Dạy thêm toán 10 PHƯƠNG TRÌNH ELIP

PHƯƠNG TRÌNH ELIP DẠNG TÌM CÁC YẾU TỐ CỦA ELIP Câu Đường Elip A x2 y + =1 16 có tiêu cự B C Lời giải D ( −2; + ∞ ) Chọn A x2 y + =1 a = 16 b = c = a − b2 = 16 − = ⇔ c = 16 Elip có , suy 2c = 2.3 = Vậy tiêu cự Câu ( E) 16 x + 25 y = 400 Cho elip có phương trình Khẳng định sai khẳng định sau? ( E) A có trục nhỏ ( E) B có tiêu cự ( E) C có trục nhỏ 10 F1 ( −3;0 ) F2 ( 3;0 ) ( E) D có tiêu điểm Lời giải Chọn B x2 y ⇔ 2 ( E ) 16 x + 25 y = 400 25 + 16 = : 2 ( E ) a = b = c = a − b = 52 − = Elip có , , ( E ) 2c = ( E) Tiêu cự elip nên khẳng định “ có tiêu cự 3” khẳng định sai ( E) : Câu x2 y + =1 25 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip Tiêu cự (E) A 10 B 16 C D Lời giải Chọn D x2 y2 + = ( a > 0, b > ) a b2 Phương trình tắc elip có dạng: a = ⇒ c = a2 − b2 =  b =  Do elip (E) có 2c = Tiêu cự elip (E) Câu Câu 80 Một elip có diện tích hình chữ nhật sở , độ dài tiêu cự Tâm sai elip 3 e= e= e= e= 5 A B C D Lời giải Chọn C a.b = 20 ( 1) 2a.2b = 80 Diện tích hình chữ nhật sở , suy 2 2c = ⇒ c = ⇒ a − b = c = ( ) Lại có 20 ( 1) ⇒ b = ( 2) a Từ , thay vào ta được: 400 a − = ⇒ a − 9a − 400 = ⇔ a = 25 ⇒ a = a e= Do tâm sai Cho elip A ( E ) : 4x2 + 5y2 = 20 Diện tích hình chữ nhật sở 80 B C Lời giải ( E) D 40 Chọn C ( E ) : 4x2 + 5y2 = 20 ⇔ Độ dài trục lớn: Độ dài trục bé: x2 y2 + =1 2a = 2b = 2.2 = Diện tích hình chữ nhật sở Câu Câu ( E) là: 5.4 = x2 y + =1 16 (Yên Định - Thanh Hóa - 2018-2019) Đường elip A B C Lời giải Chọn C a = 16 b = c2 = a − b2 = ⇒ c = □ Ta có: , nên 2c = □ Tiêu cự elip Cho elip có phương trình tắc A B x2 y + =1 có tiêu cự 18 D Tính tâm sai elip C D Lời giải Chọn D a = ⇒ a = 2; b = ⇒ b = 1; c = a − b = ⇒ c = Ta có c e= = a Tâm sai elip Câu Oxy (TH&TT LẦN – THÁNG 12) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , cho elip 2 x y ( E) : + =1 F1 , F2 ( E) a>b>0 a b (với ) có tiêu điểm M điểm di động Khẳng định đúng? ( MF1 − MF2 ) = b − OM MF1 + MF2 = 2b A B 2 OM − MF1.MF2 = a − b MF1.MF2 + OM = a + b C D Lời giải Chọn D Ta có: cx cx c2 x2 MF1 = a + ; MF2 = a − ⇒ MF1.MF2 = a − a a a 2 x y M ( x; y ) ∈ ( E ) ⇒ + = a b  x   x2  b2 x ⇒ y = b 1 − ÷ ⇒ OM = x + y = x + b 1 − ÷ = x + b − a  a   a  ( MF1.MF2 + OM = a − = a + b2 + x − (b  c2 x b2 x  c2 x2 b2 x2 2 2 + x + b − = a + b + x −  + ÷ a2 a2 a   a + c2 ) x2 a2 MF1.MF2 + OM = a + b + x Vì Câu a = b2 + c ) 2 nên Oxy, ( E) (b − + c2 ) x2 a2 = a + b2 + x2 − F1 ( −4;0 ) , F2 ( 4;0 ) a2 x2 = a + b2 a Trong hệ trục cho Elip có tiêu điểm điểm ( E) ( E) MF1F2 Biết chu vi tam giác 18 Xác định tâm sai e 4 4 e= e= e=− e= 18 A B C D Lời giải Chọn A F1 ( −4;0 ) ⇒ c = Ta có M nằm P∆MF1F2 = MF1 + MF2 + F1 F2 43 2a ⇔ 18 = 2a + 2c ⇔ 18 = 2a + ⇔ a = e= Tâm sai Câu 10 Cho Elip A 10 