Tài liệu học tập môn Giải tích 3. Các em vào bằng máy tính sẽ dễ dàng nhận tài liệu hơn nha. Em nào chưa biết truy cập tài liệu thì xem video ad ghim ở đầu trang nhé.Chào các bạn, lại là mình đây Tiếp tục chuỗi series ôn tập của môn Giải tích 3 hàng tuần nhéTuần này sẽ là các vấn đề về CHUỖI LŨY THỪA và CHUỖI FOURIER. Các bạn có thể Chia sẻ về Trang cá nhân hoặc Tải về để tham khảo nha
FB/ BK – Đại cương môn phái [GIẢI BÀI TẬP GIẢI TÍCH III] Sưu tầm: Trí Trí | Hải Nam | Nguyễn Phú | Minh Nguyễn | FB/ BK – Đại cương môn phái [GIẢI BÀI TẬP GIẢI TÍCH III] Lời giải – Hướng dẫn thực Team GT3 nhóm BK-ĐCMP I Chuỗi Xét hội tụ tính tổng có: 1 1 1 a) n n 3 2 n n 1 1 1 1 1 1 2 1 1 = n n = lim = 1 2 1 2 3 n 1 Vậy chuỗi cho hội tụ có tổng S = b) 1 1.2.3 2.3.4 3.4.5 1 1 1 1 lim 2.3 2.3 3.4 (n 1).n n(n 1) n 1.2 (n 1) (n 1) 1 (n 1)n(n 1) 2(n 1)n(n 1) (n 1)n n(n 1) 1 1 lim n(n 1) n 1.2 Vậy chuỗi cho hội tụ có tổng S = c) n 225 (2n 1) (2n 1) Hội tụ tổng S = Gợi ý: n (2n 1) (2n 1) 1 2 2 2 (2n 1) (2n 1) 8.(2n 1) (2n 1) 2n 1 2n 1 Các chuỗi sau hội tụ hay phân kì? Tại sao? a) n (1) n 1 3 5n (1) n 1 n 3 3 n ( 1) n n n 1 n 1 Sưu tầm: Trí Trí | Hải Nam | Nguyễn Phú | Minh Nguyễn | FB/ BK – Đại cương môn phái [GIẢI BÀI TẬP GIẢI TÍCH III] ) (1) n ) chuỗi PK n 1 3 n chuỗi HT n 1 Do chuỗi cho PK 1 n b) n 1 n n 1 n n 1 n Ta có: n chuỗi dương ta lại có: n n lim n ln 1 lim n. 1 e n n1 e n n1 e a lim lim n n 4 n n Nên chuỗi cho PK Sử dụng tiêu chuẩn: So sánh; Cauchy; D’Alambert; Tích phân, xét hội tụ: a) n 10n n 1 1 Ta có: n 10n n 1 n 10n 10n Mà b) n2 chuỗi dương n phân kì nên theo tiêu chuẩn so sánh chuỗi cho phân kì n 1 n ( n 1)( n 2) Ta có n ( n 1)( n 2) n2 Ta lại có: lima lim n 1 n c) n2 n 1 10n n n chuỗi dương n nên chuỗi cho PK (n 1)(n 2) Sưu tầm: Trí Trí | Hải Nam | Nguyễn Phú | Minh Nguyễn | FB/ BK – Đại cương môn phái [GIẢI BÀI TẬP GIẢI TÍCH III] 1 n Ta có: n (n 1) Mà HT nên chuỗi cho HT n ( n 1) d) n 1 n 1 n 1 n3/ Ta có: n 1 n 1 n 1 n3/ chuỗi dương aa n 1 n 1 3/4 5/4 3/4 n n ( n n 1) n Và: Hơn nữa: n n 5/4 HT nên chuỗi cho HT n2 1 n e) n2 n n n n Ta có f) n 1 n 1 1 e n mà n n n n n e n HT nên => HT n2 ln n n2 ln n Là chuỗi dương n2 Ta có ln n