phap toa do trong mat phang

Vieát phöông trình ñöôøng troøn (C) tieáp xuùc vôùi truïc hoaønh taïi ñieåm A vaø khoaûng caùch töø taâm cuûa (C) ñeán ñieåm B baèng 5 (TS.K.B2005).. Moät soá baøi taäp naâng [r]

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

Chủ đề : ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ

A.KIẾN THỨC CƠ BẢN I Các định nghĩa VTCP PVT đường thẳng:

1 VTCP đường thẳng :

alà VTCP đường thẳng ()

ñn



a có giá song song trùng với ( ) a

   

 



 



n VTPT đường thẳng ()

ñn



n có giá vng góc với ( ) n

   

 



 



* Chuù yù:

 Nếu đường thẳng () có VTCP a( ; )a a1



có VTPT laø n ( a a2; )1 

 



2 ( ; ) n a a

 Nếu đường thẳng () có VTPT n( ; )A B



có VTCP a ( ; )B A   

( ; )

a B A

* Nhận xét :

Đường thẳng ( ) đi qua hai điểm A, B ta chọn :AB(xB x yA; B yA)



làm VTCP ( ) .

Bài tập aùp duïng :

1 Cho đường thẳng ( ) đi qua hai điểm A(1;-2), B(-1;3) Tìm VTCP VTPT ( ) .

2: Cho tam giác ABC biết A( 1;2), (5;7), (4; 3) B C 

Tìm VTCP VTPT đường cao tam giác Tìm VTCP VTPT đường trung trực tam giác

) (

n

a

a ()

a

n

II Phương trình đường thẳng :

1 Phương trình tổng quát đường thẳng :

a Phương trình đường thẳng qua điểm M0(x0;y0) có VTPT n( ; )A B



laø:

n y

M(x ; y) ( ) : ( A x x 0)B y y(  0) 0 (*)

x O

M0(x0; y0)

b Phương trình tổng quát đường thẳng :

Định lý :Trong mặt phẳng (Oxy) Phương trình đường thẳng () có dạng :

Ax + By + C = với A2B2 0

Chú ý:

Từ phương trình ():Ax + By + C = ta suy :

1 VTPT () n( ; )A B 

2 VTCP ()    

 

( ; ) hay u ( ; )

u B A B A

3 M x y0( ; ) ( )0    Ax0 By C0 0

 Cách tìm tọa độ M x y0( ; )0 Ta chọn x =xo ,thế vào phương trình Ax + By + C = tìm yo.

Mệnh đề (3) hiểu :

Điều kiện cần đủ để điểm nằm đường thẳng tọa độ điểm nghiệm phương trình đường thẳng

Bài tập áp dụng :

Bài 1: Viết phương trình tham số đường thẳng biết phương trình tổng qt 5x 2y 3

Bài 2: Viết phương trình tổng quát đường thẳng qua M(-1;2) song song ( ) : 2 x 3y 4

Bài 3: Viết phương trình tổng quát đường thẳng qua N(-1;2) vng góc ( ) : 2 x 3y 4

Bài 4: Cho hai điểm A(-1;2) B3;4) Tìm điểm C đường thẳng x-2y+1=0 cho tam giác ABC vuông C

) ; ( 0 x y M

) ; (A B n

x y

O

) ;

( B A

a 

2 Phương trình tham số phương trình tắc đường thẳng :

a Định lý : Trong mặt phẳng (Oxy) Đường thẳng () qua M0(x0;y0) nhận  

( ; ) u a b làm VTCP có :

M(x ; y) a y 

x O

Phương trình tắc :

0

1

( ) : x x y y

a a

 

 

Điều kiện : 0

a b

 

Chú ý:

 

  

 

 

  

0

( ) : ( )

t

x x a t

y y b t

Chú ý:Từ phương trình ():Ax + By + C = ta ln suy :

1 VTPT () n( ; )A B 

2 VTCP () laø    

 

( ; ) hay u ( ; )

u B A B A

Ghi nhớ:

Dữ kiện cần Dạng phương trình

Phương trình

tổng quát

Tọa độ điểm Mx yo; o thuộc đthẳng .

VTPT  



( ; )

n A B của



  o    o 0

A x x B y y

Phương trình tham số

Tọa độ điểm Mx yo; o thuộc  VTCP  



( ; )

u a b

của 

  

 

 

 

0 x x at y y bt Phương trình tham số :

 



  

 





0

( ) : x x at (t ) y y bt

C

Tọa độ M thuộc đường thẳng.

