Dạy thêm toán 11 CÂU hỏi CHỨA đáp án 1d3 1

Câu Khi sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh mệnh đề chứa biến n≥ p p nhiên ( số tự nhiên), ta tiến hành hai bước: A( n) n = p • Bước 1, kiểm tra mệnh đề với A ( n) • Bước 2, giả thiết mệnh đề n = k + với với số tự nhiên A( n) n=k≥ p với số tự phải chứng minh Trogn hai bước trên: A Chỉ có bước B Chỉ có bước C Cả hai bước D Cả hai bước sai Lời giải Chọn Câu C 7, ∀n ∈ ¥ * '' ( *) ''8n + Một học sinh chứng minh mệnh đề chia hết cho ( *) 8k + n=k • Giả sử với , tức chia hết cho • Ta có: 8k +1 + 8k +1 + = ( 8k + 1) − chia hết cho , kết hợp với giả thiết Vậy đẳng thức ( *) 8k + với sau: chia hết suy n ∈ ¥ * Khẳng định sau đúng? A Học sinh chứng minh B Học sinh chứng minh sai khơng có giả thiết qui nạp C Học sinh chứng minh sai khơng dùng giả thiết qui nạp D Học sinh không kiểm tra bước (bước sở) phương pháp qui nạp Lời giải Chọn D Thiếu bước kiểm tra với Sn = Câu Cho S3 = A n =1 1 1 + + + + ×2 ×3 ×4 n ( n + 1) 12 Nhìn vào B Sn với không chi hết cho n ∈ N* Mệnh đề sau đúng? S2 = S3 = C D Lời giải S2 =  → n ( n + 1) , ta có 81 + = cho n=2 , ta 1 = ( + 1) ×3 Do với Sn = Câu Cho n=2 S2 = , ta có 1 1 + + + + ×2 ×3 ×4 n ( n + 1) n −1 n Sn = A 1 + = 1×2 ×3 Sn = B Cách tự luận Ta có • • • Với n =1 ⇔ Mệnh đề sau đúng? n +1 n+2 Sn = Sn = n+2 n+3 C D Lời giải S1 = , S2 = , S3 = 1 = 1.2 + Giả sử mệnh đề Ta có n ∈ N* S1 = , S = , S3 =  → S1 = , ta với n n +1 Cách trắc nghiệm: Ta tính mẫu đơn vị Chọn B Chọn C n=k Từ ta thấy quy luật từ nhỏ Sn = dự đoán n n +1 : ( k ≥ 1) , tức 1 k + + + = 1.2 2.3 k ( k + 1) k + 1 k + + + = 1.2 2.3 k ( k + 1) k + 1 1 k + + + + = + 1.2 2.3 k ( k + 1) ( k + 1) ( k + ) k + ( k + 1) ( k + ) 1 1 k + 2k + ⇔ + + + + = 1.2 2.3 k ( k + 1) ( k + 1) ( k + ) ( k + 1) ( k + ) ⇔ Câu 1 1 k +1 + + + + = 1.2 2.3 k ( k + 1) ( k + 1) ( k + ) k + Cho  1  1  Pn = 1 − ÷ − ÷ 1 − ÷     n  P= A n +1 n+2 P= B với n≥2 n ∈ ¥ n = k +1 Mệnh đề sau đúng? n +1 n +1 P= P= n 2n C D Lời giải n −1 2n Suy mệnh đề với Vì n≥2 nên ta cho    → P2 = 1 − ÷ =  n =       1   n =  → P3 = 1 − ÷ 1 − ÷ =     Kiểm tra đáp án cho D thỏa Chọn D Câu Với A B C n ∈ ¥* , hệ thức sau sai? n ( n + 1) + + + n = + + + + ( 2n − 1) = n2 n ( n + 1) ( 2n + 1) 12 + 22 + + n = 2 + 42 + 62 + L + ( 2n ) = D Lời giải Bẳng cách thử với Câu 2n ( n + 1) ( 2n + 1) n =1 n = n = , , ta kết luận ChọnD S = 12 + 22 + + n n Với mối số nguyên dương , đặt Mệnh đề đúng? n(n + 1)(n + 2) n(n + 1)(2n + 1) S= S= A B n(n + 1)(2n + 1) n(n + 1)(2n + 1) S= S= C D Đáp án C Lời giải n ∈ ¥* Cách 1: Chúng ta chứng minh phương pháp quy nạp toán học , ta có 12 + 