n với n ≥2 nên 1 ln n n Mà g) ln n n n2 Sưu tầm: Trí Trí | Hải Nam | Nguyễn Phú | Minh Nguyễn | n n2 PK => Chuỗi cho PK FB/ BK – Đại cương môn phái [GIẢI BÀI TẬP GIẢI TÍCH III] ln n n n2 Ta có: Ta lại có: chuỗi dương ln n ln n n với n ≥2 Mà h) n2 ln PK => Chuỗi cho PK n n2 1 n ln n n 1 Chuỗi cho dương 2 1 n ln ln 3/2 n n n 1 n n 1 n n 1 n Mà 3/2 HT => chuỗi cho HT n2 n Ta có i) 1 n ln n 1 1 n n (Dùng khai triển Mac) Chuỗi cho dương Ta có: 1 1 n 1 1 ln ln 1 o( ) n n n 2n n n n n n 2n Do chuỗi cho HT n2 n ln tan n n2 n n j) Chuỗi cho dương Ta có: n2 n n n 1 n n 1 ln n tan ln tan n n n n n n n n n n Do chuỗi cho HT 10 Sưu tầm: Trí Trí | Hải Nam | Nguyễn Phú | Minh Nguyễn | FB/ BK – Đại cương môn phái [GIẢI BÀI TẬP GIẢI TÍCH III] a Khi chuỗi cho có dạng: a2 n (1) ( 2).n PK n 1 Vậy chuỗi cho HT với a PK với a Tìm miền hội tụ chuỗi hàm số sau 1 x a) n n 1 Ta có 1 n n Mà n 1 x x x HT x n n 1 MHT: x \ 1,1 xn b) 2n n 1 x xn xn n x 2n x2n x n Do ta có MHT: x \ 1,1 n 1 x n 1 xn c) n 1 n 1 x x 1 x 1 x xn xn xn x n Mà 1 x 1 x n 1 n x 1 n 1 x n HT MHT: x (2, ) d) cos nx 2nx n 1 Ta có cos nx 1 Mà 2nx 2nx (2 x ) n (2 ) x n HT x x n 1 MHT: x (0, ) 17 Sưu tầm: Trí Trí | Hải Nam | Nguyễn Phú | Minh Nguyễn | x 11x FB/ BK – Đại cương môn phái [GIẢI BÀI TẬP GIẢI TÍCH III] (1) n 1 e) n 1 n x Ta có: (1)n 1 1 Mà 2 1 n x 1 n x n x n n 1 x HT với x MHT: x \ {0} 1 ln n x n f) xe n 1 lim n an lim n n n 1 1 ln n x ln x ln x n n lim 1/ n lim ln x 1, ( x e) 1/2 n xe n ( x e) n ( x e) Chuỗi cho PK x (e, ) n g) n 1 ( n 1) n 3x , x 1/ n n lim n n an limn n n 3x 3x n (n 1) x lim x n (n 1) 1 3x e ln n ln( n 1) lim n n 3x k x x ) k 3x 1 x 1 x ) k 3x x 1 x x Chuỗi trở thành Do ta có MHT: x ,1 2 18 1/ n n 3x x lim n (n 1) Sưu tầm: Trí Trí | Hải Nam | Nguyễn Phú | Minh Nguyễn | n (n 1) n 1 không hội tụ với α [GIẢI BÀI TẬP GIẢI TÍCH III] FB/ BK – Đại cương mơn phái h) x n 2n x n n 1 Bạn đọc cập nhật nhóm “BK – Đại Cương Mơn Phái” Facebook xn i) x nn lim an lim n n 1 n n n xn x nn lim n x lim n 1 k n x n x + x : k = => Chuỗi HT xn + x 1 x n 1 nn 1 : Phân kì n 1 + x : k Chuỗi PK MHT: x ( , 1) (1, ) k) 2n (n 1) x 2 1 n n 1 an1 (2n 3).