Phương trình chính tắc

Tọa độ điểm Mx yo; o thuộc  VTCP  



( ; )

u a b

của 

 



o o

x x y y

a b

3 Các dạng khác phương trình đường thẳng :

a Phương trình đường thẳng qua hai điểm A(xA;yA) B(xB;yB) :

( ) :

A A

B A B A

x x y y AB

x x y y

 



  (AB x x) :  A (AB y y) :  A

BÀI TẬP ÁP DỤNG:

Cho tam giác ABC biết A(1;-1), B(-2;1), C1;5) Viết phương trình ba cạnh tam giác

b Phương trình đường thẳng qua điểm M0(x0;y0) có hệ số góc k:

y Định nghĩa: Trong mp(Oxy) cho đường thẳng  Gọi  ( , )Ox  k tg  gọi hệ số

goùc

củađường thẳng 

x α

O

Định lý 1: Phương trình đường thẳng  qua M x y0( ; )0 có hệ số góc k :

y - y = k(x - x )0 0 (1)

Chú ý 1: Phương trình (1) khơng có chứa phương trình đường thẳng qua M0 vng góc Ox nên sử dụng ta cần để ý xét thêm đường thẳng qua M0 vuông góc Ox x = x0

Chú ý 2: Nếu đường thẳng  có phương trình y ax b  hệ số góc đường thẳng k a

) ; (x y M

x y

O x0

Định lý 2: Gọi k1, k2 hệ số góc hai đường thẳng  1, ta có :

 1//2  k1 k2

   1  k 1k2 1

BÀI TẬP ÁP DỤNG:

Viết phương trình đường thẳng qua A(-1;2) vng góc với đường thẳng x 3y 4

c Phương trình đt qua điểm song song vng góc với đt cho trước: Kiến thức thường sử dụng:

i Phương trình đường thẳng ( ) //( ): Ax+By+C=0 có dạng: Ax+By+m =01  ĐK: (m1C) ii Phương trình đường thẳng ( ) ( ): Ax+By+C=0 có dạng: Bx-Ay+m =01  

Chú ý: m m1; 2 xác định điểm có tọa độ biết nằm  1;

Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn:

x a+

y b=1

Dạng toán

Bài toán: Cho điểm Mx y0; 0 và đường thẳng ( ) : ax by c  0.Tìm hình chiếu vuơng gĩc của

M lên ( )

Phương pháp:

0

: 2

1   

 Bx Ay m

x y

O x0

1

M

0 :   1 

 Ax By C

0

:

1

1









m

B

y

A

x x

y

O

0

x

0

:

1









C

B

y

A

x

1

M

d



 Bước 1:Viết phương trình tổng quát đường thẳng (d) qua M vng góc .Khi đó ta có :

( ; ) ( ; )

ud n a b  nd b a                                            .

 Bước 2:Gọi H = (d)  ,tọa độ H nghiệm hệ phương trình:

d

   

Giải pt tìm tọa độ H  H điểm cần tìm.

VD : Cho điểm M(2;-3) đường thẳng ( ) : 2 x y 1 0 .Tìm hình chiếu vng góc M lên ( ) .

BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1: Viết phương trình tổng qt đường thẳng qua M(-1;2) song song ( ) : 2 x 3y 4

Bài 2: Viết phương trình tổng qt đường thẳng qua N(-1;2) vng góc ( ) : 2 x 3y 4

Bài 3: Cho tam giác ABC biết A( 1; 2), (5;7), (4; 3) B C 

Viết phương trình đường cao tam giác Viết phương trình đường trung trực tam giác Bài 4: Cho tamgiác ABC với A(1;-1) ; B(-2;1); C(3;5).

a) Viết phương trình đường vng góc kẻ từ A đến trung tuyến BK tam giác ABC b) Tính diện tích tam giác ABK

III Vị trí tương đối hai đường thẳng :

Trong mp(Oxy) cho hai đường thẳng :

1 1

2 2

( ) :

( ) :

A x B y C A x B y C

   

   

Vị trí tương đối ( ) ( )1 2 phụ thuộc vào số nghiệm hệ phương trình :

1 1

2 2

0 A x B y C A x B y C

  

 

  

 hay

1 1

2 2

(1) A x B y C A x B y C

 