c = a ( E) A ( −3;0 ) qua điểm B e= có tâm sai Tiêu cự C Lời giải ( E) D 10 Chọn C Gọi phương trình tắc Vì ( E) Lại có A ( −3;0 ) ( E) x2 a2 + y2 b2 =1 với a>b>0 = ⇒ a2 = ⇒ a = a qua điểm nên c 5a e= = ⇒c= = ⇒ 2c = a 6 DẠNG VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ELIP Câu 11 Trong mặt phẳng x2 y + =1 A Oxy , phương trình sau phương trình tắc elip? x2 y2 x2 y x y − =1 + =1 + =1 9 B C D Lời giải Chọn D Phương trình tắc elip có dạng Câu 12 x2 y + = 1, ( a > b > ) a2 b2 Phương trình tắc đường elip với x2 y2 x2 y − =1 + =1 16 9 16 A B Chọn C ( E) : Phương trình tắc x2 y + =1 16 a =4 b=3 , x y2 + =1 16 C Lời giải nên chọn phương án D D x2 y + =1 16 A1 ( −5; ) Oxy Câu 13 Câu 14 Câu 15 Trong mặt phẳng tọa độ , viết phương trình tắc elip biết đỉnh F2 ( 2; ) tiêu điểm 2 x y x2 y x2 y2 x2 y2 + =1 + =1 + =1 + =1 25 21 25 29 25 25 29 A B C D Lời giải Chọn A a = 5; c = ⇒ b = 25 − = 21 Ta có x2 y + =1 25 21 Vậy A ( 0; ) 10 Tìm phương trình tắc Elip có độ dài trục lớn qua điểm 2 2 2 x y x y x y x2 y + =1 + =1 + =1 + =1 40 12 160 36 160 32 40 36 A B C D Lời giải Chọn D x 2) y + = 1(a > b > 0) a b2 Ta có phương trình tắc Elip (E) có dạng 2a = 10 ⇒ a = 10 Theo giả thiết ta có =1 A ( 0;6 ) ⇒b=6 b2 Mặt khác (E) qua nên ta có 2 x y + =1 40 36 Vậy phương trình tắc (E) là: B Lập phương trình tắc Elip qua điểm có tâm sai 2 2 x y x y x2 y + =1 + =1 + =1 9 A B C Lời giải Chọn A x2 y2 + = 1, ( a > b > ) a b2 Phương trình tắc Elip có dạng: 2 + = ⇔ b2 = a b B Elip qua điểm nên c 5 e= ⇔ = ⇔c= a a 3 Tâm sai e= D x2 y + =1 :   a = b + c ⇔ a = +  a÷ ⇔ a2 = ÷   2 2 x2 y + =1 Vậy phương trình tắc Elip cần tìm Câu 16 Phương trình tắc Elip có đỉnh x2 y x2 y2 + =1 + =1 9 A B Chọn B ( −3; ) ( −3;0 ) tiêu điểm x2 y + =1 C Lời giải ⇒a=3 Elip có đỉnh tiêu điểm 2 2 c = a − b ⇔ b = a − c2 = −1 = Ta có 2 x y ( E) : + =1 Vậy phương trình Câu 17 ( 1; ) ⇒ c =1 ( 1;0 ) D x2 y + =1 (KSCL lần lớp 11 Yên Lạc-Vĩnh Phúc-1819) Tìm phương trình tắc elip có tiêu 10 cự trục lớn x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y + = + = + = + = 25 16 25 100 81 25 16 A B C D Lời giải Chọn D x2 y + = a b2 Phương trình tắc elip: 2a = 10 ⇔ a = Độ dài trục lớn 2c = ⇔ c = Tiêu cự Ta có: a = b + c ⇔ b = a − c = 16 Vậy phương trình tắc elip Câu 18 x2 y2 + = 25 16 (LƯƠNG TÀI BẮC NINH LẦN 1-2018-2019) Cho elip độ dài trục nhỏ tiêu cự ( E) trình ? 