(x 2)12n (n 1)5 k lim lim (n 2)5 (2n 1)(x 2)12n (x 2)2 n an n ) k x 1 x 3 ( x 2)2 ) k x 1 x 3 Chuỗi trở thành ( x 2)2 2n 1 chuỗi HT n 1 ( n 1) Do ta có MHT: x(, 3][ 1, ) Dùng tiêu chuẩn Weiertrass, chứng minh chuỗi sau hội tụ tập tương ứng xn a) n n 1 (1 x ) x2 x 19 R x x2 n 2x 1 b) n1 1;1 x2 n 1 2x 1 x 1 1 x 1;1 x2 x2 Sưu tầm: Trí Trí | Hải Nam | Nguyễn Phú | Minh Nguyễn | [GIẢI BÀI TẬP GIẢI TÍCH III] FB/ BK – Đại cương môn phái n n n x 1 xn n n (1 x ) 1 x Mà n HT nên ta có đpcm n 1 c) 2 n 1 n 1 Mà n 1 HT nên ta có đpcm 2 e n x d) n 1 n Ta có: nx x 1 2n 1 nx 2n 1 R 2 en x 1 n2 x2 , ( e 1) 2 n2 n2 n e n x n Mà 2 n 1 [0; ) nx n 1 n 1 2x 1 n 1 n 1 x2 HT nên ta có đpcm n 1 HT nên ta có đpcm Tìm miền hội tụ chuỗi hàm số ( x 2)n a) n2 n 1 Đặt y = x – yn n Chuỗi cho trở thành an y , an n n 1 n n 1 Ta có Bán kính hội tụ R lim n Do chuỗi HT với an lim : 1 an1 (n 1) n n y PK với + Tại y = 1, Chuỗi trở thành n y 1 HT n 1 (1)n HT n 1 n + Tại y = -1, Chuỗi trở thành 20 Sưu tầm: Trí Trí | Hải Nam | Nguyễn Phú | Minh Nguyễn | FB/ BK – Đại cương môn phái y 1 x 11 x MHT: b) [GIẢI BÀI TẬP GIẢI TÍCH III] n ( x 1) n n 1 Đặt MHT: y x 1 yn n 1 n chuỗi trở thành chuỗi lũy thừa y 1 x (;0] [2; ) x 1 ( x 3)2 n 5 c) n2 n 1 an1 (x 3)2n7 n2 lim (x 3)2 lim 2n5 n an n (n 1) (x 3) ( x 3)2 x Do chuỗi cho HT khi: Dễ thấy x=2; x=4 chuỗi HT MHT: x [2; 4] (2 x 1)2 n d) n.2n n 1 yn => Chuỗi trở thành n n 1 n.2 Đặt y (2 x 1)2 Bán kính hội tụ R = an lim a n 21 n 1 2(n 1) lim n : lim 2 n 1 (n 1).2 n n n n.2 Sưu tầm: Trí Trí | Hải Nam | Nguyễn Phú | Minh Nguyễn | [GIẢI BÀI TẬP GIẢI TÍCH III] FB/ BK – Đại cương môn phái 2n n n 1 n.2 n 1 n PK + Tại y = Chuỗi (2) n (1)n n n n 1 n.2 n 1 + Tại y = - Chuỗi Do chuỗi cho HT với n 2x 1 e) n1 x 1 n 1 HT 2 y => MHT: 1 x ; n 2x 1 Đặt y Chuỗi cho trở thành x 1 an Bán kính hội tụ R = lim a n n 1 n 2 n 1 yn n 1 2n n n 1 lim n 1 : n lim 2 n n n Tại y = Chuỗi n n 2n n 1 n 1 n 1 PK Tại y = - Chuỗi n n n (2) 1 2n n 1 n 1 n 1 Do chuỗi cho HT với y 2 => MHT: ( x 1)n f) n 1 n Đặt y = x+1 Chuỗi HT với y 1 => MHT: x 2;0 ( x 5)2 n 1 g) 2n.4n n 1 22 Sưu tầm: Trí Trí | Hải Nam | Nguyễn Phú | Minh Nguyễn | PK x 1; FB/ BK – Đại cương môn phái lim n [GIẢI BÀI TẬP GIẢI TÍCH III] ( x 5)2 n1 ( x 5) n1 ( x 5) an 1 lim : n 1 n an (2 n 2).4 n 4 n ( x 5) 7 x 3 Do chuỗi cho HT khi: 22 n 1 n n 1 2n.4 n 1 4n Tại x= - chuỗi PK (2) n 1 (1) n1 1 PK n n 4 n n 1 n 1 n 1 4n Tại x = - x (7; 3) MHT: (1) n1.