 

 



Chú ý: Nghiệm (x;y) hệ (1) tọa độ giao điểm M ( ) ( )1 2 Định lý 1:

1

1

1

Hệ (1) vô nghiệm ( )//( ) Hệ (1) có nghiệm ( ) cắt ( )

Hệ (1) có vô số nghiệm ( ) ( ) i ii iii          

 Định lý 2: Nếu A B C2; ;2 2 khác thì x  x y O  

 caét  x y O  1 

   

    

     

1

1

2

1 1

1

2 2

1 1

1

2 2

A ( ) caét ( )

A A ( ) // ( )

A A ( ) ( )

A B i

B B C ii

B C B C iii

B C

BÀI TẬP ÁP DỤNG:

Bài 1: Cho tam giác ABC có phương trình ba cạnh

( ) : 17 ( ) : 13 ( ) :

AB x y

AC x y

BC x y

  

  

  

Tìm toạ độ ba đỉnh A, B, C

Bài 2: Cho tamgiác ABC có đỉnh A(2;2) Lập phương trình cạnh tam giác ABC.Biết rằng đường thẳng 9x-3y-4=0 x+y-2=0 đường cao tam giác xuất phát từ B C

Bài 3: Tuỳ theo m, biện luận vị trí tương đối hai đường thẳng sau:

1

2

:

:

d mx y m d x my

   

  

Bài 4: Xét vị trí tương đối hai đường thẳng sau,và tìm tọa độ giao điểm (nếu cĩ):

1

2

:

:

d x y

d x y

  

  

BÀI TẬP AÙP DUÏNG:

Bài 1: Cho hai điểm A(-1;3), B(1;2) Viết phương trình tham số tắc đường thẳng qua A, B Bài 2: Các điểm P(2;3); Q(4;-1); R(-3;5) trung điểm cạnh tam giác Hãy lập phương trình tắc đường thẳng chứa cạnh tam giác

Bài 3: Các điểm A(2;3) đường thẳng ( ) : 2 x y 1 0 .Hãy lập phương trình đường thẳng ( ')

đối xứng ( ) qua M

Chủ đề :

KHOẢNG CÁCH VÀ GĨC

Định lý : Trong mp(Oxy) cho hai đường thẳng :

1 1

2 2

( ) :

( ) :

A x B y C A x B y C

   

   

Gọi  (00   900) góc ( ) ( )1 2 ta có :

1 2

2 2

1 2

cos

A A B B

A B A B

 

 

Hệ quả:

( ) ( ) 1  2  A1 2A B B1 0

II Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng :

Định lý 1: Trong mp(Oxy) cho hai đường thẳng ( ) : Ax By C  0 điểm M x y0( ; )0 Khoảng cách từ M0 đến đường thẳng ( ) tính cơng thức:

0

0 2 2

( ; ) Ax By C d M

A B

 

 



DẠNG 1:Tính Góc Giữa Hai Đường Thẳng Phương pháp:

Để tìm góc hai đường thẳng

1 1

2 2

: a x

: a x

b y c b y c

   

    ta thực bước sau:

Bước 1:Tìm tọa độ hai vec-tơ phương  1;

Bước 2:Thay vào công thức :

  

 

1 2

2 2

1 2

cos

a a b b a b a b . Bước 3:Sử dụng máy tính suy góc 

Phân biệt góc hai đường thẳng góc hai vec-tơ phương chúng:

Góc hai đường thẳng Góc hai vec-tơ phương chúng

1



x y

O

2





x y

O

) (

0 M

 

 

1 2

2 2

1 2

cos

a a b b

a b a b 

 

 

1 2

2 2

1 2

cos

a a b b a b a b

Có dấu GTTĐ Khơng có dấu GTTĐ

0

0   90 00   1800

DẠNG :Tính Khoảng Cách Từ Một Điểm Đến Một Đường Thẳng Phương pháp:

Để tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng góc hai đường thẳng : ax by c 0 ta thực bước sau:

Bước 1: Xem đường thẳng cho dạng ,chuyển dạng tổng quát Bước 2: Khoảng cách từ M0 đến đường thẳng ( ) tính cơng thức:

 

 



0

0 2 2

( ; ) ax by c d M

a b

DẠNG :Tính Khoảng Cách Giữa Hai Đường Thẳng Song Song ta sử dung công thức:

1 1

2 2

: a x

: a x

b y c b y c

   