2 x y − =1 12 A B ( E) có độ dài trục lớn gấp hai lần Viết phương x2 y2 + =1 12 x2 y + =1 12 C Lời giải: Chọn B D x2 y2 + =1 48 12 Ta có: Mà a = 2b, 2c = ⇒ c = b = a − b = c ⇒ 4b − b = ⇒  a = 12 Vậy phương trình Câu 19 Câu 20 ( E) : x2 y + =1 12 Phương trình tắc Elip có độ dài trục lớn , độ dài trục nhỏ là: x2 y x2 y x2 y x2 y + =1 + =1 + =1 + =1 16 64 36 16 A B C D Lời giải Chọn D x2 y2 + = 1, a > b > a b2 + Phương trình Elip dạng: = 2a ⇒ a = + Do có độ dài trục lớn = 2b ⇒ a = + Do có độ dài trục nhỏ x2 y + =1 16 + Suy phương trình Vậy chọn D Elip có tiêu điểm tắc elip là: A x2 y2 + = F ( - 2;0) B tích độ dài trục lớn với trục bé x2 y2 + =1 45 16 x2 y2 + = 144 C Lời giải: 12 D Phương trình x2 y2 + = 36 20 Chọn A Gọi (E) có dạng x2 y2 + = ( a >b >0 ) a2 b2 Theo giả thiết ta có: Vậy (E) cần tìm Câu 21 ìï ab = ïí Û ïï a2 - b2 = ỵ x2 y2 + = ìï a2 = ïí ỵïï b = Oxy Trong mặt phẳng , viết phương trình tắc elip   M ; ÷ F1 , F2  5 M nhìn hai tiêu điểm góc vng ( E) biết ( E) qua ( E) : A x2 y + =1 ( E) : B x2 y2 + =1 ( E) : C x2 y + =1 ( E) : D x2 y + =1 Lời giải Chọn B Gọi x2 y2 ( E) : + =1 a b Ta có: Vì ( E) qua   M ; ÷  5 nên: 16 + =1 ⇔ 16a + 9b = 5a 2b 5a 5b OM = F1 , F2 M nhìn hai tiêu điểm góc vng nên: 16 ⇔ + = c2 ⇔ OM = c ⇔ a − b2 = c2 = ⇔ a = + b2 5 16 ( + b ) + 9b = ( + b ) b ⇔ b = 16 ⇒ b = ( E) : Vậy: 2 2 nên a2 = F1 F2 =c vào ( 1) ( 1) ta được: x y + =1 DẠNG CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN KHÁC (E) : Câu 22 (LẦN 01_VĨNH YÊN_VĨNH PHÚC_2019) Cho Elip ( E ) M Nếu điểm có hồnh độ khoảng cách từ M đến hai tiêu điểm (E) bằng: 3,5 4,5 A Lời giải Chọn A Giả sử phương trình a = ⇒ c = B 4± C x2 y ( E ) : + = (a > b > 0) a b Ta có : x2 y + =1 16 12 4± D A 2 M  a = 16 a = ⇒  2 b = 12 c = a − b = F1 , F2 ( E ) M ( 1; yM ) ∈ ( E ) Gọi hai tiêu điểm Elip , , ta có : c   MF1 = a + a xM = + = 4,5   MF = a − c x = − 1 = 3,5 M  a Chọn điểm nằm Câu 23 x2 y2 ( E) : + =1 25 Oxy Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , cho elip ·F MF = 900 MF1 F2 Tìm bán kính đường trịn nội tiếp tam giác A Gọi B M ( x; y ) M ∈( E) ⇒ Do C Lờigiải Điểm D · F1MF2 = 900 ⇒ MF12 + MF22 = F1F22 ⇔ x + y = c = 16 M ∈( E) cho (1) x y + =1 25 (2) x2 = 175 81 ;y = ⇔ x=± ;y= 16 16 4 Giải hệ gồm hai phuơng trình (1) (2) ta đuợc MF1 + MF2 + F1F2 2a + 2c p= = = a+c = 2 Ta có: nửa chu vi d ( M ;O x ) = yM = Khoảng từ M đến trục Ox: S∆MF1F2 = d ( M ; Ox ) F1F2 = r= Bán kính đuờng trịn nội tiếp: Câu 24 S =1 p 60m Ơng Hồng có mảnh vườn hình Elip có chiều dài trục lớn trục nhỏ 30m Ông chia mảnh vườn làm hai nửa đường tròn tiếp xúc với Elip để làm mục đích sử dụng khác (xem hình vẽ) Nửa bên đường trịn ơng trồng lâu năm, nửa bên ngồi đường trịn ơng trồng hoa màu Tính tỉ số diện tích T phần trồng lâu S = π ab năm so với diện tích trồng hoa màu Biết diện tích hình Elip tính theo cơng thức , với a, b nửa độ dài trục lớn nửa độ dài trục nhỏ Biết độ rộng đường Elip không đáng kể T= A T= B T= C Hướng dẫn giải Chọn D D T =1 S( E ) = π a.b = 30.15.π = 450π , ( m ) ( E) Theo đề ta có: Diện tích là: Vì đường trịn tiếp xúc trong, nên tiếp xúc đỉnh trục nhỏ, suy bán kính đường trịn: S( C ) = π R = 152.