(2n 1)2 n ( x 1)n h) (3n 2)2 n n 1 Đặt y = x – R lim n ) y (2n 1) n (2n 1) n an (3n 1)2 lim : 2n an 1 (3n 1) n lim n (3n 2) n (2n 1) 9 ( 1) (2 n 1) 4 (3n 2) 2n n 1 n 1 Chuỗi trở thành n 2n PK n n (2n 1)2 ( L ) (1)n 1.(2n 1)2 n 1/3 lim an lim e lim 2n n (3 n 2) n n (3n 2) ) y tương tự, chuỗi PK Do chuỗi chuỗi cho HT với 23 y => MHT: Sưu tầm: Trí Trí | Hải Nam | Nguyễn Phú | Minh Nguyễn | 5 13 x ; 4 FB/ BK – Đại cương môn phái i) n! n n [GIẢI BÀI TẬP GIẢI TÍCH III] ( x 3)n n 1 Đặt y = x + n R lim n n ! (n 1)! an (n 1) n 1 lim n : 1 e lim an 1 (n 1) n 1 lim nn n n n n n y e Chuỗi trở thành: n! n n en PK n 1 y e Tương tự, chuỗi PK Tính tổng chuỗi sau x n 5 , x 3;3 a) n n 1 (2n 1) x n1 f ( x) x n n 1 (2n 1) Xét hàm: n x 2n 1 x2n x2 g ( x) n g '( x) 2n n 1 (2n 1) n 1 n 1 x2 x2 1 9 3 x 3 x g ( x) dx ln f ( x ) x ln 9x 3 x 3 x (1)n 1 b) n 1 n 1 (2n 1).3 (1)n 1 (1) n 1 3 n 1 n 1 (2 n 1).3 n 1 n 1 (2n 1).( 3) Đặt t (1)n 1.t n 1 f (t ) (2n 1) n 1 xét n 1 n f '(t ) (1) t n 1 f (t ) 24 (t ) n 1 n 1 1 t2 dt arctan t 1 t2 Sưu tầm: Trí Trí | Hải Nam | Nguyễn Phú | Minh Nguyễn | FB/ BK – Đại cương môn phái f( [GIẢI BÀI TẬP GIẢI TÍCH III] 1 ) arctan 3 (1) n 1 3 3f n 1 n 1 (2n 1).3 3 x 2n2 , x 1;1 c) n 1 (2n 1)(2n 2) x2n2 f ( x) , x 1;1 n 1 (2n 1)(2n 2) x n 1 x n 1 f '( x) (2n 2) (2n 1)(2n 2) n 1 (2n 1) n 1 x2n f ''( x) (2n 1) x2n (2n 1) n 1 x2 n 1 x x dt ln(1 t) ln(1 t ) 1 t f '( x ) f '(0) f ''(t ) dt => f '( x ) x f ( x ) f (0) ln(1 x) ln(1 x) (vì f '(0) ) x f '(t )dt ln(1 t) ln(1 t ) dt ( x 1) ln(1 x ) ( x 1) ln(1 x ) 20 f ( x) ( x 1) ln(1 x) ( x 1) ln(1 x) (vì f (0) ) x2n2 x2n2 x2n2 Cách khác: (2 n 1)(2 n 2) n n 1 n 1 n 1 2n d) 2n n x , x 1;1 n n 1 n n xn xn 2n n f ( x) x x n 1 n 1 n n n 1 n n 1 n n 1 n xn dx g ( x) g '( x) x n 1 g ( x) ln(1 x) 1 x 1 x n 1 n n 1 +) Xét hàm: xn x n 1 x n 1 n n 1 n ) 25 x n 1 x h '( x) x n 1 x n 1 n n 1 Xét tiếp: h( x ) Sưu tầm: Trí Trí | Hải Nam | Nguyễn Phú | Minh Nguyễn | FB/ BK – Đại cương mơn phái [GIẢI BÀI TẬP GIẢI TÍCH III] xdx ln(1 x) x 1 x x 1 f ( x) ln(1 x) ( ln(1 x) x) ln(1 x) x x h( x ) 10 Khai triển thành chuỗi Maclaurin x3 x a) f ( x) x 4x x3 x 31 f ( x) x4 x 4x 1 x 1 x 3 n 31 x n f ( x) x x n ( -1 < x < 1) n 0 n0 b) f (x) sin3x x cos3x Ta có: ) sin x (1) n n 0 (3 x) n 1 (2n 1)! ) cos 3x ( 1)n n0 (3 x)2 n 2n ! 2n (3x)2n1 n (3x) f (x) sin3x x cos3x (1) x(1) (2 n 1)! 2n! n0 n0 n c) f ( x) f ( x) x2 2n x 1/2 x 3x n 1 1.3.5 (2 n 1) x (1 ) ( 1) 2 16 128.2! n !.23 n 1 4 x d) f (x) ln(1 x 2x ) ln(1 x x ) ln(1 x) ln(1 x) 26 Sưu tầm: Trí Trí | Hải Nam | Nguyễn Phú | Minh Nguyễn | FB/ BK – Đại cương mơn phái [GIẢI BÀI TẬP GIẢI TÍCH III] ln(1 x) ( 1)n 1 Ta lại có: n 1 Do đó: ln(1 x) (1) n 1 n 1 ln(1 x) (1) n 1 n 1 xn n ( x)n xn n n 1 n n n (2 x) n n 1 x (1) n n n 1 2n xn xn f (x) (1) n n1 n1 n n1 11 a) Khai triển f ( x) Ta có f ( x) n 0 x thành chuỗi lũy thừa x – f ( n ) (4) f ( n ) (4) ( x 4)n f (4) ( x 4) n n! n ! n 1 f (4) 1/2 => f '(4) x 1 1 f ''( x) x 3/ x 3/ => f ''(4) 32 2 f '( x) f ( n ) ( x) (1) n1.1.3.5 (2n 3) 122 n (1) n 1.(2n 3)!! (n) x f (4) 2n 23n 1 (1) n 1 (2n 3)!! ( x 4) n f ( x) ( x 4) n 1 2 n ! n2 b) Khai triển f ( x ) sin f (1) x thành chuỗi lũy thừa x – n f (n) x ( x ) sin n 2 3 n f (n) (1) sin n 2 3 3 n ( 1) n 1 n 1 f ( x) sin n x n 1 n ! 2 3 27 Sưu tầm: Trí Trí | Hải Nam | Nguyễn Phú | Minh Nguyễn | [GIẢI BÀI TẬP GIẢI TÍCH III] FB/ BK – Đại cương môn phái c) Khai triển f ( x) Ta có f ( x) f (4) thành chuỗi lũy thừa x + x 3x 1 x 1 x 1 f ( n ) ( x ) ( 1) n n ! n 1 n 1 ( x 2) ( x 1) 1 (n) n ( 1) n n ! n 1 n 1 f (4) ( 1) n ! n 1 n 1 (2) 3 (3) 1 n 1 ( x 4) n n 1 3 f ( x) (1)n n 1 1 x d) Khai triển f ( x) ln x thành chuỗi lũy thừa 1 x Đặt: t 1 x 1 x x 1 t 1 t t n (1) n t n f (t ) ln ln(1 t ) ln(1 t ) t 1 1 t n n 1 n n 1 n 1 x (1) n x f ( x) n 1 x n 1 n x n 1 n 12 a) Khai triển Fourier hàm số sau f ( x ) x , x chu kì 1/ Ta có l f(x) hàm chẵn Do đó: a0 1 l f ( x ) dx x dx 0 0 xdx l 0 1 l x sin(n x) cos(n x) an f ( x) cosn x dx x cos(n x)dx 0 l l n n (TPTP) 28 Sưu tầm: Trí Trí | Hải Nam | Nguyễn Phú | Minh Nguyễn | FB/ BK – Đại cương mơn phái [GIẢI BÀI TẬP GIẢI TÍCH III] 4 , n 2k 2 cos