   

 1; 2 12 22

c c

d

a b

   

 Dạng toán thường gặp :

+Tính độ dài đường cao tam giác biết tọa độ đỉnh tam giác

+Viết phương trình đường thẳng song song cách đường thẳng ax+by+c= khoảng h cho trước

+Viết phương trình đường thẳng qua A cách C B

Góc hai đường thẳng Góc hai vec-tơ phương chúng

 

 

1 2

2 2

1 2

cos

a a b b a b a b

  

 

1 2

2 2

1 2

cos

a a b b a b a b

Có dấu GTTĐ Khơng có dấu GTTĐ

0

0   90 00   1800

Chủ đề :

I Phương trình đường trịn: Phương trình tắc:

Định lý : Trong mp(Oxy) Phương trình đường trịn (C) tâm I(a;b), bán kính R :

( ) : (C x a )2(y b )2 R2 (1)

Phương trình (1) gọi phương trình tắc đường trịn Đặc biệt: Khi I O ( ) :C x2y2 R2 (hay: y R2 x2 ) Phương trình tổng quát:

Định lý : Trong mp(Oxy) Phương trình : x2 y2 2ax 2by c 0 với a2b2 c0 phương

trình đường trịn (C) có tâm I(a;b), bán kính R a2b2 c

Dạng tốn: Viết phương trình tiếp tuyến đường tròn:

D

ạng 1: Tiếp tuyến M nhận IM ( ; )A B



làm vtpt nên phương trình có dạng: A x x(  0)B y y(  0) 0

D

ạng 2: Tiếp tuyến song song vng góc với đường thẳng d cho trước :

Sử dụng gt:

 ( ) //(d): Ax+By+C=0   phương trình đường thẳng ( )có dạng: Ax+By+m =0

ĐK: (m1C)

 ( ) (d): Ax+By+C=0    phương trình đường thẳng ( )có dạng: Bx-Ay+m =0

Sử dụng điều kiện : tiếp xúc đường tròn tâm I (a;b) ,bán kính R  d I ;  R

Giải tìm m ,phương trình tiếp tuyến cần tìm Dạng 3:Tiếp tuyến qua A x y0; 0 Phương pháp:

+Gọi k hệ số góc tiếp tuyến cần tìm

+Do tiếp tuyến qua A x y0; 0nên phương trình tiếp tuyến có dạng:

    0

0 0 0 0 0 0

y - y = k(x - x ) y = kx - kx y kx - y - kx y x

y

O

) ; (a b I

R a b

) ; (x y M

(C) I(a;b)

) (

) ;

( 0

Sử dụng điều kiện :tiếp xúc đường tròn tâm I (a;b) ,bán kính R  d I ;  R

BAØI TẬP ỨNG DỤNG:

Bài 1: Viết phương trình đường trịn đường kính AB biết A(1;3), B(3:-5)

Bài 2: Viết phương trình đường trịn có tâm I(-1;2) tiếp xúc đường thẳng ( ) : 3 x 4y 2

Bài 3: Xác định tâm bán kính đường trịn ( ) :C x2y22x 4y 20 0

Bài 4: Viết phương trình đường trịn (C) qua ba điểm A(3;3), B(1;1),C(5;1) Bài 5: Cho phương trình : x2y24mx 2my2m 3 0 (1)

Bài 6: Định m để phương trình (1) phương trình đường tròn (Cm)

Xét đường tròn (C) qua ba điểm A(-1;2), B(2;0), C(-3;1) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) A BAØI TẬP RÈN LUYỆN

Bài 1: Lập phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác có ba đỉnh A(1;1); B(-1;2); C(0;-1). Bài 2: Lập phương trình đường trịn nội tiếp tam giác có ba đỉnh A(-1;7); B(4;-3); C(-4;1). Bài 3: Lập phương trình đường trịn qua điểm A(-1;1) B(1;-3) có tâm nằm đường

thaúng (d):2x - y + =

Bài 4: Lập phương trình đường tròn qua điểm A(-1;-2) tiếp xúc với đường thẳng (d): 7x-y-5=0 điểm M(1;2)

Bài 5: Lập phương trình đường trịn có tâm nằm đường thẳng 2x+y=0 tiếp xúc với đường thẳng x-7y+10=0 điểm A(4;2)

Bài 6: Viết phương trình đường trịn có tâm nằm đường thẳng 4x +3y - = tiếp xúc với hai đường thẳng : x + y + = 7x - y + =

Bài 7: Viết phương trình đường trịn qua điểm A(2;-1) tiếp xúc với hai trục tọa độ Ox,Oy. Bài 8: Cho đường tròn (C):(x-1)2 +(y-2)2=4 đường thẳng (d):x-y-1=0 Viết phương trình đường trịn (C') đối xứng với đường trịn (C) qua đường thẳng (d) Tìm toạ độ giao điểm (C) (C').