π = 225π , ( m2 ) ( C) R = 15m Diện tích hình trịn phần trồng lâu năm là: S = S( E ) − S( C ) = 225π , ( m ) ⇒ T = Suy diện tích phần trồng hoa màu là: Câu 25 ( C1 ) , ( C2 ) Oxy Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ , cho hai đường trịn có phương trình lần 2 2 ( E) ( x + 1) + ( y + 2) = 9, ( x − 2) + ( y − 2) = lượt Elip có phương trình 2 ( C) ( E) 16 x + 49 y = Có đường trịn có bán kính gấp đơi độ dài trục lớn elip C C C ( ) ( 1) ( ) tiếp xúc với hai đường tròn , ? A B C D Lời giải Chọn A 16 x + 49 y = ⇔ Ta có x2 1  ÷ 4 + y2 1  ÷ 7 =1 ⇒ ( E) 1 2a = = có độ dài trục lớn I a ; b C ( ) ( ) R =1 Khi đường trịn có bán kính Gọi tâm đường tròn  II1 = R + R1 = + =   II = R + R2 = + = I I = R + R = ∆II1 I ⇒ ∆II1 I 1 2 I Xét uur có vng uur II1 = ( −1 − a; −2 − b ) II = ( − a; − b ) I Ta có , Khi điểm thỏa mãn: uur uur 2 ( −1 − a ) ( − a ) + ( −2 − b ) ( − b ) =  II1.II =  a + b − a − = ⇔ ⇔  uur 2  2 ( − a ) + ( − b ) =  a + b − 4a − 4b − =  II = ( C)  − 4b  2 − 4b a + b = + a +b −6− =0 2   ÷ a + b = + a    ⇔ ⇔ ⇔ − 4b 6 + a − 4a − 4b − = a =  a = − 4b   2 10   a = −1  b =     b = 25b − 28b − 44 = 22  b = −   71 ⇔ ⇔  − 4b 25 ⇔   a = 25 a =     a = − 4b  22   b = − 25  Vậy có hai phương trình đường trịn ( C) thỏa mãn yêu cầu toán ( C ) : ( x + 1) Câu 26 + ( y − 2) = Trong mặt phẳng Oxy 71 22 ( C ) :  x − ÷ +  y + ÷ = 25   25   , cho điểm C (3; 0) (E) : x2 y + =1 A, B (E) điểm thuộc elip a c 3 A  ; ÷ ÷ 2  a+c VABC A cho đều, biết tọa độ có tung độ âm Khi bằng: −2 −4 A B C D Lời giải Chọn A C (3;0) (E) ⇒ A, B VABC Nhận xét: Điểm đỉnh elip điều kiện cần để đối xứng ∆ : x = x0 A, B (E) Ox Nhau qua Suy giao điểm đường thẳng elip  y = − 9− x ⇒ x2 y  y = − x2 (E) : + =1  +) Ta có elip   A  x0 ; − − x02 ÷ x0 < 3   A +) Theo giả thiết có tung độ âm nên tọa độ (điều kiện A≠C ) 11 +) Ta có +) AC = (3 − x0 )2 + (9 − x02 ) VABC ⇔ d ( C ;∆ ) = ⇔ (3 − x0 ) = d ( C ;∆ ) =| − x0 | 3 (3 − x0 ) + ( − x02 ) AC ⇔| − x0 |= 3  (3 − x0 )2 + (9 − x02 )   4   x0 = (t / m) 3  ⇔ x0 − x0 + = ⇔  2  x0 = 3( L ) 3  a = ⇒ A  ; − ÷ ÷⇒ c = −1 ⇒ a + c = 2    12 ... DẠNG VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ELIP Câu 11 Trong mặt phẳng x2 y + =1 A Oxy , phương trình sau phương trình tắc elip? x2 y2 x2 y x y − =1 + =1 + =1 9 B C D Lời giải Chọn D Phương trình tắc elip có dạng... phương trình tắc Elip (E) có dạng 2a = 10 ⇒ a = 10 Theo giả thiết ta có =1 A ( 0;6 ) ⇒b=6 b2 Mặt khác (E) qua nên ta có 2 x y + =1 40 36 Vậy phương trình tắc (E) là: B Lập phương trình tắc Elip. .. 16 25 100 81 25 16 A B C D Lời giải Chọn D x2 y + = a b2 Phương trình tắc elip: 2a = 10 ⇔ a = Độ dài trục lớn 2c = ⇔ c = Tiêu cự Ta có: a = b + c ⇔ b = a − c = 16 Vậy phương trình tắc elip Câu