22 + 32 + + n = đẳng thức - Bước 1: Với n(n + 1)(2n + 1) n =1 vế trái n =1 Vậy đẳng thức với -Bước 2: Giả sử đẳng 12 + 22 + 32 + + k + ( k + 1) = =1 thức , vế phải với 1(1 + 1)(2.1 + 1) =1 n = k ≥1 (k + 1) [ (k + 1) + 1] [ 2(k + 1) + 1] = , tức chứng (k + 1)(k + 2)(2k + 3) minh n = k +1 Ta phải chứng minh đẳng thức với 12 + 22 + 32 + + k + ( k + 1) = (k + 1) [ (k + 1) + 1] [ 2(k + 1) + 1] = , tức chứng minh (k + 1)(k + 2)(2k + 3) Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có (k + 1)(k + 1)(2k + 1) 12 + 22 + 32 + + k + (k + 1)2 = + (k + 1)2 Mà (k + 1)( k + 1)(2k + 1) k (k + 1)(2k + 1) + 6( k + 1) ( k + 1)( k + 2)(2 k + 3) + (k + 1) = = 6 12 + 22 + 32 + + k + (k + 1) = Suy (k + 1)(k + 2)(2k + 3) n = k +1 Do đẳng thức với Suy có điều phải chứng minh Vậy phương án C Cách 2: Kiểm tra tính đúng-sai phương án đến tìm phương án thông qua số giá trị cụ thể n S = 12 = n =1 + Với (loại phương án B D); 2 S =1 + = n=2 + Với (loại phương án A) Vậy phương án C Câu Đặt A Tn = + + + + Tn = (có n Tn = cos Đáp án B dấu căn) Mệnh đề mệnh đề đúng? π 2n +1 Tn = cos C π 2n +1 D Tn = B Lời giải Tn = cos Ta chứng minh Bước 1: Với π 2n +1 phương pháp quy nạp tốn học Thật vậy: n =1 vế trái n =1 Vậy đẳng thức với Bước 2: Giả sử đẳng thức với 2 cos , vế phải n = k ≥1 Tk = cos , nghĩa Ta phải chứng minh đẳng thức với Thật vậy, Tk +1 = + Tk π π = cos = 1+1 n = k +1 π 2k +1 Tk +1 = cos , tức chứng minh Tk +1 = + Tk = + cos nên theo giả thiết quy nạp ta có π 2k +2 π 2k +1 + cos Câu π π  π  = + cos  k + ÷ = cos k + k +1 2   Tk +1 = 2.2 cos π π = cos k + k +2 2 Mặt khác, nên Vậy phương án B 1 Sn = + + + 1.3 3.5 (2n − 1)(2n + 1) n∈¥* Đặt ,với Mệnh đề đúng? Sn = A n +1 2(2n + 1) Đáp án Sn = B 3n − 4n + Sn = C n 2n + Sn = D n+2 6n + C Lời giải Cách 1: Rút gọn biểu thức Sn dựa vào việc phân tích phần tử đại diện k Với số nguyên dương , ta có Do đó: 1 1  =  − ÷ (2k − 1)(2k + 1)  2k − 2k +  1 1 1  1  n S n =  − + − + + − ÷ = 1 − ÷= 2 3 n − 2n +   n +  2n + Vậy phương án phương án C Cách 2: Kiểm tra tính – sai phương án dựa vào số giá trị cụ thể n Với Với n =1 S1 = n=2 1 = 1.3 S2 = (chưa loại phương án nào); 1 + = 1.3 3.5 (loại phương án A,B D Vậy phương án phương án C n Câu 10 Tìm tất số nguyên dương cho n≥3 n≥5 A B Đáp án 2n +1 > n2 + 3n C n≥6 Kiểm tra tính – sai bất đẳng thức với trường hợp n≥4 D Lời giải n +1 D > n + 3n, với n ≥ n = 1, 2,3, 4, ta dự đoán Ta chứng minh bất đẳng thức phương pháp quy nạp toán học Thật vây: 24+1 = 25 = 32, 42 + 3.4 = 28 n=4 -Bước 1: Với vế trái vế phải 32 > 28 n = Do nên bất đẳng thức với n = k ≥ 4, 2k +1 > k + 3k -Bước 2: Giả sử đẳng thức