Bài 9: Cho điểm M(6;2) đường tròn (C):x2y2 2x 4y0 Lập phương trình đường thẳng

(d) qua M cắt (C) hai điểm phân biệt A, B cho AB 10

Bài 10: Viết phương trình tiếp tuyến đường trịn (C):x2y2 2x 6y 9

1 Tiếp tuyến song song với đường thẳng x-y=0 Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng 3x-4y=0

Bài 11: Cho hai điểm A(2;0), B(6;4) Viết phương trình đường trịn (C) tiếp xúc với trục hồnh điểm A khoảng cách từ tâm (C) đến điểm B (TS.K.B2005)

Baøi 1:Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC với A(10;5), B(3;2), C(6;-5) a/ Tìm tọa độ điểm D xác định hệ thức : AD=3AB−2AC

b/ Viết phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC tìm giao điểm đường tròn với đường thẳng y =

Giải:

a / AD=3AB−2AC

⇔

xD−10=3(3−10)−2(6−10)

yD−5=3(2−5)−2(−5−5)

¿{

⇔ xD=−3

yD=16

¿{

Vậy tọa độ điểm D(-3;16) b/

BA=(7;3) BC=(3;−7) BA BC=7 3+3(−7)=0

⇒ Tam giác ABC vuông B

Do B=900 nên đường tròn ( C ) ngọai tiếp tam giác ABC có tâm I trung điểm AC

Ta có: xI=xA+xC

2 =

10+6 =8

yI=yA+yC

2 =

5−5

2 =0

Đường trịn ( C) có tâm I(8;0) bán kính

10−8¿2+52

¿ ¿

R=IA=√¿

Vậy phương trình ( C) : x −8¿2+y2=29

¿

( C) cắt đường thẳng y = M(xM;5)

Ta có:

xM−8¿2+25=29

¿

⇔

¿

xM=10

¿

xM=6

¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿

Baøi 2:Cho hai điểm A(1;6), B(-3; -4) Hãy tìm điểm M đường thẳng d: 2x–y–1= cho : MA + MB bé

Giải:

Ta có A, B phía d ( xem hình) Gọi C điểm đối xứng A qua D Với điểm M d ta có:

MA+MB = MC+MB  BC

Dấu đẳng thức xảy M giao điểm d BC

Trước hết ta xét đường thẳng l qua A vng góc với d có phương trình: x + 2y – 13 =

Tọa độ hình chiếu H A d nghiệm hệ:

¿

x+2y −13=0 2x − y −1=0

⇔

¿x=3

y=5

¿{

¿

Vậy điểm H(3;5) Tọa độ điểm C :

¿

xC=2xH− xA=6−1=5

yC=2yH− yA=10−6=4

¿{

¿ Vậy C(5;4)

Phương trình đường thẳng BC là: x – y – = Tọa độ điểm M phải tìm nghiệm hệ:

¿

x − y −1=0 2x − y −1=0

⇔

¿x=0

y=−1

¿{

¿

Vậy điểm M(0; -1)

Baøi 3:Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy Cho hình thoi ABCD có tọa độ đỉnh A(0;3), B(5;3) Tâm I hình thoi nằm đường thẳng (d): x+y −2=0 Xác định tọa độ đỉnh C D ?

y0−3¿

x0−0¿

+¿ AI2=¿

y0−3¿2

x0−5¿2+¿ BI2=¿

3−3¿2=25 5−0¿2+¿ AB2=¿

Tam giác IAB vuông I I thuộc (d) nên ta có hệ phương trình

y0−3¿

=25

¿

x0+y0−2=0

¿

x0−5¿2+¿

y0−3¿2+¿ ¿

x02 +¿

⇔ x0=1

y0=1 ¿{

⇒I(1;1)