n 1 n 2 ,k N * n 0, n 2k bn a0 f ( x ) (an cos n x bn sin n x) n 1 l l 20/ f ( x ) x, x cos(2n 1) x (2n 1) n 1 Kéo dài f(x) thành hàm chu kì khai triển g( x ) x , 1 x tuần hồn chu kì +) Xét Ta khai triển Fourier hàm g(x) Ta có g(x) chẵn l 1 0 a0 g ( x)dx 2 xdx 1 an 2 g ( x) cosn x dx 2 x cosn x dx 0 (1)n 1 (TPTP) n 2 bn g ( x) cos(2n 1) x f ( x), (0 x 1) n 1 (2n 1) +) Nếu kéo dài f thành hàm lẻ: Ta xét h ( x ) x , 1 x Ta có: 1 1 1 a0 h( x)dx xdx 1 0 bn 2 h( x) sinn x dx 2 x sinn x dx 4.(1)n 1 (TPTP) n an (1) n 1 h( x ) sin n x f ( x), (0 x 1) n 1 n 29 Sưu tầm: Trí Trí | Hải Nam | Nguyễn Phú | Minh Nguyễn | FB/ BK – Đại cương mơn phái 30/ [GIẢI BÀI TẬP GIẢI TÍCH III] f ( x) 10 x,5 x 15 chu kì 10 f (t ) t Đặt t 10 x ta có: Ta khai triển hàm f(t) với chu kì 10 , với 5 t Lại có l = f(t) hàm lẻ 5 a f ( t ) dt tdt Do : 5 5 an bn f ( t ) sin(n t ) dt t.si n(n t )dt (TPTP) 0 5 5 5t 25 10 cos n 10 cos(n t ) 2 sin( n t ) ( 1) n 1 n n 0 n n 10 (1) n 1 f ( t ) b sin n t sin n t n n1 n n 1 10 (1) n 1 f ( x ) sin n (10 x) n1 n b) f ( x ) x ; Hãy khai triển Fourier hàm f(x) sau tính tổng chuỗi số 1 n 1 n , n2 n n 1 +) Khai triển Ta có f(x) hàm chẵn a0 an 30 f ( x)dx f ( x) cosnx dx x dx 2 x2 x cosnx dx sin nx x sinnx dx n n 0 Sưu tầm: Trí Trí | Hải Nam | Nguyễn Phú | Minh Nguyễn | FB/ BK – Đại cương môn phái [GIẢI BÀI TẬP GIẢI TÍCH III] 4 4 x 1 cos n sin nx cos nx cos nxdx n n n0 n 0 n n bn (1) n f ( x) 4 cosnx n n 1 2 +) Tính giá trị chuỗi: f (0) Ta có n 1 n 31 n n 1 4 n 1 (1) n n2 ( 1) n 12 f ( ) Lại có: 2 2 4 n 1 (1) n 2 cosn n n 1 n Sưu tầm: Trí Trí | Hải Nam | Nguyễn Phú | Minh Nguyễn | n (1) n ... môn phái [GIẢI BÀI TẬP GIẢI TÍCH III] Sưu tầm: Trí Trí | Hải Nam | Nguyễn Phú | Minh Nguyễn | FB/ BK – Đại cương môn phái [GIẢI BÀI TẬP GIẢI TÍCH III] Lời giải – Hướng dẫn thực Team GT3 nhóm BK-ĐCMP... Minh Nguyễn | [GIẢI BÀI TẬP GIẢI TÍCH III] FB/ BK – Đại cương môn phái k) (3n 1)! n n 1 n (Sử dụng Tiêu chuẩn D’Alambert với chuỗi có “!”) n (3n 4)! n (3n 2)(3n 3) (3n 4).n a n1... Minh Nguyễn | FB/ BK – Đại cương môn phái f( [GIẢI BÀI TẬP GIẢI TÍCH III] 1 ) arctan 3 (1) n 1 3? ?? 3f n 1 n 1 (2n 1) .3 3? ?? x 2n2 , x 1;1 c) n 1 (2n 1)(2n