với nghĩa Ta phải chứng minh bất đẳng thức với 2( k +1) +1 > ( k + 1) + ( k + 1) hay n = k + 1, tức phải chứng minh 2k + > k + 5k + 2k +1 > k + 3k Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có 2.2k +1 > ( k + 3k ) k + > 2k + 6k Suy hay 2 2k + 6k − ( k + 5k + ) = k + k − ≥ 42 + − = 16 k ≥ Mặt khác với 2k + > ( k + 3k ) > k + 5k + n = k + Do hay bất đẳng thức với Suy bất đẳng thức chứng minh Vậy phương án D S n≥3 n Câu 11 Tổng góc đa giác lồi cạnh, , là: ( ) S = n − 180° S = n.180° A B ( ) ( ) S = n − 180° S = n − 180° C D Lời giải Đáp án B Cách 1: Từ tổng góc tam giác dự đoán S = ( n − ) 180° 180° tổng góc từ giác 360° , Cách 2: Thử với trường hợp biết để kiểm nghiệm tính –sai từ cơng thức Cụ n=3 S = 180° n=4 S = 360° thể với (loại ln phương án A, C D); với (kiểm nghiệm phương án B lần nữa) S = 1.4 + 2.7 + 3.10 + + n ( 3n + 1) n∈¥* Câu 12 Với , rút gọn biểu thức 2 S = n ( n + 1) S = n ( n + 2) A B C S = n ( n + 1) D S = 2n ( n + 1) Lời giải Đáp án A Để chọn S đúng, dựa vào ba cách sau đây: Cách 1: Kiểm tra tính –sai phương án với giá trị n n =1 S = 1.4 = n=2 S = 1.4 + 2.7 = 18 Với (loại phương án B C); với (loại phương án D) n = 1, S = 4; n = 2, S = 18; n = 3, S = 48 S Cách 2: Bằng cách tính trường hợp ta dự đốn cơng thức S = n ( n + 1) Cách 3: Ta tính S 12 + 22 + + n = + + + n = dựa vào tổng biết kết n ( n + 1) ( 2n + 1) Câu 13 Kí hiệu đúng? A S n = 2.n ! Đáp án B S = ( 12 + 2 + + n ) + ( + + + n ) = n ( n + 1) Ta có: k ! = k ( k − 1) 2.1, ∀k ∈ ¥ n ( n + 1) * n∈ ¥* Với Sn = ( n + 1) !− , đặt C Lời giải Sn = 1.1!+ 2.2!+ + n.n ! S n = ( n + 1) ! D Mệnh đề Sn = ( n + 1) !+ B Chúng ta chọn phương án dựa vào hai cách sau đây: Cách 1: Kiểm nghiệm phương án giá trị cụ thể Với n =1 S1 = 1.1! = Cách 2: Rút gọn Sn dựa vào việc phân tích phần tử đại diện Suy ra: Sn = ( 2!− 1!) + ( 3!− 2!) + + ( ( n + 1) !− n !) = ( n + 1) !− Câu 14 Với , đặt đúng? A Tn 4n + = M n 2n + Đáp án (Loại phương án A, C, D) k k ! = ( k + − 1) k ! = ( k + 1) k !− k ! = ( k + 1) !− k ! n∈¥* n Tn = 12 + 22 + 32 + + ( 2n ) B Tn 4n + = M n 2n + M n = 22 + 42 + 62 + + ( 2n ) C Lời giải Tn 8n + = Mn n +1 D Mệnh đề Tn 2n + = Mn n +1 A Chúng ta chọn phương án dựa vào hai cách sau đây: Cách 1: Kiểm nghiệm phương án giá trị cụ thể Với n =1 T1 = + = 5; M = = Cách 2: Chúng ta tính Tn = 2 Tn , M n nên T1 = M1 Câu 15 Tìm số nguyên dương (loại phương án B, C, D) dựa vào tổng biết kết Cụ thể dựa vào ví dụ 1: 2n ( 2n + 1) ( 4n + 1) 2n ( n + 1) ( 2n + 1) ;Mn = p n nhỏ để Suy n > 2n + Tn 4n + = M n 2n + với số nguyên n≥ p A p=5 Đáp án Dễ thấy p=3 B B p=2 C Lời giải p=4 D p=2 p > p +1 bất