Gọi tọa độ điểm C(xC; yC) ,D(xD;yD),ta có

¿ 1=xC

2 1=yC+3

2 ¿{

¿

⇔ xC=2 yC=−1

¿{

¿ 1=xD+5

2 1=yD+3

2 ¿{

¿

⇔ xD=−3 yC=−1

¿{

Vậy tọa độ C(2;−1) D(−3;−1)

Baøi 4:Trong mặt phẳng tọa độ Oxy Hãy lập phương trình cạnh tam giác ABC Biết A( 1; ) hai đường trung tuyến phát xuất từ B C có phương trình :

x – y + = y – = Giải:

¿

y −1=0

x −2y+1=0

¿{

¿

=> G ( ; ) Dựng hình bình hành BGCE

Tính E( ; - )

Phương trình đường thẳng ( EC )

x – 2y – = C nghiệm hệ phương trình :

¿

y −1=0

x −2y −3=0

¿{

¿

=> C ( 5; ) Phương trình đường thẳng ( EB ) : y + =

B nghiệm hệ phương trình :

¿

y+1=0

x −2y+1=0

¿{

¿

=> B ( - ; - ) Vậy : (AB) : x – y + =

( AC ) : x + 2y – = ( BC ) : x – 4y – =

Baøi 5:Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm I Gọi D trung điểm cạnh AB, E trọng tâm tam giác ADC Chứng minh AB = AC IE vng góc với CD

Giải:

Chọn hệ tọa độ Oxy cho O trùng với trung điểm BC, điểm A thuộc trục Oy ta có: + A(0 ; a), B(-c ; 0), C(c ; 0)

Suy D( −c

2 ;

a

2 ), E(

c

6 ;

a

2 )

Do AB = AC nên tâm I Oy => I(0 ; y0) 

IA (0 ; a - y0), IC (c ; -y0)

IA = IC <=> IA2 =IC2

<=> (a - y0)2 = c2 + y02

<=> y0 = a

− c2

2a

Vậy I(0 ; a2− c2

2a )

Hệ số góc đường thẳng IE : k ¿ yE− yI

xE− xY

=3c

a

Hệ số góc củTa có: k k’ = -1

Vậy IE CDa đường thẳng CD là: k’ ¿yD− yC

xD− xC

=− a 3c

Bài 6:Cho đường trịn (C): x2 + y2 – 8x + 6y + 21 = đường thẳng d: x

Giải:

Đường trịn (C) có tâm I(4, –3), bán kính R =

Tọa độ I(4, –3) thỏa phương trình (d): x + y – = Vậy I  d

Vậy AI đường chéo hình vng ngoại tiếp đường trịn, có bán kính R = , x = x= tiếp tuyến (C ) nên

Hoặc A giao điểm đường (d) x =  A(2, –1)

Hoặc A giao điểm đường (d) x =  A(6, –5)

Khi A(2, –1)  B(2, –5); C(6, –5); D(6, –1)

Khi A(6, –5)  B(6, –1); C(2, –1); D(2, –5)

Baøi :Cho tam giác ABC ABC.Gọi D điểm đối xứng C qua AB.Vẽ đường tròn tâm D qua A, B; M điểm đường trịn (M A,M B) Chứng minh độ dài MA, MB, MC độ dài ba cạnh tam giác vng

Giải:

O

M(x0;y 0) B

D ^

> C

A

Chọn hệ trục Oxy cho Ox trùng với AB , chiều dương hướng từ A đến B,trục Oy đường trung trực đoạn AB

 A(-1;0); B(1;0) ,C(0; 3) ,D(0;- 3)

Phương trình đường trịn tm D qua A, B l :x2 (y 3)2 4 (1) Giả sử M(a;b)l điểm đường trịn (1) Ta có :

2 2 (a 1) b

MA   

2 2 (a 1) b

MB   

2

2 ( 3)

  a b

MC

1 )

3

( 2

2 2

 

  

 

MB a b a b b

MA

= ( 3) 2

2 a  b 

MC

M nằm đường tròn (1) nên : a2 (b 3)2  40

2

2 MB MC

 MA, MB, MC độ dài ba cạnh tam giác vuông.