đẳng thức sai nên loại phương án D p p=3 > p +1 Xét với ta thấy bất đửng thức Bằng phương pháp quy nạp toán học p=3 n≥3 2n > 2n + chứng minh với Vậy số nguyên dương nhỏ cần tìm n∈¥* 2n > n Câu 16 Tìm tất giá trị cho A n≥5 B n =1 n≥6 n≥7 C Lời giải D n =1 n≥5 Đáp án D n =1 Kiểm tra với ta thấy bất đẳng thức nên loại phương án A C n =1 Kiểm tra với ta thấy bất đẳng thức Bằng phương pháp quy nạp toán học chứng minh n > n , ∀n ≥ Câu 17 Với số nguyên dương n , ta có: 1 an + b + + + = ( 3n − 1) ( 3n + ) cn + 2.5 5.8 số nguyên Tính giá trị biểu thức A T =3 Đáp án B T =6 T = ab + bc + ca T = 43 C Lời giải , D T = 42 B Cách 1: Với ý 1 1  =  − ( 3k − 1) ( 3k + )  3k − 3k + ÷  , có: 1 11 1 1  + + + =  − + − + + − ÷ ( 3n − 1) ( 3n + )  5 2.5 5.8 3n − 3n +  = 3n n = ( ) 3n + 6n + Đối chiếu với đẳng thức cho, ta có: Suy T = ab + bc + ca = Cách 2: Cho n = 1, n = 2, n = a = 1, b = 0, c = a + b 2a + b x + b = ; = ; = c = 10 2c + 3c + 22 ta được: 2 a = 1, b = 0, c = T = ab + bc + ca = Giải hệ phương trình ta Suy a , b, c n≥2 Câu 18 Với số ngun dương , ta có: số ngun Tính giá trị biểu thức A P=5 B Đáp án P=9  an +      − ÷ − ÷ 1 − ÷ =      n  bn + T = a + b2 C Lời giải , a, b P = 20 C 1− Cách 1: Bằng cách phân tích số hạng đại diện, ta có: D k −1 k +1 = k2 k k P = 36 Suy  n − n + n + 2n +     = =  − ÷ − ÷ 1 − ÷ =     n  2 3 n 2n 2n 4n P = a + b = 20 a = 2, b = Đối chiếu với đẳng thức cho ta có: Suy a + 3a + 2 = ; = n = 2, n = b 3b Cách 2: Cho ta Giải hệ phương trình trren ta a = 2; b = P = a + b = 20 Suy 3 + + + n = an + bn3 + cn + dn + e, ∀n ∈ ¥ * Câu 19 Biết Tính giá trị biểu thức M = a+b+c+d +e A M =4 Đáp án B M =1 M= C Lời giải M= D B n ( n + 1) n + 2n3 + n + + + n = = 4 Cách 1: Sử dụng kết biết: số, ta 3 So sánh cách hệ 1 a = ;b = ; c = ; d = e = 4 Cách 2: Cho n = 1, n = 2, n = 3, n = 4, n = phương trình đó, ta tìm , ta hệ phương trình ẩn Giải hệ 1 a = ;b = ;c = ; d = e = 4 Câu 20 Biết số nguyên dương n , ta có M = a +b+c + d +e =1 Suy 1.2 + 2.3 + + n ( n + 1) = a1n + b1n + c1n + d1 1.2 + 2.5 + 3.8 + + n ( 3n − 1) = a2 n + b2 n + c2 n + d T = a1a2 + b1b2 + c1c2 + d1d a , b, c, d , e Tính giá trị biểu thức A T =2 B T =1 M= C Lời giải T= D Đáp án C Cách 1: Sử dụng tổng lũy thừa bậc bậc ta có: +) 1.2 + 2.3 + + n ( n + 1) = ( 12 + 2 + + n ) + ( + + + n ) = n3 + n + n 3 a1 = ; b1 = 1; c1 = ; d1 = 3 Suy 1.2 + 2.5 + 3.8 + + n ( 3n − 1) = ( 12 + 2 + + n ) − ( + + + n ) = n3 + n +) a2 = b2 = 1; c2 = d = Suy T = a1a2 + b1b2 + c1c2 + d1d = Do n = 1, n = 2, n = 3, n = Cách 2: Cho sử dụng phương pháp hệ số bất đinh ta tìm a1 = ; b1 = 1; c1 = ; d1 = a2 = b2 = 1; c2 = d = 3 ; T = a1a2 + b1b2 + c1c2 + d1d = Do k k k n, k + + + n Câu 21 Biết , số nguyên dương Xét mệnh đề sau: n ( n + 1) n ( n + 1) ( 2n + 1) n ( n − 1) n ( n + 1) ( 2n + 1) ( 3n + 3n − 1) S1 = S2 = S3 = S4 = 30 , , Số mệnh đề mệnh đề nói là: A B Đáp án n∈¥ Q :"7 n + A * n ( n − 1) S3 = P : "7 + n , ta xét mệnh đề chia hết cho Đáp án D D thấy có Câu 22 Với C Lời giải sai n 3" 2" Q :"7 + chia hết cho ; chia hết cho 6" Số mệnh đề mệnh đề : B C D Lời giải A Bằng phương pháp quy nạp toán học, chứng minh n =1 71 + = 12M6 Thật vậy: Với 10 7n + chia hết cho Giả sử mệnh đề với n = k ≥1 7k + , nghĩa chia hết ccho n = k +1 k +1 + Ta chứng minh mệnh đề với , nghĩa phỉa chứng minh chia hết cho k +1 k ( ) + = 7 + − 30 Ta có: k k +1 + = ( k + ) − 30 +5 Theo giả thiết quy nạp chia hết chia hết cho Q n ≥1 7n + P Vậy chia hết cho với Do mệnh đề n n ≥ 2n −1 Câu 23 Xét toán: “Kiểm nghiệm với số nguyên dương bất đẳng thức ” Một học sinh trình bày lời giải tốn bước sau: n =1 n ! = 1! = n ! ≥ 2n −1 2n−1 = 21−1 = 20 = Bước 1: Với , ta có: Vậy n = k ≥1 k ! ≥ k −1 Bước : Giả sử bất đẳng thức với , tức ta có ( k + 1) ! ≥ 2k n = k +1 Ta cần chứng minh bất đẳng thức với , nghĩa phải chứng minh Bước : Ta có ( k + 1) ! = ( k + 1) k ! ≥ 2.2k −1 = 2k n Vậy n! ≥ 2n−1 với số nguyên dương Chứng minh hay sai, sai sai từ bước ? A Đúng Đáp án Câu 24 Biết B Sai từ bước A 1 an + bn + + + = 1.2.3 2.3.4 n ( n + 1) ( n + ) cn + dn + 16 nguyên dương Tính giá trị biểu thức : A T = 75 Đáp án C Sai từ bước Lời giải B T = 364 T = ( a + c) ( b + d ) , D Sai từ bước a, b, c, d T = 300 C Lời giải D T = 256 C Phân tích phần tử đại diện, ta có: 1 + + + ( 1.2.3 2.3.4 n n + 1) ( n + ) Suy ra: 1 1 1 1  =  − + − + + − ( ) ( ) ( ) 1.2 2.3 2.3 3.4 n n +1 n + n +  1  −   ( n + 1) ( n + )  Đối chiếu với hệ số, ta được: n + 3n 2n + 6n = 4n + 12n + 8n + 24n + 16 = a = 2; b = 6; c = 8; d = 24 11 n 1 1  =  − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k k +1 k + 2  k k +1 k + k +  = số Suy ra: T = ( a + c ) ( b + d ) = 300 12 ... = dự đoán n n +1 : ( k ≥ 1) , tức 1 k + + + = 1. 2 2.3 k ( k + 1) k + 1 k + + + = 1. 2 2.3 k ( k + 1) k + 1 1 k + + + + = + 1. 2 2.3 k ( k + 1) ( k + 1) ( k + ) k + ( k + 1) ( k + ) 1 1 k +... n =1 Vậy đẳng thức với -Bước 2: Giả sử đẳng 12 + 22 + 32 + + k + ( k + 1) = =1 thức , vế phải với 1( 1 + 1) (2 .1 + 1) =1 n = k ? ?1 (k + 1) [ (k + 1) + 1] [ 2(k + 1) + 1] = , tức chứng (k + 1) (k... + = 1. 2 2.3 k ( k + 1) ( k + 1) ( k + ) ( k + 1) ( k + ) ⇔ Câu 1 1 k +1 + + + + = 1. 2 2.3 k ( k + 1) ( k + 1) ( k + ) k + Cho  1? ??  1? ??  Pn = ? ?1 − ÷ − ÷ ? ?1 − ÷     n  P= A n +1 n+2