Baøi 8:Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có diện tích S =

3

2, A(2; - 3), B(3; -2)

Trọng tâm G tam giác thuộc đường thẳng 3x – y – = Xác định toạ độ điểm C Giải:

Theo giả thiết SABC =

2  SGAB =

AB



=(1; 1)  AB =

Từ suy khoảng cách từ G đến đường thẳng AB d =

1

Phương trình đường thẳng AB : x – y – =

Gọi G(x0; y0); d =

2 =

0

x  y 

 x0 y0 1

Lại G thuộc đường thẳng 3x – y – = nên toạ độ G nghiệm hệ

0

3

x y

x y

   

 

   

  G(1; - 5) G(2; -2).

Từ GA GB GC    0 suy C(-2; -10) C(1; -1).

Baøi :Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho ba điểm A(0;a),B(b;0) ,C (-b; 0) với a>0 ,b >0 1/.Viết phương trình đường tròn ( C ) tiếp xúc với đường thẳng AB B tiếp xúc với đường thẳng AC C

2/ Gọi M điểm đường tròn ( C ) d d d1, ,2 khoảng cách từ M đến

đường thẳng AB,AC,BC.Chứng minh d d1 d32 Giải:

a/-ABC cân A;tâm I ( C) thuoäc Oy ⇒I(0; y0)

, IB=(b ;− y

0),AB=(b ;− a) Do IB AB=0⇒b2+ay0=0⇒y0=−b

a (0,5d)

Mặc khác R2

=IB2=b2+y02=b2+b

a2 (0,5d)

Vậy pt ( C) y+

b2 a ¿

2

=b2+b

a2

x2+¿

(0,5d)

b/- Đương thẳng AB có pt: ax+by−ab=0

Ta có :

d1=|ax0+by0−ab|

√a2 +b2

d2=

|ax0−by0+ab|

√a2+b2

d3=|y0|

(0,5d) Do y0+

b2

a ¿

2

=b2+b

a2

M(x0; y0)∈(C)⇔x02+¿

⇔a2x0

−a2b2+2 ab2y0=− a

y0

⇒d1d2=

|−b2y02−a2y02|

a2

+b2 =y0

=d32

Bài 10:Trong mặt phẳng 0xy cho đường trịn (C): x2+y2 -2x+4y+4 = 0.Gọi Δ là

đường thẳng song song đường thẳng (D):3x+4y-1 = chia đường tròn ( C) thành hai cung mà tỉ số độ dài 2.Tìm phương trình đường thẳng Δ

Giaûi:

B

A H

I

N M

Đường trịn (C ) có tâm I(1;-2); R=1 Δ // (D) nên Δ :3x+4y+C=0

Δ cắt ( C) A B ,đường thẳng qua I vng góc Δ H cắt ( C) M N giả sử độ dài cung AMB lần độ dài cung ANB suy góc AIB=1200

Tính IH= R.cos600 =

IH= 12 ↔ d(I ; Δ)=1 2↔

|3−8+C|

5 =

Tìm được:

C1=152 ¿

C2=5 ¿

→

¿

Δ1:3x+4y+15 =0 ¿

Δ2=3x+4y+5 2=0 ¿

¿ ¿ ¿ ¿ ¿

Baøi 11:Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, Cho tam giác ABC với A(2;0), C(-2;3) trọng

tâm G 121 ;1

 

 

  Viết phương trình đường trịn nội tiếp tam giác ABC.

Giải:

Cho tam giác ABC có A(2;0), C(-2;3) G 121 ;1

 

 

   B ;04

 

 

 

Phương trình cạnh AB : 3x + 4y - = AC : 4x + 3y - = BC : y =

Phương trình phân giác góc A : x + y -1 = Phương trình phân giác góc B : x + 3y - = Gọi I(x, y) tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC

 tọa độ I nghiệm hệ phương trình

1

1 2

3

2

x x y

x y

y

     

 



 

  

  

 

Vậy phương trình đường trịn :

2

1 1 ( ) ( )

2

x  y 

Baøi 11:Trong mặt phẳng (Oxy) cho tam giác ABC với A(2,1) phương trình đường phân giác

trong B C là:

d1: x2y+1=0 d2: x+y+3=0

Viết phương trình cạnh BC

Giải:

Gọi A1, A2 điểm đối xứng A qua d1, d2 A1,A2 nằm BC

Gọi H1 hình chiếu A d1 tọa độ H nghiệm hệ phương trình:

¿

x −2y+1=0 2x+y −3=0

⇒H(1,1)

¿{

¿

H1 trung điểm AA1  A1(0,3)

Tương tự gọi H2 hình chiếu A d2 H2(0,3)

H2 trung điểm AA2 A2(2,5)